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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 29 练 等比数列（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 （ ）．
A．120 B．85 C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若 ， ，
则 （ ）
A． B． C．15 D．40
3．（2023·天津·统考高考真题）已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的
值为（ ）
A．3 B．18 C．54 D．152
4．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
5．（2021·全国·高考真题）记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题
6．（2023·全国·统考高考真题）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为 ．
7．（2023·全国·统考高考真题）已知 为等比数列， ， ，则 .
8．（2022·北京·统考高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给
出下列四个结论：① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 为递减的等比数列， ，且 ， ，则
的公比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健
步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人
一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达
目的地，请问最后一天走的路程是（ ）
A．7里 B．8里 C．9里 D．10里
3．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前n项积为 ， ，公比 ，则 取最大值
时n的值为（ ）
A．3 B．6 C．4或5 D．6或7
4．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知各项均为正数的等比数列 中， ， ， 成等
差数列，则 （ ）
A． B．3 C． 或3 D．1.或
5．（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）在等比数列 中，已知 ，则 等于（ ）
A．128 B．64 C．64或 D．128或
6．（2023·全国·高三专题练习）中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健
步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个
人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走的路程是（ ）
A．224里 B．214里 C．112里 D．107里
7．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知等比数列 满足 ，且 成等差数列，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）已知数列 为等比数列，公比 ，若
， ，则 （ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
9．（2023·河南开封·统考一模）已知数列 的前 项和 ，若 ，则
（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
10．（2023春·广西·高三鹿寨县鹿寨中学校联考阶段练习）已知等比数列 的前n项和为 ，若 ，
，则 （ ）
A． B．170 C． D．85
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ，则“ ”是“ 为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
12．（2023秋·湖南长沙·高三长沙市南雅中学校考开学考试）等比数列 的前n项和为 ，若 ，
，则 （ ）
A．60 B．70 C．80 D．150
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项积为 ，若 ， ，且 ，
则使 最大的正整数n的值为（ ）A．7 B．8 C．15 D．16
14．（2023·全国·高三专题练习）等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 为（ ）
A． B． C． D． 或
15．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）已知等比数列 中， ， ， 成等差数列，则
（ ）
A． 或 B．4 C． D．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．127 B．254 C．510 D．255
17．（2023·全国·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中的很多题目取材于现实生活，有很强的应
用性和趣味性，其中一道经过改编的题目是这样的：一堆栗子一斗装不完，两斗装不满，每斗装400个栗
子，一群猴子分这堆栗子，第一只猴子取走全部的一半多一个，第二只猴子取走剩下的一半多一个，……
所有猴子均按此规则依次取栗子，最后一只猴子恰好取完，则这群猴子的只数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
18．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知等比数列 的前n项和为 ，且
， ，则 （ ）
A． B．5 C． D．
19．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知 ， ，若 是 与 的等比中项，则 的最小值
是（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
20．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列 中， ，则 的最大
值是（ ）A．4 B．8 C．16 D．32
二、多选题
21．（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等差数列
C． 是等比数列 D． 是等比数列
22．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 是递增数列， 是其公比，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列 是等比数列
B．若 ， ，则
C．若数列 的前n项和 ，则
D．若 ，则数列 是递增数列
24．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知等比数列 的前 项和为 ，公比
， ，则（ ）
A． 一定是递增数列 B． 可能是递增数列也可能是递减数列
C． 、 、 仍成等比 D． ，
25．（2023·福建泉州·校考模拟预测）已知正项的等比数列 中 ， ，设其公比为 ，前项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·全国·高三专题练习）在公比 为整数的等比数列 中， 是数列 的前 项和，若
， ，则下列说法正确的是
A．
B．数列 是等比数列
C．
D．数列 是公差为2的等差数列
三、填空题
27．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知等比数列 中， ， ，则 ．
28．（2023秋·四川宜宾·高三宜宾市叙州区第一中学校校考期末）已知等比数列 的前 项和为 ，且
， ，则 .
29．（2023·全国·高三专题练习）在数列{ }中， ， ， 为{ }的前n项和，则 =
.
30．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
．
31．（2023秋·贵州贵阳·高三统考阶段练习）设 是等比数列，且 ， ，则
的值是 .
