[讲义答案]第9讲-d6b91cde393f_学而思高三全套_2019年高三暑假直播_2019-暑高二升高三理科数学一轮复习直播凌云班（全国）10讲王侃_讲义答案

直击课堂
【本讲解读】
  立体几何在高考中占据重要的地位．通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定．高考始终把直线与
直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点，其中，向量法判断空间位置关系是核心考查内
容．在难度上立体几何专题也始终以中等偏难为主．本讲将重点以“空间几何体与三视图”、“空间中的位置关
系”、“空间向量”等多个模块进行讲解．
模块
模块1：七分钟快测
：七分钟快测
直击课堂
直击课堂
本讲解读
本讲解读
演练1
答 案
D
解析
解：被截去的四棱锥的三条可见棱中， 
有两条为长方体的面对角线， 
它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合， 
另一条为体对角线， 
它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合， 
对照各图，只有D符合． 
故选：D．
答 案
A
解析
解：三视图对应的几何体的直观图如图： 
 
几何体的体积为：
， 
解得
． 
故选A． 
答 案
D
解析
解：如果一条直线与两个平行平面中的一个平行， 
那么这条直线与另一个平面的位置关系是直线与平面平行或者直线在平面内， 
故选：D．
1
1
1
演练2
 ×
3
1
 ×
2
x + 2x
2x × 2 = 2
x = 1
演练3
演练4
答 案
A
解析
解：
，
分别是
、
的中点， 
， 
平面
，
平面
， 
平面
， 
又
平面
，平面
平面
， 
． 
与
的位置关系是平行． 
故选：A．
答 案
C
解析
解：
是平面的一条斜线，点
，为过点
的一条动直线，  
A选项中：若
，
，则
，  
这与
是平面的一条斜线矛盾，  
故A选项的情况不可能出现；  
B选项中：若
，
，  
则
或
，  
这与
是平面的一条斜线矛盾，  
故B选项的情况不可能出现； 
D选项中：若
，
，  
则
或
，  
这与
是平面的一条斜线矛盾，  
故D选项的情况不可能出现．  
故A，B，D三种情况均不可能出现．  
故选：C．
答 案
1
1  87%
模块
模块2：空间几何体与三视图
：空间几何体与三视图
考法：多面体的体积与表面积计算
1  100%
∵E
F
AA
 1
BB
 1
∴EF//AB
∵AB
 ⊂
EFGH
EF ⊂
EFGH
∴AB//
EFGH
AB ⊂
ABCD
ABCD∩
EFGH = GH
∴AB//GH
∴HG
AB
演练5
∵m
α
A ∈ / α
l
A
l//m
l⊥α
m⊥α
m
α
l⊥m
l⊥α
m//α
m ⊂α
m
α
l//m
l//α
m//α
m ⊂α
m
α
例题1
 6
1
解析
．
答 案
B
解析
解：过
作
平面
，垂足为
，取
的中点
，连接
， 
过
作
，垂足为
，连接
，
． 
和
都是边长为的等边三角形，
，
，
， 
，
， 
， 
又
，
， 
几何体的表面积
． 
故选B． 
答 案
D
解析
解：设圆锥的底面半径为， 圆锥形物体的母线长
，侧面展开图的圆心角为
， 故
， 解得：
， 故圆锥的高
， 故圆锥的体积
， 故选：D．
答 案
C
解析
2  69%
考法：旋转体的表面积与体积计算
1  77%
2
V
 =
D
 −EDF
1
V
 =
F −D
 ED
1
 ×
3
1
 ×
2
1
1 × 1 × 1 =
 6
1
F
FO⊥
ABCD
O
BC
P
PF
F
FQ⊥AB
Q
OQ
OP
∵△ADE
△BCF
2
∴OP =
 AB −EF
=
2
1 (
)
1
PF =
3
OQ =
 BC =
2
1
1
∴OF =
 =
PF −OP
2
2
 2
FQ =
 =
OF + OQ
2
2
 3
∴S
 =
梯形EF BA
S
 =
梯形EF CD
 ×
2
1
2 + 4 ×
(
)
 =
3
3
 3
S
 =
△BCF
S
 =
△ADE
 ×
4
 3
2 =
2
 3
S
 =
矩形ABCD
4 × 2 = 8
∴
S = 3
 ×
3
2 +
 ×
3
2 + 8 = 8 + 8
 3
例题2
r
l = 4m
 
