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专题 15 排列组合
易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）
相邻问题
技巧总结
相邻问题
1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放
在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算.
2、解题步骤：
第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数
第二步：求出其余元素的排列种数
第三步：求出总的排列种数
易错提醒：排列组合实际问题主要有相邻问题和不相邻问题。（1）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特
殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些
位置上全排列）；
（2）不相邻（相间）问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先
安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）；
例、现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相邻的排法有（ ）A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
变式1：加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能
相邻，那么有（ ）种加工方法．
A．24 B．32 C．48 D．64
变式2：中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到
2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.
在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程
序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
变式3：为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，
某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，
以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两
阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（ ）
A．10种 B．12种 C．16种 D．24种
1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙 3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙
不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．1120 B．7200 C．8640 D．14400
2．六名同学暑期相约去都江堰采风观景，结束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不
相邻，则不同的排法共有（ ）
A．48种 B．72种 C．120种 D．144种
3．把二项式 的所有展开项重新排列，记有理项都相邻的概率为 ，有理项两两不相邻的概率为
，则 （ ）
A．5 B． C．4 D．4．A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻的不同站法的种数为（ ）
A．48 B．96 C．144 D．288
5．2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分 战
胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能
站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A．18种 B．24种 C．30种 D．36种
6．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分
别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，
则不同的排法共有（ ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．144种
7．甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小
孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，
则所有不同站法的种数为（ ）
A．144 B．864 C．1728 D．2880
8．某驾校6名学员站成一排拍照留念，要求学员A和B不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．120种 B．240种 C．360种 D．480种
9．某高铁动车检修基地库房内有 共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车
、高铁 共五列车入库检修，若已知两列动车安排在相邻轨道，则动车 停放在 道的概率
为（ ）
A． B． C． D．
10．班长邀请 四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四
个座位，则 两位同学座位相邻的概率是（ ）
A． B．C． D．
11．将3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻的排法种数有（ ）
A．4种 B．8种 C．12种 D．48种
12．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有（ ）
A．70种 B．72种 C．36种 D．12种
13．现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ）
A．排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种
B．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种
C．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种
D．全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种
14．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
15．甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ）
A．甲乙不相邻的不同排法有48种
B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种
C．甲乙不排在两端的不同排法有36种
D．甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种
16．某学校举行校园歌手大赛，共有4名男生，3名女生参加，组委会对他们的出场顺序进行安排，则下
列说法正确的是（ ）
A．若3个女生不相邻，则有144种不同的出场顺序
B．若女生甲在女生乙的前面，则有2520种不同的出场顺序
C．若4位男生相邻，则有576种不同的出场顺序
D．若学生的节目顺序已确定，再增加两个教师节目，共有72种不同的出场顺序
17．某校高二年级安排甲､乙､丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学
只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（
）
A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
18．在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合
影，则（ ）
A．3名男生排在一起，有6种不同排法 B．2名女生排在一起，有48种不同排法
C．3名男生均不相邻，有12种不同排法D．女生不站在两端，有108种不同排法
19．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为72种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有40种
20．(多选)把5件不同产品A，B，C，D，E摆成一排，则（ ）
A．A与B相邻有48种摆法
B．A与C相邻有48种摆法
C．A，B相邻又A，C相邻，有12种摆法
D．A与B相邻，且A与C不相邻有24种摆法
21．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老
师相邻，则不同的站法种数为（ ）
A． B． C． D．
易错点二：“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”
（不相邻问题）
不相邻问题
技巧总结
1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻
的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可
2.解题步骤：
①先考虑不受限制的元素的排列种数
