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5.3.1函数的单调性(1) -B提高练
一、选择题
1．（2021·全国高二课时练）若函数 的导函数 的图象如图所示，则函数
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设导函数 的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为 ，其中
，故 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单
调递减，在 单调递增．故选：D．
2．已知 是函数 的导数，则“ 在 上为减函数”是“ 在 内恒
成立”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 在 上为减函数时， 在 内不恒成立，如 ，显然
在 递减，但当 时，则 ；
若 在 内恒成立，设任意 ，则 在点 处的切线的斜率，所以 在 上为减函数．
所以“ 在 上为减函数”是“ 在 内恒成立”的必要不充分条件．故选
B．
3．（2020·全国高二课时练习）函数 （ ）
A．在 上是增函数
B．在 上是减函数
C．在 上是减函数，在 上是增函数
D．在 上是增函数，在 上是减函数
【答案】A
【详解】 ，当 时， ，
∴ 在 上是增函数．故选：A
4．若函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，由题意知， 对 恒成立，即
对 恒成立，令 ，显然 在 上递减，所以，所以 ．故选C．
5．（多选题）（2020·广东揭阳市高二期中）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（
）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A， 既不是奇函数也不是偶函数，且单调递增，故A错误；
对于B， 的定义域为 ，且 ， 是奇函
数，又 恒成立，故 是减函数，故B正确；
对于C， 的定义域为 ，且 ， 是奇函数，
，故 是减函数，故C正确；
对于D， 的定义域为 ，且 ， 是奇函数，又
是减函数，故D正确.故选：BCD.
6．（多选题）（2020·湖南师大附中高二月考）素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数
学家高斯提出了一个猜想： ，其中 表示不大于x的素数的个数，即随着x的增大，
的值近似接近 的值．从猜想出发，下列推断正确的是（ ）
A．当x很大时，随着x的增大， 的增长速度变慢
B．当x很大时，随着x的增大， 减小C．当x很大时，在区间 （n是一个较大常数）内，素数的个数随x的增大而减少
D．因为 ，所以
【答案】AC
【详解】设函数 且 ，则 且 ，
且 ，当 时， ，
所以当x很大时，随着x的增大， 的增长速度变慢，故A正确；
函数 的图象如图所示：
由图象可得随着x的增大， 并不减小，故B错误；当x很大时，在区间 （n是一个
较大常数）内，函数增长得慢，素数的个数随x的增大而减少，故C正确； ，故D
错误．故选：AC．
二、填空题
7．（2021·山东菏泽三中高二期末）函数 的单调减区间是______ ．
【答案】
【解析】函数的定义域为 ， ，令 ，得 函数的单调递减区间是 ，故答案为 .
8．（2021·全国高二课时练）函数y＝xsin x＋cos x，x∈(－π，π)的单调增区间是__________.
【答案】
【解析】 ，当 时， ， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
故函数的单调增区间是 和 .
9．（2021·全国高课二时练）若函数 在 上为减函数，则实数 的取值范围是
__________．
【答案】(－∞，－1]
【解析】因为 是R上的减函数，所以 恒成立，即 ，
即 恒成立，因为 ，所以 ，故答案为 .
10．（2021·全国高二课时练）若函数f(x)＝ax3＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为________．
【答案】(－∞，0)
【解析】由f(x)＝ax3＋x，得f′(x)＝3ax2＋1.
若a≥0，则f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不满足题意；
若a<0，由f′(x)>0得－ ，
即故当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－ ， )，单调递减区间为(－∞，－ ), (，＋∞)，满足题意．答案为：(－∞，0).
三、解答题
11．已知函数 ．
（1）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）若函数 的单调递减区间是 ，求实数 的值；
（3）若函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围．
【解析】由 ，得 ．
（1）因为 在 上单调递增，所以 对 恒成立，即 对 恒成立，
只需 ，而 ，所以 ，经检验，当 时，符合题意，故 的取值范
围是 ．
（2）令 ，因为 的单调递减区间是 ，则不等式 的解集为 ，所
以 和 是方程 的两个实根，所以 ，得 ．
（3）因为函数 在区间 上单调递减，所以 对 恒成立，即
对 恒成立，易得函数 的值域为 ，所以 ，即实数 的取值
范围是 ．
12．（2021·甘肃武威市十八中高二课时练）已知a是实数，函数 ．
（1）若 ，求a的值及曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论函数 在区间 上的单调性．【详解】（1） ， ，
则 ， ， ， ，
因此，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2） ， ，
令 ，得 ， ．
①当 时，即当 时，对任意的 ， ，
此时，函数 在区间 上单调递增．
②当 时，即当 时，
此时，当 ，则 ；
当 时， ．
此时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
③当 时，即当 时，对任意的 ， ．
此时，函数 在区间 上单调递减．
综上所述，当 时，函数 在区间 上单调递增；
当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
当 时，函数 在区间 单调递减．
