[讲义答案]第4讲-79947bb51cb3_学而思高三全套_2019年高三暑假直播_2019-暑高二升高三理科数学一轮复习直播凌云班（全国）10讲王侃_讲义答案

直击课堂
【本讲解读】
  导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决
问题的依据。而分类讨论思想是整体思想一个重要补充，具有明显的逻辑特征，解决这类问题需要一定的分析能力
和分类技巧。因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分
类讨论的思想方法分析与解决问题能力。本讲以“导数的概念与运算”、“函数的切线方程”、“导数与函数的单调性”三
个模块为主进行讲解，具体的知识点、考点及考法会在后续给出。
模块
模块1：七分钟快测
：七分钟快测
直击课堂
直击课堂
本讲解读
本讲解读
演练1
答 案
D
解析
， 
．而
，
．
答 案
B
解析
答 案
A
解析
， 
.
答 案
C
解析
导函数的函数值的正负决定原函数的单调性，故A，B错误；D中，
时有极大值．
答 案
A
1
1
1
1
1
 
 =
x→0
lim
2x
f 1 −f 1 −x
( )
(
)
 
 =
x→0
lim
2 ⋅−x
(
)
f 1 −x −f 1
(
)
( )
 ⋅
2
1
 
 =
x→0
lim
−x
f 1 −x −f 1
(
)
( )
−1
∴
 
 =
−x→0
lim
−x
f 1 −x −f 1
(
)
( )
−2
 
 =
−x→0
lim
−x
f 1 −x −f 1
(
)
( )
f
1
′ ( )
∴f
1 =
′ ( )
−2
演练2
演练3
∵f
x =
′ ( )
cos x +
 
x2
1
∴f
1 =
′ ( )
1 + cos 1
演练4
x = 2
演练5
解析
因为
， 所以
是奇函数，排
除B和D． 又
， 当
时，
， 
在
上单调递减，排除C， 故选A．
答 案
C
解析
解：
的定义域是
， 
， 
令
，解得：
， 
故选：C．
答 案
B
解析
， 
． 
，
．
答 案
A
解析
由
得
,即
,A中
,当
时,
满足题意.B中
1
模块
模块2：导数的概念与运算
：导数的概念与运算
考法：导数的定义表达式及其变形
1  64%
2  84%
f x =
( )
 x +
4
1
2
sin(
 +
2
 π 
x) =
 x +
4
1
2
cos x
f
x =
′ ( )
 x −
2
1
sinx
f
x
=
[
′ ( )]
′
 −
2
1
cos x
x ∈0，
 
[
3
 π  ]
f
x
=
[
′ ( )]
′
 −
2
1
cos x < 0
f
x =
′ ( )
 x −
2
1
sinx
0,
 
[
3
π ]
演练6
f x
( )
0, +∞
(
)
f
x =
′ ( )
4x −
 =
x
4
 
x
4 x −1
x + 1
(
) (
)
f
x <
′ ( )
0
0 < x < 1
例题1
∵x
 −
0
2Δx −x
 =
0
−2Δx
∴
 
 =
Δx→0
lim
Δx
f x
 −2Δx −f x
 
(
0
)
(
0)
−2 ⋅
 
 =
−2Δx→0
lim
−2Δx
f x
 −2Δx −f x
 
(
0
)
(
0)
−2f
x
 
′ (
0)
∴2 = −2f
x
 
′ (
0)
∴f
x
 =
′ (
0)
−1
f x
 −f x
 
<
∣(
2)
(
1)∣
x
 −x
 
∣
2
1∣
 
 
 <
∣∣∣∣
x
 −x
 
2
1
f x
 −f x
 
(
2)
(
1)
∣∣∣∣
1
−1 < f
x <
′ ( )
1
f
x =
′ ( )
−
 
x2
1
x ∈1, 2
(
)
−1 < f
x <
′ ( )
−
 4
1
f x =
( )
 
{x x ⩾0 ,
(
)
−x x < 0 ,
(
)
不满足题意.C中
,
,当
时,
,不满足题意.D中
,
时,
不满足题意. 
答 案
①
； 
②
； 
③
； 
④
； 
⑤
； 
⑥
； 
⑦
； 
⑧
； 
⑨
．
解析
答 案
B
解析
，
．
答 案
见解析
解析
 
．
考法：导数的四则运算
1
考法：复合函数求导运算
1  70%
2
f
x =
′ ( )
 