②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数③求出总的排列种数
易错提醒：处理相邻问题的基本方法是“捆绑法”，即把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个元素，然
后与其余元素全排列，最后“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．处理不相邻问题的基本方法是
“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后把有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．
但应该注意插入的元素之间如果也有顺序，应先进行排列．
例、有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的总数．
（1）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；
（2）全体排成一行，其中男生必须排在一起．
变式1：为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，
某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，
以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两
阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（ ）
A．10种 B．12种 C．16种 D．24种
变式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行，则甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式3：某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．72种 D．120种
1．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（ ）
A．若女生必须站在一起，那么一共有 种排法
B．若女生互不相邻，那么一共有 种排法
C．若甲不站最中间，那么一共有 种排法
D．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有 种排法
2．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（ ）
A．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序
B．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序
C．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序
D．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法
3．现将 把椅子排成一排， 位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ）
A． 个空位全都相邻的坐法有 种
B． 个空位中只有 个相邻的坐法有 种
C． 个空位均不相邻的坐法有 种
D．4个空位中至多有 个相邻的坐法有 种
4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）．
A．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种
B．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种
D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分
配方案有36种
5．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ）
A．4个空位全都相邻的坐法有720种
B．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种
C．4个空位均不相邻的坐法有1800种
D．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种
6．现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（
）
A． B．
C． D．
7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、
“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法
8．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（ ）
A．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480
B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240
C．6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法
D．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种
9．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）
A．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种
B．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种
D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分
配方案有72种
10．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排
法种数是（ ）
A．36 B．72 C．81 D．144
11．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，
全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、
乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）
A．288种 B．360种 C．480种 D．504种
12． ， ， ， ， 五名学生按任意次序站成一排，其中 和 不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．72 B．36 C．18 D．64
13．某选拔性考试需要考查4个学科（语文、数学、物理、政治），则这4个学科不同的考试顺序中物理
考试与数学考试不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
15．黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的 ，
两段，使得长线段 与原线段 的比等于短线段 与长线段 的比，即 ，其比值约为
0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（ ）
A．180 B．210 C．240 D．360
易错点三：忽视排列数、组合数公式的隐含条件（排列组合综合）
1．两个重要公式
(1)排列数公式
n!
Am = =n(n−1)(n−2)⋯⋯(n−m+1)(n,m∈N¿,且m≤n)
n (n−m)! ．
(2)组合数公式
n! n(n−1)(n−2)⋯⋯(n−m+1)
Cm = = (n,m∈N¿,且m≤n)
n m!(n−m)! m!
2、要点： C n m = n(n−1)(n−2 m )⋯ ! ⋯(n−m+1) 一般用于计算，而 C n m = m!(n n − ! m)! 和 C n m = A A n m m一般用于
m
证明、解方程（不等式）.
重点：三个重要性质和定理
组合数性质
Am
Cm
=
n =Cn−m(n,m∈N¿,且m≤n)
（1）对称性： n Am n ；
m
Cm
组合意义：从n个不同的元素中任取m个元素，则 n .
从n个不同的元素中任取m个元素后只剩下n−m个元素了，则从n个不同的元素中任取m个元素与从n
Cn−m Cm =Cn−m
个不同的元素中任取n−m个元素是等效的.则 n ，故 n n .
等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标.
n 8×7×6
应用：①简化计算，当
m>
2 时，通常将计算
Cm
转化为计算
Cn−m
，如
C5
8
=C3
8
=
3×2×1
=56
n n②列等式：由
C
n
x =C
n
y
，可得
x=y
或
x+y=n
，如
C3
8
=C
8
x
，则
3=x
或
3+x=8
故
x=3
或
x=5
.
Cm =Cm +Cm−1(n,m∈N¿,且m≤n)
（2） n+1 n n ；
(n+1)
Cm
组合意义：从 个不同的元素中任取m个元素，则 n+1.
(m−1)
n
对于某一元素，只存在着取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的 个元素中任取 个元
Cm−1 Cm
素，所以共有 n 种，如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中任取m个元素，所以共有 n ，根据
Cm =Cm +Cm−1
分类加法原理： n+1 n n .
等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个
组合数.
