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三角形特殊点2
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
精讲精炼
【例1】
已知非等边△ABC，∠A、∠B 的角平分线分别与对边交于点K、L，△ABC 的内心、外心、垂心分别为I、O、H．给出
下列两个命题．
（1）KL 为△ALI、△BHI、△BKI 的外接圆的切线；
（2）A、B、K、L、O 五点共圆．
证明：命题(1) 和命题(2) 是等价的．
【例2】
设O 为锐角△ABC 的外心，∠B < ∠C，直线AO 与边BC 交于点D，△ABD、△ACD 的外心分别为点E、F，延长
BA 和CA，在延长线上分别取点G、H，使得AG = AC，AH = AB．证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是
∠ACB−∠ABC = 60◦．
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第6 讲
三角形特殊点2
【例3】
已知半径为r 的圆上依次有五个不同的点A、B、C、D、E，且AC = BD = CE = r，有一个以△ACD、△BCD、△BCE
的垂心为顶点的三角形．证明：该三角形为直角三角形．
【例4】
设四边形ABCD 有内切圆，过点A 的直线l 与线段BC、DC 分别交于点M、N、I1、I2、I3 分别为△ABM、△MNC、
△NDA 的内心．证明：△I1I2I3 的垂心在直线l 上．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例5】
已知△ABC 的外接圆半径等于∠A 内的旁切圆半径，∠A 内的旁切圆与边BC、AC、AB 分别切于点M、N、L．证明：
△ABC 的外心O 即为△MNL 的垂心．
【例6】
设I 为△ABC 的内心，A1、B1、C1 分别为线段AI、BI、CI 上的任意点，A2、B2、C2 分别为线段BB1 与CC1、AA1 与
CC1、AA1 与BB1 垂直平分线的交点．证明：△ABC 与△A2B2C2 的外心重合的充分必要条件是I 为△A1B1C1 的
垂心．
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第6 讲
三角形特殊点2
【例7】
如图，已知△ABC 的外心为O，A′、B′、C′ 分别为边BC、CA、AB 上的点，且满足△AB′C′、△BC′A′、△CA′B′ 的外接
圆均过点O．以B′ 为圆心、B′C 为半径的圆和以C′ 为圆心、C′B 为半径的圆的根轴为la，类似地定义lb、lc．证明：
直线la、lb、lc 交出的三角形的垂心与△ABC 的垂心重合．
【例8】
设D 为锐角△ABC 外接圆圆Γ 上弧
⌢
BC 的中点，点X 在弧
⌢
BD 上，E 为弧
⌢
ABX 的中点，S 为弧
⌢
AC 上一点，直线
SD 与BC 交于点R，SE 与AX 交于点T．若RT//DE，证明：△ABC 的内心在直线RT 上．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例9】
圆Γ 内切于四边形ABCD，I 为圆Γ 的圆心，且满足(AI +DI)2 +(BI +CI)2 = (AB+CD)2．证明：四边形ABCD 为
等腰梯形．
【例10】
记G、O 分别为△ABC 的重心、外心，GA、GB、GC 的中垂线两两交于点A1、B1、C1．证明：O 为△A1B1C1 的重心．