{1, x ⩾0,
−1, x < 0,
f
x =
′ ( )
2 ln2
x
x ∈1, 2
(
)
x = 2
f
2 =
′ ( )
ln2 >
4
2
f
x =
′ ( )
2x x ∈1, 2
(
)
f
x ∈
′ ( )
2, 4
(
)
例题2
y =
′
−5010x−1003
y =
′
4x −
3
6x −5
y =
′
1 + x e
(
)
x
y =
′
2x lnx + x
y =
′
sinx + x cos x
y =
′
−x sinx
y =
′
 
1 + x
(
2)2
1 −x2
y =
′
 
x2
x cos x −sinx
y =
′
 
cos x
2
1
例题3
∵f x =
( )
3 ln 2x −1
(
)
∴f
x =
′ ( )
 
2x −1
6
f (x) =
′
 
1 + x
+ x
=
 + x
1 + x2
1
((
2)
 2
1
)
′
 
 1 + x
⋅2x + 1
 + x
1 + x2
1
( 2
1 (
2)
 −1
2
1
)
=
 
 + 1
=
 + x
1 + x2
1
(
 
1 + x2
x
)
 ⋅
 + x
1 + x2
1
 =
 
1 + x2
x +
 
1 + x2
 
 
1 + x2
1
答 案
B
解析
解：
， 
， 
， 
， 
， 
…
， 
又
， 
． 
故选：B．
答 案
A
解析
，
，
，
， 所以
，所以
， 故选A．
答 案
C
解析
解：求导函数，可得
，当
时，
 ， ∴曲线
在点
处
的切线方程为
， ∴当
时，
， ∴切线与两坐标轴的交点坐标为
，
， ∴所求面积为
， 故选：C．
考法：周期性求高阶导数
1  82%
2  36%
模块
模块3：函数的切线方程
：函数的切线方程
考法：已知切点求切线方程及参数
1  71%
例题4
∵f
 x =
1 ( )
sinx + cos x
∴f
 x =
2 ( )
f
 
x =
1
′ ( )
cos x −sinx
f
 x =
3 ( )
f
 
x =
2
′ ( )
−sinx −cos x
f
 x =
4 ( )
−cos x + sinx
f
 x =
5 ( )
f
 
x =
4
′ ( )
sinx + cos x = f
 x
1 ( )
∴f
 x =
n ( )
f
 x (n ∈
n+4 ( )
N∗)
∵f
 x +
1 ( )
f
 x +
2 ( )
f
 x +
3 ( )
f
 x =
4 ( )
0
∴f
 
 
+
1 ( 4
π )
f
 
 
+
2 ( 4
π )
f
 
 
+
3 ( 4
π )
⋯+ f
 
 
=
2013 ( 4
π )
f
 
 
=
1 ( 4
π )
sin
 +
4
π
cos
 =
4
π
 2
f
 x =
2 ( )
f
 
x =
1
′ ( )
2 e
−e
( 2x
−2x)
f
 x =
3 ( )
f
 
x =
2
′ ( )
2
e
+ e
2 ( 2x
−2x)
f
 x =
4 ( )
f
 
x =
3
′ ( )
2
e
−e
3 ( 2x
−2x)
f
 x =
5 ( )
f
 
x =
4
′ ( )
2
e
+ e
4 ( 2x
−2x)
f
 x =
n ( )
2
e
−−1
e
n−1 [ 2x
(
)n −2x]
f
 1 =
2017 ( )
2
e + e
2016 ( 2
−2)
例题5
y =
′
 
(x + 1)2
2
x = 0
y =
′
2
y =
 
x + 1
x −1
0, −1
(
)
y = 2x −1
y = 0
x =
 2
1
 , 0
( 2
1
)
0, −1
(
)
 ×
2
1
 ×
2
1
1 =
 4
1
答 案
C
解析
依题意得
的导数为
，则
，解得
 ， 
，
，
，故选C．
答 案
B
解析
，设切点为
，则切线方程为
，从而斜率
，解得
，
，所以直线的方程为
，即
，故选B．
答 案
A
解析
设切点坐标为
．由题意知，
，切线的斜率
①，所以切线方程为
②．将点
代入②式得
，解得
或
．分别将
和
代入①式，得
和
，由题意得它们互为相反数，故
．
答 案
B
解析
2  77%
考法：过某点求切线方程
1  61%
2  72%
考法：切线方程综合
1  71%
y = x +
3
ax + b
y =
′
3x +
2
a
 
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧1 + a + b = 3
3
3 × 1 + a = k
2
k + 1 = 3
k = 2
a = −1
b = 3
∴2a + b = 1
例题6
f
x =
′ ( )
lnx + 1
x
 , x
 lnx
 