应用：恒等变形
n−m+1 n n
Cm
=
Cm−1 Cm
=
Cm Cm
=
Cm−1
常见的组合恒等式： n m n ， n n−m n−1， n m n−1
Cr +Cr +Cr +⋯+Cr =Cr+1 Cr C0 +Cr−1C1 +Cr−2C2 +⋯+C0 Cr =Cr
r r+1 r+2 n n+1， m n m n m n m n m+n.
C0 =1
（3） n .
重点：三个重要性质和定理
组合数性质
Am
Cm
=
n =Cn−m(n,m∈N¿,且m≤n)
（1）对称性： n Am n ；
m
Cm
组合意义：从n个不同的元素中任取m个元素，则 n .
从n个不同的元素中任取m个元素后只剩下n−m个元素了，则从n个不同的元素中任取m个元素与从n
Cn−m Cm =Cn−m
个不同的元素中任取n−m个元素是等效的.则 n ，故 n n .
等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标.n 8×7×6
应用：①简化计算，当
m>
2 时，通常将计算
Cm
转化为计算
Cn−m
，如
C5
8
=C3
8
=
3×2×1
=56
n n
②列等式：由
C
n
x =C
n
y
，可得
x=y
或
x+y=n
，如
C3
8
=C
8
x
，则
3=x
或
3+x=8
故
x=3
或
x=5
.
Cm =Cm +Cm−1(n,m∈N¿,且m≤n)
（3） n+1 n n ；
(n+1)
Cm
组合意义：从 个不同的元素中任取m个元素，则 n+1.
(m−1)
n
对于某一元素，只存在着取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的 个元素中任取 个元
Cm−1 Cm
素，所以共有 n 种，如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中任取m个元素，所以共有 n ，根据
Cm =Cm +Cm−1
分类加法原理： n+1 n n .
等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个
组合数.
应用：恒等变形
n−m+1 n n
Cm
=
Cm−1 Cm
=
Cm Cm
=
Cm−1
常见的组合恒等式： n m n ， n n−m n−1， n m n−1
Cr +Cr +Cr +⋯+Cr =Cr+1 Cr C0 +Cr−1C1 +Cr−2C2 +⋯+C0 Cr =Cr
r r+1 r+2 n n+1， m n m n m n m n m+n.
C0 =1
（3） n .
易错提醒：解排列、组合的综合问题要注意以下几点
（1）元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．
（2）对于有限多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是
处理排列、组合的综合问题的一般方法．
例、解不等式 .变式1．若 ，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
变式2．计算 ＋ ＋ ＋ ＋ 的值为（ ）
A． B．
C． －1 D． －1
变式3．若整数 满足 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或3
1． 可表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3． ！除以2019的余数为（ ）
A．1 B．2018 C．2017 D．前三个答案都不对
4．甲，乙，丙3位同学从即将开设的4门校本课程中任选一门参加，则他们参加的校本课程各不相同的概
率为（ ）
A． B． C． D．
5．若 ，则n等（ ）
A．8 B．4 C．3或4 D．5或6
6．若 ，则正整数 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．107．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知 ，客运车票增加了62种，则现
在车站的个数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
8．不等式 的解集为（ ）
A．{2，8} B．{2，6}
C．{7，12} D．{8}
9．若 ，则 .
10．已知 ，求x的值．
11．解关于正整数x的不等式 ．
12．解关于正整数n的方程： ．
13．已知 ，且 .求 的值.
14．（1）解不等式 ．
（2）若 ，求正整数n．
15．（1）若 ，则x= .
（2）不等式 的解集为 .
易错点四：实际问题不清楚导致计算重复或者遗漏致误
（加法与乘法原理）
正难则反问题
技巧总结
正难则反排除处理：对于正面不好解决的排列、组合问题，考虑反面(取补集的思想)，一般在题目中有字
眼“至多、至少”等体现。
正规方法：限制（定位）问题优先处理：某个（几个）元素要排在指定位置，可先排这个（几个）元素，再排其它元素，或某个（几个）位置要求排指定元素，可先排这个（几个）位置，再排其它位置。（即可
从限制元素或限制位置两方面去考虑。）。
秒杀方法：对立事件处理+韦恩图解释
模型：7个同学站队，要求甲同学不站在排首，乙同学不站在排尾，求站队的总方案数.
