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四点共圆1
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
精讲精炼
【例1】
如图，设B 为圆Γ1 上的点，过B 作圆Γ1 的切线，A 为该切线上异于B 的点，又C 不为圆Γ1 上的点，且线段AC
与圆Γ1 交于两个不同的点，圆Γ2 与AC 切于点C，与圆Γ1 切于点D，且D 与B 在直线AC 的两侧，证明：△BCD
的外心在△ABC 的外接圆上．
【例2】
已知梯形ABCD 的底边满足AB > CD，点K、L 分别在边AB、CD 上，且满足AK
KB = DL
LC ．设在线段KL 上存在点
P、Q，满足∠APB = ∠BCD，∠CQD = ∠ABC．证明：P、Q、B、C 四点共圆．
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第3 讲
四点共圆1
【例3】
已知△ABC 满足AB+BC = 3AC，I 为△ABC 的内心，内切圆与边AB、BC 的切点分别为D、E，点D、E 关于点I
的对称点分别为K、L．证明：A、C、K、L 四点共圆．
【例4】
在不等边锐角△ABC 中，已知AC > BC，设O、H 分别为△ABC 的外心、垂心，CF⊥AB 于点F，令P 是直线AB
上一点(与A 不重合)，满足AF = PF，记G 为边AC 的中点，直线PH 与BC、OG 与FX、OF 与AC 分别交于点
X、Y、Z．证明：F、G、Z、Y 四点共圆．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例5】
设M、N、P 分别是非等腰锐角△ABC 的边BC、CA、AB 的中点，AB、AC 的中垂线分别与AM 交于点DE，直线BD
与CE 交于点F，且F 在△ABC 的内部．证明：A、N、F、P 四点共圆．
【例6】
已知H 是锐角△ABC 的垂心，以边BC 的中点为圆心、过点H 的圆与直线BC 交于A1、A2 两点；以边CA 的中
点为圆心、过点H 的圆与直线CA 交于B1、B2 两点；以边AB 的中点为圆心、过点H 的圆与直线AB 交于C1、C2
两点，证明：A1、A2、B1、B2、C1、C2 六点共圆．
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第3 讲
四点共圆1
【例7】
已知⊙O1 在⊙O2 的内部，且⊙O1 与⊙O2 切于点A，过A 作直线与⊙O1 交于点B，与⊙O2 交于点C，过B 作
⊙O1 的切线与⊙O2 交于点D、E，过点C 作⊙O1 的两条切线，切点分别为F、G．证明：D、E、F、G 四点共圆．
【例8】
设A、B 为圆Γ 上两点，X 为圆Γ 在A 和B 处切线的交点，在圆Γ 上选取两点C、D，使得C、D、X 依次位于同一
直线上，且直线CA 与BD 垂直，再设F、G 分别为CA 与BD、CD 与AB 的交点，H 为GX 的中垂线与BD 的交
点．证明：X、F、G、H 四点共圆．
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高二/ 数学/ 实验A 班/ 二试
【例9】
如图，两圆Γ1、Γ2 交于点AB，过点B 的一条直线分别与圆Γ1、Γ2 交于点C、D，过点B 的另一条直线分别与圆
Γ1、Γ2 交于点E、F，直线CF 分别与圆Γ1、Γ2 交于点PQ．设M、N 分别是弧
⌢
PB、
⌢
QB 的中点．若CD = EF，证明：
C、F、M、N 四点共圆．
