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几何综合
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
精讲精炼
【例1】
在凸四边形ABCD 所在的平面上，是否存在一点E 使得△ABE ∼△CDE？
【例2】
证明: 存在无穷多个直角三角形, 其边长为互素的正整数, 且斜边与每一直角边的差均为完全立方数．
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第15 讲
几何综合
【例3】
在△ABC 中，已知∠B、∠C 的角平分线分别为BE、CD．其中，点D、E 分别在边AB、AC 上，设DE 的中点P 在边
BC、AB、AC 上的投影分别为Q、M、N．证明：PQ = PM +PN．
【例4】
已知凸五边形ABCDE 满足BC//AE，AB = BC+AE，∠ABC = ∠CDE，M 为边CE 的中点，O 为△BCD 的外心，且
∠DMO = 90◦．证明：2∠BDA = ∠CDE．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例5】
一个凸多边形P 被它所有的对角线分成一些小凸多边形，且P 满足：它的所有的边和对角线的长度均为有理数．
证明：所有小凸多边形的边长均为有理数．
【例6】
已知锐角△ABC．
（1）求△ABC 的内接矩形的中心的运动轨迹．
（2）是否存在一点，使其为△ABC 的三个不同的内接矩形的中心？
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第15 讲
几何综合
【例7】
在△ABC 中，已知X 是直线BC 上的动点，且点C 在B、X 之间，又△ABX、△ACX 的内切圆有两个不同的交点
P、Q．证明：PQ 经过一个不依赖于点X 的定点．
【例8】
已知△ABC 为确定的三角形，A1、B1、C1 分别为边BC、CA、AB 的中点，P 为△ABC 外接圆圆Γ 上的动点，PA1、
PB1、PC1 分别与圆Γ 交于另外的点A′、B′、C′．若A、B、C、A′、B′、C′ 是不同的点，则直线AA′、BB′、CC′ 交出一个
三角形．证明：该三角形的面积不依赖于点P．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例9】
求正三角形内的点P 的轨迹，使得√h1 +√h2 = √h3，其中，h1、h2、h3 分别为点P 到三角形三边的距离．
【例10】
求最小的正实数k，满足下列性质：四边形ABCD 为凸四边形，点A1、B1、C1、D1 分别在边AB、BC、CD、DA 上．考
虑△AA1D1、△BB1A1、△CC1B1、△DD1C1 的面积，设最小的两个面积之和为S，四边形A1B1C1D1 的面积为S1，则
总有kS1 ⩾S．
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第15 讲
几何综合
【例11】
已知一个简单多边形(不自交，但不必要为凸的)．证明：存在一条全在多边形内部的对角线，其将多边形的边界分
成两部分(两部分有两个公共点)，每部分至少有多边形的顶点数目的1
3．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
本讲重点：
学习心得：
本讲总结
