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四点共圆2
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
精讲精炼
【例1】
已知四边形ABCD 为凸四边形，AC 与BD、BA 与CD、CB 与DA 分别交于点O、P、Q，点O 在PQ 上的投影为R．
证明：点R 在四边形ABCD 的四条边所在的直线上的投影共圆．
【例2】
在锐角△ABC 中，已知过点C 作CD⊥AB 于点D，E 为CD 上任意一点，过D 分别作AC、AE、BE、BC 的垂线，垂
足依次为P、Q、R、S．证明：P、Q、R、S 四点共圆或共线．
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第4 讲
四点共圆2
【例3】
在锐角△ABC 中，已知点D 在边AB 上，△BCD、△ADC 的外接圆分别与边AC、BC 交于点E、F．设△CEF 的外
心为O．证明：△ADE、△ADC、△DBF、△DBC 的外心与D、O 六点共圆，且OD⊥AB．
【例4】
已知O 为锐角△ABC 内一点，点O 在BC,AC,AB 上的投影分别为A1,B1,C1，过点A,B 分别作B1C1,A1C1 的垂
线并交于点P．若P 在AB 上的投影为H，证明：A1,B1,C1,H 四点共圆．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例5】
梯形ABCD 内接于圆Γ，满足AB//CD，G 为△BCD 内一点，射线AG、BG 分别与圆Γ 交于点P、Q，过G 且平行
于AB 的直线分别与BD、BC 交于点R、S．证明：P、Q、R、S 四点共圆的充分必要条件是BG 平分∠CBD．
【例6】
已知四边形ABCD 内接于圆Γ，I、J、K 分别为△ABC、△ACD、△ABD 的内心，令E 是弧
⌢
DAB 的中点，直线EK 与
圆Γ 交于点F．证明：C、F、J、I 四点共圆．
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第4 讲
四点共圆2
【例7】
给定△ABC 及其外接圆．证明：△ABC 的外接圆上对径的两点对应的西姆松线相互垂直，且其交点在△ABC 的
九点圆上．
【例8】
已知⊙O1、⊙O2 交于点MN，靠近M 的公切线分别与⊙O1、⊙O2 切于点A、B，C、D 分别是点AB 关于M 的
对称点，△DCM 的外接圆与⊙O1、⊙O2 分别交于不同于M 的点E、F．证明：△MEF 和△NEF 的外接圆半径相等．
