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函数初步总结
一、高考考点、考频
函数，无疑是高考中占比最大的一部分。从函数的奇偶性，增减性，到对、幂、
指函数的性质，到最后的导数，甚至数列都会和函数结合考察。这些都是高考最
常考的知识点。所以大家一定要打起精神来，认真对待函数部分。而本讲的函数
初步，介绍了函数的三要素，增减性，最值问题，以及奇偶性、周期性。一般会
在选择填空题中考察。
二、高考真题
1.（2018 新课标1.5）（5 分）设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇
函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2x
B．y＝﹣x
C．y＝2x
D．y＝x
【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求
解切线方程．
【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，f（﹣x）＝
﹣f（x），
﹣x3+（a﹣1）x2﹣ax＝﹣（x3+（a﹣1）x2+ax）＝﹣x3﹣（a﹣1）x2﹣ax．
所以：（a﹣1）x2＝﹣（a﹣1）x2
可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，
曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，
则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．
故选：D．
2.（2018 新课标2.11）（5 分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满
足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（ ）
A．﹣50
B．0
C．2
D．50
【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和
奇偶性进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），
∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，
则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
2
即函数f（x）是周期为4 的周期函数，
∵f（1）＝2，
∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（0）＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）
＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周
期性是解决本题的关键．
三、知识点
1.求函数定义域
解决所有函数问题，要树立定义域优先思想，即若函数定义域不为R，优先求出
定义域。
（1）具体函数定义域一般遵循以下几个原则：
1)解析式是整式时，定义域是全体实数；
2)解析式是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数；
3)解析式是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合；
4)对数函数的真数大于零，当指数、对数、指数函数或对数函数的底数中含变量
时，底数须大于零且不等于1；
5)零（负）指数幂的底数不能为零；
6)若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各
基本初等函数的定义域的交集；
7)对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分
类讨论；
8)由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意
义；
9)当一个函数的解析式是上述多种情况综合，求各自定义域，再求交集；
（2）抽象函数或复合函数定义域求法:
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1)若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)
≤b 解出；
2)若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)
的值域。
2.求函数值域（最值问题）
（1）观察法/定性分析法/图象法；
（2）利用常见函数值域法：熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及
幂函数的值域；是求解复杂函数值域的基础；
（3）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变
量的取值范围确定函数的值域或最值；
（4）换元法：形如y = ax + b ± √cx + d型；
（5）分离常数法：形如y =
ax+b
cx+d 或y =
ax2+bx+e
cx+d
(
至少有一个不为零)的函数；
（6）分子有理化；
（7）判别式法：若函数y = f(x)可以化成一个系数含有y的关于x 的二次方程
a(y)x2 + 𝑏(y)𝑥+ 𝑐(𝑦) = 0，则在a(y) ≠0时，由于x,y 为实数，故必须有∆=
𝑏2(𝑦) −4a(𝑦)𝑐(𝑦) ≥ 0，从而确定函数的值域或最值．由判别式法来判断函数
的值域时，若原函数的定义域不 是实数集时，应综合函数的定义域，将
扩大的部分剔除。
（8）函数单调性法(复合法/导函数法)
指数型复合函数和对数型复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性
转换法：y = m(logax)2 + n logax + q y = m(ax)2 +n (ax) + q
分解法：y = m loga f(x)
y = mf(x)
奇偶性：也可用特值法（注意易错点）
（9）不等式法；
（10）反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数
的值域或最值；
（10）利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；
（11）利用函数有界性（三角函数、指数函数等）。
c
a,
4
3.奇偶性的判断
（1）函数具有奇偶性的前提条件：定义域关于原点对称。
（2）判断函数奇偶性的方法
1)定义法：
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
2)图像法：关于原点对称则是奇函数，关于y 轴对称则是偶函数。
3)性质法：设 ， 的定义域分别是 , 则在它们的公共定义域上，有下面结论：
f(x)
g(x)
f(x)+ g(x)
f(x)-g(x)
f(x)g(x)
f(g(x))
偶
偶
偶
偶
偶
偶
偶
奇
不定
不定
奇
偶
奇
偶
不定
不定
奇
偶
奇
奇
奇
奇
偶
奇
4)多项式法：
函数p(x)=𝑎𝑛𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯+ 𝑎0的奇偶性：
多项式函数p(x)是奇函数⟺p(x)的偶次项的系数全为零；
多项式函数p(x)是偶函数⟺p(x)的奇次项的系数全为零。
5)抽象函数奇偶性的判断方法：
1°利用函数奇偶性的定义，找准方向（想办法出现f(-x)，f(x)）；
2°巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；
3°找出f(-x)与f(x)的关系，得出结论。
4.函数奇偶性的性质
（1）若f(x)是奇函数，且0∈定义域，则f(0)=0；若f(x)是偶函数，则f(-x)=
f(x)= f(|x|)。
（2）奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区
间上单调性相反。
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（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种模型，即f(x)=0，x∈D,D 关于原点
对称。
