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磨光法与局部调整法
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高中/ 数学/ CMO 代数班
精讲精炼
【例1】
设整数n ⩾2，正实数x1，x2，···，xn 满足(x1 +x2 +···+xn)·
(
1
x1
+ 1
x2
+···+ 1
xn
)
= n2 +1．
求证：
(
x2
1 +x2
2 +···+x2
n
)
·
(
1
x2
1
+ 1
x2
2
+···+ 1
x2
n
)
⩾n2 +4+
2
n(n−1)．
【例2】
a
1+9bc+k(b−c)2 +
b
1+9ca+k(c−a)2 +
c
1+9ab+k(a−b)2 ⩾1
2
对满足a+b+c = 1 的任意非负实数a，b，c 均成立，求实数k 的最大值．
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第10 讲
磨光法与局部调整法
【例3】
设a，b，c 是不全为0 的非负数，且a+b+c = 1，求证：f (a,b,c) = ∑
cyc
1
√
a2 +ab+b2 ⩾4+ 2
√
3．
【例4】
设正实数a、b、c、d 满足abcd = 1，求证：1
a + 1
b + 1
c + 1
d +
9
a+b+c+d ⩾25
4 ．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例5】
假设有实数a1，a2，···，an，若a1，a2，···，an ⩾k(n−k −1)
kn−k −1 ，k > 1 且a1a2 ···an = 1．
证明：1
a1 +k +
1
a2 +k +···+
1
an +k ⩽
n
1+k．
【例6】
假设有实数a1，a2，···，an，若a1 ⩾1 ⩾a2 ⩾··· ⩾an，a1a2 ···an = 1．
证明：1−a1
3+a2
1
+ 1−a2
3+a2
2
+···+ 1−an
3+a2
n
⩾0．
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第10 讲
磨光法与局部调整法
【例7】
设a1，a2，···，an 是正实数，若a1a2 ···an = 1，
证明：
√
(n−1)
(
a2
1 +a2
2 +···+a2n
)
+n−
√
n(n−1) ⩾a1 +a2 +···+an．
【例8】
a1，a2，···，an ⩾1
∏
(
a1 + 1
a2
+n−2
)
⩾nn−2 (a1 +a2 +···+an)
(
1
a1
+ 1
a2
+···+ 1
an
)
．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例9】
a1 ⩽a2 ⩽··· ⩽an 实数
(a1 +a2 +···+an)2 ⩾n(a1ak+1 +a2ak+2 +···+anan+k)，对n = 2k 成立
【例10】
a1，···，an ∈[−1,1]，求证
(
1−a1a2 +a2
2
)(
1−a2a3 +a2
3
)
···
(
1−ana1 +a2
1
)
⩾1．
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第10 讲
磨光法与局部调整法
【例11】
给定正整数n ⩾2，求最小的实数λ，使得对任意实数a1 ⩾a2 ⩾··· ⩾an ⩾0，有
n
∑
k=1
(
a1 +a2 +···+ak −k k√a1a2 ···ak
)2 ⩽
λ
n
∑
k=1
a2
k．
【例12】
设a1，a2，···，an，··· 是一个不减的正整数序列，对于m ⩾1，定义bm = min{n,an ⩾m}，即bm 是使an ⩾m 的n 的
最小值．若已知a19 = 85，求a1 +a2 +···+a19 +b1 +b2 +···+b85 的最大值．
