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大市联考卷（三）
数 学
满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知命题 ， ，命题 ， ，则（ ）
A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
3.已知 ， 为全集 的非空真子集，且 ， 不相等，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.法国当地时间2024年7月26日晚，第三十三届夏季奥林匹克运动会在巴黎举行开幕式.“奥林匹克之
父”顾拜旦曾经说过，奥运会最重要的不是胜利，而是参与；对人生而言，重要的不是凯旋，而是拼搏.为
弘扬奥运精神，某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答题活动.为了调查男生和女生对奥运会的关注程
度，在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩（满分100分），按从低到高的顺序排列，得
到下表中的样本数据：
男生 82 85 86 87 88 90 90 92 94 96
女生 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92
则下列说法错误的是（ ）
A.男生样本数据的 分位数是86
B.男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数
C.女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变
D.女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变
6.已知 是 所在平面内一点，且 ，若 ，则 （ ）A. B. C. D.
7.已知体积为 的球 与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为 .则该正
四棱锥体积是（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线 ，在双曲线 上任意一点 处作双曲线 的切线 ，交 在
第一、四象限的渐近线分别干 ， 两点.当 时.该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知数列 的通项公式为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 是数列 的最小项 B. 是数列 的最大项
C. 是数列 的最大项 D.当 时，数列 单调递减
10.已知抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴交于点 ，过点 作斜率为 的直线 与
交于 ， 两点.若直线 经过点 ，则（ ）
A. B.
C. D. 的取值范围是
11.若函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A.若 ，则函数 的最大值为2
B.若 ，则函数 为奇函数
C.存在 ，使得D.若 ，则 ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知 ， ，则 ________.
13.记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则 ________.
14.以 表示数集 中最大（小）的数.设 ， ， ，已知 ，则
________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， .
（1）求角 的大小；
（2） 为 的重心， 的延长线交 于点 ，且 ，求 的面积.
16.（15分）已知四棱柱 中，底面 为梯形， ， 平面 ，
其中 ， . 是 的中点， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角余弦值.
17.（15分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在 上，
，过点 作两条斜率互为相反数的直线，分别交 于不同的两点 ， .（1）求 的标准方程；
（2）证明：直线 的斜率为定值，并求出该值.
18.（17分）已知函数 .
（1）函数 与 的图象关于 对称，求 的解析式；
（2） 在定义域内恒成立，求 的值；
（3）求证： ， .
19.（17分）有编号为 的 个空盒子（ ， ），另有编号为 的 个球（
， ）将 个球分别放入 个盒子中，每个盒子最多放入一个球.放球时，先将1号球随机放
入 个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的
盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒
子中的其中一个.记 号球能放入 号盒子的概率为 .
（1）求 ；
（2）当 时，求 ；
（3）求 .大市联考卷（三）
数学答案
1.A[命题立意]本题考查复数代数形式的加法运算，复数的除法运算，共轭复数的概念及计算，意在考查数
学运算等学科素养.
[解题思路] ，故选A.
2.C[命题立意]本题考查判断全称量词命题的真假，判断存在量词命题的真假，全称量词命题的否定及其真
假判断，存在量词命题的否定及其真假判断，意在考查逻辑推理等学科素养.
[解题思路]对于命题 ，因为 ，所以 ，所以命题 为真命题， 为假命题；对于命题 ，
当 时， ， ， 不成立，所以命题 为假命题， 为真命题.故选
C.
3.B[命题立意]本题考查判断两个集合的包含关系，交并补混合运算，利用Venn图求集合，意在考查数形
结合等学科素养.
[解题思路]因为 ，等价于 ，等价于 ，且 ， 不相等，可知集合
是集合 的真子集，故A错误；且 ，故B正确；据此作出韦恩图，
可知 ， ，故CD错误.
故选B.
4.D[命题立意]本题考查求在曲线上一点处的切线方程（斜率），基本初等函数的导数公式，导数的运算法
则，由奇偶性求参数，意在考查数学运算等学科素养.
[解题思路]因为 为奇函数，且定义域为 ，所以 ，即
，所以 ，经检验符合题意，则 ，曲
线 在点 处的切线斜率为 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .故选D.
