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作业 05 平面向量的数量积及极化恒等式的应用
1．平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，
定义
则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，
投影
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
意义
2. 向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x x ＋y y ＝0
1 2 1 2
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x x ＋y y |≤
1 2 1 2
4.极化恒等式
恒等式右边有很直观的几何意义:
学科网（北京）股份有限公司向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的
，
恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形 中,
则
在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说:
一、单选题
1．已知平面向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由投影向量的公式计算即可．
【详解】设 与 夹角为 ，则 ，
在 上的投影向量为： ，
故选：C．
2．已知向量 ， ， ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由 ，可得 ，再根据数量积的运算律和坐标公式计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，
所以 ，解得 .
故选：C.
3．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A．7 B． C．19 D．
【答案】B
【分析】利用向量模长公式结合夹角可求答案.
【详解】因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：B
4．已知矩形 的长 ，宽 .点 在线段 上运动（不与 两点重合），则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意，点 在线段 上，设 ，建立空间直角坐标系，根据点坐
标，表示出 ，根据 ，求出答案.
【详解】由题意得，点 在线段 上，设 ，
且 .以 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，
则 ，则 ，
由 ，
故 ，
所以 ，
由于 ，所以 .
故选：A.
学科网（北京）股份有限公司5．如图，在 中， 为 上一点，且满足 ，若
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即
可求解.
【详解】因为 所以
因为 三点共线，
所以 即 ,
又因为 ，
所以 ,且 为不共线的非零向量，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以
.
故选：B.
二、多选题
6．下面给出的关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
学科网（北京）股份有限公司【分析】由向量数量积的概念、性质及运算律即可得出答案.
【详解】对 ：由 可得 ，而 ，故A说法正确；
对B：取 ，则 成立，但 不一定成立，故B说法错误；
对C： 表示与 共线的向量，而 表示与 共线的向量，所以 不一定成立，
故C说法错误；
对D：因为 ，故 ，故D说法正确.
故选：AD.
7．已知平面向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． 在 上的投影向量的模为 D． 与 的夹角为锐角
【答案】BC
【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及投影向量的概念与计算，结合夹角公式，即可求解.
【详解】因为向量 ， ，可得 ，
对于A中，由 ，所以A不正确；
对于B中，由 ，所以B正确；
对于C中，由 ， ，可得 ，
则向量 在 上的投影向量 ，
可得投影向量的模为 ，所以C正确；
对于D中，由 ，所以 与 的夹角为钝角，所以D正确.
故选：BC.
8．已知向量 ， ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 在 上的投影向量为
【答案】ABD
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据平面向量模的坐标求法可判断A；根据平面向量垂直的定义和数量积的坐标运算可判断B；
根据平面向量夹角的坐标求法可判断C；根据投影向量的求法可判断D.
【详解】对于A：若 ，则 ，解得 ，故A正确；
对于B：若 ，则 ，解得 ，故B正确；
对于C：若 ，则 ，又 ， ，
所以 ，故C错误；
对于D：若 ，则 在 上的投影向量为 ，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题
9．已知 ， ，且 ，则 ．
【答案】
【分析】根据数量积运算律求得 ，再根据数量积和模长求解夹角即可.
【详解】 ，即 ， ，解得 ；
故 ，又 ，故 .
故答案为： .
10．如图，圆 为 的外接圆， ， ， 为边 的中点，则 .
【答案】13
【分析】由三角形中线性质可知 ，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知
，同理可得 ，再由数量积运算即可得解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 是 的中点，
所以 ，
因为 为三角形 外接圆圆心，也就是三角形 的三边中垂线的交点，
，
同理可得 ，
.
故答案为：13.
四、解答题
11．已知向量 ，且 与 的夹角为 ，
(1)求证：
(2)若 ，求 的值；
【答案】(1)证明见解析；
(2) 或
【分析】（1）根据数量积的定义得 ，利用数量积的运算律求得 ，即可证明；
（2）利用数量积模的运算公式结合数量积的运算律列式，求得 ，解方程即可.