3
2π
2πr =
 l
3
2π
r =
 m
3
4
h =
 =
l −r
2
2
 
 m
3
8
2
V =
 πr h =
3
1
2
 πm
81
128
 2
3
解：
，
，
， 
， 
， 
的外接圆的半径为
， 
和
所在平面相互垂直， 
球心在
边的高上， 
设球心到平面
的距离为，则
， 
，
， 
球
的表面积为
． 
故选：C．
答 案
D
解析
如图，设圆锥形漏斗底面半径为
，高为
，则
．所以
，
所以圆锥容积
， 
所以
，令
，得
或
(舍去)． 
当
时，
，当
时，
． 
所以当
时，
最大．故选D． 
答 案
A
解析
考法：表面积、体积最值问题
1
2  56%
∵AB = 3
AC =
 3
BC = 2
 3
∴AB +
2
AC =
2
BC2
∴AC⊥AB
∴△ABC
 3
∵△ABC
△DBC
∴
BC
ABC
h
h +
2
3 = R =
2
 × 2
 −h
( 2
 3
3
)
2
∴h = 1
R = 2
∴
O
4πR =
2
16π
例题3
rcm
hcm
h +
2
r =
2
202
r =
 
400 −h2
V =
 πr h =
3
1
2
 π 400 −h
h =
3
1
(
2)
 π 400h −h
0 < h < 20
3
1
(
3) (
)
V =
′
 π 400 −3h
3
1
(
2)
V =
′
0
h =
 
3
20
 3
h = −
 
3
20
 3
0 < h <
 
3
20
 3
V >
′
0
20 > h >
 
3
20
 3
V <
′
0
h =
 cm
3
20
 3
V
解：如图， 
 
到平面
的距离为定值
，
的一边长
， 
要使三棱锥
的体积最小，则
到直线
的距离最小， 
此时
在
上，
到直线
的距离为， 
则三棱锥
的体积最小值为
． 
故选A．
答 案
A
解析
解：由
平面
知，
，且
， 
三棱锥
的体积为 
， 
当
，即
时，三棱锥
的体积最大， 
设此时所对应的外接球的半径为
，则
， 
， 
外接球的体积为
． 
故选：A．
答 案
B
解析
解：由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱， 
其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为，高为， 
该几何体的表面积： 
3
考法：利用三视图还原几何体
1
∵D
MC
 N
1
 
5
12
△MC
 N
1
MN = 2
∴
D −MNC
 1
C
 1
MN
MN
AC
C
 1
MN
5
D −MNC
 1
V =
 ×
3
1
 ×
2
1
2 × 5 ×
 =
5
12
4
SA⊥
ABC
SA⊥AB
SA⊥AC
∴
S −ABC
V =
 ⋅
3
1
 AB ⋅
2
1
AC ⋅sin∠BAC ⋅SA =
 ×
3
1
 ×
2
1
2 × 1 × sin∠BAC × 2 =
 sin∠B
3
2
∠BAC = 90∘
AB⊥AC
S −ABC
R
2R
=
(
)2
SA +
2
AB +
2
AC =
2
2 +
2
2 +
2
1 =
2
9
∴R =
 2
3
∴
V =
 πR =
3
4
3
 π ×
3
4
 
