课改凌云班课后总结第3讲-2436bfa4c0a5_学而思高二全套_2019年秋季高二_2019秋秋季凌云班高二数学直播班（课改-数列+选修2-1+导数）16讲王子悦

 
 
1
数列不等式综合课后总结 
一、判断函数的单调性 
1.邻项比较法 
对于任意的正①邻项比较法：对于任意的正整数n，比较an与an+1的大小．若an+1
恒大于an，则{an}单调递增，若an+1恒小于an，则{an}单调递减． 
2.函数特性法 
数列是一个特殊的函数，因此判断函数单调性的方法同样适用于数列．我们可以
先判断相应函数的单调性，进而得到数列的单调性． 
二、不等式和数列放缩的重要类型 
平方型：
1
𝑛−
1
𝑛+1 =
1
𝑛(𝑛+1) <
1
𝑛2 <
1
𝑛(𝑛−1) =
1
𝑛−1 −
1
𝑛 (𝑛≥2) 
   
1
𝑛2 <
1
𝑛2−1 =
1
2 (
1
𝑛−1 −
1
𝑛+1) (𝑛≥2) 
        
1
(2𝑛−1)2 <
1
4𝑛(𝑛−1) =
1
4 (
1
𝑛−1 −
1
𝑛) (𝑛≥2) 
立方型：
1
𝑛3 <
1
𝑛(𝑛2−1) =
1
2 (
1
𝑛(𝑛−1) −
1
𝑛(𝑛+1)) (𝑛≥2) 
根式型：2(√𝑛+ 1 −√𝑛) =
2
√𝑛+1+√𝑛<
1
√𝑛=
2
2√𝑛<
2
√𝑛+√𝑛−1 = 2(√𝑛−√𝑛−1) 
指数型：
1
𝑎𝑛−𝑏𝑛≤
1
𝑎𝑛−1(𝑎−𝑏) (𝑎> 𝑏≥1) 
三、不等式放缩的方法要点 
1.放缩法证明与数列求和有关的不等式，若an可直接求和，就先求和再放缩；若
不能直接求和的，一般要先将通项an放缩后再求和.  
2.放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要“留一手”， 即
采用“有所保留”的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三
项开始放缩，这样才不致使结果放得过大或缩得过小. 
3.一般地，形如
n
n
na
a
b


或
n
na
a
b


(这里
1
a
b

)的数列，在证明 
1
2
1
1
1
n
k
a
a
a




L
（k 为常数）时都可以提取出
n
a 利用指数函数的单调性将其放缩。 
4. 形如𝑎𝑛< 𝑓(𝑛)的数列不等式证明的思维策略：设
n
S 和
nT 分别为数列
na
和

nb
的前n 项和，显然，若
n
n
a
b

*
(
)
nN
，利用不等式的“同向可加性”这一
基本性质，则有
n
n
S
T

. 这启发我们，要证明不等式𝑎𝑛< 𝑓(𝑛)，如果记
 
 
2
( )
nT
f n

看作是数列
nb
的前n 项和，则
1(
2)
n
n
n
b
T
T
n




，
1
1
b
T

，那么只要
证其通项满足
n
n
a
b

即可. 
5.放缩法最难得点在于不能放的过大或过小，例如
1
𝑛2 <
1
𝑛2−1 =
1
2 (
1
𝑛−1 −
1
𝑛+1) (𝑛≥
2)，但是有时候这样放缩会放的过大，无法满足题目的条件，还可以这么放缩：
1
𝑛2 <
1
𝑛2−1
4
=
1
𝑛−1
2
−
1
𝑛+1
2
 (𝑛≥1) 
 
放缩类型的题目需要大量的练习以及对方法的敏感度，多练才能多会。