文档文本内容
2
点共线线共点
Part 1 点共线
Part 2 线共点
8
高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
Part 1 点共线
精讲精炼
【例1】
在锐角△ABC 中，已知A1、B1、C1 分别为边BC、CA、AB 的中点，△ABC 的垂心、外心分别为H、O，HA1、HB1、HC1
分别与△ABC 的外接圆交于点A0、B0、C0．证明：O、H、H0 三点共线，其中，H0 为△A0B0C0 的垂心．
【例2】
已知⊙O 为钝角△ABC(∠B > 90◦) 的外接圆，过点C 作⊙O 的切线与AB 的延长线交于点B1．设O1 为△AB1C
的外心，在线段BB1 上任取一点B2（B2 不同于点B、B1）．过B2 作⊙O 的切线，切点为C1（C1 靠近点C），O2
为
⌢
AB2C1 的外心．若OO2⊥AO1，证明：A、C、O2 三点共线．
9
第2 讲
点共线线共点
【例3】
设△ABC 是非等腰三角形，其内切圆为圆Γ，圆Γ 与三边BC、CA、AB 分别切于点D、E、F．若FD、DE、EF 分别
与CA、AB、BC 交于点U、V、W，DW、EU、FV 的中点分别为L、M、N．证明L、M、N 三点共线．
【例4】
已知锐角△ABC 的外接圆为圆Γ′，边AC、AB 的中点分别为B0、C0，点A 在边BC 上的投影为D，G 为△ABC 的
重心．设过点B0、C0 的圆Γ 与圆Γ′ 切于点X(点X 与A 不重合)．证明：D、G、X 三点共线．
10
高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例5】
在△ABC 中，已知∠A = 60◦，BB1、CC1 分别为∠B、∠C 的角平分线．证明：顶点A 关于直线B1C1 的对称点在边
BC 上．
11
第2 讲
点共线线共点
Part 2 线共点
精讲精炼
【例6】
在△ABC 中，已知P、Q 分别为边AB、AC 上点，且使得∠APC = ∠AQB = ∠45◦，过P 作边AB 的垂线与BQ 交于
点S，过Q 作边AC 的垂线与CP 交于点R．设D 为边BC 上的点，且使得AD⊥BC．证明：PS、AD、QR 三线共点，
且SR//BC．
【例7】
设X、Y、Z 分别是菱形ABCD 边AB、BC、CD 上的点，且使得XY//AZ．说明：XZ、AY、BD 三线共点．
12
高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例8】
已知凸六边形A1A2A3A4A5A6 所有的角均为钝角，Γi 圆(1 ⩽i ⩽6) 的圆心为Ai，且圆分别与圆Γi−1 和圆Γi+1 相
外切，其中，Γ0 = Γ6，Γ1 = Γ7．设过圆Γ1 的两个切点所连直线与过圆Γ3 的两个切点所连直线相交，且过这个交
点与点A2 的直线为e；类似地，由圆Γ3、圆Γ5 和A4 定义直线f，由圆Γ5、圆Γ1 和A6 定义直线g．证明：e、f、g
三线共点．
【例9】
设⊙I 是以△ABC 的内心I 为圆心的一个圆，点D、E、F 分别是从I 出发垂直于边BC、CA 和AB 的直线与⊙I
的交点．求证：AD、BE 和CF 三线共点．