32．（2023·全国·高三专题练习）正项递增等比数列 ，前n项的和为 ，若 ，则 ．
33．（2023春·湖北鄂州·高三校考阶段练习）若等比数列 的公比为 ，且 ，则
的前99项和为 .
34．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知各项均为正数的等比数列 ，其前n项积为 ，且满足
，则 ．
35．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列{an}中，a＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数
1
列，则Sn等于 ．
36．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则数列的公比
.
37．（2023·北京·高三专题练习）正项数列 满足 ， ．若 ， ，则 的值
为 ．
38．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则 的通项公
式为 ．
39．（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 的最
小值为 ．
40．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 中， ，则 的最小值为 .
41．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知数列 的前n项和为Sn，且满足
，则 的值为 ．
42．（2023·河南濮阳·濮阳一高校考模拟预测）设等比数列 的前n项和为 ，若 ，且，则 .
43．（2023·河北·模拟预测）已知数列 为等比数列，其前n项和为 ，前三项和为13，前三项积为
27，则 ．
四、解答题
44．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ， ，且 ．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)若 ， ， 成等比数列，求正整数m．
45．（2023·全国·高三专题练习）已知 是等比数列， ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 为数列 的前n项和，求使得 的正整数n的所有取值．
46．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， .
(1)写出该数列的前 项；
(2)求数列 的通项公式.
47．（2023春·安徽滁州·高三安徽省定远中学校考阶段练习）已知数列 满足 ，且
)，且 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 .
48．（2023·江西南昌·统考模拟预测）已知公差大于0的等差数列 满足 ，且 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和．
49．（2023·江西南昌·统考模拟预测）已知公差大于0的等差数列 满足 ，且 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和.
50．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列 是等比数列；②数列 是等比数
列；③ .
51．（2023·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
52．（2023·上海长宁·统考一模）已知数列 为等差数列,数列 为等比数列,数列 的公差为2;(1)若 ,求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前n项和为 ,若 ,求 ;
53．（2023·上海宝山·统考一模）已知数列 满足 ， .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)写出 的具体展开式，并求其值.
54．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知 为等差数列，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足： ， 的前n项和为 ，求 成立的n的最大值.
55．（2023·全国·高三专题练习）已知 为等差数列，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足： ，求 前n项和 ．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国
王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格
子所需小麦的总重量大约为（ ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）
A．105 B．107 C．1012 D．1015
2．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 （ ）
A．3 B．2 C．3或 D．2或
3．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的前 项和为 .已知 ， ，则
（ ）
A． B．16 C．30 D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·河南·校联考模拟预测）记数列 的前n项和为 ．若等比数列 满足 ，
，则数列 的前n项和 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列 的前n项和为 ，且 是 与 的等差中项，
若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·辽宁锦州·校考一模）已知等比数列 的公比的平方不为 ，则“ 是等比数列”是“ 是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023春·河南南阳·高三校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·北京·高三专题练习）已知数列 为等比数列，其前n项和为 ， ，则“公比 ”
是“对于任意 ， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 为等比数列， 是它的前n项和．若 ，且 与 的等
差中项为 ，则 等于（ ）
A．37 B．35 C．31 D．29
11．（2023·全国·高三专题练习）正项等比数列 的前 项和为 ， ， ，则
等于（ ）
A．90 B．50
C．40 D．30
12．（2023·北京·高三专题练习）康托尔三分集是一种重要的自相似分形集.具体操作如下：将闭区间
均分为三段，去掉中间的区间段 ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 分别均分为
三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作， ，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在
不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集，记为 .若使留下的各区间长度之和不超过 ，则至少需要操作（ ）次（参考
数据： ）
A．4 B．5 C．6 D．7
13．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）设等比数列 的首项为1，公比为q， 是数列
的前n项和，则“ ”是“ 恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
14．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列 的前n项和为 ，若 ，则 的最小值为
（ ）
A．6 B． C． D．9
15．（2023·北京·北京二中校考模拟预测）已知 是无穷等比数列，则“存在 ，使得
，”是“对任意 ，均有 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．（2023·全国·高三专题练习）若等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且
，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
二、多选题
17．（2023·全国·高三专题练习）在公比q为整数的等比数列 中， 是数列 的前n项和，若， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列 是等比数列 D．数列 是公差为2的等差数列
18．（2023·全国·高三专题练习）已知 是等比数列 的前 项和，且 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知等比数列 各项均为正数，其前 项积为 ，若
， ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 是 中最小的项
D．使 成立的 的最大值为18
20．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的公比为 ，前 项积为 ，若 ，且 ，则
下列命题正确的是（ ）
A． B．当且仅当 时， 取得最大值
C． D．
21．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是等比数列
C． 是单调递增数列 D．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的公比为 ，其前 项之积为 ，且满足 ，
， ，则（ ）
A． B．
C． 的值是 中最小的 D．使 成立的最大正整数 的值为4043
三、填空题
23．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的各项都是正数，且 ， ， 成等差数列，则
.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的等比数列 ，若 ，则 的值为
．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 为等比数列，公比 ，首项 ，前三项和为7，
，则n＝ ．
26．（2023·全国·高三专题练习）设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值为 .
