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4.3 等比数列
思维导图
常见考法
考点一 等比数列基本量计算【例1】（1）（2020·四川仁寿一中开学考试）在等比数列 中， ， ，则公比 的值
为（ ）
A． B． 或1 C．－1 D． 或－1
（2）（2020·哈密市第十五中学月考）已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且
，则 （ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
（3）（2020·四川省内江市第六中学开学考试（理））等比数列 的前 项和 ，则 =（
）
A．-1 B．3 C．-3 D．1
【答案】（1）B（2）C（3）C
【解析】（1）由题意 ，解得 或 ．故选：B．
【答案】C
（2）设正数的等比数列{a}的公比为 ，则 ，
n
解得 ， ，故选C．
（3）因为数列是等比数列故满足 ， ，
代入 得到 故答案选C．
【一隅三反】
1．（2020·石嘴山市第三中学月考）已知 是等比数列，a=2,a= ,则公比q=（ ）
1 4A． B．-2 C．2 D．
【答案】D
【解析】∵ 是等比数列，∴ ，∴ ．故选：D．
2．（2020·黑龙江工农·鹤岗一中高一期末（文））已知数列 满足 ，若 ，则 等于
A．1 B．2 C．64 D．128
【答案】C
【解析】因为数列 满足 ，所以该数列是以 为公比的等比数列，又 ，所以 ，
即 ；故选C.
3．（2020·合肥市第十一中学高二开学考试）各项都是正数的等比数列 中， 成等差数列，
则公比 的值为（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】B
【解析】由题得 ，所以 ，
因为 是各项都是正数的等比数列，所以 ，所以 .故选：B4．（2020·全国高二月考（文））已知各项均为正数的等比数列 ，且 成等差数列，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】各项均为正数的等比数列 的公比设为q，则q>0，
由 成等差数列，可得 ，即 ，
所以 ，解得 或 （舍），
所以 .故选：D.
5．（2020·贵州省思南中学月考）设正项等比数列 的前 项和为 ， ，
则公比 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以
所以 ，即
因为 ，所以 故选：A
考点二 等比数列中项性质【例2】（1）（2020·自贡市田家炳中学开学考试）等比数列 的各项均为正数，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·河南高二月考）在等比数列 中，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）B
【解析】（1）由等比数列的性质可得： ，所以 .
则 故选
B.
（2）由等比中项的性质可得 ，解得 ，因此， .故选：B.
【一隅三反】
1．（2020·安徽滁州·期末）在等比数列 中， 是方程 的根，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题得 所以 ，因为 ，
所以 所以 .故答案为A
2．（2019·福建高三学业考试）若三个数1，2，m成等比数列，则实数 （ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
【答案】B【解析】因为 为等比数列，故 即 ，故选：B.
3．（2020·宁夏二模（理））已知实数 成等比数列，则椭圆 的离心率为
A． B．2 C． 或2 D． 或
【答案】A
【解析】∵1，m，9构成一个等比数列，∴m2=1×9，则m=±3．
当m=3时，圆锥曲线 +y2=1是椭圆，它的离心率是 = ；
当m=﹣3时，圆锥曲线 +y2=1是双曲线，故舍去，则离心率为 ．故选A．
考点三 等比数列的前n项和性质
【例3】（2020·赣榆智贤中学月考）已知数列{a}是等比数列，S 为其前n项和，若a＋a＋a=4，a＋a
n n 1 2 3 4 5
＋a=8，则S =
6 12
A．40 B．60
C．32 D．50
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可知，数列S，S−S，S−S，S −S 是等比数列，即数列4,8，S−S，S −S 是
3 6 3 9 6 12 9 9 6 12 9
等比数列，因此S =4＋8＋16＋32=60，选B．
12
【一隅三反】
1．（2020·赣榆智贤中学月考）已知 是各项都为正数的等比数列， 是它的前 项和，若 ，
，则 （ ）
A． B．90 C．105 D．106
【答案】C
【解析】由等比数列的性质得 成等比数列，所以 成等比数列，所以 .故选：
C
2．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高一期中）等比数列 的前n项和为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为数列 为等比数列，则 ， ， 成等比数列，
设 ，则 ，则 ，
故 ，所以 ，得到 ，所以 .故选：C.
