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几何变换
Part 1 合同变换
Part 2 位似变换
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
Part 1 合同变换
精讲精炼
【例1】
在梯形ABCD 中，AB//CD，AC、BD 交于E，F 为AB 上一点且DF = CF，若△ADF 与△FBC 的外心为O1、O2，
求证：O1O2⊥EF．
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第8 讲
几何变换
【例2】
设I 为△ABC 的内心，E 是△ABC 的外接圆上
⌢
BC 的中点，F 是边BC 的中点，M、N 分别是线段BI、EF 的中点，
MN 与BC 交于点D．求证：∠ADM = ∠MDB．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例3】
设D 是锐角△ABC 内部的一点，使得∠ADB=∠ACB+90◦，并有AC ·BD = AD·BC．
（1）计算比值AB·CD
AC ·BD；
（2）求证：△ACD 的外接圆和△BCD 的外接圆在C 点的切线互相垂直．
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第8 讲
几何变换
【例4】
已知凸六边形A1A2A3A4A5A6 中，A1A2 = A2A3，A3A4 = A4A5，A5A6 = A6A1，∠A1 +∠A3 +∠A5 = ∠A2 +∠A4 +∠A6．
求证：
（1）S△A2A4A6 = 1
2SA1A2A3A4A5A6；
（2）∠A6A2A4 = 1
2∠A2，∠A2A4A6 = 1
2∠A4，∠A2A6A4 = 1
2∠A6．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
Part 2 位似变换
知识点睛
设O 为平面上一点，k 是一个非零常数．若平面上存在一个几何变换，使得任意一点A 与其像点A′ 之间，恒有
−→
OA′ = k ·−→
OA（若k > 0，A、A′ 在O 为同侧；若k < 0，A、A′ 在O 为异侧），则这个几何变换称为位似变换，其中O
称为位似中心，k 称为位似比．
设O 为平面上一点，k 是一个非零常数，θ 为一个角度．若平面上存在一个几何变换，使得任意一点A 与其像点
A′ 之间，恒有：
(1) −→
OA′ = k ·−→
OA（若k > 0，A、A′ 在O 同侧；若k < 0，A、A′ 在O 异侧），
(2) ∠AOA′ = θ（保持A、O、A′ 的顺序为顺时针或逆时针）
则这个几何变换称为旋转位似变换，其中O 称为旋转位似中心，k 称为位似比，θ 称为旋转角．
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第8 讲
几何变换
精讲精炼
【例5】
在矩形ABCD 的边AB，BC，CD，DA 上分别取异于顶点的点K，L，M，N．已知KL//MN，KM⊥NL 于O．证明：KM
和LN 的交点在矩形的对角线BD 上．
【例6】
四边形ABCD 的对边AD，BC 延长交于E，AB，CD 延长交于F．O 为其对角线交点，过O 作AB 的平行线OQ 交
EF 于Q，交DF 于G．求证：OG = GQ．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例7】
△A1A2A3 是一个非等腰三角形，它的边长分别为a1，a2，a3，其中ai 是Ai 的对边(i = 1,2,3)，Mi 是边ai 的中点，
△A1A2A3 的内切圆⊙I 切边ai 于Ti 点，Si 是Ti 关于∠Ai 的平分线的对称点．求证：M1S1，M2S2，M3S3 三直线
共点．
【例8】
如图，⊙O1 与⊙O2 外切于点A，半径分别为r1 和r2，PB，PC 分别为⊙O1，⊙O2 的切线，B，C 为切点，且PB : PC
= r1 : r2，又PA 交⊙O2 于E 点．求证：△PAB ∼△PEC．
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第8 讲
几何变换
【例9】
设点O 为锐角△ABC 的外心，分别以△ABC 三边的中点为圆心作过点O 的圆，这三个圆两两的异于O 的交点
分别为K、L、M．证明：O 为△KLM 的内心．
【例10】
设△ABC 的内切圆分别与A、B、C 的对边切于D、E、F，求证：△ABC 的外心O、内心I 与△DEF 的垂心H 共线．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例11】
已知△XYZ 的三个顶点X、Y、Z 分别在A、B、C 的对边上且△XYZ ∼△ABC．设△XYZ 的外心为O，求证它到两
个三角形的垂心等距．
【例12】
设△ABC 的旁心为IB 与IC，P 是△ABC 的外接圆上一点．求证：△ABC 的外心为△IBAP 与△ICAP 的外心连线
的中点．
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第8 讲
几何变换
本讲重点：
学习心得：
本讲总结
