文档内容
2 0 2 4 年 教 师 资 格 证
高等代数1
讲师：吉吉
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第一节 行列式与矩阵
高
c
o
等
n 2
第二节 向量
t
e
代 n
t
3
第三节 线性方程组
数
4 第四节 线性变换一 行列式
第一节
二 矩阵及其运算
行列式与矩阵 三 矩阵的初等变换
2024FENBI真题链接
初中真题
高中真题
2017年下：1 2023上：4
2017年下：1 2023下：5
2018年上：9 2023下：3、4
2018年上：9
2018年下：10
2018年下：10
2019年上：4
2019年上：4
2019年下：2
2019年下：5
2020年下：9
2021年上：6
2021年上：6
20242021F年下：E3、5NBI
2021年下：1、9（1）
2022年上：4
2022年上：3、6、11、14综合
2022年下：4
2022年下：14（1）一、行列式
工具
P68
（一）行列式的概念
1. 二阶与三阶行列式
2024FENBIP68
工具
（一）行列式的概念
1. 二阶与三阶行列式
2024FENBIP68
-69
（一）行列式的概念
1. 二阶与三阶行列式
2024FENBIP69
2024FENBIP69
2024FENBIP69
（一）行列式的概念
2. n阶行列式
2024FENBIP70
上/下三角行列式与对角行列式
𝑎 0 ⋯ 0 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 0 ⋯ 0
11 11 12 1𝑛 11
𝑎 𝑎 ⋯ 0 0 𝑎 ⋯ 𝑎 0 𝑎 ⋯ 0
21 22 22 2𝑛 22
= = = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ ⋯∙ 𝑎
⋮ ⋮ ⋱ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 0 11 22 𝑛𝑛
𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 0 0 ⋯ 𝑎 0 0 ⋯ 𝑎
𝑛1 𝑛2 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛
⋯ 𝑎 ⋯ 𝑎 ⋯ 𝑎
𝑎 𝑎 1𝑛 0 0 1𝑛 0 0 1𝑛
11 12
𝑎 21 ⋯ 𝑎 2（𝑛−1） 0 0 ⋯ 𝑎 2（𝑛−1） 𝑎 2𝑛 0 ⋯ 𝑎 2（𝑛−1） 0 𝑛 𝑛−1
= = = −1 2 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ ⋯∙ 𝑎
⋮ ⋰ 0 0 ⋮ ⋰ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰ 0 0 n1 （n−1）2 1𝑛
𝑎 𝑛1 0 0 0 𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛（𝑛−1） 𝑎 𝑛𝑛 𝑎 𝑛1 0 0 0
2024FENBI工具
P70
（二）行列式的性质
1. 转置行列式
1 2
例1：已知𝐷 =
3 4
1 0 1
2024FENBI
例2：已知𝐷 = 2 3 1
4 5 7工具
P71
（二）行列式的性质
1. 转置行列式
1 2 1 3
𝑇
例1：已知𝐷 = 𝐷 =
3 4 2 4
1 0 1 1 2 4
例2：已知𝐷 = 2 3 1 𝐷 𝑇 = 0 2 3 5 024FENBI
4 5 7 1 1 7工具
P70
（二）行列式的性质
2. 性质
1 2 1 3
例：已知D= ，DT=
3 4 2 4
2024FENBIP71
（二）行列式的性质
2. 性质
1 2 3 4
例1：已知𝐷 = ，D′= ，则𝐷 = −𝐷′。
3 4 1 2
2024FENBI
1 2
例2：𝐷 =
1 2P71
2 4 1 2
（二）行列式的性质
例：已知D= ，则D=2 。
3 5 3 5
2. 性质
2024FENBIP71
（二）行列式的性质
2. 性质
1 4 3
2 5 6 = ？
3 6 9
1 4
例：已知D= ，则𝐷 = 0。
2 8
2024FENBIP71
（二）行列式的性质
2. 性质
3 4 1 + 2 1 + 3 1 1 2 3
例： = = +
1 2 1 2 1 2 1 2
2024FENBIP71
（二）行列式的性质
2. 性质
1 2
𝐷 =
3 4
2024FENBIP71
（二）行列式的性质
2. 性质
= −？𝟐𝟎
2024FENBIP71
（二）行列式的性质
2. 性质
=-20
2024FENBI总结①
2024FENBI2024FENBI
P722024FENBI
P722024FENBI
P732024FENBI
P73总结②
2024FENBI选
P72-p73
（三）行列式按行（列）展开
1. 基本定义
2024FENBIP73-p74
（三）行列式按行（列）展开
2. 引理
一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除 𝑎 以外都为零，那么这个行列式的
𝑖𝑗
值等于 𝑎 与它的代数余子式的乘积，即𝐷 = 𝑎 𝐴 。
𝑖𝑗 𝑖𝑗 𝑖𝑗
3.定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
→ 𝐷 = 𝑎 𝐴 + 𝑎 𝐴 + ⋯ + 𝑎 𝐴
21 21 22 22 2𝑛 2𝑛
2024FENBI2024FENBI
P732024FENBI
P73① ②
③
性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数然后加到另一列（行）对应的元素上去，
2024FENBI
行列式的值不变。
P73P74
选
（三）行列式按行（列）展开
2024FENBI补充
1 1 1 1
1 2 −1 3
𝐷 =
= 。
1 4 1 9
1 8 −1 27
2024FENBI1 1 1 1
1 2 −1 3
【答案】
𝐷 =
= 。
1 4 1 9
1 8 −1 27
= 𝑥 − 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 − 𝑥
4 3 4 2 4 1 3 2 3 1 2 1
= 3 + 1 3 − 2 3 − 1 −1 − 2 −1 − 1 2 − 1
= 4 × 1 × 2 × −3 × −2 × 1
= 48
2024FENBIP74-p75 选
（四）克拉默法则
1. 法则
2024FENBIP75
2024FENBIP75
选
（四）克拉默法则
2024FENBI补充
𝑎𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 1
1 2 3
已知线性方程组ቐ 𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 = 2 ，求𝑎为何值时线性方程组有唯
1 2 3
3𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 = 3
1 2 3
一解？何时无解？
2024FENBI总结
2024FENBI
