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导数总结
一、高考考点、考频
导数的模块在高考中的重要性不需要多说，不仅比重大，而且特别难。应用也特
别广泛。求最值，判断零点，判断极值……尤其重要的是他一般都会出现在压轴
题的位置。难度很大。
二、高考真题
1.（2018 新课标1.21）（12 分）已知函数f（x）＝
﹣x+alnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：
＜a﹣2．
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系
进行求解即可．
（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得
到结论．
【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数f′（x）＝﹣
﹣1+
＝﹣
，
设g（x）＝x
2﹣ax+1，
当a≤0 时，g（x）＞0 恒成立，即f′（x）＜0 恒成立，此时函数f（x）在
（0，+∞）上是减函数，
当a＞0 时，判别式△＝a
2﹣4，
①当0＜a≤2 时，△≤0，即g（x）≥0，即f′（x）≤0 恒成立，此时函数f
（x）在（0，+∞）上是减函数，
②当a＞2 时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：
x
（0，
）
（
，
）
（
，
+∞）
2
f′
（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
递减
递增
递减
综上当a≤2 时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，
当a＞2 时，在（0，
），和（
，+∞）上是减函数，
则（
，
）上是增函数．
（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，
则f（x1）﹣f（x2）＝（x2﹣x1）（1+
）+a（lnx1﹣lnx2）＝2（x2﹣x1）+a
（lnx1﹣lnx2），
则
＝﹣2+
，
则问题转为证明
＜1 即可，
即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，
则lnx1﹣ln
＞x1﹣
，
即lnx1+lnx1＞x1﹣
，
即证2lnx1＞x1﹣
在（0，1）上恒成立，
设h（x）＝2lnx﹣x+
，（0＜x＜1），其中h（1）＝0，
求导得h′（x）＝
﹣1﹣
＝﹣
＝﹣
＜0，
则h（x）在（0，1）上单调递减，
∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+
＞0，
3
故2lnx＞x﹣
，
则
＜a﹣2 成立．
（2）另解：注意到f（
）＝x﹣
﹣alnx＝﹣f（x），
即f（x）+f（
）＝0，
由韦达定理得x1x2＝1，x1+x2＝a＞2，得0＜x1＜1＜x2，x1＝
，
可得f（x2）+f（
）＝0，即f（x1）+f（x2）＝0，
要证
＜a﹣2，只要证
＜a﹣2，
即证2alnx2﹣ax2+
＜0，（x2＞1），
构造函数h（x）＝2alnx﹣ax+
，（x＞1），h′（x）＝
≤0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）＜h（1）＝0，
∴2alnx﹣ax+
＜0 成立，即2alnx2﹣ax2+
＜0，（x2＞1）成立．
即
＜a﹣2 成立．
三、知识点
1.求导公式
2.求导运算法则
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑔′(𝑥)𝑓(𝑥)
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑔′(𝑥)𝑓(𝑥)
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)]=
f’(x)g(x)−g’(x)f(x)
𝑔2(𝑥)
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复合函数的导数
复合函数𝑦= 𝑓(𝑔(𝑥))的导数为𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)
3.导数的应用
1）零点存在定理
定理：如果函数y = f(x)在闭区间[a, b]上的图像是连续不断的曲线，
并且f(a)f(b) < 0，那么函数在区间(a, b)内至少有一个零点
结论：若函数y = f(x)在其定义域内的某个区间上是单调的，
则f(x)在这个区间上至多有一个零点
思考：如果函数y = f(x)在闭区间[a, b]上的图像是连续不断的曲线，
但不满足f(a)f(b) < 0 那么，函数f(x)在区间上有零点吗？
（可以有、可以没有）
2）一个非常重要的等价关系
函数y = F(x) = f(x) −g(x)有零点等价为
（1）方程F(x) = f(x) −g(x) = 0 有实根
（2）方程组，y1= f(x)和y2= g(x)有实数组解
（3）f(x)和g(x)的图像有交点
𝟑）利用导数证明不等式的基本思路
用导数证明不等式一般的解题步骤为：
（1）构造辅助函数f(x)
（2）求f′(x)，并讨论f(x)在指定区间上的单调性
（3）求最值作比较
做题思路与类型补充
类型一、一阶求导后证明不等式
理论依据：如果函数f(x)，g(x)满足以下条件：
（1）f(x), g(x)在闭区间[a, b]内连续
