文档文本内容
答 案
A
解析
解：由题意令
，
则
．
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，故不合题意，
当
时，
，符合题意，
当
时，令
，解得：
．令
，解得：
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
令
，
故
，
令
，解得：
；令
，解得：
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
故
，
故
时，只要
，则
，
综上，
，
故选：A．
答 案
A
解析
解：当
时，
不可能恒成立；
当
时，
，
；
当
时，令
，
则
， 令
，解得
，
当
时，
， 当
时，
，
模块1：
1 68%
1
例题1
f x =
( )
x +
2
1
2
1 −a x −
(
)
a lnx −2a +
a
2
3
2
f
x =
′ ( )
x + 1 −a −
(
)
=
x
a
x
x −a
x + 1
(
) (
)
a < 0
f
x >
′ ( )
0
f x
( )
0, +∞
(
)
x →0
f x →
( )
−∞
a = 0
f x =
( )
x +
2
1
2
x > 0
a > 0
f
x >
′ ( )
0
x > a
f
x <
′ ( )
0
0 < x < a
f x
( )
0, a
(
)
a, +∞
(
)
f x
=
( )min
f a =
( )
a a −1 −lna
(
)
h a =
( )
a −1 −lna a > 0
(
)
h
a =
′ ( )
1 −
=
a
1
a
a −1
h
a >
′ ( )
0
a > 1
h
a <
′ ( )
0
0 < a < 1
h a
( )
0, 1
(
)
1, +∞
(
)
h a ⩾
( )
h 1 =
( )
0
a −1 −lna ⩾0
a > 0
a=
1
/
h a >
( )
0
a ∈0, 1 ∪
[
)
1, +∞
(
)
例题2
a < 0
e ⩾
x
a x −1 +
(
)
b
a = 0
b ⩽0
ab = 0
a > 0
f x =
( )
e −
x
a x −1 + b
[ (
)
]
f
x =
′ ( )
e −
x
a
f
x =
′ ( )
e −
x
a = 0
x = lna
x < lna
f
x <
′ ( )
0
x > lna
f
x >
′ ( )
0
所以
在
上单调递减， 在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
．
记
，
则
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
所以
，所以
的最大值为
，
故选A．
答 案
见解析
解析
当
时，
，即
．
令
，则
．
令
，则
，
当
时，
单调递增，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故
，
故
．
答 案
解析
解法一：
(
)．
①当
，即
时，
，
在
上单调递增，
，
，与
矛盾；
②当
，即
时，
，
；
，
，
1 74%
1
f x
( )
−∞, lna
(
)
lna, +∞
(
)
f x
=
( )min
f lna =
(
)
e
−
lna
a lna −1 + b ⩾
[ (
)
]
0
b ⩽2a −alna
ab ⩽2a −
2
a lna
2
g a =
( )
2a −
2
a lna
2
g
a =
′ ( )
4a −
a ×
+ 2alna
=
(
2
a
1
)
3a −2alna = a 3 −2lna
(
)
0 < a < e
2
3
g
a >
′ ( )
0
a > e
2
3
g
a <
′ ( )
0
0 < a < e
2
3
g a
( )
a > e
2
3
g a
( )
g a
=
( )max
g e
=
(
2
3 )
2e −
3
e lne
=
3
2
3
e
2
1
3
ab
e
2
1
3
例题3
x > 0
e −
x
x −
2
ax ⩾1 −x
a ⩽
−
x
ex
x −
+
x
1
1
h x =
( )
−
x
ex
x −
+
x
1
1 x > 0
(
)
h
x =
′ ( )
x2
x −1
e −x −1
(
) ( x
)
φ x =
( )
e −
x
x −1 x > 0
(
)
φ
x =
′ ( )
e −
x
1 > 0
x ∈0, +∞
(
)
φ x
( )
φ x >
( )
φ 0 =
( )
0
x ∈0, 1
(
)
h
x <
′ ( )
0
h x
( )
x ∈1, +∞
(
)
h
x >
′ ( )
0
h x
( )
h x
=
( )min
h 1 =
( )
e −1
a ∈−∞, e −1
(
]
例题4
, +∞
( 2
9
)
f
x =
′ ( )
3x −
2
2ax = 3x
x −
(
3
2a) 1 ⩽x ⩽2
a ⩽
3
2
1
a ⩽
2
3
f
x ⩾
′ ( )
0
f x
( )
1, 2
[
]
∴f x
=
( )min
f 1 =
( )
11 −a
∴11 −a < 0 ⇒a > 11