5.D[命题立意]本题考查计算几个数的中位数、平均数、极差、方差，总体百分位数的估计，意在考查数据
分析等学科素养.[解题思路] ，所以男生样本数据的 分位数是86，故A正确；男生样本数据的中位数为
，男生样本数据的众数为90，故B正确；女生样本数据的平均数为
，女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得
数据的平均数为 ，故C正确；女生样本数据中去掉一个最高分和
一个最低分后所得数据的平均数不变，但是极差变小，所以方差变小，故D错误.故选D.
6.C[命题立意]本题考查平面向量的混合运算，利用平面向量基本定理求参数，意在考查转化与化归等学科
素养.
[解题思路]因为 ，所以 ，即 ，即
，又 ， ， 不共线，所以 所以 .故选C.
7.A[命题立意]本题考查球的体积的有关计算，多面体与球体内切外接问题，意在考查数形结合、直观想象
等学科素养.
[解题思路]设正四棱锥 的内切球的半径为 ， 为底面中心，由体积为 得
，连接 ， 平面 ，球心 在 上， ，取 的中点 ，连接 ，
，设 点在侧面 上的投影为 点，则 点在 上，且 ， ，设球
心到四棱锥顶点的距离为 ，所以 ， ，解得 ，所以
.故选A.8.A[命题立意]本题考查求直线交点坐标，已知双曲线的方程求双曲线的渐近线，求双曲线的离心率或离心
率的取值范围，意在考查数形结合、转化与化归、数学运算等学科素养.
[解题思路]如图，设双曲线 在点 处的切线为 ，切线 与 轴交于点 ，
根据题意点 在双曲线第一象限，由 ，得 ，所以 ，则在点
的切线斜率为 ，所以在点 的切线方程为 ，令
，得 ，所以点 ，设点 ， ，渐近线方程为 ，联立
解得 所以点 ，同理可得
，又 ， ，所以点 是线段
的中点，所以 ，即得 ，即 ，
解得 .又 ，所以 ，即 ，所以双曲线的离心率 .故选A.
9.BCD[命题立意]本题考查判断数列的增减性，确定数列中的最大（小）项，意在考查数学运算等学科素
养.[解题思路]设第 项为 的最大项，则
即
所以
又 ，所以 或 ，
故数列 中 与 均为最大项，且 ，当 时，数列 单调递减，故BCD正确；
当 趋向正无穷大时， 无限趋向于0且大于0，且 ，所以 不是数列
的最小项，且数列 无最小值，故A错误.故选BCD.
10.ABD[命题立意]本题考查抛物线中的参数范围问题，直线与抛物线交点相关问题，根据韦达定理求参数，
意在考查数形结合、数学运算等学科素养.
[解题思路]因为抛物线 的焦点为 ，且直线 经过点 ，所以 ，
则 ，解得： ，故A正确；
所以抛物线方程为： ，则 ，设过点 作斜率为 的直线 的方程为： ，联立
消去 可得： ，显然 ，
，解得 或 ，故C错误；由韦达定理可得：
， ，故B正确；因为 ， ，所以
，令 ，则 ，则 ，所以 的取值范围
是 ，故D正确.故选ABD.
11.ACD[命题立意]本题考查已知 求解析式，函数奇偶性的定义与判断，求含 （型）函数的
值域和最值，三角恒等变换的化简问题.意在考查转化与化归、知识迁移与创新应用等学科素养.
[解题思路]因为 ，可知 的定义域为 ，当 时，
，可得 ， ，当且仅当 时，等号成
立，所以函数 的最大值为2，故A正确；当 时，则 ，令 ，则
，可得 ，所以函数 不为奇函数，故B错误；当 时，
，则 ， ，且对任意 ， ，所以
，故C正确；因为 ，若
，可得
， ，则 ， ，解得 ， ，故D正确.故选
ACD.
12.[命题立意]本题考查三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系，用和、差角的正弦公式化简、求值，意在考查数学运算等学科素养.
[解题思路]由 ，
得
解得 ， ，
所以 .
[答案]
13.[命题立意]本题考查等比数列通项公式的基本量计算，等比数列的性质及应用，求等比数列前 项和，
意在考查数学运算等学科素养.
[解题思路]因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ， ，从而
，又 ，所以 ，所以 .
[答案]
14.[命题立意]本题考查基本不等式求和的最小值，意在考查逻辑推理、转化与化归等学科素养.