(
0
0
0)
y −x
 lnx
 =
0
0
lnx
 + 1
x −x
 
(
0
) (
0)
k = lnx
 +
0
1 =
 =
x
 0
x
 lnx
 + 1
0
0
lnx
 +
0
 
x
 0
1
x
 =
0
1
k = 1
l
y + 1 = x
x −y −1 = 0
(t, t −
3
at + a)
f
x =
′ ( )
3x −
2
a
k = y
 
 = 3t −a
′ ∣∣x=t
2
y −(t −
3
at + a) = (3t −
2
a)(x −t)
A(1, 0)
−(t −
3
at + a) = (3t −
2
a)(1 −t)
t = 0
t =
 2
3
t = 0
t =
 2
3
k = −a
k =
 −
4
27
a
a =
 
8
27
例题7
1
1
由题图可知曲线
在
处切线的斜率等于
，
．
，
，
，又由题图可
知
，所以
．
答 案
D
解析
由题意知
，则经过
，
两点的切线的斜率分别为
，
，又切线互相垂直，
，即
.两条切线方程分别为
：
，
：
，联立得
，
，代入
，解得
，故选D．
答 案
D
解析
由
，得
，因为
，所以
，由
，得
，又
，所以
，要使过曲线
上任意一点的切线
，总存
在过曲线
上一点处的切线
，使得
，则
，解得
，故选D．
答 案
D
解析
解：设切线方程是：
， 
切线与曲线
和
的切点分别为
、
； 
由导数的几何意义可得
，得
， 
再由切点也在各自的曲线上， 
可得
， 
2  70%
3
考法：公切线问题
1  70%
y = f x
( )
x = 3
−
 3
1
∴f
3 =
′ ( )
−3
1
∵g x =
( )
xf x
( )
∴g
x =
′ ( )
f x +
( )
xf
x
′ ( )
∴g
3 =
′ ( )
f 3 +
( )
3f
3
′ ( )
f 3 =
( )
1
g
3 =
′ ( )
1 + 3 ×
−
 
=
(
3
1 )
0
A x
 ，x
 ，B x
 ，x
 ，f (x) =
(
1
1
2)
(
2
2
2)
′
2x
A
B
k
 =
1
2x
 1
k
 =
2
2x
 2
∴k
 k
 =
1
2
−1
x
 x
 =
1
2
−
 4
1
l
 1
y = 2x
 x −
1
x
 1
2
l
 2
y = 2x
 x −
2
x
 2
2
x
 −x
 
2x −x
 + x
 
=
(
1
2) [
(
1
2)]
0
∵x
 =
 x
 ，∴
1/
2
x =
 
2
x
 + x
 
1
2
l
 1
y = x
 x
 =
1
2
−
 4
1
f x =
( )
−e −
x
x
f
x =
′ ( )
−e −
x
1
e +
x
1 > 1
 ∈
e + 1
x
1
0, 1
(
)
g x =
( )
3ax + 2cos x
g
x =
′ ( )
3a −2sin x
−2sin x ∈−2, 2
[
]
3a −2sin x ∈−2 + 3a, 2 + 3a
[
]
f x =
( )
−e −
x
x
l
 1
g x =
( )
3ax + 2cos x
l
 2
l
 ⊥l
 
1
2
 
{−2 + 3a ⩽0
2 + 3a ⩾1
−
 ⩽
3
1
a ⩽
 3
2
例题8
y = kx + b
y = lnx + 2
y = ln x + 1
(
)
x
 , kx
 + b
(
1
1
)
x
 , kx
 + b
(
2
2
)
k =
 =
x
 1
1
 
x
 + 1
2
1
x
 =
1
x
 +
2
1
{kx
 + b = lnx
 + 2
1
1
kx
 + b = ln x
 + 1
2
(
2
)
联立上述式子解得
， 
故选：D．
答 案
或
解析
解：根据题意，设
与
和
的切点分别为
、
． 
曲线
，其导数为
，有
， 
则过点
且与
相切的直线为
，即
， 
曲线
，其导数为
，有
， 
则过点
且与
相切的直线为
， 
即
． 
若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线， 
则有
， 
则有
， 
解得：
或
， 
又
，
，
， 
则
或
． 
故答案为：或
．
答 案
B
解析
由图可得
,切线的斜率
,且在
上切线的斜率的变化先慢后快又变慢,
结合选项可知选项B符合,故选B．
2
模块
模块4：导数与函数的单调性
：导数与函数的单调性
考法：原函数与导函数的图像关系
1  76%
2  81%
k = 2
1
 e
1
y = kx + b
y = ex
y = ln x + 2
(
)
m, e
(
m)
n, ln n + 2
(
(
))
y = ex
y =
′
ex
k = y ∣
 =
′
x=m
em
m, e
(
m)
y = ex
y −e
=
m
e
x −m
m (
)
y = e x −
m
me
+
m
em
y = ln x + 2
(
)
y =
′
 
