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局部不等式
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高中/ 数学/ CMO 代数班
精讲精炼
【例1】
a，b，c，d，e，f ∈[1,3]，求证：a−b
b+c + b−c
c+d + c−d
d +e + d −e
e+ f + e−f
f +a + f −a
a+b ⩾0．
【例2】
a1，···，an > 0，an+1 = a1，求证：
n
∑
i=1
ai+1
ai
⩾
n
∑
i=1
√
a2
i+1 +1
a2
i +1 ．
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第11 讲
局部不等式
【例3】
设n 是正整数，且n ⩾3．又设a1，a2，···，an 是实数，其中2 ⩽ai ⩽3，i = 1，2，···，n．若取S = a1 +a2 +···+an，求
证：a2
1 +a2
2 −a2
3
a1 +a2 −a3
+ a2
2 +a2
3 −a2
4
a2 +a3 −a4
+···+ a2
n +a2
1 −a2
2
an +a1 −a2
⩽2S−2n．
【例4】
设n 个集合S1，S2，···，Sn 的元素由非负整数构成，xi 为Si 的所有元素之和．求证：若对某个自然数k，
1 < k < n，有
n
∑
i=1
xi ⩽
1
k +1 ·
[
kn(n+1)(2n+1)
6
−(k +1)2 n(n+1)
2
]
，则存在下标i、j、t、l(至少有三个互不相
同)，使得xi +x j = xt +xl．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例5】
设正整数n ⩾2，已知n 个正数v1，v2，···，vn 满足下列两个条件：
(1)v1 +v2 +···+vn = 1；
(2)v1 ⩽v2 ⩽··· ⩽vn ⩽2v1．
求v2
1 +v2
2 +···+v2
n 的最大值．
【例6】
已知a，b，c > 0，a+b+c = 1，求证：
1
1−
√
ab
+
1
1−√ac +
1
1−
√
bc
⩽9
2．
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第11 讲
局部不等式
【例7】
设a1，a2，···，an 是n 个实数，记bk = 1
k (a1 +a2 +···+ak)，k = 1，2，···，n，C = (a1 −b1)2 + (a2 −b2)2 + ··· +
(an −bn)2，D = (a1 −bn)2 +(a2 −bn)2 +···+(an −bn)2．求证：C ⩽D ⩽2C．
【例8】
设δ (x) 是正整数x 的最大奇因子，对于任意正整数x，求证：
x
∑
n=1
δ (n)
n
−2
3x
< 1．
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高中/ 数学/ CMO 代数班
【例9】
在一圆周上写上N 个自然数(n ⩾3)，使得与其中每一个数相邻的两数之和与该数的比都是自然数，记所有这些
比值之和为Sn，求证：2n ⩽Sn < 3n．
【例10】
已知数列{rn} 满足r1 = 2，rn = r1r2 ···rn−1 +1，n = 2，3，···．如果自然数a1，a2，···，an 满足1
a1
+ 1
a2
+···+ 1
an
< 1，
求证：1
a1
+ 1
a2
+···+ 1
an
⩽1
r1
+ 1
r2
+···+ 1
rn
．
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第11 讲
局部不等式
【例11】
设实数a1，a2，···，an 和b1，b2，···，bn 满足
a1 ⩾a2 ⩾··· ⩾an > 0，
b1 ⩾a1，
b1b2 ⩾a1a2，
b1b2b3 ⩾a1a2a3，
···
b1b2 ···bn ⩾a1a2 ···an．
求证：b1 +b2 +···+bn ⩾a1 +a2 +···+an，
并确定等号成立的条件．
【例12】
设n 是大于2 的自然数．求证：当且仅当n = 3 或n = 5 时，对任意实数a1，a2，···，an 下面的不等式成立：
n
∑
i=1
(ai −a1)···(ai −ai−1)(ai −ai+1)···(ai −an) ⩾0．