{包含合理的方案
破解：①全部方案： A7, 包含不合理的方案
7
{1、甲站在排首的情况：A6 (含乙站在排尾的情况)
6
②其中不合理的方案
2、乙站在排尾的情况：A6 (含甲站在排首的情况)
6
3、甲站在排首、乙站在排尾的情况：A5
5
A7 −A6 −A6 +A5 =3720
则 7 6 6 5 种方案.
解释：
易错提醒：排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以我们在解决这类
问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素原则、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、
正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时，解答组合问题必须心思细腻，考虑周全，
这样才能做到不重不漏，正确解题．
例、有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等
品的不同取法有多少种？
变式1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面点，不同取法有 种。变式2：从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同
的组队方案共有 ( )
A.70种 B.80种 C.100种 D.140种
变式3：定义“规范01数列” {a n } 如下： {a n } 共有 2m 项，其中 m 项为0， m 项为1,且对任意 k≤2m ，
a
1
,a
2
,⋅¿⋅,a
k中0的个数不少于1的个数。若
m=4
，则不同的“规范01数列”共有 ( )
A.18个 B.16 C.14个 D.12个
1．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导
交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方染共有（ ）
A．60种 B．90种 C．125种 D．150种
2．某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A，B，C三家医院接种疫苗，每家医院每日至多接待两
个单位.已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C
医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是（ ）
A． B．120 C．240 D．720
4．用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数
的个数为（ ）
A．81 B．48 C．36 D．24
5．从4名优秀学生中选拔参加池州一中数学、物理、化学三学科培优研讨会，要求每名学生至多被一学科
选中，则每学科至少要选用一名学生的情况有（ ）种
A．24 B．36 C．48 D．60
6．将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有
（ ）
A．30种 B．90种 C．180种 D．270种7．哈六中高一学习雷锋志愿小组共有 人，其中一班、二班、三班、四班各 人，现在从中任选 人，要
求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选 人，不同的选取法的种数为
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法
B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有24种报名方法
C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有64种可能的结果
D．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为
12个
9．如图，线路从 到 之间有五个连接点，若连接点断开，可能导致线路不通，现发现 之间线路不通，
则下列判断正确的是（ ）
A．至多三个断点的有 种 B．至多三个断点的有 种
C．共有 种 D．共有 种
10．某班有5名同学报名参加校运会的四个比赛项目，计算在下列情况下各有多少种不同的报名方法.
（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；
（2）每项限报一人，每项都有人报名，且每人至多参加一项；
（3）每人限报一项，人人参加了项目，且每个项目均有人参加.
11．已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品．
（1）若在第5次测试时找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？
（2）若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？
12．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作
需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项
目，那么共有 种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）
13．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开四个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每
班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有 （用数字作答）
14．某单位有A、B、C、D四个科室，为实现减负增效，每科室抽调2人，去参加再就业培训，培训后这
8人中有2人返回原单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，问共有 种不同的安排方法？易错点五：均匀分组与不均匀分组混淆致误（相同元素与不同元素分配问
题）
不同元素分组分配问题
技巧总结
分组问题与分配问题
Ⅰ：将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.
分组问题共分为3类：不平均分组、平均分组、部分平均分组.
将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题.
分配问题共分为2类：定额分配、随机分配.
区别：分组问题是组与组之间只要元素个数相同，是不区分的.而分配问题即使两组元素个数相同，但因
对象不同，仍然是可区分的，对于分配问题必须先分组后分配.