=
( 2
3 )
3
 π
2
9
例题4
1
1
∴
． 
故选：B． 
答 案
A
解析
解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为，高为， 
母线长为
， 
半圆锥的表面积
． 
故选A．
答 案
D
解析
解：由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥
， 该三棱锥的体积
． 故选：D．  
答 案
B
解析
由三视图可得直观图，如图所示， 在四棱锥
中， 最长的棱为
， 即
， 故选B． 
2  64%
3  31%
4  60%
S = 2 ×
 × 1 × 1
+
( 2
1
)
2 × 1 × 1 +
(
)
1 ×
 =
2
3 +
 2
1
2
∴
5
S = S
 +
底面
S
 =
侧面
 ×
2
1
π × 1 +
2
 ×
2
1
2 × 2 +
 ×
2
1
π × 1 ×
 =
5
2 +
 π
2
1 +
 5
P −ABC
=
 ×
3
1
 ×
2
1
5 × 3 × 4 = 10
P −ABCD
PA
PA =
 =
PB + AB
2
2
 =
(2
 ) + 2
2
2
2
2
 3
答 案
见解析
解析
证明：连接
，则
． 
又
，
． 
答 案
见解析
解析
证明：
，
平面
，
平面
， 
平面
， 
又
平面
，平面
平面
， 
．又
， 
．
模块
模块3：空间中的位置关系
：空间中的位置关系
考法：证明线线平行
1
1
例题5
A B
1
EF//A
 B
1
∵A
 B//D
 C
1
1
∴EF//D
 C
1
例题6
∵CD//AB
AB ⊂
ABEF
CD
 ⊂
ABEF
∴CD//
ABEF
CD ⊂
PCD
PCD∩
ABEF = EF
∴CD//EF
CD//AB
∴AB//EF
答 案
见解析
解析
证明：如图所示，连接
，
，则
经过正方形的中心点
， 
且
是
的中点，又
是
的中点， 
，又
平面
，
平面
， 
平面
． 
答 案
见解析
解析
证明：如图，取
的中点
，连接
，
． 
在正三棱柱
中，点
是
的中点，可得
， 
又
，
，四边形
是平行四边形，
． 
且
，
，平面
平面
． 
平面
，
平面
，
平面
． 
考法：证明线面平行
1
1
考法：证明面面平行
例题7
AC
OE
AC
O
O
AC
E
PC
∴OE//PA
OE ⊂
BDE
PA
 ⊂
BDE
∴PA//
BDE
例题8
A B
 
1
1
E
BE
C
 E
1
ABC −A
 B
 C
 
1
1
1
D
AB
CD//C
 E
1
DB//EA
 1
DB = EA1
∴
BDA
 E
1
BE//DA
 1
CD ∩DA
 =
1
D
BE ∩C
 E =
1
E
∴
EBC
 //
1
A
 CD
1
∵BC
 ⊂
1
EBC
 1
BC
 
 
1 ⊂
A
 CD
1
∴BC
 //
1
A
 CD
1
例题9
答 案
见解析
解析
证明：四边形
是正方形，
平面
，
， 
点
、
、
分别为
、
、
的中点， 
，
， 
与
相交，
， 
，
平面
，
，
平面
， 
平面
平面
． 
答 案
见解析
解析
解：证明：取
的中点
 ，连接
，
，
， 
依题意可知
，
均为正三角形， 
，
， 
又
，
平面
，
平面
， 
平面
， 
又
平面
， 
． 
答 案
见解析
解析
证明：过点
作
的垂线，垂足为
， 
由平面
平面
，平面
平面
， 
得
平面
， 
1
考法：证明线线垂直
1
1
∵
ABCD
MA⊥
ABCD
PD//MA
E
G
F
MB
PB
PC
∴EG//PM
GF//BC//AD
∵PM
AD
EG ∩GF = G
PM
AD ⊂
PMA
EG
GF ⊂
EFG
∴
EFG//
PMA
例题10
AD
O
OP
OC
AC
△PAD
△ACD
∴OC⊥AD
OP⊥AD
OC ∩OP = O
OC ⊂
POC
OP ⊂
POC
∴AD⊥
POC
PC ⊂
POC
∴PC⊥AD
例题11
B
 1
A
 C
1
O
A B
 C⊥
1
1
AA
 C
 C
1
1
A
 B
 C∩
1
1
AA
 C
 C =
1
1
A
 C
1
B
 O⊥
1
AA
 C
 C
1
1
又
平面
，所以
． 
由
，
，得
． 
又
，得
平面
． 
又
平面
，得
．
答 案
见解析
解析
证明：取
的中点
，连接
，因为
，
，可知
，
， 又
，
，
平面
， 
平面
，
，又
， 
，
平面
．  
答 案
见解析
解析
四边形
为矩形，
． 
平面
，
，
，
平面
，
． 又
，
，
平面
，
． 又
，
，
平面
．
考法：证明线面垂直
1  68%
1
1
AC ⊂
AA
 C
 C
1
1
B
 O⊥AC
1
∠BAC = 90∘
AB//A
 B
 