[解题思路]由 ，得 ，设 ，则 ， ，
，由
，当且仅当 时，取等号，所以.
[答案]
15.[命题立意]本题考查二倍角的正弦公式，正弦定理边角互化的应用，三角形面积公式及其应用，余弦定
理解三角形，意在考查数形结合、数学运算等学科素养.
[解]（1）在 中，因为 ，由正弦定理可得
， ， ，即 ，所以 ，
， ，故 ，即 .
（2）因为 为 的重心， 的延长线交 于点 ，且 ，所以点 为 中点，且
，在 中， ， ，即 ，在 和
中， ，化简得 ，所以
，故 ，所以 的面积为
.
16.[命题立意]本题考查证明线面平行，面面角的向量求法，意在考查数形结合、直观想象、逻辑推理等学
科素养.
[解]（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，由 是 的中点，得 ，且 ，由 是 的中点，得 ，且 ，则有 ， ，四边
形 是平行四边形，于是 ，又 平面 ， 平面 ，所以
平面 .
（2）四棱柱 中， 平面 ， ，则直线 ， ， ，两两垂
直，以 为原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图，
有 ， ， ， ， ， ，则有 ，
， ，设平面 与平面 的法向量分别为 ，
，则有 令 ，得 ，
令 ，得 ，
因此 .所以平面 与平面 的夹角余弦值为
.
17.[命题立意]本题考查根据 ， ， 求椭圆标准方程，椭圆中的直线过定点问题，意在考查数形结合、
数学运算等学科素养.[解]（1）设 ， ，且 ，因为 ， ，又
，所以 ，解得 ，又点 在 上，所以
①，又 ②，联立①②，解得 ， ，所以 的标准方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
由 消 得到 ，
所以 ，得到 ，所以 ，
同理可得 ， ，所以
为定值，即直线 的斜率为定值，定值为 .
18.[命题立意]本题考查函数对称性的应用，利用导数证明不等式，利用导数研究不等式恒成立问题，意在
考查数学运算、转化与化归、逻辑推理等学科素养.
[解]（1）依题意，设 图象上任意一点坐标为 ，则其关于 对称的点 在
图象上，则 ，则 ， ，
故 ， .
（2）令 ， ，则 在 恒成立，又 ，且 在 上是连续函数，则 为 的一个极大值点，
， ，
下证当 时， 在 恒成立，令 ， ，
当 ， ， 在 上单调递增，
当 ， ， 在 上单调递减，
故 ， 在 上恒成立，又 ，
则 时， 恒成立，
综上， .
（3）证明：由（2）可知： ，则 ，即 ，则
.又由（2）可知： 在 上恒成立，则
在 上恒成立且当且仅当 时取等，令 ， ，则
，即 ，则
，综上， ，得证.
19.[命题立意]本题考查计算古典概型问题的概率，利用全概率公式求概率，意在考查知识迁移与创新应用、
逻辑推理、转化与化归等学科素养.
[解]（1）1号球放入1号盒中的概率为 ，此时2，3号球分别放入2，3号盒中；1号球放入2号盒中的概率为 ，欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为 ，1号球放入3号盒中时，此时3
号球不能放入3号盒中.综上所述， .
（2）1号球放入1号，4号，5号，…， 号盒中的概率为 ，此时3号球可放入3号盒中；1号球放
入2号盒中的概率为 ，欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号，4号，5号，…， 号盒中，概
率为 ，1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中；综上所述，
.
（3）1号球放入1号， 号， 号， 号，…， 号盒中的概率为 ，此时 号球可放
入 号盒中；1号球放入 号盒中的概率为 ，此时2号，3号，…， 号球都可以放入
对应编号的盒中，剩下编号为 的球和编号为1， 的空盒，此时 号盒
非空， 号球在所有空盒中随机选择一个放入，此时要让 号球放入 号盒中的放法总数等效于将编号为
的球，按照题设规则放入编号为 的盒中（1号球仍然随机选择一个盒子放
入），所以概率为 .1号球放入 号盒中时，此时 号球不能放入 号盒中：所以
，整理得
①，分别用 和 替换 和 ，可得②，由①②式相减，整理得：
，从而 ， 等于1
号球不放在2号盒的概率，即 .所以 .