27．（2023·全国·高三专题练习）等比数列 是递减数列，前n项的积为 ，若 ，则
．28．（2023春·河南南阳·高三校联考阶段练习）在数列 中. ， 是其前n项和，当
时，恒有 、 、 成等比数列，则
29．（2023·全国·高三专题练习）在正项等比数列 中， ， ，记数列 的前n项积为 ，
，则n的最小值为
30．（2023·全国·高三专题练习）设 为等比数列 的前n项和，已知 ， ，若存在
，使得 成立，则m的最小值为 ．
31．（2023·全国·高三专题练习）正项等比数列 中， ，且存在两项 使得 ，
则 的最小值为 .
四、解答题
32．（2023·广东汕头·统考三模）等差数列 和各项均为正数的等比数列 满足： ，
.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)数列 是由数列 和 中不同的项按照从小到大的顺序排列得到的新数列，记数列 的前 项
和为 ，求 .
33．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ．若
，且 是 与 的等差中项.(1)求 ；
(2)设数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 .求 ．
34．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ，对任意的正整数 ，点
均在函数 图像上．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)证明： 中任何不同三项不构成等差数列．
35．（2023·江苏苏州·模拟预测）记正项数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ，
， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证： .
36．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的首项 ， .
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的通项公式.
37．（2023·全国·高三专题练习）数列 是等比数列，前n项和 ，数列 满足.
(1)求p的值及通项 ；
(2)求和 .
38．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)证明 是等比数列；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
39．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若 ，求满足条件的最大整数n.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，等比数列 满足，若对于任意的实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中，其前n项和为 ，且满足 ，数列 的前n
项和为 ，若 对 恒成立，则实数 的最大值（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·重庆·高三校联考阶段练习） 已知数列 满足 （ ，且
是递减数列， 是递增数列，则 ( )
A． B． C． D．
4．（2023·四川·校联考模拟预测）在数列 中， ， ，且 ，则下列结论成立
的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ，且 ，下列说法正确的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C． D．
二、多选题
6．（2023·广东茂名·统考二模）已知数列 和 满足： ， ， ，
， ，则下列结论错误的是（ ）
A．数列 是公比为 的等比数列 B．仅有有限项使得
C．数列 是递增数列 D．数列 是递减数列
7．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知等比数列 首项 ，公比为q，前n项和为 ，前n项积为 ，
函数 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为单调递增的等差数列
B．
C． 为单调递增的等比数列
D．使得 成立的n的最大值为6
8．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且满足
， ，则（ ）
A． 是等比数列 B． 是等比数列C．当 时， D．当 时，
三、填空题
9．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ， ， ，
，且 ，则 的最大值等于 .
10．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知等差数列 的首项为 ，公差 ，等比数列
满足 ， ，则 的取值范围为 .
11．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列 中， ，且 为其
前 项和，若存在正整数 ，使得 成立，则 的取值范围是 ．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．
给出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
13．（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足 ， ．
(1)证明： ．
(2)设数列 的前n项和为 ，证明： ．14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．
(1)若数列 为单调递减数列，求实数a的取值范围．
(2)当 时，设数列 前n项的和为 ，证明：当 时， ．
