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“
”
很开心能见到你，本书将带领你进入全新的领域。在过去
的学习中，无论你是卓越还是略有失意，此刻将是新的征途的开
始。你是否已准备好谱写新的辉煌？
在这里，你会知道许多著名数学家的趣事。你也会揭开数学
神秘的面纱，了解数学之美。
大数学家高斯说：“数学是一切科学的皇后。”如果说物理是
上帝的游戏，那数学就是上帝的游戏规则。数学是通往星辰大海
的秘钥，是国防科技的护盾，是我们脚下这片土地的未来。华罗
庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”
现在的你，肯定已迫不及待想要扬帆起航。但睿智的你肯定
也明白，学习的事，容不得半点含糊。
亲爱的同学：
第一，凡事预则立，不预则废。
第二，认真听课，积极互动。认真做笔记，总结解题方法、技巧。
第三，温故而知新，可以为师矣。不忘温习，方得始终。
第四，及时完成随堂练习。今朝有题今朝做，明朝又有明朝事。
第五，整理错题，学会总结。聪明人知错就改，糊涂人有错就瞒。
最后，青春的帆已扬起，只待你乘风破浪，勇往直前。
对于初中直播课学习，给你一些建议：
序言
华
罗
庚
高
斯
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心形函数曲线
π
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金字塔
有趣的黄金分割线
对称美
古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线条和其他一切
美的形体都必须有对称的形式。”对称本身即具有和谐的
整体美。
早在南北朝时期，大数学家祖冲之就利用割圆术将圆周
率π精算到小数点后七位，直到15世纪，阿拉伯数学
家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
金字塔，是古埃及人智慧代表的巅峰之作。早在古希腊
时期，几何学家泰勒斯就可以根据投影与相似三角形定
理，测量出金字塔的高度。
0.618比1，著名的“黄金分割比”。意大利著名画家
达·芬奇笔下的《蒙娜丽莎》就多次应用黄金分割比，
蒙娜丽莎之所以越看越美，就是因为她的脸型、身材均
符合黄金矩形。
笛卡尔给公主的信中，只有一道函数公式：r=a(1-sinθ）。
而极具浪漫色彩的是，当公主把函数图象画出来后，一颗饱满
的心跃然纸上。这就是著名的“心形线”。
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前言
希望学教研团队
亲爱的同学：
当你翻开这本书的时候，你又开始了一段新的学习之旅。
本书由希望学教研团队编写而成。团队有多年的教研沉淀，致力于为同学们
提供小学、初中和高中全学科的课外有益补充，培养学生分析问题和自主解决问
题的能力。锻炼思维，开拓视野，由“知识型”向“能力型”转化。
下面我们将向你介绍本书的诞生过程：
1、对标教材和课程标准建立课程大纲
希望学教研团队根据教育部审定的最新中学教材，选取重难点模块，收集各
地区题目，精心敲定教学大纲。
2、依据大数据、编撰高标准
①依托多年教研沉淀，精品题库、讲义素材、课件切片等四大库教研基建，
为讲义编撰提供优质素材；
②希望学大数据核心算法定位学习中的薄弱环节；
③百人教研团队，历经1000+小时，严格按照大纲目录进行编写，三轮审核
三轮校对。
3、三审三校
初稿经由希望学教研中心内部一审，学科产品、教学中心、主讲老师集中二
审，外部专家专业三审后进入校对环节。
由编者一次精校；教研中心资深教研员二次精校；排版团队三次精校。只有
经过全面的三审三校，这本书才能发送给我们的用户！
4、排版
编撰与审校结束后，会安排专业团队进行排版印刷。模板和风格由专业设计
师进行设计，并不断更新迭代，紧跟审美风向标，提升可读性。由供应部门统一
调配和发货，这本书就会到达你的手中啦！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！接下来的每一天，我们都会在你的见证
下不断精进，不断成长。
未来，希望学也会继续承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育
资源的均衡发展。伴随着你的成长，见证着你的成功，每天进步一点点，一起做
更好的自己！
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练习册是根据最新中学课本，选取重难点模块，筛选各
地区诊断题目，精心编写而成。为课上讲义匹配的同步练习
册，基于每一讲的内容精心提炼出常见题型，每个题型下匹
配2-4道练习题，针对课上学习的内容强化训练，巩固复习。
使用步骤：
第一步，完成相应讲次课程，整理课堂笔记，梳理解题
方法；
第二步，有针对性的完成重点题型的练习题，巩固知识，
诊断学习效果；
第三步，参照答案，有错改错，定期复习，查漏补缺。
“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。” 愿
你在今后的学习道路上，披荆斩棘，每天进步一点点！
练习册使用说明
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目录
直观想象——会动手的几何课
1
模块一
会动手的几何课
2
模块二
裁一裁
5
直观想象——三维几何中的神奇奥妙
23
模块一
立体图形的展开图
25
模块二
从三个不同方向看物体
32
第1 讲
数学运算——数的运算探
究（一）
49
模块一
探究一：负数的探究
50
模块二
探究二：数的巧算
58
第2 讲
数学运算——数的运算探
究（二）
69
模块一
探究三：数的乘法与除法
70
模块二
探究四：数的混合运算技巧
78
第3 讲
数学抽象——用字母表示
数
91
模块一
用字母表示数
92
模块二
有趣的新定义
95
模块三
有趣的规律探究
97
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第4 讲
数学运算——简易方程的
探究
111
模块一
等式的性质
112
模块二
利用等式的性质解方程
115
模块三
高阶解方程
121
第5 讲
数学建模——生活中的方
程（一）
133
模块一
和差倍分
134
模块二
经济利润
138
第6 讲
数学建模——生活中的方
程（二）
151
模块一
行程问题
152
模块二
阶梯定价问题
155
第7 讲
直观想象——线的探究
167
模块一
线段相关的计数和应用
168
模块二
直线相关的计数
174
第8 讲
直观想象——角的探究
185
模块一
角的计数
186
模块二
角的计算
191
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直观想象——会
直观想象——
会动手的几何课
模块一
会动手的几何课
模块二
裁一裁
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会
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课
2
模块一
模块一
会动手的几何课
典型例题1
一起来剪剪：
①探索：剪一剪，量一量
三角形内角和为
；
四边形内角和为
；
五边形内角和为
．
②总结
𝑛边形内角和为
．(其中𝑛为大于2 的整数)
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课
3
典型例题2
如图，两个相同的直角三角形能拼接成哪些我们学过的图形？
典型例题3
一起来剪拼：
（1）将三角形剪拼成平行四边形（剪一刀）．
（2）将三角形剪拼成平行四边形（剪两刀）．
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课
4
典型例题4
用两种方法将三角形剪拼成长方形．
典型例题5
一起来剪拼：
将四边形剪拼成平行四边形．
典型例题6
一起来剪拼：
将长方形剪拼成菱形．
（有一组邻边相等的平行四边形）
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5
模块二
模块二
裁一裁
温馨提示：本页内容同学们可以撕下动手裁剪
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7
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11
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13
随堂练习
随堂练习1
将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线
剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ）．
A.
B.
C.
D.
随堂练习2
如图所示，将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，用这四张小
纸片一定可以拼成（ ）．
A. 梯形
B. 长方形
C. 菱形
D. 平行四边形
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课
14
随堂练习3
将梯形纸片剪拼成平行四边形：请在图中画出示意图，要求用两种不同的画法，并简要说
明如何剪拼和变换的．
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15
数学探索
概率与生活
公元1052 年4 月，侬智高起兵反宋。当朝皇帝宋仁宗决定派
遣大将狄青去平定叛乱。当时路途艰险，军心不稳，狄青取胜的把
握不大。为了鼓舞士气，狄青便设坛拜神，说：
“这次出兵讨伐叛军，
胜败没有把握，是吉是凶，只好由神明决定了。是吉的话，那我随便
掷100 个铜钱，神明保佑，正面定然会全部朝上；只要有一个背面
朝上，那我们就难以制敌，只好回朝了。”
官员们诚惶诚恐，劝道：
“大将军，运气再好，100 个铜钱，总不
会个个正面朝上，如果有背面朝上，岂不动摇军心？如果不战而回，
那更是违抗圣旨。请大将军三思而行！”此时的狄青已是胸有成竹，
叫心腹拿来一袋铜钱，在千万人的注视下，举手一挥，把铜钱全部
抛向空中，100 个铜钱居然鬼使神差地全部朝上。顿时，全军欢呼，
声音响彻山野。由于士兵个个认定神灵护佑，战斗中奋勇争先，仅
一次战役，就收回了失地，大功告成。
那么，那100 个铜钱究竟是怎么回事呢？原来，狄青那100 个
铜钱正反两面都是正面的图案，使得正面朝上的机会为100％，从
而鼓舞了士气，大军获胜。
以上只是古人利用简单的概率知识获利。其实，从古到今，概
率就与人们的生活息息相关。
同学们可以想想生活中还有什么事情是与概率相关的呢？
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16
练习册
1
如图所示，将长方形纸片先沿虚线𝐴𝐵向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线𝐶𝐷
向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的图形是（ ）．
A.
B.
C.
D.
2
将一张正方形纸片按图1，图2 所示的方向对折，然后沿图3 中的虚线裁剪得到图
4，将图4 的纸片展开铺平，再得到的图案是（ ）．
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课
17
3
把一张梯形纸片剪拼成一个平行四边形（如图），下面说法错误的是（ ）．
A. 平行四边形的面积一定等于梯形的面积
B. 平行四边形的周长一定等于梯形的周长
C. 平行四边形的底是梯形上、下底之和
D. 平行四边形的高是梯形高的一半
4
正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：
仿照图1 所示的方法，解答下列问题：
如图2，对直角三角形设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面
积的长方形．
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课
18
5
下面是一个直角三角形，剪一刀再拼一拼，你能把它变成一个长方形吗？
6
下图是一个直角三角形，其中一条直角边的长是另一条直角边的2 倍．请你把它剪
成两块，然后拼成一个正方形．
7
你能将下面的等腰三角形剪一刀，将它分成形状大小完全相同的两部分，然后再用
这两部分拼成一个长方形吗？用这两部分拼成一个平行四边形呢？
8
下面是一个平行四边形，剪一刀再拼一拼，你能把下面的平行四边形变成一个长方
形吗？
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课
19
9
如图，若只用两条剪切线，能否将图中的四边形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷剪拼成一个与之面积相
等的平行四边形? 若能，请在图中画出剪切线以及剪拼成的平行四边形；若不能，请
简要说明理由．
10
综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2，其中一边𝐵𝐶为8cm 的锐角三角形
纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的长方形𝐵𝐶𝐷𝐸（如图
2），则长方形的周长为
cm．
11
把一个直径是4 厘米的圆分成若干等份，然后把它剪开，照下图的样子拼起来，拼
成的图形的周长比原来圆的周长增加
厘米．
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20
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直观想象——三维
直观想象——
三维几何中的神奇奥妙
模块一
立体图形的展开图
模块二
从三个不同方向看物体
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妙
24
知识引入
下图中的广场上，有哪些我们学过的立体图形呢？
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25
模块一
模块一
立体图形的展开图
知识梳理
常见立体图形展开图
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26
典型例题1
某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（ ）．
A.
B.
C.
D.
融会贯通1
如图，该几何体只有一个面涂有颜色，则该几何体的表面展开图是（ ）．
A.
B.
C.
D.
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27
知识梳理
想一想
一个正方体有多少个面？如果将这几个面展开，可以有多少种情况？
正方体的展开图
正方体共有11 种展开图，可按如下的方式分类．
①“141 型”，中间一行4 个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6 种基本图形．
②“132 型”，中间3 个作侧面，共3 种基本图形．
③“222 型”，两行只能有1 个正方形相连．
④“33 型”，两行只能有1 个正方形相连．
【注】由少于或多于6 个的正方形组成的图形不是正方体的展开图；有“凹”字型或“田”字
型部分的平面图形不是正方体的展开图.
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妙
28
典型例题2
下列图形中，不是正方体的展开图的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
融会贯通2
在下面的图形中是正方体的展开图的为（ ）．
A.
B.
C.
D.
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29
知识梳理
正方体找对面问题
1. 同行隔一个.
2. 异行“Z”两端.
典型例题3
如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“弘”字一面的相对面上的字
是（ ）．
A. 传
B. 统
C. 文
D. 化
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30
融会贯通3
某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”
字所在面相对的面上的汉字是（ ）．
A. 厉
B. 害
C. 了
D. 我
典型例题4
如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（ ）．
A.
B.
C.
D.
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31
融会贯通4
如图是立方体的表面展开图，把它折叠成立方体，它会变成下边的（ ）．
A.
B.
C.
D.