1
1
A
 B
 ⊥AC
1
1
B
 O ∩
1
A
 B
 =
1
1
B
 1
AC⊥
A
 B
 C
1
1
CA
 ⊂
1
A
 B
 C
1
1
AC⊥CA
 1
例题12
AD
M
EM
AB = AF = EF = 2
AD = 4
EM =
 AD
2
1
∴AE⊥DE
AE⊥EC
DE ∩EC = E
∴AE⊥
CDE
∵CD ⊂
CDE
∴AE⊥CD
CD⊥AD
AD ∩AE = A
∴CD⊥
ADEF
例题13
∵
ABCD
∴BC⊥AB
∵PA⊥
ABCD
∴BC⊥PA
∵PA ∩AB = A
∴BC⊥
PAB
∴AE⊥BC
AE⊥PB
PB ∩BC = B
∴AE⊥
PBC
∴AE⊥PC
AF⊥PC
AE ∩AF = A
∴PC⊥
AEF
例题14
答 案
见解析
解析
证明：连接
，因为底面
是菱形，
，所以
是正三角形， 
所以
，因为
为
的中点，
， 
所以
，且
， 
所以
平面
， 
又
平面
，所以平面
平面
．
答 案
C
解析
解：由题意知，
， 
 
， 
又
的对称轴为直线
， 
当
时，
取得最小值． 
故选：C．
答 案
D
解析
解：
，存在实数使得
， 
，解得
， 
故选：D．
答 案
模块
模块4：空间向量
：空间向量
考法：空间向量的坐标运算
1
2
3
BD
ABCD
∠BAD = 60∘
△ABD
AD⊥BO
O
AD
PA = PD
AD⊥PO
PO ∩BO = O
AD⊥
POB
AD ⊂
PAD
POB⊥
PAD
例题15
=
AB
1 −x, 2x −3, −3x + 3
(
)
∴
 
 =
∣∣∣AB∣∣∣
 
1 −x
+ 2x −3
+ −3x + 3
(
)2
(
)2
(
)2
=
 
14x −32x + 19
2
∵y = 14x −
2
32x + 19
x =
 7
8
∴
x =
 7
8
 
 
∣∣∣AB∣∣∣
∵l
 //l
 
1
2
∴
k
=
b
k a
∴
 
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧3 = 2k
x = 4k
y = 5k
 
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧k =
 2
3
x = 6
y =
 
2
15
 
5
16
解析
解：由题意可得
，
相互垂直， 
所以
，解得
，故的值为
．
答 案
C
解析
设
与
的夹角为． 
由题意，得
，
，  
， 
， 
故选C．
答 案
解析
解：
，
，
， 
，
，
三向量共面， 
存在，，使得
， 
， 
， 
解得
，
，
． 
故答案为：
．
答 案
B
解析
解：在空间直角坐标系中，
，
为直线
上的两点， 
，
为直线
上的两点， 
4
5
考法：向量法计算线线角
1
k
+
a
=
b
k −1, k, 2
(
)
−
a
3
=
b
4, 1, −6
(
)
4 k −1 +
(
)
k −12 = 0
k =
 
5
16
k
 
5
16
AC
AB
θ
=
AC
−1, 1, 0
(
)
=
AB
0, 3, 3
(
)
∴cos θ =
 =
 
 
 
