FY25暑假初一A14整式的除法教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_精进_教师版PDF

A14 整式的除法 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）同底数幂的除法 （2）单项式除以单项式 （3）多项式除以单项式 2. 考情分析 （1）主要考察同底数幂、单项式与单项式以及多项式与单项式运算。这个部分知识主要以 计算解答题的形式对学生进行考察； （2）整式除法同整式加减法一样，是整式运算的重要内容，是进一步学习因式分解、分式、 方程、函数以及其他数学内容的基础，同时也是学习物理、化学等学科不可缺少的数学工 具．因此，本章内容在学习数学及其他学科方面占有重要的地位和作用．学习整式乘除是学 习整式加减的继续和发展。 环节 需要时间 课后练习讲解 10分钟 切片1：同底数幂的除法 30分钟 切片2：单项式除以单项式 20分钟 切片3：多项式除以单项式 35分钟 出门测 15分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站1——同底数幂的除法【建议时长：30分钟】 考点一：同底数幂的除法 知识笔记1 1、同底数幂相除： 同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：_______________________ 2、零次幂 规定___________________；___________________（a0，p是正整数）． 【填空答案】 1、am an amn（a0，m，n都是正整数） 1 2、a0 1a0 ;ap  ap 例题1: （★★☆☆☆）计算： （1）（2022•浦东新区二模）计算：m4 m2  ． （2）  a34   a43 . （3）（2022•普陀区梅陇中学期中）计算：(y3)2 y5  ． （4）（2022•闵行区梅陇中学期中）计算：结果用幂的形式表示(ab)9 (ba)4  ． （5）（2021•徐汇区月考）y3y5 (y)4  ． 【常规讲解】 （1）解：m4 m2 m42 m2． （2）解：  a34   a43 a12   a12 1． （3）解：(y3)2 y5  y6 y5  y． （4）解：(ab)9 (ba)4 (ab)9 (ab)4 (ab)5． （5）解：原式y3y5 y4 y354 y4， 2练习1: （★★☆☆☆）计算： （1）315 312； （2）a10 a7； （3）x6   x2x3 ； （4）（2022•浦东新区期中）计算：(a6)(a)2； （5）x y10 x y5； （6）ab9 ba7． 【常规讲解】 （1）315 312 31512 33 27； （2）a10 a7 a107 a3； （3）x6   x2x3 x6 x23 x6 x5 x65 x； （4）(a6)(a)2 (a6 a2)a4； （5）x y10 x y5 x y105 x y5； （6）解：ab9 ba7 ba9 ba7 ba97 ba2 a2 2abb2． 例题2: （★★★☆☆）计算： （1）(2x2)3 2x(x)4x． （2）x2y42yx2(x2y) ． 【常规讲解】 （1）解：(2x2)3 2x(x)4x 8x6 2xx5 5x5． （2）x2y4 2yx2 (x2y)x2y4 x2y2 (x2y) x2y421 x2y. 3练习2: （★★★☆☆）计算： （1） a9 a2a(a2)4 (2a4)2 ． （2）x2x3   2x23 x9 x4 【常规讲解】 （1）解：原式a921a8 4a8 a8 a8 4a8 2a8． （2）x2x3   2x23 x9 x4 x23 8x23 x94 x5 8x6 x5 2x5 8x6； 例题3: 1 （1）（★★☆☆☆）（2017•浦东新区月考）若am 8，an  ，则a2m3n  ． 2 （2）（★★☆☆☆）（2020•浦东新区月考）若2x 2，4y 4，则2x2y的值为 ． 1 【常规讲解】（1）解：∵am 8，an  ， 2 1 a2m3n (am)2 (an)3 82 ( )3，512． 2 故填512． （2）解：∵2x 2，4y 22y 4， 1 2x2y 2x 22y 24 ． 2 1 故答案为： ． 