典型例题5
如图，正方体盒子的外表面上画有3 条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝
上），展开图可能是（ ）．
A.
B.
C.
D.
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32
模块二
模块二
从三个不同方向看物体
知识梳理
从三个方向看物体
从不同的方向看物体才能更全面的认识一个图形。
【注意】
画从正面、左面、上面看到的几何体的形状图时需要注意：
①长对正：从正面看和从上面看得到的形状图长相等.
②高平齐：从正面看和从左面看得到的形状图高相等.
③宽相等：从左面看和从上面看得到的形状图宽相等.
【举例】
从正面看 从左面看
从上面看
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33
典型例题6
如图，桌面上放着1 个长方体和1 个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，从左面看得
到的形状图是（ ）．
A.
B.
C.
D.
实战演练1
下列几何体是由4 个相同的小正方体搭成的，其中从左面看与从上面看得到的形状图相
同的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
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34
典型例题7
一个几何体从正面、左面、上面观察看到的形状图如图所示，那么这个几何体是（ ）．
A.
B.
C.
D.
典型例题8
在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为1 cm 的小正方体堆成一个几何体，如图所
示：
（1）这个几何体是由
个小正方体组成，请画出这个几何体从正面、左面、上
面观察看到的形状图．
（2）如果在这个几何体露在外面的表面喷上黄色的漆，每平方厘米用2 克，则共需
克漆．
（3）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看得到的形状
图不变，最多可以再添加
个小正方体．
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中
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35
典型例题9
（1）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体，从正面看和从上面看得到的图形如图所
示，则搭成该几何体的小正方体最多是
个．
（2）若干个相同的小立方体搭成的几何体从上面和从左面看到的形状如图所示，则满足
条件的几何体中小立方体的个数最少是
．
融会贯通5
一个由许多规格相同的小正方体堆积而成的几何体，其从正面、左面看到的形状图如图
所示一模一样．若要摆成这样的图形，至少需用𝑚块小正方体，至多需用𝑛块小正方体，
则𝑚𝑛=
．
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36
随堂练习
随堂练习1
下列四个图形中是正方体的平面展开图的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
随堂练习2
如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，标有“☆“的一面相对面上的字
是（ ）．
A. 神
B. 奇
C. 数
D. 学
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37
随堂练习3
如右图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（ ）．
A.
B.
C.
D.
随堂练习4
用小立方块搭一个几何体，使得它从正面和从上面看如图所示，这样的几何体最少要
个立方块．
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38
随堂练习5
如图是由7 个相同小正方体组成的几何体，请在方格纸中分别画出从正面、左面、上面看
到的形状图．
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39
数学探索
斐波那契数列和斐波那契螺旋线
斐波那契数列（Fibonacci sequence），因数学家莱昂纳多⋅斐
波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这
样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数
列以如下递推的方法定义：
F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)。
而斐波那契数列又称黄金分割数列，这又是为什么呢？
斐波那契数列作为一个完全是自然数的数列，通项公式却是
用无理数来表达的。而且当n 趋向于无穷大时，前一项与后一项的
比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值的
小数部分越来越逼近0.618）
1÷1 = 1
1÷2 = 0.5
2÷3 = 0.666⋯
3÷5 = 0.6
5÷8 = 0.625
…
144÷233 = 0.618025⋯
…
46368÷75025 = 0.6180339886⋯
…
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三
维
几
何
中
的
神
奇
奥
妙
40
数学探索
证明：
对于𝑎𝑘+𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘+2，两边同时除以𝑎𝑘+1 得到：
𝑎𝑘
𝑎𝑘+1
+1 = 𝑎𝑘+2
𝑎𝑘+1
①
若
𝑎𝑛
𝑎𝑛+1
的极限存在，设其为𝑥，则有：
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑎𝑛+1
= lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛+2
= 𝑥
代入①中得到分式方程：
𝑥+1 = 1
𝑥
∵𝑥> 0
∴𝑥= √5−1
2
所以
𝑎𝑛
𝑎𝑛+1
的极限为黄金分割比。
斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出
来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然
界最完美的经典黄金比例。作图规则是在以斐波那契数为边的正
方形拼成的长方形中画一个90 度的扇形，连起来的弧线就是斐波
那契螺旋线。
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三
维
几
何
中
的
神
奇
奥
妙
41
练习册
1
如图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么
这个展开图是（ ）．
2
下列各图经过折叠后不能围成一个正方体的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
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三
维
几
何
中
的
神
奇
奥
妙
42
3
小林同学在一个正方体盒子的每个面上都写了一个字，分别是：我、喜、欢、数、学、
课，其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，与“喜”相对的面所写的字是
“
”．
4
如图，一个正方体的平面展开图，若折成正方体后，每对相对面上标注的值的和均相
等，则𝑥+𝑦=
．
5
下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
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三
维
几
何
中
的
神
奇
奥
妙
43
6
如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）．
A.
B.
C.
D.
7
如图是一种常用的圆顶螺杆，从上面看得到的形状图是（ ）．
A.
B.
C.
D.
8
如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体从上面看得到的平面图形，小正方形
中的数字表示该位置上小立方块的个数，则从正面看该几何体得到的平面图形为
（ ）．
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三
维
几
何
中
的
神
奇
奥
妙
44
9
如图是由一些棱长都为1cm 的小正方体组合成的简单几何体．
（1）该几何体从正面看得到的形状图如图所示，请在下面方格纸中分别画出从左
面看和从上面看得到的形状图．
（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从上面看和从左面看得到
的形状图不变，最多可以再添加
块小正方体．
10
如图是由10 个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于
新几何体的三视图描述正确的是（ ）．
A. 从上面、左面看到的形状图不变
B. 从正面、左面看到的形状图都发生改变
C. 从正面、上面看到的形状图不变
D. 从正面、左面看到的形状图不变
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三
维
几
何
中
的
神
奇
奥
妙
45
11
如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体从正面、上面看到的形状图，
若组成这个几何体的小正方体的块数为𝑛，则𝑛的最小值与最大值的和为
．
12
如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体从正面、左面看到的形状图，组成
这个几何体的小正方体的个数最少是（ ）．
A. 5 个
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
13
一个几何体是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其从正面、左面看得到的
形状图如图所示，要摆成这样的图形，至少需用
块正方体，最多需用
块正方体．
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三
维
几
何
中
的
神
奇
奥
妙
46
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第1 讲
数学运算——数的
数学运算——
数的运算探究（一）
模块一
探究一：负数的探究
模块二
探究二：数的巧算
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第
1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
50
模块一
模块一
探究一：负数的探究
知识梳理
正数：像3, 1
2,+7 这样的数，叫做正数．
（正数前面的“+”可省略）
负数：像−2,−1.2 这样在正数前加上符号“−”的数，叫做负数．
0 既不是正数, 也不是负数．
想一想
你在生活中的在哪些场景遇到了负数？
典型例题1
（1）在−21
2，+ 7
10，−3.2，0，4.5，−1 中，负数有（ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
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第
1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
51
（2）下列关于“0”的说法正确的个数是（ ）
①0 是正数和负数的分界点；
②0 只表示“什么也没有”；
③0 可以表示特定的意义，如0∘C 等；
④0 是正数；
⑤0 是自然数．
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
知识引入
小马和小季一个向右走，一个向左走，走的方向正好相反. 而正数和负数正好可以表
示相反意义的量.
若小马向右走5m，记为“+5m”，则小季向左走3m，记为
. 小季走了−4m
表示他向
走了
m.
典型例题2
（1）一袋大米的标准重量为10kg. 把一袋重10.5kg 的大米记为+0.5kg，则一袋重9.8kg
的大米记为（ ）
A. −9.8kg
B. +9.8kg
C. −0.2kg
D. 0.2kg
（2）下列各组量中，具有相反意义的量是（ ）
A. 节约汽油10 升和浪费粮食10kg
B. 向东走8 公里和向北走8 公里
C. 收入300 元和支出100 元
D. 身高180cm 和身高90cm
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第
1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
52
知识引入
希望学学校夏季趣味运动会中，小马参加了运球跑项目.
①小马从零出发，第一次向右运动了2m, 第二次向右运动3m，两次运动的结果是
什么？可以用怎样的算式表示？
②小马从零出发，第一次向左运动了2m, 第二次向左运动3m，两次运动的结果是
什么？可以用怎样的算式表示？
③小马从零出发，第一次向左运动了3m, 第二次向右运动2m，两次运动的结果是
什么？可以用怎样的算式表示？
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第
1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
53
典型例题3
若规定向东走为正，向西走为负．
（1）小季从学校出发先向东走了40 米，又向西走了100 米，则此时小季的位置在学校的
侧
米，过程可以用算式表示为：
．
（2）小季从学校出发先向西走了22.5 米，又向东走了9.9 米，则此时小季的位置在学校
的
侧
米，过程可以用算式表示为：
．
（3）小季从学校出发先向西走了1
4 米，又向西走了1
3 米，则此时小季的位置在学校的
侧
米，过程可以用算式表示为：
．
典型例题4
一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如
下（单位：米）：+6，−3，+11，−9，−7，+12，−10．
（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？
（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是多少米？
（3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？
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第
1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
54
融会贯通1
某班级抽查了10 名同学的期末成绩，以80 分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数
记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8，−3，+12，−7，−10，−3，−8，+1，+5，+10．这10
名同学中，
（1）最高分是多少？
（2）最低分是多少？
（3）10 名同学的平均成绩是多少？
知识引入
很久以前，有两个王国，
“正数王国”和“负数王国”. 两个王国的国王都很有野心，想
统一天下，所以两个王国就打了起来. 两个王国的士兵战斗力不相上下，如果一个负数国
士兵对战一个正数国士兵，他们就会同归于尽.
如果我们把一个正数国士兵表示成“+1”，把一个负数国士兵表示成“−1”，那么正数
王国派出了5 名士兵，可以表示为
, 负数王国也派出了5 名士兵，可以表示
为
, 那么他们的交战情况如何呢？请试着用算式表示.
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第
1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
55
第二轮交战中，正数王国派出了6 名士兵，负数王国派出了4 名士兵，最后战况如
何？如何用算式表示？
想一想
根据上述方法，探究以下问题：
（1）2022 与−2022 的和是
.
（2）2023 与−2023 的和是
.
（3）2022 与−2023 的和是
.
典型例题5
在图中填入不相同的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．
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第
1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
56
知识引入
“雁门关外有人家，早穿皮袄午穿纱，抱着火炉吃西瓜”. 这是写吐鲁番的，形容雁门
关外天气变化特别大，从早到晚温差特别大. 吐鲁番某天的最高气温是5∘C，最低气温是
−8∘C，那么这一天的温差是多少度呢？你能试着用算式表示出来吗？
典型例题6
某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是（ ）
A. 星期一
B. 星期二
C. 星期三
D. 星期四
融会贯通2
下列表示某地区早晨、中午和午夜的温度（单位：∘C），则下列说法正确的是（ ）
A. 午夜和早晨的温差是11∘C
B. 中午和早晨的温差是3∘C
C. 中午和午夜的温差是0∘C
D. 中午和早晨的温差是11∘C
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第
1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
57
典型例题7
某地傍晚气温为−2∘C，到夜晚下降了5∘C，则夜晚的气温为
，第二天中午上升
了10∘C，则此时温度为
．
融会贯通3
黄山主峰一天早晨气温为−1.8∘C，中午上升了5.6∘C，夜间又下降了10.3∘C，那么这天夜
间黄山主峰的气温是
∘C．用算式表示为：
．
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第
1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
58
模块二
模块二
探究二：数的巧算
知识梳理
加法运算律：
1⃝加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变. 即𝑎+𝑏= 𝑏+𝑎.
2⃝加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 即
(𝑎+𝑏)+𝑐= 𝑎+(𝑏+𝑐).