（2）f(x), g(x)在开区间（a, b）内可导，且有f′(x) > g′(x)(或f′(x) < g′(x))
（3）f(a) = g(a)
5
则在（a, b）内，有f(x) > g(x)(或f(x) < g(x))
例1：求证：对任意n ∈N∗, 不等式ln(1
n + 1) > 1
n2 −1
n3
分析：本题可以从所证结论出发，只需令1
n = x，则问题转化为：当x
> 0 时，恒有ln(1 + x) > x2 −x3成立，因此可以构造函数
f(x) = x3 −x2 + ln (1 + x) (x > 0),利用导数的相关知识与方法证明即可
解析：令f(x) = x3 −x2 + ln (1 + x) (x > 0), 则
f ′(x) = 3x2 −2x +
1
1 + x = 3x3 + 3x2 −2x2 −2x + 1
1 + x
= 3x3 + (x −1)2
1 + x
当x > 0 时，很明显f ′(x)恒> 0 所以f(x)在(0, +∞)上单调递增，因此f(x)
> f(0) = 0
即x3 −x2 + ln (1 + x) > 0，所以ln(1 + x) > x2 −x3
对于n ∈N∗，取x =
1
n ，则得证。
类型二、𝐧阶求导后证明不等式
推论：设f(x), g(x)在[a, b]上n 阶可导，若
（1）f (k)(a) = g(k)(a), k = 0,1,2 … , n −1
（2）f (n)(x) > g(n)(x) 或f (n)(x) < g(n)(x)
则在(a, b)内f(x) > g(x) 或(f(x) < g(x))
例2：求证tanx > x + 1
3 x3 x ∈(0, π
2)
分析：两边函数类型不同，右边多项式次数较高，不易比较，对它求一阶导数仍不宜比较，
则就可以想到上述推论。
解析：设f(x)=tanx, g(x)=x +
1
3 x3则
（1）f(0)=g(0)=0
（2）f'(x) =
1
cos2x , g'(x) = 1 + x2, f'(0) = g'(0) = 1
（3）f''(x) =
2sinx
cos3x , g''(x) = 2x, f''(0) = g''(0) = 0
（4）f'''(x) = 2(1 + tan2x) (1 + 3tan2x), g'''(x) = 2
显然有f'''(x)>g'''(x)
又推论可知原式成立
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类型三、利用函数的最值证明不等式
形式：
（1）证明f(x) ≥g(x) 构造h(x) = f(x) −g(x)，证明h(x)的最小值≥0
（2）证明f(x) > g(x) 构造两个函数f(x) g(x)分别证明
（3）证明|f(x1) −f(x2)| ≤c 利用函数极差（最大值与最小值之差）
类型四、变形构造函数证明不等式
例3：设f(x) = lnx, 已知0 < a < b, 求证：f(b) −f(a) >
2a(b−a)
a2+b2
解析：把原题作如下变形：
f(b) −f(a) = lnb −lna = ln b
a ，2a(b-a)
a2+b2
=
2( b
a -1)
1+ b2
a2
令x =
b
a，则x>1,可构造函数h(x) = lnx −
2(x−1)
x2+1 （x > 1）
h'(x)求导后可化简为h'(x) =
(x2−1)(x2+2x−1)
x(x2+1)2
因为x > 1, 所以h'(x) > 0, 即在区间(1, +∞)上单调递增
又因为h(x) > h(1) = 0，所以lnx > 2(x −1)
x2 + 1 ，由于x = b
a > 1，故原命题得证
利用导数证明不等式除以上方法及讲义的方法还有其余很多种方法，现在所需
掌握的为现在总结+讲义上的几种方法，多做多练，才能掌握清楚。
4）求切线方程
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求
出切点
0
0
(
)
P x
y
，
及斜率，其求法为：设
0
0
(
)
P x
y
，
是曲线
( )
y
f x
上的一点，则以P
的切点的切线方程为：
0
0
0
(
)(
)
y
y
f
x
x
x
．若曲线
( )
y
f x
在点
0
0
(
(
))
P x
f x
，
的切线
平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为
0
x
x
．
5）求函数极值
（1）函数极值定义
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)
＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x0)，x0 是极大值
点。
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如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小
值，记作y 极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值
（2）判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若
0x 满足
0
)
(
0
x
f
，且在
0x 的两侧
)
(x
f
的导数异号，则
0x 是
)
(x
f
的极值点，
)
(
0x
f
是极值，并且如果
)
(x
f
在
0x 两侧满足“左正右负”，则
0x 是
)
(x
f
的极大
值点，
)
(
0x
f
是极大值；如果
)
(x
f
在
0x 两侧满足“左负右正”，则
0x 是
)
(x
f
的
极小值点，
)
(
0x
f
是极小值.