Ⅱ：分组问题的常见形式及快速处理方法
①非均匀不编号分组：n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不管是
否分完，其分法种数为：
m m m m
N=C 1⋅C 2 ¿C 3 ¿⋯⋯⋅C m
n n−m 1 n−(m 1 +m 2) n−(m 1 +m 2 +⋯⋯m m−1)
如：6个不同的球分为3组，且每组数目不同，有多少种情况？
C1 ⋅C2 ⋅C3 =6×10×1=60
6 5 3
②均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其
N
分法种数为Ar （N 为非均匀不编号分组的分法种数）.如果再有k组均匀分组，应再除以Ak.除的原因为：
r k
[1,2]、[3,4]、[5,6]
如：123456平均分成3组，可能是
[1,2]、[5,6]、[3,4] [5,6]、[3,4]、[1,2]
A3
也可能是 或者是 等，一共有 3种不同的组别，但这些组都是一样的，所以A3
除以 3.
A、B、C、D C2 ⋅C2 =6 {[A、B],[C、D]}
如： 两两一组，分两组，若直接用 4 2 种，但列举出来的分别为 、
{[A、C],[B、D]} {[A、D],[B、C]}
、 再往下列举就已经重复了.
{[B、C],[A、D]} {[B、D],[A、C]} {[C、D],[A、B]}
如： 、 、 .
如：6个不同的球分为3组，且每组数目相同，有多少种情况？
N 90
N=C2 ⋅C2 ⋅C2 =90,种数= = =15
6 4 2 A3 6 .
3
③非均匀编号分组：将n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种
N⋅Am
N
数为 m（ 为非均匀不编号分组的分法种数）
④均匀编号分组：将n个不同元素分成m组，各组元素数目均相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为
N⋅Am
m
Ar （
N
为非均匀不编号分组的分法种数）.
r
易错提醒：均匀分组和部分均匀分组在计数过程中易出现重复现象，注意计算公式的应用．重复的次数是
均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以 ．
例、将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少一本的不同分法共有______种．（用数字作
答）
变式1：12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有
( )种。
A. B.3 C. D.
变式2：将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( )
A.12种 B.10种 C.9种 D.8种
变式3：某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少
安排一个班，不同的安排方法共有 种。（用数字作答）
1．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人
报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需 1名志愿
者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
2．从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个
袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有（ ）
A．42种 B．36种 C．72种 D．46种
3．阳春三月，草长莺飞，三个家庭的3位妈妈和1位爸爸带着3位女宝宝和2位男宝宝共9人踏春.在沿行
一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，宝宝不排最前面也不排最后面，为了方便照顾孩子，每两位
大人之间至多排2位宝宝，由于男宝宝喜欢打闹，由这位爸爸照看且排在2位男宝宝之间.则不同的排法种
数为（ ）
A．216 B．288
C．432 D．512
4．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多
安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（ ）
A．20种 B．30种 C．50种 D．60种
5．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲､乙等6人报名参加了 ､ ､ 三个项目的志愿者工作，因工作需
要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加 ､ 项目，乙不能参加 ､ 项目，
那么共有（ ）种不同的选拔志愿者的方案.
A．36 B．40 C．48 D．52
6．现有甲､乙､丙3位同学在周一至周五参加某项公益劳动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要
求甲同学安排在另外两位前面，则不同的安排总数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．60
7．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ）
A．20种 B．30种 C．40种 D．60种
8．甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好
甲安排在另外两位教师前面值班的概率是
A． B． C． D．
9．从2个不同的红球，2个不同的黄球，2个不同的蓝球共6个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个
袋子中，每个袋子至多放入1个球，且球色与袋色不同，则不同的放法有 种．
10．将2枚白棋和2枚黑棋放入一个 的棋盘中，使得棋盘的每个方格内至多放入一枚棋子，且相同颜
色的棋子既不在同一行，也不在同一列，如果我们只区分颜色而不区分同种颜色的棋子，则不同放法的种
数为 ．
11．现有红、黄、白三种颜色的小球（形状、大小完全相同）5个，每种颜色至多2个小球，若将这5个
小球排成一排，要求中间位置不放白球，且同种颜色的小球不相邻，则共有 种排法．
12．把座位编号为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两
张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为 (用数字作答)．
13．全运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加 、 、 三个项目的志愿者工作．因工作需要，
每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加1个项目，若甲不能参加 、 项目，乙不能参加 、 项目，
那么共有多少种不同的选拔志愿者的方案？
14．某电影院一排有10个座位，现有4名观众就座.