 
∣∣∣AC∣∣∣
∣∣∣AB∣∣∣
⋅
AC
AB
=
 × 3
 
2
2
3
 2
1
∴θ = 60∘
 
7
65
∵
=
a
2, −1, 3
(
)
=
b
−1, 4, −2
(
)
=
c
7, 5, λ
(
)
a
b
c
∴
p
q
=
c
p
+
a
q b
∴7, 5, λ =
(
)
2p −q, −p + 4q, 3p −2q
(
)
∴
 
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧2p −q = 7
4q −p = 5
λ = 3p −2q
p =
 
7
33
q =
 
7
17
λ = 3p −2q =
 
7
65
 
7
65
例题16
∵
A 2, 0, 0
(
)
B 1, 0, 1
(
)
l
 1
M 1, 0, 0
(
)
N 1, 1, 1
(
)
l
 2
，
， 
设异面直线
与
所成角的大小为， 
则
， 
． 
异面直线
与
所成角的大小是
． 
故选：B．
答 案
见解析
解析
解：依题意，以
为坐标原点，分别以
，
，
 
为，，轴建立空间直角坐标系
，则
， 
， 
从而
， 
设平面
的法向量为
，即
， 
不妨取
，则
， 
所以平面
的一个法向量为
， 
此时
， 
所以
与平面
所成角的正弦值为
．
答 案
见解析
解析
不存在，理由：建立如图所示的空间直角坐标系，设
，则
， 
则
， 
由
得，
， 
化简得，
，该方程无解， 
考法：向量法计算线面角
1
2
∴
=
AB
−1, 0, 1
(
)
=
MN
0, 1, 1
(
)
l
 1
l
 2
θ
cos θ =
 =
 
 ⋅
 
 
∣∣∣AB∣∣∣
∣∣∣MN∣∣∣
⋅
AB
MN
 =
 ×
 
2
2
1
 2
1
∴θ = 60∘
∴
l
 1
l
 2
60∘
例题17
A
AB
AD
AP
x
y
z
A −xyz
P 0, 0, 1
(
)
B 1, 0, 0 , C 1, 1, 0 , D 0, 2, 0
(
)
(
)
(
)
=
PB
1, 0, −1 ,
=
(
) PC
1, 1, −1 ,
=
(
) PD
0, 2, −1
(
)
PCD
=
n
a, b, c
(
)
 
{a + b −c = 0
2b −c = 0
c = 2
b = 1, a = 1
PCD
=
n
1, 1, 2
(
)
cos
,
=
⟨PB n⟩
 =
 ×
 
2
6
1 −2
−
 
6
 3
PB
PCD
 
6
 3
=
PE
λ
0 ⩽λ ⩽1
PD (
)
E 0, 2λ, 1 −λ
(
)
=
CE
−1, 2λ −1, 1 −λ ,
=
(
) AE
0, 2λ, 1 −λ
(
)
∠AEC = 90∘
⋅
AE
=
CE
2λ 2λ −1 +
(
)
1 −λ
=
(
)2
0
5λ −
2
4λ + 1 = 0
所以，棱
上不存在一点
满足
． 
答 案
见解析
解析
证明：因为
，且
为
的中点， 
所以
． 
又由题意可知，平面
平面
， 
交线为
，且
平面
， 
所以
平面
．
答 案
见解析
解析
解：如图，以
为原点，
，
，
所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系． 
由题意可知，
，又
，
，
， 
所以得：
，
，
，
，
，
，则有：
，
，
． 
设平面
的一个法向量为
，则有
， 
令
，得
，
，所以
． 
． 
1
2
PD
E
∠AEC = 90∘
例题18
A
 A =
1
A
 C
1
O
AC
A O⊥AC
1
AA C
 C⊥
1
1
ABC
AC
A
 O ⊂
1
AA
 C
 C
1
1
A O⊥
1
ABC
O
OB
OC
OA
 1
x
y
z
A
 A =
1
A
 C =
1
AC = 2
AB = BC
AB⊥BC
∴OB =
 AC =
2
1
1
O 0, 0, 0
(
)
A 0, −1, 0
(
)
A
 0, 0,
 