x + 2
1
k = y ∣
 =
′ x=n
 
n + 2
1
n, ln n + 2
(
(
))
y = ln x + 2
(
)
y −ln n + 2 =
(
)
 x −n
n + 2
1
(
)
y =
 x −
n + 2
1
 +
n + 2
n
ln n + 2
(
)
y = kx + b
y = ex
y = ln x + 2
(
)
{e
=
 
m
n+2
1
−me
+ e
= −
 + ln n + 2
m
m
n+2
n
(
)
m + 1
n + 1 =
(
) (
)
0
m = −1
n = −1
e
=
m
 
n + 2
1
n = −1
∴m = 0
k = e
=
m
e =
0
1
k = e
=
m
e
=
−1
 e
1
1
 e
1
例题9
−1 < f
x <
′ ( )
1
k ∈−1, 1
(
)
R
∴
答 案
B
解析
解:结合图象可知当
时，
，即
， 
在
上
单调递增， 故选B．
答 案
见解析
解析
解：函数
，
． 
， 
当
时，
恒成立，则
在
上单调递增； 
当
时，令
，得
；令
，得
． 
则
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
答 案
见解析
解析
解：函数
的定义域为
， 
又
， 
当
时，在
上，
，
是减函数， 
当
时，由
得：
或
(舍)， 
所以在
上，
，
是减函数， 
在
上，
，
是增函数．
考法：利用函数求单调性
1
1
1
x > 1
x −1 f
x >
(
)
′ ( )
0
f
x >
′ ( )
0
∴y = f x
( )
1, +∞
(
)
例题10
∵
f x =
( )
lnx + a 1 −x
(
)
a ∈R
∴f
x =
′ ( )
 −
x
1
a =
 x > 0
x
1 −ax (
)
a ⩽0
f
x >
′ ( )
0
f x
( )
0, +∞
(
)
a > 0
f
x >
′ ( )
0
0 < x <
 a
1
f
x <
′ ( )
0
x > a
1
f x
( )
0,
 
(
a
1 )
 , +∞
( a
1
)
例题11
f x
( )
0, +∞
(
)
f
x =
′ ( )
2ax + a −2 −
(
)
 =
x
1
 =
x
2ax + a −2 x −1
2
(
)
 
x
2x + 1
ax −1
(
) (
)
a ⩽0
0, +∞
(
)
f
x <
′ ( )
0
f x
( )
a > 0
f
x =
′ ( )
0
x =
 a
1
x = −
 2
1
0,
 
(
a
1 )
f
x <
′ ( )
0
f x
( )
 , +∞
( a
1
)
f
x >
′ ( )
0
f x
( )
例题12
答 案
见解析
解析
解：由
， 
得
，
． 
设
，
． 
当
时，即
时，
，
． 
在
上单调递减． 
当
时，即
时， 
令
，得
，
，
． 
当
时，
， 
在
上，
，在
上，
， 
在
，
上单调递减，在
上单调递增． 
当
时，
，在
上，
，在
上，
， 
在
上单调递增，在
上单调递减． 
综上，当
时，
在
上单调递减； 
当
时，
在
，
上单调递减，在
上单调递增； 
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减．
答 案
见解析
解析
， 
当
时，
， 
为减函数， 
为增函数； 
当
时，令
，得
， 
令
， 
则
， 
当
时，
为减函数， 
当
时，
为增函数， 
， 
(当且仅当
时取“
”)， 
当
或
时， 
为增函数， 
为减函数， 
为增函数， 
当
时，
在
上为增函数， 
综上所述：当
时，
在
上为减函数，在
上为增函数； 
或
时，
在
上为减函数，在
和
上为
1
f x =
( )
−x −
 +
x
m
2 lnx
f
x =
′ ( )
−1 +
 +
x2
m
 =
x
2
 =
x2
−x + 2x + m
2
−
 
x2
x −2x −m
2
x ∈0, +∞
(
)
g x =
( )
x −
2
2x −m
x ∈0, +∞
(
)
m ⩽−1
Δ = 4 + 4m ⩽0
g x ⩾
( )
0
f
x ⩽
′ ( )
0
∴f x
( )
0, +∞
(
)
m > −1
Δ = 4 + 4m > 0
g x =
( )
0
x
 =
1
1 −
 