（1）若4名观众必须相邻，则不同的坐法有多少种？
（2）若4名观众中恰有两人相邻，则不同的坐法有多少种？
（3）若4名观众两两不相邻，且要求每人左右两边至多只有2个空位，则不同的坐法有多少种？
15．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中.
(1)有多少种放法?
(2)若每盒至多一球,则有多少种放法?
(3)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?
(4)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法?
易错点六：由于重复计数致错（可重复与限制问题）
可重复问题总原则：可重复问题方幂处理(乘法原理）
Ⅰ：解决排列组合综合问题的一般过程
（1）认真审题，确定要做什么事；
（2）确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多
少步；
（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元
素；
（4）解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．
Ⅱ：数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某
元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即
优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨
论．
Ⅲ：定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被
限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：
（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；
（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．
易错提醒：解排列组合的应用题，要注意：由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此
在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方
法求解，看看是否相同．在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复．
例、从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到 的不同值的
个数是（ ）
A．9 B．10 C．18 D．20
变式1.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小
组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )1 1 2 3
A.3 B.2 C.3 D.4
变式2.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同
学参加公益活动的概率为 ( )
1 3 5 7
A.8 B.8 C.8 D.8
变式3.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的 6个爻组成，爻
分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，下图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则
该重卦恰有 个阳爻的概率是 ( )
A. B. C. D.
1．2023年6月25日19时，随着最后一场比赛终场哨声响起，历时 17天的．2023年凉山州首届“火洛
杯”禁毒防艾男子篮球联赛决赛冠军争夺赛在凉山民族体育馆内圆满闭幕，为进一步展现凉山男儿的精神
风貌主办方设置一场扣篮表演，分别由西昌市、冕宁县、布拖县、昭觉县4个代表队每队各派1名球员参
加扣篮表演，则西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．“缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲､
乙､丙､丁､戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能
第三个出场，则一共有（ ）种不同的出场顺序.
A．72 B．78 C．96 D．1203．将甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区做环保宣传，每个志愿者只能去其中
一个社区且每个社区只能安排一名志愿者，则甲不被分到A社区的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要
排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有 种．
5．某医院选派甲、乙等4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，且甲、
乙不在同一个乡镇，则不同的选派方法有 种．
6．首个全国生态主场日活动于2023.8.15在浙江湖州举行，推动能耗双控转向碳排放双控．有A，B，C，
D，E，F共6项议程在该天举行，每个议程有半天会期．现在有甲、乙、丙三个会议厅可以利用，每个会
议厅每半天只能容纳一个议程．若要求A，B两议程不能同时在上午举行，而C议程只能在下午举行，则
不同的安排方案一共有 种．（用数字作答）
7．填空：
（1）甲、乙、丙3名同学选修兴趣课程，从5门课程中，甲选修2门，乙选修4门，丙选修3门，则不同
的选修方案共有 种．
（2）H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，
这样的牌照号码共有 种．
（3）4名教师分配到3所学校任教，每所学校至少1名教师，则不同的分配方案共有 种．
（4）五人并排站成一排，甲、乙必须相邻且甲在乙的左边，则不同的站法共有 种．
（5）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前
3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有 种．
8．某公司为员工制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览，如果M，N为必选城市，并
且在游览过程中必须按先M后N的次序，则不同的游览线路有多少种？
9．用 可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5整除的五位数有多少个？
10．某单位安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日，共有多少种不同的安排方法？
