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1 利用导数求极值 一、函数的极值 1.函数极值定义 一般地，设函数f(x)在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f(x)＜ f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x0)，x0 是极大值点。 如果对x0 附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值， 记作y 极小值=f(x0)，x0 是极小值点。极大值与极小值统称为极值 2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法: 若 0x 满足 0 ) ( 0 x f ，且在 0x 的两侧 ) (x f 的导数异号，则 0x 是 ) (x f 的极值点， ) ( 0x f 是极值，并且如果 ) (x f 在 0x 两侧满足“左正右负”，则 0x 是 ) (x f 的极大值 点， ) ( 0x f 是极大值；如果 ) (x f 在 0x 两侧满足“左负右正”，则 0x 是 ) (x f 的极小 值点， ) ( 0x f 是极小值. 3. 求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0 的根 (3)用函数的导数为0 的点，将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检 查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大 值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那 么f(x)在这个根处无极值 二、极值的要点总结 （1）极值是一个局部概念。由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点 的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （2）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小 值可以不止一个 （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小 值 （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使 函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 （5）可导函数的极值点的导数为0，但是导数为0 的点不一定是极值点，如函 数y=x3 在x=0 处导数为0，但x=0 不是极值点。 （6）函数在一点x0 处有极值，不一定在该点可导。如函数y=|x| 在x=0 有极小 值，但在x=0 处不可导即导数不存在。 三、最值要点总结 （1）在闭区间 b a, 上图像连续不断的函数 ) (x f 在 b a, 上必有最大值与最小值． （2）在开区间( , ) a b 内图像连续的函数 ) (x f 不一定有最大值与最小值．如函数 x x f 1 ) ( 在 ) ,0 ( 内连续，但没有最大值与最小值； （3）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极 值点附近函数值得出的． （4）函数 ) (x f 在闭区间 b a, 上的图像连续不断，是 ) (x f 在闭区间 b a, 上有最 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 2 大值与最小值的充分条件而非必要条件．如函数 1, 1 0 ( ) 0, 0 x x x f x x 但 在 1,1 上有最大值，最小值，（最大值是0，最小值是-2），但其图像却不是连续 不断的。 （5）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能 不止一个，也可能没有。 （6）若函数f(x)只有一个极值，则必为最值。若函数f(x)在闭区间[a,b]上递增， 则 min ( ) ( ) f x f a ， max ( ) ( ) f x f b ；若函数f(x) 在闭区间[a,b] 上递减，则 min ( ) ( ) f x f b ， max ( ) ( ) f x f a 。 此类题目的做题口诀为：一定二导三求根，四标五穿六列表。这个步骤来解决。 分别指： 1.求函数定义域 2.求函数导数 3.求f'(x)=0 的根 4.在数轴上标根 5.在数轴上“穿针引线”标出大于零小于零的部分 6.列出f（x）的变化情况表 四、题型总结 1.求一般函数的极值 例1.（06 安徽卷）设函数 3 2 ( ) f x x bx cx x R ，已知( ) ( ) ( ) g x f x f x 是 奇函数。 （Ⅰ）求b 、c 的值。 （Ⅱ）求( ) g x 的单调区间与极值。 思路分析：先求出 '( ) f x ,再利用奇函数定义即可求出b,c 的值，再利用导数这一 工具，可求出函数的单调区间及极值 解析：（Ⅰ）∵ 3 2 f x x bx cx ，∴ 2 3 2 f x x bx c 。从而 3 2 2 ( ) ( ) ( ) (3 2 ) g x f x f x x bx cx x bx c ＝ 3 2 ( 3) ( 2 ) x b x c b x c 是 一个奇函数，所以(0) 0 g 得 0 c ，由奇函数定义得 3 b ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 3 ( ) 6 g x x x ，从而 2 ( ) 3 6 g x x ，令 2 ( ) 3 6 g x x =0，解 得 2 x ，由 2 ( ) 3 6 0, 2 2 g x x x x 解得 或 ， 2 ( ) 3 6 0, 2 2 g x x x 解得 由此可知， 函数( ) g x 的单调递增区间是( , 2) 和( 2, ) ；单调递减区间是 ( 2, 2) ； 进而得( ) g x 在 2 x 时，取得极大值，极大值为4 2 ，( ) g x 在 2 x 时，取得 极小值，极小值为4 2 2.求含参函数的极值 3 若a≠0，试求函数f(x)＝－2 3ax3－x2＋a2x2＋2ax 的单调区间与极值． [解析] ∵f(x)＝－2 3ax3－x2＋a2x2＋2ax， ∴f ′(x)＝－2ax2－2x＋2a2x＋2a ＝－2(ax2＋x－a2x－a) ＝－2(x－a)(ax＋1)． 令f ′(x)＝0，可得x＝－1 a或x＝a. 若a>0，当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1 a) －1 a (－1 a，a) a (a，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以f(x)在区间(－∞，－1 a)，(a，＋∞)内为减函数，在区间(－1 a，a)内为增函数．函 数f(x)在x＝－1 a处取得极小值f(－1 a)＝－1－1 3a2，在x＝a 处取得极大值f(a)＝a2 ＋1 3a4. 若a<0，当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，a) a (a，－1 a) －1 a (－1 a，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以f(x)在区间(－∞，a)，(－1 a，＋∞)内为增函数，在区间(a，－1 a)内为减函数．函 数f(x)在x＝a 处取得极大值f(a)＝a2＋a4 3 ，在x＝－1 a处取得极小值f(－1 a)＝－1－ 1 3a2. 在求含参函数的极值与最值问题时，最重要的是在未知量上进行的分类讨论，具 体是第三部式。对于不同的题目还是需要具体分析。在前面我们讲过了共有6 步 的做题思路。在题目中，有两部分需要注意：一个是第三部求根，求导后需要考 虑是否有实根，从而会有三种情况需要讨论：1.是几次方程，2.对应方程是否有 实根，3.根的大小和定义域、未知量等的关系需要讨论。另一个是第四部分标根， 由于不知道实根是否落在定义域内，需要进行讨论。
