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1 函数（指对幂）总结 一、高考考点、考频 函数的重要性就不用多说了，不管是指数函数，对数函数还是幂函数，在高中的 重要性都是毋庸置疑的。当然，单独考察这几个函数的题目不会很多，但是很多 题目都会涉及到这三个初等函数，可以这么说，如果不会这三个初等函数，那高 考数学已经没了。 二、高考真题 1．（2018 新课标1.9）（5 分）已知函数f（x）＝ ，g（x）＝f（x） +x+a．若g（x）存在2 个零点，则a 的取值范围是（ ） A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞） 【分析】由g（x）＝0 得f（x）＝﹣x﹣a，分别作出两个函数的图象，根据 图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可． 【解答】解：由g（x）＝0 得f（x）＝﹣x﹣a， 作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a 的图象如图： 当直线y＝﹣x﹣a 的截距﹣a≤1，即a≥﹣1 时，两个函数的图象都有2 个交 点， 即函数g（x）存在2 个零点， 故实数a 的取值范围是[﹣1，+∞）， 故选：C． 2.（2018 新课标2.13）（5 分）曲线y＝2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程 为 y＝2x ． 【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x＝0 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：∵y＝2ln（x+1）， ∴y′＝ ， 当x＝0 时，y′＝2， ∴曲线y＝2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x． 故答案为：y＝2x． 2 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上 某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 如果说单纯的考察指对幂函数，没有什么难点与难题，但是函数一般都是一个载 体，结合着函数应用，导数等知识点时，难度就会有所提升。 三、知识点 1.幂函数 1）幂运算的法则 有理数指数幂的运算法则(a>0,b>0,r,s∈Q) ①𝑎𝑟∙𝑎𝑠=𝑎𝑟+𝑠; ②(𝑎𝑠)𝑟=𝑎𝑟𝑠= (𝑎𝑟)𝑠; ③(𝑎𝑏)𝑟=𝑎𝑟𝑏𝑟 2）幂函数y=𝑥α (α=1,2,3, 1 2 ,−1)的图象 3）画幂函数图象的步骤 ①确定定义域； ②判断函数在第一象限的单调性； ③画出第一象限的图象； ④根据奇偶性补出剩余图象． 画第一象限的图像时，可以参考上面的图像。当α>1 时，参考y=𝑥2的图像。当 0<α<1 时，参考y=𝑥 1 2的图像。当α<0时，参考y=𝑥−1的图像。 4)幂函数的奇偶性：设幂函数y=𝑥α (α= q p,p,q∈Z 且p,q 互质)， ①若p,q 同时为奇数，则幂函数y=𝑥α是奇函数． ②若p 为奇数，q 为偶数，则幂函数y=𝑥α是偶函数． ③若p 为偶数，则q 为奇数，此时幂函数y=𝑥α既不是奇函数也不是偶函数． 3 2.指数函数 1）指数函数的图像 2）指数函数的性质 恒过（1,0）点。当a>1 时，单调递增，当0<a<1 时，单调递减。 3）常考题型 ①指数幂的大小比较 幂的大小比较有三类题型： 同底的幂比大小； 同指数的幂比大小； 既不同底也不同指数但容易找到中间值的幂比大小． ②求某指数型函数过的定点。 3.对数函数 1）对数运算 ①积的对数 𝑙𝑜𝑔𝑎（M ∙N）=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀+ 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁(积的对数等于对数的和) 推广：𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑁1 ∙𝑁2 ∙∙∙𝑁𝑘) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁1 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁2 +∙∙∙+𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁𝑘 ②商的对数 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑀 𝑁=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀−𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁(商的对数等于对数的差) ③幂的对数 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀𝛼= 𝛼𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀(𝛼∈𝑅) (幂的对数等于底数的对数乘以幂指数) ④换底公式 换底公式：𝑙𝑜𝑔𝑏𝑁= 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏(𝑎, 𝑏>0，且𝑎, 𝑏≠1, 𝑁>0) 推论：𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎= 1 ⟺𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏= 1 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 4 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚𝑏𝑛= 𝑛 𝑚𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 2)对数函数的图像 3）对数函数常考题型 ①不同底数的对数函数图象比较 由图象可得b>a>1>d>c>0。 ②对数的大小比较 两个对数式的大小比较有以下三种情况： 底数相同． 真数相同 底数不同，真数也不同． 4.恒成立与存在性问题 （1）最重要的三大方法 1）数形结合法：画图时，不需要把图像很准确的画出来，而是根据题目的需要 画出函数图像的增减性、奇偶性、过的定点等等主要信息。 2）分类讨论法；一定要做到四个字：不重不漏。谈论参数的范围时还要注意： 当下取交，综上取并。 5 3）分离变量法：在运用分离变量法时一定要注意到这种方法的各种限制，也并 不是所有的题目都是可以运用分离变量法的。 （2）恒成立与存在性和最值的关系 1）f(x)≥m 在某区间上恒成立⇔f(x)min≥m； （f(x)min为其在对应区间上的最小值， 下同） 2）f(x)≤m 在某区间上恒成立⇔f(x)max≤m；（f(x)max为其在对应区间上的最大 值，下同） 3）存在x 使得f(x)≥m 在某区间上成立⇔f(x)max≥m； 4）存在x 使得f(x)≤m 在某区间上成立⇔f(x)min≥m。 （3）双变量问题 1）f(x)≥g(x)在某区间上恒成立⇔ f(x)-g(x)≥0 在此区间上恒成立； 2）对于任意a，b 使得f(a)≥g(b)恒成立，则f(x)min≥g(x)max； 3）对于任意的b,都存在a 使得f(a)≥g(b)成立,则f(x)max≥g(x)max。 4）对于任意的a，都存在b 使得f(a)=g(b)，则f(x)的值域包含于g(x)的值域。