典型例题8
小马的爸爸老马本月在银行中办理了7 笔储蓄业务：取出9.5 元，存进5 元，取出8 元，
存进12 元，存进25 元，取出12.5 元，取出2 元，这时银行现款增加了（ ）
A. 12.25 元
B. −12.25 元
C. 10 元
D. −12 元
典型例题9
一场游戏规则如下：
①每人每次抽4 张或5 张卡片，如果抽到形如
的卡片，那么加上卡片上的数，如
果抽到形如
的卡片，那么减去卡片上的数；②比较两人所抽到的卡片的计算结果，
结果大的为胜者．请你通过计算（要求有计算过程）回答每轮游戏获胜的是谁？
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第
1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
59
（1）第一轮：小马抽到的卡片如图1 所示，小季抽到的卡片如图2 所示．
（2）第二轮：小马抽到的卡片如图3 所示，小季抽到的卡片如图4 所示．
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第
1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
60
随堂练习
随堂练习1
在0，−2，5，1
4，−0.3 中，负数的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
随堂练习2
下列具有相反意义的量是（ ）
A. 身高增加1cm 和体重减少1kg
B. 向右走2 米和向西走5 米
C. 顺时针旋转90∘和逆时针旋转45∘
D. 购买5 本图书和借出4 本图书
随堂练习3
某市有一天的最高气温为2∘C，最低气温为−8∘C，则这天的最高气温比最低气温高（ ）
A. 10∘C
B. 6∘C
C. −6∘C
D. −10∘C
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第
1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
61
随堂练习4
潜水艇上浮记为正，下潜记为负，若潜水艇原来在距水面50 米深处，后来两次活动记录
的情况分别是−20 米，+10 米，那么现在潜水艇在距水面
米深处．
随堂练习5
在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从𝐴地出
发，晚上到达𝐵地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下(单位：千米)：
14，−9，+8，−7，13，−6，+12，−5．请你帮忙确定𝐵地相对于𝐴地的方位？
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第
1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
62
数学探索
数学符号的起源
数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量却很多。现在常用
的有200 多个，初中数学书里就不下20 多种。它们都有一段有趣
的经历。
例如加号曾经有好几种，现在通用“+”。
“+”是由拉丁文“et”(“和”
的意思) 演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔尔塔利亚用意大利
文“più”(加的意思) 的第一个字母表示加，最后都变成了“+”。减号
是从拉丁文“minus”(“减”的意思) 演变来的，简写m，再省略掉字母，
就成了“-”了。也有人说，卖酒的商人用“-”表示酒桶里的酒卖了多
少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“-”上加一竖，意思是把原
线条勾销，这样就成了个“+”等等。
16 世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别。可是英
国牛津大学数学、修辞学教授雷科德觉得: 用两条平行而又相等的
直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号“=”就从
1540 年开始使用起来。1591 年，法国数学家韦达在文中大量使用
这个符号，才逐渐为人们接受。十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了
“=”号，他还在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”表示全等。
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第
1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
63
数学探索
大于号“>”和小于号“<”，是1631 年英国著名代数学家哈里奥
特创用。至于“≯”
“≮”、
“≠”这三个符号的出现，是很久以后的事
了。大括号“﹛﹜”和中括号“[ ]”是代数创始人之一韦达创造的。
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1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
64
练习册
1
在−3,−11
2,0,−3
7,2002 各数中，是正数的有（ ）
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
2
中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界
数学史上首次正式引入负数．如果收入100 元记作+100 元．那么−80 元表示（ ）
A. 支出20 元
B. 收入20 元
C. 支出80 元
D. 收入80 元
3
下列不是具有相反意义的量的是（ ）
A. 前进5 米和后退5 米
B. 收入30 元和支出10 元
C. 向东走10 米和向北走10 米
D. 超过5 克和不足2 克
4
在一个峡谷中，测得𝐴地的海拔为−11m，𝐵地比𝐴地高15m，𝐶地比𝐵地低7m，
则𝐶地的海拔为（ ）m．
A. 11
B. −19
C. 3
D. −3
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第
1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
65
5
一天早晨的气温是−7∘C，中午上升了11∘C，半夜又下降了9∘C，半夜的气温是
（ ）∘C．
A. −9
B. −2
C. 2
D. −5
6
比−2 大5 的数是
．
7
如果□+9 的和为负数，那么“□”内的数是
.(写出一个即可)
8
北京市某天的最高气温是10∘C，最低气温是−5∘C，则北京市这一天的温差是
∘C．
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第
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讲
数
的
运
算
探
究
（一）
66
9
高速公路养护小组，乘车沿东西方向的公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为
负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+17，−9，+7，−15，−3，+11，−6，−8，+5，+16．
养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
10
今年国庆节、中秋节双节旅游季，江津四面山推出“畅游金秋，自在逍遥”欢乐淘金节
八万黄金任你淘活动，2020 年9 月30 日，四面山接待游客0.8 万人，双节旅游季期
间，四面山在8 天假期中每天接待游客的人数变化如下（正数表示比前一天多的人
数，负数表示比前一天少的人数）：
（1）若四面山每天的接待能力峰值为3.7 万人，求从10 月1 日到8 日，达到或突
破接待能力峰值的天数．
（2）如今，旅游垃圾分类、绿色旅游已成为游客们的共识．若从10 月1 日到8 日
四面山游客每天每人分类处理垃圾0.6 千克，则这8 天游客共分类处理垃圾
多少千克？
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第
1
讲
数
的
运
算
探
究
（一）
67
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第2 讲
数学运算——数的
数学运算——
数的运算探究（二）
模块一
探究三：数的乘法与除法
模块二
探究四：数的混合运算技巧
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2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
70
模块一
模块一
探究三：数的乘法与除法
知识引入
用箭杆表示(+2) 或(−2).
（1）如图1，把表示(+2) 的箭杆延长到3 倍，延长后可以表示为2×3 = 6；
如图2，把箭杆向相反的方向延长到3 倍，则乘以
，可以用算式表示为
.
（2）如图3，把表示(−2) 的箭杆延长到3 倍，可以用算式表示为
.
如图4，把箭杆向相反的方向延长到3 倍，可以用算式表示为
.
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第
2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
71
（3）由上述探究规律，你能算出2.5 与−4 的积吗？−2.5 与−4 的积呢？
典型例题1
请按要求完成下列问题：
（1）如图，小马手中有4 张卡片，从中任选2 张卡片，使这2 张卡片上的数的乘积最大，
则该乘积的最大值是
．
（2）如图，小季手中有4 张卡片，从中任选2 张卡片，使这2 张卡片上的数的乘积最大，
则该乘积的最大值是
．
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第
2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
72
知识引入
希望学网校新学期开学军训，教官喊一次口令，同学们就要向后转一次. 开始训练时，
同学们面朝教学楼，背朝马路. 教官喊了两次口令后，同学们面朝哪里？喊了3 次口令呢？
4 次呢？𝑛次呢？
想一想
（1）2 个负数相乘，积为
.（填“正数”或“负数”）
（2）3 个负数相乘，积为
.（填“正数”或“负数”）
（3）4 个负数相乘，积为
.（填“正数”或“负数”）
（4）2022 个负数相乘，积为
.（填“正数”或“负数”）
（5）2023 个负数与2022 个正数相乘，积为
.（填“正数”或“负数”）
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第
2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
73
典型例题2
下列说法正确的是（ ）
A. 几个数相乘，当负因数有奇数个时，积为正
B. 几个数相乘，当正因数有奇数个时，积为负
C. 几个数相乘，当因数有奇数个时，积为负
D. 几个数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个
融会贯通1
4 个数相乘，积的符号是负号，则这4 个数中，负数有（ ）
A. 1 个或3 个
B. 1 个或2 个
C. 2 个或4 个
D. 3 个或4 个
典型例题3
定义新运算⊗：𝑎⊗𝑏= 3𝑎𝑏，例如2⊗4 = 3×2×4 = 24．
（1）求(−2)⊗(−1
2) 的值．
（2）求(−6)⊗(−0.25)⊗(−2
3) 的值．
（3）求2022⊗(−2023)⊗0 的值．
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第
2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
74
知识梳理
1、倒数：乘积是1 的两个数互为倒数.
2、除法法则：除以一个不为0 的数，等于乘以这个数的倒数.
典型例题4
一个数的倒数就是它本身，这个数是
．
融会贯通2
在图中填入不相同的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之积相等．
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2
讲
数
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运
算
探
究
（二）
75
典型例题5
按图中的程序运算：
（1）当输入的数据为2 时，则输出的数据是
．
（2）当输入的数据为−2
3 时，则输出的数据是
．
典型例题6
计算1
5 ×5÷ 1
5 ×5 的结果为（ ）
A. 1
B. 5
C. 25
D. 1
25
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第
2
讲
数
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运
算
探
究
（二）
76
知识梳理
乘法运算律：
①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即𝑎𝑏= 𝑏𝑎.
②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即
(𝑎𝑏)𝑐= 𝑎(𝑏𝑐).
③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相
加，即𝑎(𝑏+𝑐) = 𝑎𝑏+𝑎𝑐.
典型例题7
计算：
（1）( 1
12 −5
24 −1
6)×24．
（2）(7
9 −5
6 + 7
18)×36−6×1.45+3.95×6．
想一想
如果把第（1）小题中的24 改为−24，你会计算吗？
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2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
77
典型例题8
认真阅读材料，解决问题：
计算：1
30 ÷(2
3 −1
10 + 1
6 −2
5)．
分析：利用通分计算2
3 −1
10 + 1
6 −2
5 的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：
解：原式的倒数是：
(2
3 −1
10 + 1
6 −2
5)÷ 1
30
= (2
3 −1
10 + 1
6 −2
5)×30
= 2
3 ×30−1
10 ×30+ 1
6 ×30−2
5 ×30
= 20−3+5−12
= 10．
故原式= 1
10．
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：1
52 ÷(3
4 −5
26 + 1
2 −2
13)．
想一想
如果把题中的1
52 改为−1
52，你会计算吗？
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第
2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
78
模块二
模块二
探究四：数的混合运算技巧
知识梳理
混合运算的运算顺序：
1．先乘除，再加减；
2．同级运算，从左到右进行；
3．如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
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第
2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
79
典型例题9
（1）计算：16−12
3 ×22
5 +10.2÷ 1
2．
（2）计算：[12−4×(10−3)]÷(9−4)．
融会贯通3
计算：[11
9 −(3
8 + 1
6 −3
4)÷ 3
4]÷5．
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第
2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
80
典型例题10
计算：(1 5
99 +3 5
33 +9 5
11)÷(1 1
99 +3 1
33 +9 1
11)．
融会贯通4
计算：(3 7
11 +4 8
13 +515
17)÷(2 2
11 +210
13 +3 9
17) =
．
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第
2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
81
随堂练习
随堂练习1
计算2÷3× 1
3 的结果等于（ ）
A. 2
9
B. −2
C. −2
9
D. 2
随堂练习2
计算：21×3.14+79×3.14 =（ ）
A. 282.6
B. 289
C. 354.4
D. 314
随堂练习3
算式(1
6 −1
3 −1
2)÷ 1
24 的值为（ ）
A. −16
B. 16
C. 24
D. −24
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第
2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
82
随堂练习4
计算：43× 2
3 +43× 8
3 +17÷ 3
10 =
．
随堂练习5
计算：25
6 ×11
2 × 6
17 ÷(1
4 −2
3)．
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第
2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
83
数学探索
沈括轶事
北宋的一个夜晚，一家小酒店的老板正和伙计一起堆酒坛。因
为近来生意特别好，酒坛自然也就多。老板一边在心里乐，一边盘
算着如何发更大的财。他要把酒坛堆得整整齐齐，美观大方，吸引
更多的顾客光临酒店。
酒坛堆得非常漂亮，一层一层整整齐齐。酒店门口的招幌迎风
飘扬，使人不得不驻足逗留，忍不住想进店喝几盅。酒店老板得意
扬扬之际，想数数酒坛一共有多少只。可是，数坛子也并不轻松，老
板从前面绕到后面，又从后面绕到前面，刚刚擦干的汗水又冒出来
了，伙计们都笑了。
第二天，这堆酒坛果然吸引了不少顾客，老板望着酒坛，乐不
可支。这时，一位衣冠楚楚的青年书生走了过来，面对酒坛，若有所
思。老板心想：我昨天为了数清这堆酒坛，花了很大的功夫，这位青
年相貌不凡，我倒要考考他。
“年轻人，你知道这堆酒坛一共有多少个吗？”老板半开玩笑地
问道。
“这很容易，只要你告诉我这堆酒坛上面的那层一共几排，每
排多少个，一共有几层。根本不用数，我马上就知道这堆酒坛的数
目。”年轻人这么说话，显然有十足的把握。
“噢！”老板心想：这位年轻人真会说大话，不妨把他提的条件
告诉他，看看他的能耐到底有多大。于是老板爽快地说：
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第
2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
84
数学探索
“上面那层酒坛是四排，每排8 个，第二层是五排，每排9 个
……”
“好了，一共七层，”年轻人打断了老板的话，不加思索地报出
了答案，
“一共567 个酒坛。对吗？”
老板一下子惊得连张开的嘴巴也忘记合拢了。这么快！老板马
上把年轻人请进酒店，上茶，敬酒，招待得万分周到。老板真是打心
眼佩服这位青年，又是请教姓名，又是讨教数坛的方法。
这位青年就叫沈括。优越的家庭生活条件使他有机会读书，加
上他好奇心强，肯钻研，于是他就成了很有才学的人。沈括回答老
板说：
“我数这坛子的方法其实非常简单，因为中间那层共77 个，
共七层，只要再乘7，后加上常数28 就行了。”
沈括从小对筹算很感兴趣，读了许多数学名著。后来自己写成
了一本数学专著《隙积术》，专门研究高阶等差级数的求和问题。
沈括数坛的方法就是利用了高阶等差级数求和的方法，要比单纯
地数方便多了。数学上还可能碰到数字更大，项数更多的题目，用
这种方法便可一下子迎刃而解。
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第
2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
85
练习册
1
下列说法中正确的是（ ）
A. 只有1 的倒数等于它本身
B. 0 的倒数还是0
C. 任何数的倒数都小于1
D. 1.5 的倒数是2
3
2
在−2，3，−4，−5 这四个数中任取两个数相乘，得到的积最大的是（ ）
A. 20
B. −20
C. 10
D. 8
3
若两个数的商是负数，那么这两个数一定（ ）
A. 都是正数
B. 都是负数
C. 符号相同
D. 符号不同
4
计算：1
6 ×6÷ 1
6 ×6 =（ ）
A. 1
B. 36
C. −1
D. 6
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第
2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
86
5
计算下列各式，值最小的是（ ）
A. 2×0+1−9
B. 2+0×1−9
C. 2+0−1×9
D. 2+0+1−9
6
用简便方法计算：
（1）(2
3 −1
4 −3
8 + 5
24)×48．
（2）[1 1
24 −(3
8 + 1
6 −3
4)×24]÷5．
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第
2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
87
7
计算：1
36 ÷(3
4 −5
9 + 7
12)．
8
计算：11
5 ×(1
3 −1
2)× 3
11 ÷ 5
4．
9
计算：[45−(7
9 −11
12 + 5
6)×36]÷5．
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第
2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
88
10
有20 箱橘子，以每箱25 千克为标准质量，超过的千克数用正数表示，不足的千克
数用负数表示，结果记录如下：
（1）在这20 箱橘子中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？
（2）与标准质量比较，20 箱橘子总计超过或不足多少千克？
（3）若橘子每千克售价6 元，则全部售完这20 箱橘子共有多少元？
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第
2
讲
数
的
运
算
探
究
（二）
89
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第3 讲
数学抽象——
数学抽象——
用字母表示数
模块一
用字母表示数
模块二
有趣的新定义
模块三
有趣的规律探究
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
92
模块一
模块一
用字母表示数
知识引入
典型例题1
买单价为3 元的圆珠笔𝑚支，应付
元．
典型例题2
买一个篮球需要𝑚元，买一个足球需要𝑛元，那么买4 个篮球和7 个足球共需
元．
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
93
典型例题3
一个两位数，个位数字是𝑎，十位数字比个位数字大1，则这个两位数可以表示为（ ）．
A. 10(𝑎+1)+𝑎
B. (𝑎+1)+𝑎
C. 10(𝑎+1)𝑎
D. 𝑎(𝑎+1)
典型例题4
某音像社对外出租的光盘的收费方法是：每张光盘出租后的头两天，每天收0.8 元，以后
每天收0.5 元，那么一张光盘在出租后𝑛天(𝑛⩾2) 应收租金
元．
典型例题5
𝐴、𝐵两地相距𝑚千米，甲每小时行𝑎千米，乙的速度是甲的1.2 倍，那么乙从𝐴地到𝐵
地的时间用式子表示为（ ）．
A.