【详解】（1）因为 与 的夹角为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，因为 ， ，
所以 ，即 ，
于是有 ，
即 ，解得 或 ，所以 的值为 或 .
学科网（北京）股份有限公司12．已知向量 满足 ， ．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)若向量 与向量 的方向相反，求实数 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先求出 、 的坐标，从而得到 的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得；
（2）求出 的坐标，利用坐标法计算可得；
（3）首先求出 与 的坐标，根据向量共线的坐标表示求出 ，再代入检验.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）因为 ，
所以 ；
（3）因为 ， ，
所以 ，
，
因为 与 共线，
则 ，解得 或 ，
当 时， ， ，则 ，
此时 与 方向相同，不符题意；
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ，则 ，
此时 与 方向相反，符合题意；
综上可得 ．
1．如图，在梯形 中， 分别在线段 上，且线段
与线段 的长度相等，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最大值为18
C． 的最大值为 D． 的面积的最大值为
【答案】BCD
【分析】利用坐标法，以A为原点建立坐标系，写出相关点坐标，得到相关向量的坐标，利用向量的坐标
运算，再求解二次函数最值即可判断各个选项.
【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，设 ，则
，
对于A,B， ，故A错误，B正确；
对于C， ，
当 时， 取得最大值，且最大值为 ，故C正确；
对于D， 的面积
，当 时， 取得最大值，且最大值为 ，故D正确．
故选：BCD.
学科网（北京）股份有限公司2．已知正八边形 的边长为2，P是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 在 方向上的投影向量为
C．若函数 ，则函数 的最小值为
D．
【答案】ACD
【分析】延长 交于点 ，根据向量数量积的定义可判断A；由投影向量的定义可判断B；将
用数量积化简，结合二次函数判断C；对于D，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，可分析D.
【详解】对于A，延长 交于点 ，正八边形内角为 ，
因此 ，故A正确；
对于B，由图可知 ，
因此投影向量即为 ，故B错误；
学科网（北京）股份有限公司对于C，由图可知， ， ，
所以由题意可知函数 ，
当 时， 取得最小值， ，故C正确；
对于D，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，因此 ，
易知当点 在线段 上时， 取得最大值 ，
当点 在线段 上时， 取得最小值 ，故选项D正确.
故选：ACD
3．平面向量 满足 ，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】由已知条件设出 的坐标，画出图形， 表示点 到点 和
的距离和等于 ，由此可判断点 在线段 上，设 ，得 表示
，然后利用对称和平面向量模的坐标公式可得结果．
【详解】由 ，则 ，
设 ，设 ，
， ，
因为 ，
所以 ，设 ，
则 表示 ，而 ，
所以点 在线段 上，
，
设 ，则 表示 ，
设点 关于 的对称点为 ，则点 的坐标为 ，
学科网（北京）股份有限公司由图可知 的最小为 的长，则 ，
则 ，
所以 的最小值为 ，
故答案为： ．
4．如图，已知正六边形 的边长为2，对称中心为 ，以 为圆心作半径为1的圆，点 为圆
上任意一点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解法一 连接 ， ，设 ，根据向量的线性运算用 ， 表示出 ，然后结
合三角函数的性质即可求得结果．
解法二 以 为坐标原点建立平面直角坐标系，设 ，根据数量积的坐标表示得到 ，
再结合三角函数的性质即可求得结果．
解法三 借助向量投影的知识将 转化，找到取得最值时点 的位置，即可求得结果．
【详解】解法一 ：如图所示：
学科网（北京）股份有限公司连接 ，设 ，连接 ，依题意得 ， ， ， ，
则 ，
．
因为 ，所以 ，（三角函数的有界性）
所以 ．
故选：C．
解法二 如图，
以 为坐标原点，以直线 为 轴，过 且和 垂直的直线为 轴建立平面直角坐标系，
则依题意可得 ， ， ，
因为圆 的半径为1，所以可设 ，
所以 ， ，所以 ，
又 ，（三角函数的有界性）
所以 ．
故选：C．
解法三 如图所示：
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ．
可看成是 在 上的投影，
当点 与 重合时 最小，最小值为 ，
当点 与 重合时 最大，最大值为0，
故 ．
故选：C．
5．已知点O为 所在平面内一点，且 ， ，
，则 为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】本题利用已知条件可判断出点O是 的外心、重心、垂心，由此可得出 的三边相等，
即 为等边三角形.