1 + m
x
 =
2
1 +
 
1 + m
x
 <
1
x
 2
−1 < m < 0
0 < x
 <
1
x
 2
0, x
 ∪
(
1)
x
 , +∞
(
2
)
f
x <
′ ( )
0
x
 , x
 
(
1
2)
f
x >
′ ( )
0
∴f x
( )
0, x
 
(
1)
x
 , +∞
(
2
)
x
 , x
 
(
1
2)
m ⩾0
x
 ⩽
1
0 < x
 2
0, x
 
(
2)
f
x >
′ ( )
0
x
 , +∞
(
2
)
f
x <
′ ( )
0
∴f x
( )
0, x
 
(
2)
x
 , +∞
(
2
)
m ⩽−1
f x
( )
0, +∞
(
)
−1 < m < 0
f x
( )
0, 1 −
 
(
1 + m)
1 +
 , +∞
(
1 + m
)
1 −
 , 1 +
 
(
1 + m
1 + m)
m ⩾0
f x
( )
0, 1 +
 
(
1 + m)
1 +
 , +∞
(
1 + m
)
例题13
f
x =
′ ( )
x −a −1
e −a
[
(
)] ( x
)
a ⩽0
e −
x
a > 0
x ∈(−∞, a −1), f
x <
′ ( )
0, f x
( )
x ∈(a −1, +∞), f
x >
′ ( )
0, f x
( )
a > 0
f
x =
′ ( )
0
x
 =
1
a −1, x
 =
2
lna
g a =
( )
a −1 −lna
g
a =
′ ( )
1 −
 =
a
1
 
a
a −1
a ∈0, 1
(
)
g
a <
′ ( )
0, g a
( )
a ∈(1, +∞)
g
a >
′ ( )
0, g a
( )
∴g a
 =
( )min
g 1 =
( )
0
∴a −1 ⩾lna
a = 1
=
∴
0 < a < 1
a > 1
x ∈(−∞, lna), f
x >
′ ( )
0, f x
( )
x ∈lna, a −1 , f
x <
(
)
′ ( )
0, f x
( )
x ∈(a −1, +∞), f
x >
′ ( )
0, f x
( )
a = 1
f
x =
′ ( )
x e −1 ⩾
( x
)
0, f x
( )
R
a ⩽0
f x
( )
(−∞, a −1)
(a −1, +∞)
0 < a < 1
a > 1
f x
( )
lna, a −1
(
)
(−∞, lna)
(a −1, +∞)
增函数； 
当
时，
在
上为增函数．
答 案
见解析
解析
解：函数
的定义域是
， 
． 
设
，则
． 
令
，则
． 
当
时，
，
在
上为增函数，当
时，
，
在
上为减函数． 
所以
在
处取得极大值，而
，所以
，函数
在
上为减函数． 
于是当
时，
，当
时，
． 
所以，当
时，
，
在
上为增函数；当
时，
，
在
上为减函数． 
故函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
1
a = 1
f x
( )
R
例题14
f x
( )
−1, +∞
(
)
f
x =
′ ( )
 −
1 + x
2 ln 1 + x
(
)
 =
1 + x
(
)2
x + 2x
2
 
1 + x
(
)2
2 1 + x ln 1 + x −x −2x
(
)
(
)
2
g x =
( )
2 1 + x ln 1 + x −
(
)
(
)
x −
2
2x
g
x =
′ ( )
2 ln 1 + x −
(
)
2x
h x =
( )
2 ln 1 + x −
(
)
2x
h
x =
′ ( )
 −
1 + x
2
2 =
 
1 + x
−2x
−1 < x < 0
h
x >
′ ( )
0
h x
( )
−1, 0
(
)
x > 0
h
x <
′ ( )
0
h x
( )
0, +∞
(
)
h x
( )
x = 0
h 0 =
( )
0
g
x <
′ ( )
0 x=
 0
( / )
g x
( )
−1, +∞
(
)
−1 < x < 0
g x >
( )
g 0 =
( )
0
x > 0
g x <
( )
g 0 =
( )
0
−1 < x < 0
f
x >
′ ( )
0
f x
( )
−1, 0
(
)
x > 0
f
x <
′ ( )
0
f x
( )
0, +∞
(
)
f x
( )
−1, 0
(
)
0, +∞
(
)