𝑚
(1+1.2𝑎) 小时
B.
𝑚
1.2𝑎小时
C. 1.2𝑚
𝑎
小时
D. 𝑚𝑎
1.2 小时
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
94
典型例题6
某种商品进价为𝑎元，商店将价格提高30% 作为零售价销售．销售旺季过后，商店又以
8 折（即售价的80%）的价格开展促销活动．这时一件该商品的售价为（ ）．
A. 𝑎元
B. 0.8𝑎元
C. 1.04𝑎元
D. 0.92𝑎元
融会贯通1
已知一个两位数𝑀的个位数字是𝑎，十位数字是𝑏，交换这个两位数的个位上与十位上
的数字的位置，所得的新数记为𝑁，则2𝑀−𝑁=
．
（用含𝑎和𝑏的式子表示）
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
95
模块二
模块二
有趣的新定义
知识引入
有一只羊和一只狼，狼要吃掉羊. 规定运算：羊＃羊= 羊，羊＃狼= 狼，狼＃狼= 狼，
狼＃羊= 狼；
我们帮助羊战胜了狼，有了新运算，羊￥羊= 羊，羊￥狼= 羊，狼￥狼= 狼，狼￥羊=
羊.
求羊＃（狼￥羊）￥羊＃（狼＃狼）
分析：这个题有一定难度，涉及了两个新运算：我们先看看第一种＃运算狼厉害，只
要狼碰见羊必吃了羊；第二种￥运算羊厉害，羊和狼相遇，则羊战胜了狼.
羊＃（狼￥羊）￥羊＃（狼＃狼）
= 羊＃羊￥羊＃狼
= 羊￥羊＃狼
= 羊＃狼
= 狼
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
96
典型例题7
定义新运算“@”的运算法则是：𝑥@𝑦= 𝑥+ 𝑦+ 𝑦2，如3@2 = 3 + 2 + 4 = 9，请你计算：
（1）5@8 =
．
（2）7@𝑎=
．
（3）(𝑥@𝑦) @𝑦的运算结果是
．
（4）当𝑥= 3，𝑦= 5 时，(𝑥@𝑦) @(𝑦@𝑥) =
．
典型例题8
规定图形
表示运算𝑎−𝑏+𝑐，图形
表示运算𝑥+𝑧−𝑦−𝑤，则
+
=
（直接写出答案）．
典型例题9
若𝑎、𝑏都是正数，定义“∗”如下：𝑎∗𝑏=
⎧{{
⎨{{⎩
𝑎2 +𝑏(𝑎⩾𝑏)
𝑏2 +𝑎(𝑎< 𝑏)
，例如3 ∗2 = 32 + 2 = 11．则
（1）(𝑎+𝑏)∗𝑎+(𝑏+2𝑎)∗𝑏=
．
（2）3∗𝑥=
．
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
97
模块三
模块三
有趣的规律探究
知识引入
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
98
典型例题10
解答下列问题．
（1）【小试牛刀】
用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第𝑛个“口”字需用棋子的
个数为
．
（2）【阅读与操作】
如图所示，摆第𝑛个这样的“小屋子”需要 枚棋子．
【下面是班长和小季对这道题的分析，请你按照步骤完成分析】
班长：
摆第1 个小屋需要5 枚棋子，
摆第2 个需要 枚棋子，
摆第3 个需要 枚棋子，
⋯
摆第𝑛个需要 枚棋子．
小季：
第1 个小屋，下边正方形棋子是4 枚，上边1 枚，共(4+1) 枚，
第2 个小屋，下边正方形棋子是8 枚，上边3 枚，共(8+3) 枚，
第3 个小屋，下边正方形棋子是12 枚，上边5 枚，共(12+5) 枚，
⋯
第𝑛个小屋，下边正方形棋子是 枚，上边 枚，共（ ）枚．
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
99
（3）【操作探究】
用火柴棍按如图所示的方式摆大小不同的“H”，依此规律，请你参照班长和小季，用
两种方法探究：摆出第𝑛个“H”需要火柴棍的根数是
．
（4）【灵活应用】
①如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1 个图案中有6 根小
棒，第2 个图案中有11 根小棒，⋯，则第𝑛个图案中有 根小棒．
②如下图所示，用黑白两种颜色的正六边形底面砖按如图所示的规律，拼成若干图
案，请你参照班长和小季的分析，用两种方法探究第𝑛个图案有白色地砖
块．
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
100
（5）【拓广探索】
人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一
个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③⋯的次序铺设地砖，把第𝑛个图形用
图
表示，那么图
中的白色小正方形地砖的块数是（ ）块．
A. 150
B. 200
C. 355
D. 505
（6）【进阶提升】
1⃝如图，观察各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第8 个图
形中小圆点的个数为 ．
2⃝将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第𝑛个图形有
个小圆．
（用含𝑛的代数式表示）
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
101
典型例题11
阅读材料．
我们知道，1+2+3+…+𝑛= 𝑛(𝑛+1)
2
，那么12 +22 +32 +…+𝑛2 结果等于多少呢？
在图1 所示三角形数阵中，第1 行圆圈中的数为1，即12，第2 行两个圆圈中数的和为
2+2，即22，…；第𝑛行𝑛个圆圈中数的和为𝑛+𝑛+𝑛+…+𝑛 ，即𝑛2．这样，该三角形
数阵中共有𝑛(𝑛+1)
2
个圆圈，所有圆圈中数的和为12 +22 +32 +…+𝑛2．
图1
图2
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2 所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同
一位置圆圈中的数（如第𝑛−1 行的第一个圆圈中的数分别为𝑛−1，2，𝑛），发现每个位置
上三个圆圈中数的和均为 ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为
3×(12 +22 +32 +…+𝑛2) = ，因此，12 +22 +32 +…+𝑛2 = ．
【解决问题】
根据以上发现，计算：12 +22 +32 +⋯102
1+2+3+⋯10
的结果为 ．
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
102
随堂练习
随堂练习1
定义新运算：𝑎☆𝑏= 𝑎+3𝑏，5☆（3☆2）=
.
随堂练习2
我们定义一种新运算，规定：图
表示𝑎−𝑏+𝑐，图形
表示−𝑥+𝑦−𝑧，
则
+
的值为
．
随堂练习3
下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6 个
小圆圈，第②个图形中一共有9 个小圆圈，第③个图形中一共有12 个小圆圈，⋯⋯，按
此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）个．
A. 21
B. 24
C. 27
D. 30
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
103
随堂练习4
下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形有5 个小圆，第
②个图形有9 个小圆，第③个图形有13 个小圆，⋯，按此规律排列，则第10 个图形中
小圆的个数为（ ）．
A. 37
B. 40
C. 41
D. 42
随堂练习5
如图，将一些形状相同的小五角星按图中所示的规律摆放，据此规律，第10 个图形有
（ ）个五角星．
A. 120
B. 121
C. 99
D. 100
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
104
数学探索
勾股定理与无理数
公元前5 世纪，希腊的毕达哥拉斯学派，对几何贡献很大，最
著名的是毕达哥拉斯定理，即任何直角三角形的两直角边𝑎、𝑏和
斜边𝑐都构成𝑎2＋𝑏2＝𝑐2 的关系式。当时，由于直觉经验所限，
毕氏学派立下一个信条：
“宇宙间一切现象都能归结为整数或整数
比。”但是，此信条与毕氏定理直接相悖，譬如，直角边为1 的等腰
直角三角形，其斜边为𝑥，应有𝑥2＝1+1＝2，按毕氏信条，𝑥不是整
数，就是分数，但人们却找不出这样的整数和分数来，但毕氏学派
为了维护其尊严，竟矢口否认𝑥是一个数。
此时，毕氏有一个学生名叫希伯斯，他大胆断言，𝑥既不是整
数，也不是分数，而是人们还没有认识到的一个新数。
希伯斯这一发现，动摇了毕氏信条的思想基础，引起了数学史
上的“第一次危机”．毕氏为了维护其尊严，在学派内下令严密封锁
希伯斯的发现，谁要走漏风声，就把谁活埋。希伯斯得知消息后，连
夜逃走了。毕氏的门徒到处追捕他，后来，他在一艘海船上被捉住
了，暴徒们凶猛地把他扔进海中淹死了。
然而，真理是不可战胜的。人们终于正视希伯斯的发现，进一
步用反证法证明了，等腰直角三角形斜边与直角边的比，是不能用
两个整数的比去表示的，严格证明了√2 是一个无理数。新数引进
来了，数系发展了，人们克服了数学危机，数学又前进了。
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
105
数学探索
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
106
练习册
1
定义运算“∗”为𝐴∗𝐵= 𝐴𝐵+2𝐴，则(3∗𝑥)+(𝑥∗3) =
．
2
定义新运算𝑎∗𝑏= 𝑎𝑏−𝑎−𝑏，则(3∗𝑥)∗3 =
．
3
定义运算𝑎⊗𝑏= 𝑎(1−𝑏)，下面给出的关于这种运算的四个结论中正确的是（ ）．
A. (−2)⊗2 = 2
B. 𝑎⊗𝑏= 𝑏⊗𝑎
C. 2⊗2 = 4
D. 若𝑎⊗𝑏= 0，则𝑎= 0
4
将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4 个正方形；将图②中一个正方
形剪开得到图③，图③中共有7 个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，
图④中共有10 个正方形…如此下去，则第8 个图中共有正方形的个数为（ ）．
A. 20
B. 22
C. 24
D. 26
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
107
5
如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1 个图案有
4 个三角形，第2 个图案有7 个三角形，第3 个图案有10 个三角形⋯按此规律摆
下去，第𝑛个图案有
个三角形(用含𝑛的代数式表示)．
6
毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合作了如下研究:
请写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第𝑛层各个图形的几何点数.
