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1 三角函数总结 一、高考考点、考频 三角函数在高考中占得比例也很大，一至两道选择题。解答题一般考察的点是解 三角形和三角恒等变换结合。填空题一般考察到三角函数图像与性质。三角函数 一般还会和平面向量的知识进行考察，难度会比较大。 二、高考真题 1.（2018 新课标1.16）（5 分）已知函数f（x）＝2sinx+sin2x，则f（x）的最小 值是 ． 【分析】由题意可得T＝2π 是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0， 2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得． 【解答】解：由题意可得T＝2π 是f（x）＝2sinx+sin2x 的一个周期， 故只需考虑f（x）＝2sinx+sin2x 在[0，2π）上的值域， 先来求该函数在[0，2π）上的极值点， 求导数可得f′（x）＝2cosx+2cos2x ＝2cosx+2（2cos2x﹣1）＝2（2cosx﹣1）（cosx+1）， 令f′（x）＝0 可解得cosx＝ 或cosx＝﹣1， 可得此时x＝ ，π 或 ； ∴y＝2sinx+sin2x 的最小值只能在点x＝ ，π 或 和边界点x＝0 中取到， 计算可得f（ ）＝ ，f（π）＝0，f（ ）＝﹣ ，f（0）＝0， ∴函数的最小值为﹣ ， 故答案为： ． 【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档 题． 2.（2018 新课标3.15）（5 分）函数f（x）＝cos（3x+ ）在[0，π]的零点个数 为 3 ． 【分析】由题意可得f（x）＝cos（3x+ ）＝0，可得3x+ ＝ +kπ，k∈Z， 2 即x＝ + kπ，即可求出． 【解答】解：∵f（x）＝cos（3x+ ）＝0， ∴3x+ ＝ +kπ，k∈Z， ∴x＝ + kπ，k∈Z， 当k＝0 时，x＝ ， 当k＝1 时，x＝ π， 当k＝2 时，x＝ π， 当k＝3 时，x＝ π， ∵x∈[0，π]， ∴x＝ ，或x＝ π，或x＝ π， 故零点的个数为3， 故答案为：3 【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题． 三、知识点 1.三角函数的诱导公式 sin(α+2kπ)=sinα, cos(α+2kπ)=cosα, tan(α+2kπ)=tanα; sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα; sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα; sin(π+α)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα; sin( π 2-α)=cosα, cos( π 2-α)=sinα; sin( π 2+α)=cosα, cos( π 2+α)=-sinα。 说明：虽然我们都知道奇变偶不变，符号看象限。但是这一些常用的诱导公式， 我们还是需要记住的。没有必要可以去背他，在平时做题的过程中，注意一下就 可以了。 “奇变偶不变”的意思是：例如cos(270°-α)= - sinα中, 270°是90°的3(奇数) 3 倍所以cos 变为sin,即奇变；又sin(π+α)= - sinα中, π是 π 2的2(偶数)倍所以sin 还 是sin,即偶不变。注意在这里要做好角度制与弧度制的转换。 “符号看象限”的意思是：通过公式左边的角度所落的象限决定公式右边是正还 是是负。例如cos(270°-α)= - sinα中, 视α为锐角,270°-α是第三象限角,第三象限 角的余弦为负,所以等式右边为负号。又如sin(π+α)= - sinα 中, 视α为锐角, π+α是 第三象限角,第三象限角的正弦为负,所以等式右边有负号。注意：公式中α可以不 是锐角,只是为了记住公式,视α为锐角。 2.正弦型函数的图像变换 函数 sin( ) y A x k 的图象与函数 s i n y x 的图象之间可以通过变化 A k ，，，来相互转化．A ，影响图象的形状， k ，影响图象与x 轴交点的位 置．由A 引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变 换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平 移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x 的 图 象 向左( >0)或向右( 0) 平移 个单位长度 得 sin( ) y x 的 图 象 ( ) 横坐标伸长(0< <1)或缩短( >1) 1 到原来的 纵坐标不变 得 sin( ) y x 的图象 ( ) A A A 纵坐标伸长( 1)或缩短(0< <1) 为原来的倍横坐标不变 得 sin( ) y A x 的图象 ( 0) ( 0) k k k 向上 或向下 平移 个单位长度 得 sin( ) y A x k 的图象． 先伸缩后平移 sin y x 的 图 象 ( 1 ) ( A A A 纵坐标伸长 或缩短 为原来的倍(横坐标不变) 得 sin y A x 的 图 象 ( 0 1 ) 1 ( ) 横坐标伸长 或缩短 到原来的 纵坐标不变 得 sin( ) y A x 的图象 ( 0 ) ( 0 向左 或向右 平移 个单位 得 sin ( ) y A x x 的图象 ( 0) ( 0) k k k 向上 或向下 平移 个单位长度 得 sin( ) y A x k 的图象． 3.已知三角函数图像求三角函数y=Asin(ωx+φ),（A>0,ω>0）解析式 由最大（最小）值求出A ，由周期求出，由特殊点的坐标代入求出（注 4 意，取零点时要注意是第一零点还是第二零点）。 相邻的两个最高点或最低点的间距为一个周期；相邻的两个最值点的间距为 半个周期；相邻的两个对称中心的间距为半个周期；最高点和与之相邻的对称中 心的间距为四分之一个周期。 4.三角恒等变换 1）弦的和差角公式： ⑴ cos cos cos sin sin ； ⑵ cos cos cos sin sin ； ⑶ sin sin cos cos sin ； ⑷ sin sin cos cos sin ； ⑸ tan tan tan 1 tan tan （ tan tan tan 1 tan tan ）； ⑹ tan tan tan 1 tan tan （ tan tan tan 1 tan tan ）． 2）升幂、降幂公式 (1)sin2 2sin cos 2 2 2 ) cos (sin cos sin 2 cos sin 2 sin 1 (2) 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 升幂公式 2 sin 2 cos 1, 2 cos 2 cos 1 2 2 降幂公式 2 cos2 1 cos 2 ， 2 1 cos2 sin 2 (3) 2 2tan tan 2 1 tan 3）辅助角公式和万能公式： (1)辅助角公式 2 2 cos sin sin( ) a x b x a b x ，其中tan , a b 的范围根据需要来确定; 2 2 cos sin cos( ) a x b x a b x ，其中tan b a ,的范围根据需要来确定。 5 (2)万能公式 若我们设t = tan 𝑥 2 ，则sin𝑥= 2𝑡 1+𝑡2 ，cos𝑥= 1−𝑡2 1+𝑡2 ，tan𝑥= 2𝑡 1−𝑡2 4）常用的变换 在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中 既 有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换： ） π （ π 4 2 2 2 ) - - （ ） （ ） （ ） （ - - 2 ） （ ） （ - 2 - 2 - 2