（3）求可导函数f(x)的极值的步骤:
①确定函数的定义区间，求导数f′(x)
②求方程f′(x)=0 的根
③用函数的导数为0 的点，将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检
查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得
极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符
号，那么f(x)在这个根处无极值
(4)极值的要点总结
①极值是一个局部概念。由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函
数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
②函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可
以不止一个
③极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值
④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数
取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
⑤可导函数的极值点的导数为0，但是导数为0 的点不一定是极值点，如函数
y=x
3在x=0 处导数为0，但x=0 不是极值点。
⑥函数在一点x0处有极值，不一定在该点可导。如函数y=|x| 在x=0 有极小值，
但在x=0 处不可导即导数不存在。
(5)最值要点总结
①在闭区间
b
a,
上图像连续不断的函数
)
(x
f
在
b
a,
上必有最大值与最小值．
奎屯
王新敞
新疆
奎屯
王新敞
新疆
奎屯
王新敞
新疆
奎屯
王新敞
新疆
奎屯
王新敞
新疆
奎屯
王新敞
新疆
奎屯
王新敞
新疆
奎屯
王新敞
新疆
奎屯
王新敞
新疆
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②在开区间( , )
a b 内图像连续的函数
)
(x
f
不一定有最大值与最小值．如函数
x
x
f
1
)
(
在
)
,0
( 内连续，但没有最大值与最小值；
③函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点
附近函数值得出的．
④函数
)
(x
f
在闭区间
b
a,
上的图像连续不断，是
)
(x
f
在闭区间
b
a,
上有最大值
与最小值的充分条件而非必要条件．如函数
1,
1
0
( )
0,
0
x
x
x
f x
x
但
在
1,1
上有最大值，最小值，（最大值是0，最小值是-2），但其图像却不是连续不断
的。
⑤函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止
一个，也可能没有。
⑥若函数f(x)只有一个极值，则必为最值。若函数f(x)在闭区间[a,b]上递增，
则
min
( )
( )
f x
f a
，
max
( )
( )
f x
f b
；若函数f(x)在闭区间[a,b]上递减，则
m i n
( )
( )
f x
f b
，
max
( )
( )
f x
f a
。
此类题目的做题口诀为：一定二导三求根，四标五穿六列表。这个步骤来解决。
分别指：
①求函数定义域
②求函数导数
③求f'(x)=0 的根
④在数轴上标根
⑤在数轴上“穿针引线”标出大于零小于零的部分
⑥列出f（x）的变化情况表
6）求函数的单调性
（1）函数的单调性与导数注意点：
①在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，即解决
问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
②一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间．
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③如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间
不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
④注意在某一区间内f'(x)>0(或f'(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)
函数的充分不必要条件，而不是充要条件．(例如f(x)＝x
3)．
⑤如果函数在某个区间内恒有f'(x)＝0，则f(x)为常数函数．如f(x)＝3，则
f'(x)＝3'＝0.
⑥利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规
律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想．
⑦若在某区间上有有限个点使f'(x)＝0，在其余的点恒有f'(x)＞0，则f(x)
在该区间上仍为增函数．
（2）求函数的单调区间的方法
求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)＞0 或f′(x)＜0，这些不等式的解
就是所求的单调区间．
求函数单调区间的步骤如下：
①求f(x)的定义域；
②求出f'(x)；
③解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)可得函数的增区间(或减区间)．