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
108
7
如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第
20 个图需要黑色棋子的个数为
．
8
将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1 个图形有6 个小圆，第2 个图
形有10 个小圆，第3 个图形有16 个小圆，第4 个图形有24 个小圆，……，依此规
律，第6 个图形有
个小圆，第10 个图形有
个小圆．
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第
3
讲
用
字
母
表
示
数
109
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第4 讲
数学运算——简
数学运算——
简易方程的探究
模块一
等式的性质
模块二
利用等式的性质解方程
模块三
高阶解方程
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
112
模块一
模块一
等式的性质
知识梳理
𝑥= 20 𝑥+2 = 20+2
【总结】等式的性质1: 等式的两边同时加上或者减去同一个数, 所得结果仍然是等式;
用字母表示：
𝑥= 20 2𝑥= 20×2
【总结】等式的性质2: 等式的两边同时乘或者除以同一个不是0 的数，得到的结果仍
然是等式。
用字母表示：
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
113
典型例题1
已知𝑥= 𝑦，则下列变形错误的是（ ）
A. 𝑥+𝑎= 𝑦+𝑎
B. 𝑥−𝑎= 𝑦−𝑎
C. 2𝑥= 2𝑦
D. 𝑥÷𝑎= 𝑦÷𝑎
融会贯通1
下列运用等式的性质进行的变形，正确的是（ ）
A. 如果𝑎= 𝑏，那么𝑎+𝑐= 𝑏−𝑐
B. 如果𝑎= 𝑏，那么𝑎÷𝑐= 𝑏÷𝑐
C. 如果𝑎÷𝑐= 𝑏÷𝑐，那么𝑎= 𝑏
D. 如果𝑎2 = 2𝑎，那么𝑎= 2
典型例题2
下列方程的变形，符合等式的性质的是（ ）
A. 由2𝑥−3 = 7，得2𝑥= 7−3
B. 由3𝑥−2 = 𝑥+1，得3𝑥+𝑥= 1+2
C. 由2𝑥= 5，得𝑥= 3
D. 由1
3𝑥= 1，得𝑥= 3
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
114
融会贯通2
在下列各题的横线上填上适当的数或式子，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的
哪一条性质以及是通过怎样变形得到的．
例：如果𝑥
10 = 𝑦
5，那么𝑥= 2𝑦，根据等式的性质2，两边都乘10；
（1）如果2𝑥= 2𝑦，那么𝑥=
，根据
；
（2）如果2
3𝑥= 4，那么𝑥=
，根据
；
（3）如果𝑥= 3𝑥+2，那么𝑥−
= 2，根据
．
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
115
模块二
模块二
利用等式的性质解方程
知识梳理
观察并补齐解方程的过程, 总结规律:
典型例题3
依照上述规律，下列变形正确的是（ ）．
A. 将4𝑥−2 = 5 变形，得4𝑥= 5−2
B. 将4𝑥−2 = 5 变形，得4𝑥= 2−5
C. 将3𝑥+2 = 4𝑥变形，得3𝑥−4𝑥= 2
D. 将3𝑥+2 = 4𝑥变形，得4𝑥−3𝑥= 2
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
116
融会贯通3
下面的做法对不对？如果不对，请指出错在哪里．
（1）将3𝑥−18 = 9+2𝑥按照上述规律变形，得3𝑥+2𝑥= 9−18．
（2）将1
5𝑥−12 = 𝑥−5 按照上述规律变形，得5−12 = 𝑥−1
5𝑥．
典型例题4
解方程．
（1）3
2𝑥−3 = 2+ 2
3𝑥；
（2）2𝑥−3 = 18−5𝑥．
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
117
知识引入
希望学的运动会上，老师说让小马同学统计一下各组人员，小马统计后，说：
“甲组人
数是乙组人数的5 倍，从甲组抽调8 人到乙组，这时甲组剩下的人数恰好是乙组现有人
数的3 倍多2 人．”，老师听后，问小季，你可以算出乙组有多少人吗？设乙组原有x 人，则
可列方程（ ）．
A.5𝑥= 3𝑥+3 B.5𝑥= 3(𝑥+8)+3
C.5𝑥−8 = 3𝑥+3
D.5𝑥−8 = 3(𝑥+8)+2
思考: 如何解含有括号的方程呢?
乘法分配律:
利用乘法分配律, 可以去掉括号，解方程如下:
5𝑥−8 = 3(𝑥+8)+2
5𝑥−8 =
+2
整理得,5𝑥−3𝑥= 24+2+8
2𝑥= 34
𝑥= 17
典型例题5
解方程．
（1）8𝑥+4 = 3(4𝑥−3)+2(3𝑥+4)；
（2）12−2(2𝑥+1) = 3(1+𝑥)．
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
118
知识引入
在希望学的运动会结束时，需要给参赛的运动员一些纪念品，老师在一个月前安排
给小马和小季完成，如果小马单独做需要10 天完成，小季单独做需6 天完成，实际做的
时候，小马先独立做了2 天，小季再加入合作。这么完成这些纪念品需要几天呢？
解，设完成这些纪念品需要𝑥天，则
𝑥
10 + 𝑥−2
6
= 1
分数让计算好繁琐, 可以运用
, 等式的两边同时
,
把分数变成
, 使方程变成不含
的方程.
整理得,
解得,
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
119
典型例题6
解方程1−𝑥+1
2
= 𝑥
4 时，根据上述规律，正确的结果是（ ）
A. 1−2𝑥+2 = 𝑥
B. 1−2𝑥−2 = 𝑥
C. 4−2𝑥+2 = 𝑥
D. 4−2𝑥−2 = 𝑥
融会贯通4
解方程2𝑥+1
3
−10𝑥+1
6
= 1 时，根据上述规律，正确的结果是（ ）
A. 4𝑥+1−10𝑥+1 = 1
B. 4𝑥+2−10𝑥−1 = 1
C. 4𝑥+2−10𝑥−1 = 6
D. 4𝑥+2−10𝑥+1 = 6
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
120
典型例题7
依据上述规律解方程．
（1）2𝑦−1
3
−𝑦+2
4
= 1．
（2）3𝑥+1
5
= 1−𝑥+1
2
．
（3）5𝑦−2
3
−2𝑦+1
2
= 3𝑦−1
6
−𝑦+2
4 ．
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
121
模块三
模块三
高阶解方程
典型例题8
解方程：0.1𝑥−0.2
0.02
−𝑥+1
0.5 = 3．
融会贯通5
关于𝑥的方程0.2𝑥+0.3
0.2
−𝑥= 0.09𝑥+0.5
0.03
+1 变形正确的是（ ）．
A. 2𝑥+3
2
−𝑥= 9𝑥+5
3
+1
B. 2𝑥+3
2
−𝑥= 9𝑥+50
3
+1
C. 2𝑥+3
2
−10𝑥= 9𝑥+50
3
+100
D. 2𝑥+3
2
−100𝑥= 9𝑥+50
3
+100
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
122
典型例题9
解方程：3
7 (5𝑥−1) = 4
7 (5𝑥−1)−7．
融会贯通6
已知方程1
3 +3(𝑥−
1
2020) = 5
6，则式子11−2(𝑥−
1
2020) 的值为
．
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
123
随堂练习
随堂练习1
下列变形符合等式基本性质的是（ ）
A. 如果1
3𝑎= 1，那么𝑎= 3
B. 如果𝑎𝑘= 𝑏𝑘，那么𝑎= 𝑏
C. 如果2𝑥= 5，那么𝑥= 5+2
D. 如果2𝑥−𝑦= 7，那么𝑦= 7−2𝑥
随堂练习2
下列解方程的步骤中正确的是（ ）
A. 由𝑥−5 = 7，可得𝑥= 7−5
B. 由8−2(3𝑥+1) = 𝑥，可得8−6𝑥−2 = 𝑥
C. 由1
6𝑥= 1 ，可得𝑥= 1
6
D. 由𝑥−1
2
= 𝑥
4 −3，可得2(𝑥−1) = 𝑥−3
随堂练习3
方程2𝑥−1 = 3𝑥−2 的解为（ ）
A. 𝑥= 1
B. 𝑥= −1
C. 𝑥= 3
D. 𝑥= −3
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
124
随堂练习4
方程3𝑥+2(1−𝑥) = 4 的解是（ ）
A. 𝑥= 2
5
B. 𝑥= 6
5
C. 𝑥= 2
D. 𝑥= 1
随堂练习5
解方程：𝑥−1
3
= 2𝑥−3
2
+1．
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
125
数学探索
进位制
关于进位制，同学们比较熟悉的是十进位制和二进位制，实际
上古代各民族计数法中使用的进位制是五花八门的。1920 年前后，
有人调查了307 种原始计数方法。结果发现有146 种是十进制的。
对十进制的偏爱，最可能的原因在于人有十个手指。除十进制外，
五进制和二十进制在历史上都曾被广泛使用。另外，证据表明，3、
12、60 等进位制也曾在史前时期被不同民族使用过。在我们现代
生活如长度、重量、货币、时间等的计量中，还经常会使用或残存着
十进制之外的进位制。如角度的度量，时间的分秒等都是六十进位
制。英国等国家用一“打”表示12 个，用的是十二进位制。我们有
成语: 半斤八两，这是我国古代一斤为十六两，使用十六进位制的
印迹。
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
126
练习册
1
根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）．
A. 如果𝑎𝑐= 𝑏𝑐，那么𝑎= 𝑏
B. 如果6𝑎= 3，那么𝑎= 2
C. 如果1−2𝑎= 3𝑎，那么3𝑎+2𝑎= 1
D. 如果2𝑎= 𝑏，那么𝑎= 2𝑏
2
下列式子的变形中，正确的是（ ）
A. 由6+𝑥= 10 得𝑥= 10+6
B. 由3𝑥+5 = 4𝑥得3𝑥−4𝑥= −5
C. 由8𝑥= 4−3𝑥得8𝑥−3𝑥= 4
D. 由2(𝑥−1) = 3 得2𝑥−1 = 3
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
127
3
解方程．
（1）16𝑥−40 = 9𝑥+16；
（2）3𝑥−2 = 2𝑥+7；
（3）3𝑥+7 = 32−2𝑥．
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
128
4
解方程：
（1）(3𝑥+1)+2(𝑥+1) = 8；
（2）3𝑥−4 = 2(3−𝑥)；
（3）4−𝑥= 3𝑥−(2+2𝑥)；
（4）3(4𝑥+1)−2(𝑥+2) = 9(1+𝑥)．
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
129
5
解方程．
（1）2𝑥+1
3
+1 = 𝑥+3
2
；
（2）3𝑦+1
4
= 2−4𝑦+1
5
；
（3）2𝑥−1
3
−𝑥+1
6
= 𝑥−2．
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第
4
讲
简
易
方
程
的
探
究
130
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第5 讲
数学建模——生活
数学建模——
生活中的方程（一）
模块一
和差倍分
模块二
经济利润
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第
5
讲
生
活
中
的
方
程
（一）
134
模块一
模块一
和差倍分
知识梳理
一、解方程应用题的一般步骤
1. 审题：认真读题，梳理清楚题目中的数量关系，找到等量关系；
2. 设元：设未知数，用含未知数的式子表示各个量；
3. 列方程：根据等量关系列出方程；
4. 解方程：求出方程的解；
5. 检验：计算结果代入原方程检验，并检验结果是否符合题目实际意义；
6. 作答：按题目要求答题．
二、解题时的两个重要思考
1. 设𝑥之后，题干中描述的哪些量能够用含𝑥的式子表示；
2. 题干中的哪句话能够表达等量关系．
三、和差倍分问题
这类问题主要是找出和、差、倍、分关系的关键字，利用题中量与量的关系列出方程.
