答 案
见解析
解析
①
；②
；③
；
④
；⑤
；⑥
．
答 案
解析
解：
，则
，
，
故
，
则有
，解得：
，
故答案为：
．
答 案
B
解析
解：
，
，
，
，
，
模块1：
1
1 86%
1 71%
例题1
y =
′
−5010x−1003
y =
′
4x −
3
6x −5
y =
′
2x lnx + x
y =
′
−x sinx
y =
′
1 + x
(
2)2
1 −x2
y =
′
x2
x cos x −sinx
例题2
2e
f
x =
′ ( )
f
1 e
−
′ ( )
x−1
f 0 +
( )
2x
f
1 =
′ ( )
f
1 −
′ ( )
f 0 +
( )
2
∴f 0 =
( )
2
f x =
( )
f
1 e
−
′ ( )
x−1
2x + x2
f 0 =
( )
f
1 e
′ ( )
−1
f
1 =
′ ( )
2e
2e
例题3
∵f
x =
1 ( )
sinx + cos x
∴f
x =
2 ( )
f
x =
1
′ ( )
cos x −sinx
f
x =
3 ( )
f
x =
2
′ ( )
−sinx −cos x
f
x =
4 ( )
−cos x + sinx
f
x =
5 ( )
f
x =
4
′ ( )
sinx + cos x = f
x
1 ( )
，
，
又
，
．
故选：B．
答 案
A
解析
解：由已知条件得切线的斜率
，故
，得切点的横坐标为，则切点
坐标为
．由点
在直线
上可得
．
故选A．
答 案
D
解析
由题可知
，则有
，由切点为
可得
，两式联立解得
或
，则点
的坐标为
或
．故选D．
答 案
A
解析
由函数图象知,此三次函数在
处与直线
相切，在点
处与
相切．以
下研究四个选项中函数在两点处的切线的斜率．
A、
,将, 代入,解得此时切线的斜率分别是
, ,符合题意,故A正确；
B、
,将代入,此时导数为
,不为
,故B错误；
C、
,将代入,此时导数为,不为,故C错误；
1 69%
1 63%
1
⋯
∴f
x =
n ( )
f
x (n ∈
n+4 ( )
N∗)
∵f
x +
1 ( )
f
x +
2 ( )
f
x +
3 ( )
f
x =
4 ( )
0
∴f
+
1 ( 4
π )
f
+
2 ( 4
π )
f
+
3 ( 4
π )
⋯+ f
=
2013 ( 4
π )
f
=
1 ( 4
π )
sin
+
4
π
cos
=
4
π
2
例题4
k = 2
1
y =
′
lnx
=
(
)′
=
x
1
2
1
2
2, ln2
(
)
2, ln2
(
)
y =
x +
2
1
b
b = ln2 −
×
2
1
2 = ln2 −1
例题5
f
x =
′ ( )
3x +
2
2ax
f
x
=
′ (
0)
3x
+
0
2
2ax
=
0
−1
x
, −x
(
0
0)
x
+
03
ax
=
02
−x
0
{a = 2
x
= −1
0
{a = −2
x = 1
0
P
−1, 1
(
)
1, −1
(
)
例题6
0, 0
(
)
y = −x
2, 0
(
)
y = 3x −6
y =
′
x −
2
3
2
x −1
0 2
−1 3
y =
′
x +
2
3
2
x −3
0
−3
−1
y =
′
x −
4
3
2
1
2
2
3
3
D、
,将代入,此时导数为
,不为
,故D错误．
故选A．
答 案
B
解析
①．
，
在
和
处的切线都是
，故有自公切线；
②．
，
此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线；
③．
为对勾函数，分别位于第一、三象限，图象关于原点对称且导数为
，在
上单调递增，
上单调递减，存在平行的切线，不存在
自公切线；
④． 由于
，即
，结合图象可得，此曲线没有自公
切线．故选B．
答 案
B
解析
根据题意，对任意的
，都有
，
又由
是定义在
上的单调函数，则
为定值．
设
，则
，又由
，得
，解得
；
则
，
，将
，
代入
， 可得
，即
．
令
，分析易得
，
,
则
的零点在
之间，则方程
，即
的根在
上，
故选B．
1
1 58%
y =
′
x +
4
3
2
x −2
0
−2
−1
例题7
y = x −
2
x +
∣∣
1 =
{ x −
+
, x ⩾0
(
2
1)
2
4
3
x +
+
, x < 0
(
2
1)
2
4
3
x =
2
1
x = −
2
1
y =
4
3
y = 3 sinx + 4 cos x = 5 sin x + φ , cos φ =
(
)
, sinφ =
5
3
5
4
y = x +
x
1
y =
′
1 −
x2
1
−∞, −1 , 1, +∞
(
) (
)
−1, 0 , 0, 1
(
) (
)
x +
∣∣
1 =
4 −y2
x +
2
2 x +
∣∣
y −
2
3 = 0
例题8
x ∈0, +∞
(
)
f f x −log
x =
[ ( )
2 ]
3
f x
( )
0, +∞
(
)
f x −
( )
log
x
2
t = f x −
( )
log
x
2
f x =
( )
log
x +
2
t
f t =
( )
3
log
t +
2
t = 3
t = 2
f x =
( )
log
x +
2
2
f
x =
′ ( )
x ln2
1
f x =
( )
log
x +
2
2
f
x =
′ ( )
x ln2
1
f x −
( )
f
x =
′ ( )
2
log x +
2
2 −
=
x ln2
1
2
log
x −
2
=
x ln2
1
0
h x =
( )
log
x −
2
x ln2
1
h 1 =
( )
−
<
ln2
1
0
h 2 =
( )
1 −
>
2 ln2
1
0
h x =
( )
log
x −
2
x ln2
1
1, 2
(
)
log
x −
2
=
x ln2
1
0
f x −
( )
f
x =
′ ( )
2
1, 2
(
)
例题9
答 案
，
解析
解：由已知得
，
，
， 则
且
，解得
，
．
答 案
见解析
解析
假设曲线
与
存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为
，
则
，即
，其中
式即
．
记
，则
，
得
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，
故方程
在
上有唯一实数根
，经验证也满足(1)式．
于是，
，
，
曲线
与
的公切线的方程为
，
即
．
1
1
a = 1
b = 1
x > 0
x=
1
/
f
x =
′ ( )
−
lnx
(
)2
b lnx −1
(
)
a
f e
=
( 2)
−
2
be2
ae =
2
−
2
e2
f
e
=
′ ( 2)
−
4
b
a = −
4
3
a = 1
b = 1
例题10
y = f x
( )
y = g x
( )
x
>
0
0
{f x
= g x
(
0)
(
0)
f
x
= g
x
′ (
0)
′ (
0)
{
+
= 3e lnx
1
e
2x
0
2
x
0
e2
0 ( )
−
=
2
e
4x
0
x
02
e2
x
0
3e ( )
(2)
4x
−
03
3e x
−
2
0
e =
3
0
h x =
( )
4x −
3
3e x −
2
e , x ∈
3
0, +∞
(
)
h
x =
′ ( )
3 2x + e
2x −e
(
) (
)
h x
( )
0,
(
2
e )
, +∞
(2
e
)
h 0 =
( )
−e3
h
=
(2
e )
−2e3
h e =
( )
0
h x
=
(
0)
0
0, +∞
(
)
x
=
0
e
f x
=
(
0)
g x
=
(
0)
3e
f
x
=
′ (
0)
g
x
=
′ (
0)
3
y = f x
( )
y = g x
( )
l
y −3e = 3 x −e
(
)
y = 3x
