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第六章 平面向量及其应用 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共40分)
1、(4分)已知D是 所在平面内的一点，且 ，设 ，则
( ).
A. B. C.3 D.-3
2、(4分)在菱形ABCD中， ， ， ，P是菱形ABCD内
部及边界上一点，则 的最大值是( )
A. B. C.13 D.
3、(4分)已知点O为 所在平面上一点，且满足 ，若 的面积
与 的面积比值为 ，则 的值为( )
A. B. C.2 D.3
4、(4分)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小
时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，
均为 ．根据以上性质，已知 ，P为 内一点，记
，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
5、(4分)已知向量a，b满足 ， ， ，则a与b的夹角为( ).
A. B. C. D.
6、(4分)已知在直角梯形ABCD中， ， ， ， ，P是DC的
中点，则 ( ).
A. B. C.3 D.9
7、(4分)已知 ，向量a与向量b的夹角为120°，e是与b同向的单位向量，则a在b上的投影
向量为( ).
A.e B. C. D.8、(4分)已知对任意的平面向量 ，把 绕其起点A沿逆时针方向旋转 角得到向量
，叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转 角得到点P.已知
， ，把点B绕点A沿逆时针方向旋转 得到点P，则点P的坐标为( ).
A. B. C. D.
9、(4分)若平面向量a与b的夹角为60°， ， ，则 等于( ).
A. B. C.4 D.12
10、(4分)已知向量 ， ，若 ，则实数x等于( ).
A.4 B.5 C.6 D.7
二、填空题(共25分)
11、(5分)在 中, 为 上两点且 ,若 ,则 的长
为_____________.
12、(5分)若 ，且满足 ， ， ，则 __________.
13、(5分)已知在梯形ABCD中， ， ， ， ，若EF在线段AB
上运动，且 ，则 的最小值为____________.
14、(5分)已知 ， ，若 ， ，则点C的坐标_________.
15、(5分)已知中心为O的正六边形ABCDEF的边长为2，则 _____________.
三、解答题(共35分)
16、(8分)已知 的内角 所对的边为 ,且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的外接圆半径为1,求 的最大值.
17、(9分)已知 的三个内角 的对边分别为 ，且
（1）若 ，判断 的形状并说明理由；
（2）若 是锐角三角形，求 的取值范围
18、(9分) 的内角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求B；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
19、(9分)在 中，内角 的对边分别为 的面积S满足
（1）求 ；（2）若 为锐角三角形， ，求 的取值范围．参考答案
1、答案：D
解析：由题意作图，如图所示，因为 ，所以C为BD的中点，
所以 ，因为 ，
所以由平面向量基本定理可得 ， ，所以 ，故选D.
2、答案：B
解析：
3、答案：B
解析：
4、答案：B
解析：设 为坐标原点，由 ， ， ，知 且 为锐角
三角形，因此，费马点M在线段OC上，设 ，如图，
则 为顶角是120°的等腰三角形，故 ，所以
，则 的最小值为 .故选：B.
5、答案：C
解析： ， ， ， ，
， .故选C.
6、答案：C解析：因为 ， ，所以
，故选C.
7、答案：D
解析：a在b上的投影向量为 .故选D.
8、答案：D
解析：由已知可得 ，
将点 绕点A沿逆时针方向旋转 ，
得 .
， ，故选D.
9、答案：B
解析：因为 ，所以 ，又因为向量a与b的夹角为60°， ，
所以 ，所以 .
10、答案：C
解析：由题意可得 ，解得 .故选C.
11、答案：
解析：由题意,在 中,由余弦定理得 ;在 中,由余弦定理得
.又 ,即
.又 ,.易知 .在 中,由余弦定理得
, .
12、答案：略
解析：
13、答案：
解析：如图所示，以A为原点， 的方向为x轴正方向， 的方向为y轴正方向建立平面直角
坐标系，则 ， ， ， ，不妨设 ， ，则
， ，
，
故当 时， 取得最小值，最小值为 .
14、答案：
解析：设 , 则 , .
由 , 得
解得
所以点C的坐标为 .
15、答案：-2
解析：由图可得 .16、答案：(1) (2)
解析： (1)因为 ,所以 ,
因为 ,所以 , ,
即 ,
因为 ,所以 ,
则 , , , .
(2)因为 的外接圆半径为1,所以 ,
则 ,
即 ,当且仅当 时取等号,
故 , 的最大值为 .
17、答案：（1）等边三角形（2）
解析：（1）由数量积的定义得， .
由余弦定理得
即
是等边三角形.
由正弦定理及 得 ，即
因为 ，所以 或当 时， 是等腰三角形，此时 ，所以 是等边三角形；
当 ，即 时， 是直角三角形，这与 矛盾.
故 是等边三角形.
（2）不妨设 ，由 得 ，
于是
又因为 是锐角三角形、所以 ，
即 ，因此
由余弦定理得，
令 ，则 ，函数 在 上单调递增.
所以 ，因此
的取值范围是
故
18、答案：（1） （2）
解析： （1） ，
由正弦定理得： ，
整理得： ，
∵在 中， ，∴ ，
即 ，∴ ，即 ；
（2）由余弦定理得： ，∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 的周长为 .
19、答案： (1) （2）解析： (1)由题得
（2）由正弦定理得 ，
为锐角三角形， ， ，
，
的取值范围是