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第
5
讲
生
活
中
的
方
程
（一）
135
典型例题1
小马、小季等人跟旅游团坐大巴车去游乐场，如果单独租45 座车，有10 个人没有座位，
如果单独租60 座车，则能少租一辆车，且空余20 个座位．问：坐大巴车的总共有多少人？
实战演练1
中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有
个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今
有若干人乘车，每3 人共乘一车，最终剩余2 辆车，每2 人共乘一车，最终剩余9 个人无
车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有𝑥辆车，则可列方程（ ）
A. 3(𝑥−2) = 2𝑥+9
B. 3(𝑥+2) = 2𝑥−9
C. 𝑥
3 +2 = 𝑥−9
2
D. 𝑥
3 −2 = 𝑥+9
2
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第
5
讲
生
活
中
的
方
程
（一）
136
典型例题2
一行人到达目的地之后发现单一酒店无法容纳所有人，于是分头行动．当小马等人到达
其中一个酒店时，发现订酒店的人太多，剩余套间数量有限，如果每个套间住6 个人，则
有3 个人无法安置，如果每个套间住8 个人，则空5 个床位．问：剩余套间数量以及住酒
店的共有多少人？
典型例题3
安顿好的小马、小季和班长准备去湖边划船，但是三个人包船有点亏，所以拉几个路人一
起包船．小季算了一下，如果包船的话，每个人出38 元，那么多出6 元；每个人出37 元，
那么少2 元．问：总共有几人包船？包船共需多少钱？
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第
5
讲
生
活
中
的
方
程
（一）
137
实战演练2
《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：
“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不
足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6 元，则差45 元；每人
出8 元，则差3 元．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为𝑥人，则根据题意可列方程为
（ ）．
A. 6𝑥+45 = 8𝑥+3
B. 6𝑥+45 = 8𝑥−3
C. 6𝑥−45 = 8𝑥+3
D. 6𝑥−45 = 8𝑥−3
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第
5
讲
生
活
中
的
方
程
（一）
138
模块二
模块二
经济利润
知识梳理
对于经济问题的应用题，需要熟记一些常用的公式和技巧(如下表)．
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第
5
讲
生
活
中
的
方
程
（一）
139
典型例题4
玩耍过后的班长等人路过一家服装店，老板娘在门口吆喝：
“八折八折，全场八折，清仓大
甩卖，一律八折．”心动的小马准备去看看，结果遭到了小季的阻拦．小季说：
“一般店家都
是先提价，再打折，你可能觉得你小赚，但是人家老板永远不亏．”
①举个例子：一件毛衣先按照成本提高50% 标价，再以8 折出售，仍能获利28 元，你知
道这件毛衣的成本是多少元吗？
②再比如：一件服装标价200 元，如果按照6 折出售，仍可获利20%，你算一算它的进价
是多少？
③老板娘听到了他们的对话，很惊讶，说：
“那我来考考你们，如果我卖了两件衣服，每件
都卖了120 元，其中一件赚了25%，而另一件赔了25%，那我在这次买卖中是亏了还是赚
了？”
实战演练3
一家商店将某种服装按成本价提高40% 后标价，又以8 折优惠卖出，结果每件服装仍可
获利15 元，则这种服装每件的成本是（ ）．
A. 100 元
B. 120 元
C. 125 元
D. 135 元
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第
5
讲
生
活
中
的
方
程
（一）
140
典型例题5
老板娘被他们的聪明才智给惊讶到了，说：
“你们真是太聪明了，怪不得现在生意越来越
难做了，以前我卖西装，想尽各种办法促销，结果还是被竞争对手摆了一道．”
老板娘店铺与对面店铺标价一样，西装每套标价200 元，领带每条标价40 元，老板娘店
铺西装和领带都打9 折，对门的店铺买一套西装，送一条领带．
①有个客户需要20 套西装和𝑛条领带（𝑛> 20），请你用𝑛表示在两家购买的费用．
②后来客户确定说要20 套西装和120 条领带，去哪家店购买比较划算？
③老板娘说：
“万万没想到，对门店铺的老板让客户在他们那买了20 套西装，送了20 条
领带，然后在我这买了100 条领带．结果导致后来西装几乎卖不出去，一直在卖领带．”聪
明的你帮忙算一下，按照上述说法购买相较于第②问省了多少钱？
典型例题6
老板娘吸取对面店铺的经验，重新制定如下优惠方案：
（1）一次性购物不超过100 元不享受优惠；
（2）一次性购物超过100 元，但不超过300 元一律9 折；
（3）一次性购物超过300 元一律8 折．
老马两次购物分别付款80 元，252 元．如果老马一次性购买与这两次相同的物品，则应
付款（ ）．
A. 288 元
B. 332 元
C. 288 元或316 元
D. 332 元或363 元
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第
5
讲
生
活
中
的
方
程
（一）
141
典型例题7
老马说：你们真的很聪明！我现在有一个问题需要帮忙，具体情况是：我准备印刷一批证
书，现有两个印刷厂可供选择：
甲厂收费方式：收制版费1000 元，每本印刷费0.5 元；
乙厂收费方式：不超过2000 本时，每本收印刷费1.5 元；超过2000 本超过部分每本收印
刷费0.25 元，设要印制证书𝑥本．
（1）当印制证书8000 本时应该选择哪个印刷厂更节省费用？节省了多少？
（2）请问印刷多少本证书时，甲乙两厂收费相同？
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第
5
讲
生
活
中
的
方
程
（一）
142
随堂练习
随堂练习1
某学校有𝑥间男生宿舍和𝑦个男生，若每间宿舍住8 个人，则还多4 个人无法安置；若每
间宿舍安排10 个人，则还多6 张空床位，据此信息列出方程，下列4 个方程中正确的是
（ ）．
①8𝑥−4 = 10𝑥+6；②𝑦−4
8
= 𝑦+6
10 ；③𝑦+4
8
= 𝑦−6
10 ；④8𝑥+4 = 10𝑥−6．
A. ①③
B. ②④
C. ①②
D. ③④
随堂练习2
在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不
足四．问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8 元，还盈余3 元；每人
出7 元，则还差4 元．问人数是多少？若设人数为𝑥，则下列关于𝑥的方程符合题意的是
（ ）
A. 8𝑥−3 = 7𝑥+4
B. 8(𝑥−3) = 7(𝑥+4)
C. 8𝑥+4 = 7𝑥−3
D. 1
7𝑥−3 = 1
8𝑥+4
随堂练习3
某商店出售两件衣服，每件卖了200 元，其中一件赚了25%，而另一件赔了20%．那么商
店在这次交易中（ ）
A. 亏了10 元钱
B. 赚了10 元钱
C. 赚了20 元钱
D. 亏了20 元钱
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5
讲
生
活
中
的
方
程
（一）
143
随堂练习4
门头沟盛产名特果品，东山的京白梨、灵水的核桃、柏峪的扁杏仁、龙泉雾的香白杏、火村
红杏、太子墓的红富士苹果、陇驾庄盖柿都是上等的干鲜果品，有的曾为皇宫供品，至今
在国内享有盛名．秋收季节，某公司打算到门头沟果园基地购买一批优质苹果．
果园基地对购买量在1000 千克（含1000 千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克
10 元，由基地送货上门；方案二：每千克8 元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从
基地到公司的运输费为5000 元．
（1）公司购买多少千克苹果时，选择两种购买方案的付款费用相同．
（2）如果公司打算购买3000 千克苹果，选择哪种方案付款较少？为什么？
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5
讲
生
活
中
的
方
程
（一）
144
数学探索
书的开本
在书和本子的背面，会看到：8 开、16 开、32 开等字样，你知道
这是什么意思吗?
一张整张的纸叫整开纸，把它对折裁开，就得到两张对开的纸。
对开纸也叫两开纸。如果把对开纸再对折裁开，就得到四张4 开
纸。继续对折裁开，可以得到8 开、16 开、32 开、64 开等各种大小
不同的纸。
研究一下用对折方法裁开的纸: 折一次得2 开纸，2 = 21；折两
次得4 开纸，4 = 22；折三次得8 开纸，8 = 23；折四次得16 开纸，
16 = 24；折五次得32 开纸，32 = 25；折六次得64 开纸，64 = 26。
容易看到，在写成幂的形式中，底数2 表示裁纸的方法，每次
都是把一张纸裁成两张。而指数表示折纸的次数，幂是裁出纸的张
数，也是张的开型。
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第
5
讲
生
活
中
的
方
程
（一）
145
练习册
1
明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：
“隔墙听得客分银，不知人数
不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人
分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤(注：明代时1 斤= 16 两，故有
“半斤八两”这个成语)．设有𝑥人分银子，根据题意所列方程正确的是（ ）．
A. 7𝑥+4 = 9𝑥−8
B. 7(𝑥+4) = 9(𝑥−8)
C. 7𝑥−4 = 9𝑥+8
D. 7(𝑥−4) = 9(𝑥+8)
2
设有𝑥个人共种𝑎棵树苗．如果每人种6 棵，则剩下4 棵树苗未种；如果每人种8
棵，则缺2 棵树苗．根据题意，列方程正确的是（ ）．
A. 𝑥
6 −4 = 𝑥
8 +2
B. 𝑥
6 +4 = 𝑥
8 −2
C. 𝑎+4
6
= 𝑎−2
8
D. 𝑎−4
6
= 𝑎+2
8
3
某服装进货价为80 元/件，标价为200 元/件，商店将此服装打𝑥折销售后仍获利
50%，则𝑥的值为（ ）．
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
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第
5
讲
生
活
中
的
方
程
（一）
146
4
已知某种商品的标价为200 元，即使搞促销活动打九折后仍有20% 的利润，则该商
品的成本价是（ ）
A. 144 元
B. 150 元
C. 153 元
D. 167 元
5
学校要购入两种记录本，其中𝐴种记录本每本3 元，𝐵种记录本每本2 元，且购买
𝐴种记录本的数量比𝐵种记录本的2 倍还多20 本，总花费为460 元．
（1）求购买𝐵种记录本的数量．
（2）某商店搞促销活动，𝐴种记录本按8 折销售，𝐵种记录本按9 折销售，则学校
此次可以节省多少钱？
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第
5
讲
生
活
中
的
方
程
（一）
147
6
某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这
种文具袋标价每个10 元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两
个问题：
（1）求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50 支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8
元，签字笔标价每支6 元．经过沟通，这次老板给予8 折优惠，合计272 元．问
小明购买了钢笔和签字笔各多少支？
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第
5
讲
生
活
中
的
方
程
（一）
148
7
某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品
牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副（两块）定价100 元，乒乓球每盒（5 个）定
价25 元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9 折优
惠．该班需乒乓球拍5 副，乒乓球若干盒（不少于5 盒）．问：
（1）当购买20 盒时，去哪家商店购买更合算？
（2）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠方法付款一样？
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第
5
讲
生
活
中
的
方
程
（一）
149
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第6 讲
数学建模——生活
数学建模——
生活中的方程（二）
模块一
行程问题
模块二
阶梯定价问题
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第
6
讲
生
活
中
的
方
程
（二）
152
模块一
模块一
行程问题
知识梳理
一、基本公式：路程= 速度× 时间；总路程= 平均速度× 总时间．
二、基本类型：相遇追及问题、流水行船问题、火车过桥问题、环形跑道问题等．
1. 相遇追及问题
（1）相遇路程
= 甲走的路程+ 乙走的路程
= 甲的速度× 相遇时间+ 乙的速度× 相遇时间
= (甲的速度+ 乙的速度)× 相遇时间
= 速度和× 相遇时间．
（2）追及路程
= 甲走的路程−乙走的路程
= 甲的速度× 追及时间−乙的速度× 追及时间
=(甲的速度−乙的速度)× 追及时间
= 速度差× 追及时间
2. 流水行船问题
静水速度（船速）+ 水流速度（水速）= 顺水速度；
静水速度（船速）−水流速度（水速）= 逆水速度。
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第
6
讲
生
活
中
的
方
程
（二）
153
典型例题1
小马和小季骑自行车比赛，小马骑着破车，以180m/min 的速度吱呀吱呀地先走了5min
后，小季立即以300m/min 的速度风驰电掣地出发，很快就把小马追上了．请问，小季追
上小马用了多少时间？
典型例题2
小马和小季进行第二轮自行车比赛．小马骑着“除了轱辘不转，其他哪儿都转”自行车，每
小时骑20 千米，小季骑着“乌云踏雪”，每小时骑36 千米，小马先出发1h，结果小季还是
比小马早到1h．若设起点与终点间的距离为𝑠千米，则以下方程正确的是（ ）．
A. 𝑠
20 = 𝑠
36 +2
B. 𝑠
20 = 𝑠
36 −1
C. 𝑠