【详解】如图所示，取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD，于是四边形BOCE是平行四边形，
，又 ，
， 四点共线， AD是中线，
同理可证BO、CO的延长线均为 的中线，
O是 的重心．
又 ，
学科网（北京）股份有限公司,
,
,
， ， ，
O是 的垂心．
又 ， O是 的外心．
有上述可知： ，
，
同理可证 ， ，
△ABC是等边三角形．
故选：C.
1．已知 是边长为2的正六边形 内（含边界）一点， 为边 的中点，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过数量积定义得出 与 重合时 取得最大值， 与 重合时， 取得最小值，然
后建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标法求数量积．
【详解】如图，过 作 于 ，则 ，当 与 同向时
为正，当 与 反向时 为负，
分别过 作 ， ， 为垂足，
则得当 与 重合（即 与 重合）时， 取得最大值，当 与 重合（即 与 重合）时，
取得最小值，
是正六边形，因此以 为 轴， 为 建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ， ， ， 是 中点，则 ，
， ， ，
， ，
所以 的范围是 ，
学科网（北京）股份有限公司故选：B．
2．如图，已知扇形 的半径为2， ，点 分别为线段 上（包括线段的端点）的动点，
且 ，点 为 上（包括端点）的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为0 B． 的最小值为
C． 的最大值为4 D． 的最小值为2
【答案】BCD
【分析】以 为原点建立如图所示的直角坐标系，得 ， ，设 ，则
，求出 ，利用 的范围可判断 ；求出 的坐标，由
，利用 的范围可判断B；设 , , ，可得 ，求出 ，
由 ，利用 、 ， ，的范围可判断C，D．
【详解】以 为原点建立如图所示的直角坐标系，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 的最小值为 ，故A错误；
，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
的最小值为 ，故B正确；
因为 ，则 , , ，所以 ，可得 ，
，
所以 ，其中
，
又 ，所以 ， , ，所以 ，
, ， , ，所以 ，
的最小值为 ，最大值为 ，故C，D正确．
故选：BCD．
3． 中， ， ， 是 外接圆圆心，是 的最大值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．1 B． C．3 D．5
【答案】C
【分析】先利用正余弦定理和向量的数量积求得 的代数式，进而求得其最大值.
【详解】过点 作 、 ，垂足分别为 、 ，
如图，因为 是 外接圆圆心，则 、 分别为 、 的中点，
在 中， ，
所以 ，即 ，
即 ，
，
同理 ，
则
，
由正弦定理得 ，
当且仅当 时取“=”，
所以 的最大值为 .
故选：C.
1．（2022·全国·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C.
2．（2023·全国·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令 ，结合数量积的运算
律运算求解.
【详解】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，
则 ，所以 .
法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
整理得： ，即 .
故答案为： .
3．（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
4．（2023·全国·高考真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，C两
点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得
，或 然后结合三角函数的性质即可确定 的最大
值.
学科网（北京）股份有限公司【详解】如图所示， ，则由题意可知: ，
由勾股定理可得
当点 位于直线 异侧时或PB为直径时，设 ，
则：
，则
当 时， 有最大值 .
当点 位于直线 同侧时，设 ，
则：
学科网（北京）股份有限公司，
，则
当 时， 有最大值 .
综上可得， 的最大值为 .
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查
了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
5．（2023·全国·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 .
如图,设 ,
学科网（北京）股份有限公司由题知, 是等腰直角三角形,
AB边上的高 ,
所以 ,
,
.
故选:D.
学科网（北京）股份有限公司