3．（2020·眉山市彭山区第一中学高二开学考试）若等比数列{a}的前n项和为S，且S＝10，S ＝30，
n n 5 10
则S ＝（ ）
20
A．80 B．120 C．150 D．180
【答案】C
【解析】因为数列 是等比数列，故可得 依然成等比数列，
因为 ，故可得 ，故该数列的首项为 ，公比为2，
故可得 .故选： .
4．（2020·运城市景胜中学高二开学考试）设 是等比数列，且 ， ，则
（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【答案】D
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，，
因此， .故选：D.
考点四 等比数列的单调性
【例4】（2020·上海市青浦高级中学高一期末）已知数列 满足 ， .
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1） ， ，
因此，数列 是等比数列；
（2）由于 ，所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
，因此， .
【一隅三反】
1．（2020·湖北高一期末）已知 为等比数列， ， ，以 表示 的前 项
积，则使得 达到最大值的 是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A
【解析】 为等比数列， ， ，
， ， ， ， ．
故 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，
以 表示 的前 项积，则使得 达到最大值的 是4，
故选： ．
2．（2020·四川成都·高一期末（文））已知单调递减的等比数列 中， ，则该数列的公比 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为等比数列 单调递减，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，故选：D
3．（2020·河北桃城·衡水中学高三月考（理））若 是公比为 的等比数列，记 为 的前
项和，则下列说法正确的是（ ）
A．若 是递增数列，则
B．若 是递减数列，则
C．若 ，则
D．若 ，则 是等比数列
【答案】D【解析】A选项中， ，满足 单调递增，故A错误；
B选项中， ，满足 单调递减，故B错误；
C选项中，若 ，则 ，故C错误；
D选项中， ，所以 是等比数列.故D正确.
故选：D.
4．（2020·宁夏兴庆·银川一中期末）设等比数列 的公比为 ，其前 项的积为 ，并且满足条件
， ， ．给出下列结论：
① ；② ；③ 的值是 中最大的；④使 成立的最大自然数 等于198
其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【解析】① ， ， ．
， ．
又 ， ，且 ． ，即①正确；
② ， ，即 ，故②错误；
③由于 ，而 ，故有 ，故③错误；
④中 ，
，故④正确．正确的为①④，
故选： ．
考点五 证明判断等比数列
【例5】（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学）已知正项数列 的前 项和为 ，若数列
是公差为 的等差数列，且 是 等差中项.
（1）证明数列 等比数列；
（2）求数列 的通项公式.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）因为数列 是公差为 的等差数列，所以 ，
故 ，所以 ，所以数列 是公比为3的等比数列.
（2）因为 是 的等差中项，所以 ，所以 ，
解得 ，数列 的通项公式为 .
【一隅三反】
1．（2020·玉龙纳西族自治县田家炳民族中学高一月考）数列 （ ）
A．既不是等差数列又不是等比数列 B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．是等差数列但不是等比数列
【答案】D
【解析】数列 是无穷数列，从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数 ，符合等
差数列的定义，所以数列 是等差数列，根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为 的项，所以数列 不是等比数列，故选D.
2．（2020·山东省泰安第二中学高三月考）已知数列 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】 时， ，数列 不一定是等比数列，
时， ，数列 不一定是等比数列，
由等比数列的定义知 和 都是等比数列．
故选AD．
3．（2020·浙江金华·期中）已知数列 满足 ， ．设 ．
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）求 的通项公式．
【答案】（1）详见解析；（2） ．
【解析】（1） ， ，由条件可得 ，即 ，又 ，
所以 是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）可得 ， ，所以 ．