20 = 𝑠
36 −2
D. 20𝑠= 36𝑠+2
典型例题3
已知小季和小马用皮划艇在静水中前进的速度相同，小马先从上游到下游顺流而行，用
了2h；小季从下游到上游逆流而上，用了2.5h．已知水流的平均速度是3km/h．
求皮划艇在静水中的平均速度．
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第
6
讲
生
活
中
的
方
程
（二）
154
典型例题4
小马、小季进行跑跑卡丁车比赛，小马每秒行驶6.5 米，小季每秒行驶7 米，小马先行驶
了5 米，设𝑥秒后，小季追上小马，下列四个方程中不正确的是（ ）．
A. 7𝑥= 6.5𝑥+5
B. 7𝑥−5 = 6.5
C. (7−6.5)𝑥= 5
D. 6.5𝑥= 7𝑥−5
典型例题5
小马和小季相约在“秋名山”下一条笔直跑道上开卡丁车．小季的速度是360m/min，小马
的速度是540m/min，小季先出发5min 后，小马才出发．
（1）问小马需要几分钟可以追上小季？
（2）小马出发多少分钟后，两人相距900m？
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第
6
讲
生
活
中
的
方
程
（二）
155
模块二
模块二
阶梯定价问题
典型例题6
已知出租车的收费标准是：起步价10 元（行驶距离不超过2km，都需付10 元车费），超
过2km 每增加1km，加收2.6 元，小季乘出租车到达目的地后共支付车费49 元，则小季
坐车可行驶的路程最远是（不考虑其他收费）（ ）．
A. 15km
B. 16km
C. 17km
D. 18km
典型例题7
某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
已知10 月份该市居民老马家用电200 度，交电费120 元；9 月份老马家交电费157 元．
（1）表中𝑎的值为
．
（2）求老马家9 月份的用电量．
（3）若8 月份老马家用电的平均电价为0.7 元/度，求老马家8 月份的用电量．
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第
6
讲
生
活
中
的
方
程
（二）
156
融会贯通1
为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该
市自来水收费价格见价目表．
老马家1 月份用水8m3，则应收水费：2×6+4×(8−6) = 20（元）．
（1）若老马家2 月份用水12.5m3，则应收水费
元．
（2）若老马家3、4 月份共用水15m3（4 月份用水量超过3 月份），共交水费44 元，则老
马家3、4 月份各用水多少立方米？
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第
6
讲
生
活
中
的
方
程
（二）
157
典型例题8
某电信公司推出一款移动话费套餐，缴费标准见下表：
小马办理的是月租费为88 元的套餐，小季办理的是月租费为118 元的套餐．
（1）小马当月的主叫时间为220 分钟，则该月他的话费需多少元？
（2）某月小马和小季的主叫时间都为𝑚分钟（𝑚> 350），试用含𝑚的代数式表示该月
他们的话费差．
（3）某月小马和小季的话费相同，但主叫时间比小季少100 分钟，求小马和小季的主叫
时间分别为多少分钟．
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第
6
讲
生
活
中
的
方
程
（二）
158
随堂练习
随堂练习1
我国元朝的数学著作《算学启蒙》记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，两
马同地出发，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？其大意是：良马每天跑240 里，驽马
每天跑150 里．良马和驽马从同地出发，驽马先走12 天，问良马追上驽马的时间为多少
天？若设良马追上驽马的时间为𝑥天，则可列方程为（ ）．
A. 240𝑥= 150×12
B. 240𝑥= 150(𝑥+12)
C. 150𝑥= 240×12
D. 150𝑥= 240(𝑥−12)
随堂练习2
一艘轮船往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要6 小时，顺流而下需要4 小时，若船
在静水中的速度为20 千米/ 时，则水流的速度是
千米/ 时．
随堂练习3
一天早晨，乐乐以80 米/ 分的速度上学，5 分钟后乐乐的爸爸发现他忘了带数学书，爸
爸立即骑自行车以280 米/ 分的速度去追乐乐，并且在途中追上了他，请解决以下问题：
爸爸追上乐乐用了多长时间？
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第
6
讲
生
活
中
的
方
程
（二）
159
随堂练习4
南山市出台阶梯电价计算方案，将居民生活用电月用电量分为三档，第一档为月用电量
100 度以内(含100)，第二档为月用电量100 ∼220 度(含220)，第三档为月用电量220 度
以上，这三个档次的电价分别为：第一档0.5 元/度，第二档0.6 元/度，第三档0.8 元/度．
价目表
若某户居民1 月份用电150 度，则应收电费：
0.5×100+0.6×(150−100) = 80(元)
（1）若某户居民10 月份电费48 元，则该户居民10 月份用电
度；
（2）若该户居民2 月份用电320 度，则应缴电费
元；
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第
6
讲
生
活
中
的
方
程
（二）
160
数学探索
为什么下水道的盖子是圆形的
如果留意一下，会发现街上下水道的盖子几乎都是圆的，可是，
为什么要做成圆的呢? 做成其他形状的，比如正方形不好吗?
微软公司在招员工时要进行面试，这个问题最早是微软公司
招聘员工时的测试题，并且很可能是微软最有名的面试问题。但是
由于曝光率太高，微软公司在面试中已经停止使用这一问题了。
对这个问题的最好回答是：正方形的盖子容易掉到洞里去。为
什么正方形的盖子容易掉下去呢? 是因为正方形的对角线是其边
长的√2 倍。如果把一个正方形盖子立起来，稍微一转，它就会很
容易掉到下水道里去。与此不同，圆的直径都是相等的，所以圆形
盖不会掉入圆形洞里。
简单说，其他形状的盖子会有一个角度让井盖掉下去，但如果
井盖做成圆形的，只要直径大于井口一点，那么无论从哪个角度都
不会掉下去!
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第
6
讲
生
活
中
的
方
程
（二）
161
练习册
1
一辆客车和一辆卡车同时从𝐴地出发沿同一公路同向行驶，客车的行驶速度是
70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h 到达𝐵地．若设𝐴、𝐵两地间
的路程是𝑥km，可列方程（ ）
A. 𝑥
70 −𝑥
60 = 1
B. 𝑥
60 −𝑥
70 = 1
C. 70𝑥−60𝑥= 1
D. 70
𝑥−60
𝑥= 1
2
轮船在静水中速度为每小时20km，水流速度为每小时4km，从甲码头顺流行驶到乙
码头，再返回甲码头，共用5 小时（不计停留时间），求甲、乙两码头的距离．设两码
头间的距离为𝑥km，则列出方程正确的是（ ）．
A. (20+4)𝑥+(20−4)𝑥= 5
B. 20𝑥+4𝑥= 5
C. 𝑥
20 + 𝑥
4 = 5
D.
𝑥
20+4 +
𝑥
20−4 = 5
3
轮船沿江从𝐴港顺流行驶到𝐵港，比从𝐵港返回𝐴港少用2 小时，若船速为26 千
米/ 时，水速为3 千米/ 时，求𝐴港和𝐵港相距多少千米，设𝐴港和𝐵港相距𝑥
千米，根据题意，可列出的方程是（ ）．
A.
𝑥
26+3 =
𝑥
26−3 −2
B.
𝑥
26+3 =
𝑥
26−3 +2
C. 𝑥+3
26 = 𝑥−3
26 +2
D. 𝑥−3
26 = 𝑥+3
26 −2
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第
6
讲
生
活
中
的
方
程
（二）
162
4
小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5 吨，每吨水费𝑥元；超
过5 吨，超过部分每吨加收2 元，小明家今年5 月份用水9 吨，共交水费为44 元，
根据题意列出关于𝑥的方程正确的是（ ）．
A. 5𝑥+4(𝑥+2) = 44
B. 5𝑥+4(𝑥−2) = 44
C. 9(𝑥+2) = 44
D. 9(𝑥+2)−4×2 = 44
5
某市出租车起步价是8 元（3 公里及3 公里以内为起步价），以后每公里收费1.6
元，不足1 公里按1 公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4 元，
则此出租车行驶的路程可能为（ ）．
A. 5.5 公里
B. 6.9 公里
C. 7.7 公里
D. 8.1 公里
6
两车站相距175 千米，慢车以每小时50 千米的速度从甲站开往乙站，1 小时后，快
车以每小时75 千米的速度从乙站开往甲站，那么慢车开出几小时后与快车相遇？
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第
6
讲
生
活
中
的
方
程
（二）
163
7
甲、乙两人从𝐴、𝐵两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速
行驶．出发后经3 小时两人相遇．已知在相遇时乙比甲多行驶了84 千米，相遇后经
5
4 小时乙到达𝐴地．问甲、乙行驶的速度分别是多少？
8
甲、乙两站相距448km，一列慢车从甲站出发开往乙站，速度为60km/h．一列快车从
乙站出发开往甲站，速度为100km/h．
（1）两车同时出发，出发后多少时间两车相遇．
（2）慢车先出发32min，快车开出后多少时间两车相距48km．
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第
6
讲
生
活
中
的
方
程
（二）
164
9
某水果批发市场苹果的价格如下表：
（1）小明分两次共购买40 千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付
出216 元，小明第一次购买苹果
千克，第二次购买
千
克．
（2）小强分两次共购买100 千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两
次购买每千克苹果的单价不相同，共付出432 元，请问小强第一次、第二次分
别购买苹果多少千克？（列方程解应用题）
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第
6
讲
生
活
中
的
方
程
（二）
165
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第7 讲
直观想象—
直观想象——
线的探究
模块一
线段相关的计数和应用
模块二
直线相关的计数
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第
7
讲
线
的
探
究
168
模块一
模块一
线段相关的计数和应用
知识引入
想想悟空的话有问题吗？
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第
7
讲
线
的
探
究
169
知识梳理
直线、射线、线段
1. 线段: 一根拉紧的线或者弦，都可以看作线段，线段有两个端点.
线段可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，如线段𝐴𝐵.
2. 射线: 把线段向一端无限延伸，就得到一条射线. 射线只有一个端点.
射线可以用端点和射线上的一点表示，如射线𝑂𝐴.
3. 直线: 把线段向两端无限延伸，就得到一条直线. 直线没有端点.
（1）直线可以用两个大写字母来表示，如直线𝐴𝐵.
（2）还可以用一个小写字母来表示，如直线𝑙.
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第
7
讲
线
的
探
究
170
典型例题1
如图，对于直线𝐴𝐵，线段𝐶𝐷，射线𝐸𝐹，其中能相交的图是（ ）．
A.
B.
C.
D.
典型例题2
（1）如图，一条直线上有𝐴、𝐵、𝐶三点，图中共有
条射线，
条线段．
（2）如图，下列图中有几条线段？怎样用字母表示？
（3）如图，一条直线上标有𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸共5 个点，能数出
条不同的线段．
（4）如果在一条直线上得到10 条不同的线段，那么这条直线至少要选用
个
不同的点．𝑛个点，能数出
条线段．
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第
7
讲
线
的
探
究
171
典型例题3
（1）如图，图中共有（ ）条线段．
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
（2）如图，该图中不同的线段数共有
条．
（3）如图所示，能读出的线段条数共有（ ）
A. 8 条
B. 10 条
C. 6 条
D. 12 条
（4）图中一共有多少条线段？
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第
7
讲
线
的
探
究
172
典型例题4
火车往返于𝐴、𝐵两个城市，中途经过4 个站点（共6 个站点），不同的车站来往需要不
同的车票，共有不同的车票
种．
典型例题5
数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的数学思想方法．我
国著名数学家华罗庚曾说过：
“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”
（1）【问题背景】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠2 个车站（来回票价一样），可以从
任意站点买票出发，且任意两站间的票价都不同，共有
种不同的票价，
需准备
种车票．
聪明的小周是这样思考这个问题的，她用𝐴，𝐵，𝐶，𝐷4 个点表示车站，每两站之间的
票价用相应两点间的线段表示，共连出多少条线段，就有多少种不同的票价．
（2）初次见面通常以握手示礼．如图，我们可以用点来表示每个人，连接两点的线段数量
表示握手的次数．如果握手的人数是9，那么握手的总次数是
．
（3）【迁移应用】𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸，𝐹六支足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计
出𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸五支队已经分别比赛了5，4，3，2，1 场球，则还没有与𝐵队比赛的球
队是
队．
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第
7
讲
线
的
探
究
173
融会贯通1
某学校九年级1 班有45 名学生毕业留影时，全体同学拍1 张集体照，每2 名学生拍1
张两人照，共拍了多少张照片？如果照片上的每位同学都需要1 张照片留作纪念，又应该
冲印多少张纸质照片？
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第
7
讲
线
的
探
究
174
模块二
模块二
直线相关的计数
典型例题6
（1）如图，由不在同一直线上的三点𝐴、𝐵和𝐶最多能确定
条直线.