a ⩽
2
3
1 <
<
3
2a
2
<
2
3
a < 3
x ∈
1,
(
3
2a)
f
x <
′ ( )
0
x ∈
, 2
( 3
2a
)
f
x >
′ ( )
0
，只需
，
与
矛盾；
③当
，即
时，
，
在
上单调递减，
，
，符合
．
综上所述，的取值范围为
．
解法二：由已知得
．
设
(
)，
．
，
，
在
上单调递减，
，
故的取值范围为
．
答 案
解析
记
，其中
，
由题意知
在
上恒成立，下面求函数
的最小值，
对
求导得
，
令
，得
，
当变化时，
变化情况列表如下：
，
．
记
，则
，
令
，得
．
当变化时，
变化情况列表如下：
，
故
当且仅当
时取等号，
又
，从而得到
．
1
∴f x
=
( )min
f
=
( 3
2a)
−
a +
27
4
3
10
−
a +
27
4
3
10 < 0 ⇒a >
≈
3 67.5
4.1
<
2
3
a < 3
⩾
3
2a
2
a ⩾3
f
x ⩽
′ ( )
0
f x
( )
1, 2
[
]
∴f x
=
( )min
f 2 =
( )
18 −4a
∴18 −4a < 0 ⇒a >
2
9
a ⩾3
a
, +∞
( 2
9
)
a >
=
x2
x + 10
3
x +
x2
10
g x =
( )
x +
x2
10 1 ⩽x ⩽2
∴g
x =
′ ( )
1 −
x3
20
∵1 ⩽x ⩽2
∴g
x <
′ ( )
0
∴g x
( )
1, 2
[
]
∴g x
=
( )min
g 2 =
( )
2
9
a
, +∞
( 2
9
)
例题5
λ = 1
g x =
( )
f x −
( )
λ x −1 =
(
)
xlnx −λ x −1
(
)
x > 0
g x ⩾
( )
0
0, +∞
(
)
g x
( )
g x
( )
g
x =
′ ( )
lnx + 1 −λ
g
x =
′ ( )
0
x = eλ−1
x
g
x , g x
′ ( )
( )
∴g x
=
( )min
g x
=
( )极小
g e
=
( λ−1)
λ −1 e
−
(
)
λ−1
λ e
−1 =
( λ−1
)
λ −eλ−1
∴λ −e
⩾
λ−1
0
G λ =
( )
λ −eλ−1
G λ =
′ ( )
1 −eλ−1
G λ =
′ ( )
0
λ = 1
λ
G λ , G λ
′ ( )
( )
∴G λ
=
( )max
G λ
=
( )极大
G 1 =
( )
0
λ −e
⩽
λ−1
0
λ = 1
λ −e
⩾
λ−1
0
λ = 1
答 案
见解析
解析
解：
且
时，
恒成立，
整理得
，即
时，
成立；
及
时，
成立．
令
，
．
当
时，
，
在
上单调递增，
．
时，
．
时，
．
当
时，
．
时，
，不合题意，舍去．
综上：的取值范围为
．
答 案
的取值范围为
解析
由
，得
，即
．
,
，
令
，则
．
令
，
则
．
，
，
在
上单调递增，
，
因此
，故
在
上单调递增，则
1 66%
1
例题6
x > 0
x=
1
/
>
x −1
lnx
x + 1
a
lnx +
−a
>
x −1
1
(
x + 1
2a
)
0
x > 1
lnx +
−
x + 1
2a
a > 0
0 < x < 1
lnx +
−
x + 1
2a
a < 0
h x =
( )
lnx +
−
x + 1
2a
a
h
x =
′ ( )
x x + 1
(
)2
x + 2 1 −a x + 1
2
(
)
a ⩽2
h
x ⩾
′ ( )
0
h x
( )
0, +∞
(
)
h 1 =
( )
0
x > 1
h x =
( )
lnx +
−
x + 1
2a
a > h 1 =
( )
0
0 < x < 1
h x =
( )
lnx +
−
x + 1
2a
a < h 1 =
( )
0
a > 2
x ∈
a −1 −
, 1 , h
x <
(
a −2a
2
)
′ ( )
0
0 < x < 1
h x =
( )
lnx +
−
x + 1
2a
a > h 1 =
( )
0
a
−∞, 2
(
]
例题7
a
−∞,2
−
(
e
4
9 ]
f x ⩾
( )
x +
2
5
2
a −3 x +
(
)
1
e +
x
2x −
2
3x ⩾
x +
2
5
2
a −3 x +
(
)
1
ax ⩽e −
x
x −
2
1
2
1
∵x ⩾
2
1 ∴a ⩽
x
e −
x −1
x
2
1
2
g x =
( )
x
e −
x −1
x
2
1
2
g
x =
′ ( )
x2
e
x −1 −
x + 1
x (
)
2
1
2
φ x =
( )
e
x −1 −
x (
)
x +
2
1
2
1
φ
x =
′ ( )
x e −1
( x
)
∵x ⩾
2
1
∵φ
x >
′ ( )
0
∴φ x
( )
, +∞
[2
1
)
∴φ x ⩾
( )
φ
=
( 2
1 )
−
8
7
>
2
1
e
0
g
x >
′ ( )
0
g x
( )
, +∞
[2
1
)
．
的取值范围是
．
g x ⩾
( )
g
=
( 2
1 )
=
2
1
e −
−1
2
1
8
1
2
−
e
4
9
∴a
−∞, 2
−
(
e
4
9 ]