1 (
3)
C 0, 1, 0
(
)
C
 0, 2,
 
1 (
3)
B 1, 0, 0
(
)
 =
A
 C
1
0, 1, −
 
(
3)
 =
AA
 1
0, 1,
 
(
3)
=
AB
1, 1, 0
(
)
AA B
1
=
n
x, y, z
(
)
 ⇔
{
⋅
 = 0
n
AA
 1
⋅
= 0
n
AB
 
{y +
 z = 0
3
x + y = 0
y = 1
x = −1
z = −
 
3
 3
=
n
−1, 1, −
 
(
3
 3 )
cos⟨
,
 ⟩=
n A
 C
1
 =
 
 
 
 
 
∣∣∣n ∣∣∣
∣∣∣A
 C
1
∣∣∣
⋅
 
n
A
 C
1
 
7
 
21
因为直线
与平面
所成角和向量
与
所成锐角互余，所以
． 
答 案
见解析
解析
解：设
，
，
， 
即
，得
， 
所以
，得
， 
令
平面
，得
， 
即
，得
， 
即存在这样的点
，
为
的中点．
答 案
见解析
解析
证明：在
中，
，
，
， 
则
， 
于是
，故
． 
因为
平面
，于是
，又
，
、
平面
， 
故
平面
，又
平面
，所以
．
答 案
见解析
3
考法：向量法计算二面角
1
2
A C
1
A
 AB
1
θ
n
 
A
 C
1
sinθ =
 
7
 
21
E = x
 , y
 , z
 
(
0
0
0)
=
BE
λ
 
BC
 1
 =
BC
 1
−1, 2,
 
(
3)
x
 −1, y
 , z
 =
(
0
0
0)
λ −1, 2,
 
(
3)
 
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧x
 = 1 −λ
0
y
 = 2λ
0
z
 =
 λ
0
3
E =
1 −λ, 2λ,
 λ
(
3 )
=
OE
1 −λ, 2λ,
 λ
(
3 )
OE//
A
 AB
1
⋅
OE
=
n
0
−1 + λ + 2λ −λ = 0
λ =
 2
1
E
E
BC
 1
例题19
△BCB
 1
BC = 1
BB
 =
1
2
∠B
 BC =
1
60∘
B
 C =
1
 =
1 + 2 −2 × 1 × 2 ⋅cos 60
2
2
∘
 3
BC +
2
B
 C =
1
2
BB
 1
2
B
 C⊥BC
1
AC⊥
BCC
 B
 
1
1
AC⊥B
 C
1
BC ∩AC = C
BC
AC ⊂
ABC
B
 C⊥
1
ABC
AB ⊂
ABC
B
 C⊥AB
1
解析
解：如图，以
为原点，以
，
，
所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标
系
，则
，
，
，
， 
由
，得
，设
， 
则
，于是
， 
求得平面
的一个法向量为
， 
取平面
的一个法向量为
，又二面角
为
， 
则
， 
解得
或
(舍)， 
所以
的值为
． 
C
CB
 1
CB
CA
x
y
z
C −xyz
C 0, 0, 0
(
)
B
 
 , 0, 0
1 (
3
)
B 0, 1, 0
(
)
A 0, 0, 1
(
)
 =
BB
 1
 
CC
 1
C
 
 , −1, 0
1 (
3
)
=
BE
λ
 0 ⩽λ ⩽1
BB
 1 (
)
E
 λ, 1 −λ, 0
(
3
)
=
AE
 λ, 1 −λ, −1 ,
 =
(
3
) AC
 1
 , −1, −1
(
3
)
AEC
 1
=
n
λ −2,
 λ −
 , −
 
(
3
3
3)
EC
 C
1
=
m
0, 0, 1
(
)
A −EC
 −
1
C
45∘
cos 45 =
∘
 =
∣
∣⋅∣
∣
m
n
∣
⋅
∣
m
n
 =
 
λ −2
+ 3 λ −1
+ 3
(
)2
(
)2
 3
 =
 
4λ −10λ + 10
2
 3
 
2
 2
λ =
 2
1
λ = 2
 
BB
 1
BE
 2
1