（2）同一平面上，不在同一直线上的四点最多能确定
条直线．
（3）在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定
条直线、𝑛个点
(𝑛⩾2) 最多能确定
条直线．
（4）平面上任意三点不共线，过其中任意两个已知点画一条直线，共画了45 条直线，则
此平面上共有
个已知点．
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第
7
讲
线
的
探
究
175
典型例题7
（1）经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是
．
（2）若平面内有点𝐴、𝐵、𝐶、𝐷，过其中任意两点画直线，可以画
条直线．
融会贯通2
已知平面中共有𝑛个点，𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四点在同一直线上，又有𝐴，𝐸，𝐹三点也在同一直线
上，除此之外，再无三点或四点共线的情况，以𝑛个点为基准，至少过任意两点作一条直
线，共有48 条直线，则𝑛=
．
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第
7
讲
线
的
探
究
176
随堂练习
随堂练习1
若在直线𝑙上取4 个点，则图中一共出现
条射线和
条线段．
随堂练习2
下图中共有
条线段．
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7
讲
线
的
探
究
177
随堂练习3
平面内有五个点，任意三点不共线，过每两个点作一条直线，可以作
条直线．
随堂练习4
如图，𝐴𝐸是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5 个点表示5 个车站，在这段路线上
往返行车，需印制（ ）种车票．
A. 25
B. 20
C. 16
D. 10
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第
7
讲
线
的
探
究
178
数学探索
无需语言的证明
在数学的一些场景下，有时一幅图片胜过千言万语.
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第
7
讲
线
的
探
究
179
练习册
1
如图，点𝐴、𝐵、𝐶、𝐷在同一条直线上，则图中共有线段
条；直线有
条；射线有
条．
2
图中，共有线段
条．
3
图中共有多少条线段？
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第
7
讲
线
的
探
究
180
4
如图，以𝐴、𝐵、𝐶、𝐷、𝐸、𝐹、𝐺、𝐻这些点为端点的线段共有多少条？
5
过平面上三个点中的任意两点画直线，可以画出的直线条数有（ ）．
A. 1 条
B. 1 条或3 条
C. 1 条或4 条
D. 3 条
6
阅读下列材料并填空．
（1）探究：平面上有𝑛个点（𝑛> 2）且任意3 个点不在同一条直线上，经过每两
个点画一条直线，一共能画多少条直线？根据基本事实，我们知道两点确定一
条直线，平面上有2 个点时，可以画2×1
2
= 1 条直线，平面内有3 个不在同
一直线上点时，可画3×2
2
= 3 条直线，那么平面上有4 个不在同一直线上的
点时，可以画
条，平面上有5 个不在同一直线上的点时，可以画
条，⋯以此类推，平面上有𝑛个不在同一直线上的点时，可以画
条．
（2）平面内有10 个点，任意三个点不在同一直线上，若每两点之间都画一条线段，
则所画线段共有𝑛条，这里的𝑛=
．
（3）运用：某足球比赛中有10 个球队进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一
场），一共进行多少场比赛？
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第
7
讲
线
的
探
究
181
7
从宁波到杭州一共有5 站：宁波，余姚，上虞，绍兴，杭州．若每两站之间都有车票，
则售票站要准备
种不同的车票．
8
有𝐴、𝐵、𝐶、𝐷、𝐸五位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛一盘，比赛过程中统计
比赛盘数知：𝐴比赛了4 盘，𝐵比赛了3 盘，𝐶比赛了2 盘，𝐷比赛了1 盘，那么同
学𝐸比赛了（ ）．
A. 1 盘
B. 2 盘
C. 3 盘
D. 4 盘
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第
7
讲
线
的
探
究
182
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第8 讲
直观想象—
直观想象——
角的探究
模块一
角的计数
模块二
角的计算
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第
8
讲
角
的
探
究
186
模块一
模块一
角的计数
知识引入
如图，图中共有几个角呢？如果让你用图中的字母来表示它们，你会如何表示呢？
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第
8
讲
角
的
探
究
187
知识梳理
一、角的定义
1. 从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做
角的边.
2. 角可以看作是由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
角通常用符号“∠”来表示，如图所示的角可以记作“∠1”或“∠𝐴𝐵𝐶”
二、角的分类
1. 平角: 如图，一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫平角. 平角的度数为180∘.
2. 周角: 如图，一条射线绕着它的端点旋转一周，形成的角叫做周角. 周角的度数为360∘.
3. 锐角: 度数大于0∘，小于90∘的角称为锐角.
4. 直角: 度数为90∘的角称为直角.
5. 钝角: 度数大于90∘，小于180∘的角称为钝角.
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第
8
讲
角
的
探
究
188
典型例题1
回答下列问题：
（1）在∠𝐴𝑂𝐵内部画1 条射线𝑂𝐶，则图(1) 中有
个不同的角．
（2）在∠𝐴𝑂𝐵内部画2 条射线𝑂𝐶，𝑂𝐷，则图(2) 中有
个不同的角．
（3）在∠𝐴𝑂𝐵内部画3 条射线𝑂𝐶，𝑂𝐷，𝑂𝐸，则图(3) 中有
个不同的角．
（4）在∠𝐴𝑂𝐵内部画𝑛条射线𝑂𝐶，𝑂𝐷，𝑂𝐸，⋯，则有
个不同的角．
（5）在∠𝐴𝑂𝐵内部画10 条射线𝑂𝐶，𝑂𝐷，𝑂𝐸，⋯，则有
个不同的角．
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第
8
讲
角
的
探
究
189
典型例题2
（1）如图，∠𝐴𝑂𝐵= 90∘，以𝑂为顶点的锐角共有（ ）．
A. 3 个
B. 4 个
C. 5 个
D. 6 个
（2）如图，𝐴𝐵是一条直线，𝑂是直线上一点，𝑂𝐶，𝑂𝐷，𝑂𝐸是射线，则图中大于0∘小于
180∘的角有
个．
融会贯通1
在锐角∠𝐴𝑂𝐵内部由𝑂点引出3 种射线，第1 种是将∠𝐴𝑂𝐵分成10 等份；第2 种是将
∠𝐴𝑂𝐵分成12 等份；第3 种是将∠𝐴𝑂𝐵分成15 等份，所有这些射线连同𝑂𝐴、𝑂𝐵可组
成的角的个数是（ ）个．
A. 595
B. 406
C. 35
D. 666
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第
8
讲
角
的
探
究
190
典型例题3
（1）如图，以𝐵为顶点的角共有几个？请把它们写出来，以𝐷为顶点的角呢？图中有多
少个小于180∘的角？
（2）如图，图中度数小于180∘的角共有
个．
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第
8
讲
角
的
探
究
191
模块二
模块二
角的计算
知识梳理
一、垂直的定义
当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，称这两条直线互相垂直，其中的一
条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
垂直是相交的一种特殊情况，如图所示，可以记作“𝐴𝐵⊥𝐶𝐷于点𝑂”
典型例题4
（1）在右图的两个长方形中，已知∠1 = 30∘，那么∠2 =
，∠3 =
．
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第
8
讲
角
的
探
究
192
（2）如图，𝑂𝐴⊥𝑂𝐶，𝑂𝐵⊥𝑂𝐷，已知∠𝐴𝑂𝐷= 32∘，那么∠𝐵𝑂𝐶=
．
（3）将一副三角板如图放置，若∠𝐴𝑂𝐷= 20∘，则∠𝐵𝑂𝐶的大小为
．
（4）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点𝑂，若∠𝐴𝑂𝐶= 120∘，则
∠𝐵𝑂𝐷等于（ ）．
A. 40∘
B. 50∘
C. 60∘
D. 70∘
（5）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点𝑂，则∠𝐴𝑂𝐶+ ∠𝐵𝑂𝐷=
（ ）．
A. 90∘
B. 120∘
C. 160∘
D. 180∘
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第
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讲
角
的
探
究
193
融会贯通2
将三个同样大小的正方形的一个顶点重合放置，如图，那么∠1 =
度．
典型例题5
（1）把一张长方形纸条按如图所示那样折叠后，若得到∠𝐴𝑂𝐵′ = 70∘，则∠𝐵′𝑂𝐺=
．
（2）如图，把一张长方形纸片沿𝐴𝐵折叠后，若∠1 = 50∘，则∠2 的度数为
．
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第
8
讲
角
的
探
究
194
典型例题6
按下面的方法折纸，然后回答问题：
（1）∠1 与∠𝐴𝐸𝐶有何关系？
（2）∠1，∠3 有何关系？
（3）∠2 是多少度的角？请说明理由．
典型例题7
如图，长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑀为𝐴𝐷边上的一任意点，将纸片沿𝐵𝑀，𝐶𝑀折叠，使点𝐴落
在点𝐴′ 处，点𝐷落在𝐷′ 点处，若∠1 = 30∘，则∠𝐵𝑀𝐶=（ ）．
A. 135∘
B. 120∘
C. 105∘
D. 100∘
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第
8
讲
角
的
探
究
195
典型例题8
小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼
间无缝隙），∠𝐴𝑂𝐵的度数是
．
融会贯通3
在如图所示的4×4 正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7 =
．
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第
8
讲
角
的
探
究
196
随堂练习
随堂练习1
如图，在∠𝐴𝑂𝐵内部引射线𝑂𝐶，𝑂𝐷，∠1 < ∠2 < ∠3 < 30∘，则图中共有
个锐
角．
随堂练习2
将一副直角三角尺如图放置，若∠𝐴𝑂𝐷= 20∘，则∠𝐵𝑂𝐶的大小为( )
A. 140∘
B. 160∘
C. 170∘
D. 150∘
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第
8
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角
的
探
究
197
随堂练习3
如图，已知∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷= 90o，∠𝐴𝑂𝐷= 120∘，则∠𝐵𝑂𝐶的度数为（ ）．
A. 60∘
B. 50∘
C. 45∘
D. 30∘
随堂练习4
如图，把长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹折叠后，点𝐵与点𝐵′ 重合，点𝐴恰好落𝐵𝐶边上的点
𝐴′ 的位置，若∠1 = 55∘，则∠𝐷𝐸𝐴′ 的度数为
．
随堂练习5
如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在𝐴′ 处，𝐸𝐹为折痕，再将另一角折叠，使
顶点B 落在𝐸𝐴′ 上的𝐵′ 点处，折痕为𝐸𝐺，则∠𝐹𝐸𝐺等于
.
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第
8
讲
角
的
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究
198
数学探索
有趣的礼物
母亲节快到了，小马准备送给妈妈一个特别的礼物. 妈妈下班
前，小马把家门密码修改了，告诉妈妈猜对就可以得到礼物. 妈妈
随后开始了尝试.
第一次输入731，小马说：
“只有一个号码正确且位置正确”
第二次输入742，小马说：
“只有一个号码正确但位置不正确”
第三次输入157，小马说：
“只有两个号码正确但位置都不正
确”
第四次，妈妈打开了大门，拿到了母亲节礼物。你知道密码了
吗？
密码是521.
由第一次和第二次输入的信息可知密码中没有数字7，有
1,2,3,4 中的一个，从第三次输入得到信息可知密码有数字1 和
5，所以1 的位置也正确，在第三位。5 正确但位置不对，所以在第
一位。中间位只能是2 或4，但位置不对，所以只能是2，所以密码
是521.
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第
8
讲
角
的
探
究
199
练习册
1
如图①中有1 个角，图②中有3 个角，图③中有6 个角，以此类推，如图④所
示，图中共有（ ）个角．
A. (𝑛−1)(𝑛−2)
2
B. 𝑛(𝑛−1)
2
C. 𝑛(𝑛+1)
2
D. (𝑛+1)(𝑛+2)
2
2
如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠𝐴𝑂𝐶= 130∘，则∠𝐵𝑂𝐷等于
（ ）．
A. 30∘
B. 45∘
C. 50∘
D. 60∘
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第
8
讲
角
的
探
究
200
3
如图，直线𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于点𝑂，且𝐸𝑂⊥𝐴𝐵于𝑂，如果∠1 = 25∘，则∠2 =
，∠3 =
，∠4 =
．
4
将长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐴𝐸折叠，点𝐷落在长方形内的点𝐷′ 处，如图所示，已知
∠𝐶𝐸𝐷′ = 70∘，则∠𝐴𝐸𝐷等于
度．
5
如图，把一张长方形纸条𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹折叠，若∠𝐴𝐸𝐷′ = 68∘，则∠𝐴𝐸𝐹=
．
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第
8
讲
角
的
探
究
201
6
如图，若将三个含45∘的直角三角板的直角顶点重合放置，则∠1 的度数为（ ）．
A. 15∘
B. 20∘
C. 25∘
D. 30∘
7
如图，若将三个同样大小的正方形的一个顶点重合放置，则∠1 的度数为（ ）．
A. 15∘
B. 20∘
C. 25∘
D. 30∘
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第
8
讲
角
的
探
究
202
8
如图是一个3×3 的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4 =
．
9
如图，是一个3×3 的正方形网格，则∠1+∠2 +∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9 =
∘．
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第
8
讲
角
的
探
究
203
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11220323470202
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