2 练习3: （1）（★★☆☆☆）（2019•浦东新区校级月考）若am 6，an 4，则a2mn  ． 1 2x y （2）（★★☆☆☆）（2019•浦东新区校级月考）已知10x 2，10y 9，则100 2  ． 【常规讲解】（1）解：∵am 6，an 4， a2mn (am)2 an 62 43649． 故答案为：9． （2）解：∵10x 2，10y 9， 4100 2x 1 2 y 10 2(2x 1 2 y) 104xy 104x 10y (10x)4 10y 24 9  16 ． 9 16 故答案为： ． 9 例题4: （1）（★★★☆☆）已知：x3n2 xn1 x3nxn2，求n的值． （2）（★★★☆☆）已知3x2y20，求8x 4y 22的值． 【常规讲解】 （1）∵x3n2 xn1 x3n2n1 x2n3，x3nxn2 x3nn2 x5， ∴x2n3 x5，∴2n35，解得n4． （2）∵3x2y20， 8x 4y 22 (23)x (22)y 22 23x 22y 22 23x2y2 20 1． 练习4: （1）（★★★☆☆）若3x 2，3y 5，求32xy的值． （2）（★★★☆☆）已知2x3y4，求4x 8y的值； 【常规讲解】 （1）32xy 32x 3y   3x2 3y，把3x 2，3y 5代入得32xy   3x2 3y 45 4 ． 5 （2）（2）∵2x3y4， 4x 8y 22x 23y 22x3y 24 16 5考点二：同底数幂的除法与新定义 例题5:   （★★★☆☆）探究应用：用“ ”“ ”定义两种新运算：对于两个数a，b ，规定 ab10a10b，a∩b10a 10b．例如：32103102 105；3∩2103 102 10． （1）求(1040983)的值； （2）求(2023∩2021)的值； （3）当x为何值时，(x5)的值与(23∩17)的值相等． 【常规讲解】解：（1）(1040983) 10104010983 102023； （2）(2023∩2021) 102023102021 102 100； （3）由题意得：(x5)(23∩17)， 则10x105 10231017 ， 105x 106， 即5x6， 解得：x1． 练习5:   （★★★☆☆）我们约定：a b10a 10b，如4 3104 103 10．  （1）试求10 4的值；  （2）试求21 5103的值．   【常规讲解】解：（1）∵a b10a 10b，如4 3104 103 10，  10 41010 104 106；  （2）21 5103 1021105103 1019． 6知识加油站2——单项式除以单项式【建议时长：30分钟】 考点三：单项式除以单项式 知识笔记2 单项式除以单项式： 两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母， 则连同它的指数作为商的一个因式． 例题6: （★★☆☆☆）计算： （1）（2022•闵行区梅陇中学期中）计算：4x4 6x ． （2）2a3b6 4a2b4； （3）122x y4 8y2x3 ．   （4）  x yxy  9 yx8 xy9． 2 【常规讲解】（1）解：4x4 6x x3． 3 1 （2）2a3b6 4a2b4 24a32b64  ab2； 2 （3）122x y4   8y2x3   128  2x y43 3x 3 y． 2 （4）解：  x yxy  9 yx8 xy9 x y9xy9 yx8   x y  9 x y99xy98 xy yx． 练习6: （★★☆☆☆）计算： （1）4x6y4 2x5y2 （2）15ab2   3b2 ． 2 （3）   1 x2y3z     0.5x3y3  2  【常规讲解】 7（1）4x6y4 2x5y2 42x65y42 2xy2 ； （2）15ab2   3b2  153 ab22 5a． 2 （3）   1 x2y3z     0.5x3y3  1 x4y6z2   0.5x3y3  1 xy3z2  2  4 2 考点四：单项式除以单项式的简单应用 例题7: 1 （1）（★★★☆☆）已知一个单项式乘以 x2y5z，所得的积是2x4y5z2，求这个单项式． 3 3 （2）（★★★☆☆）已知长方体的体积为3a3b5，它的长为ab，宽 ab2，求这个长方体的 2 高． 17  2   1  1 （3）（★★★☆☆）先化简： x3y x3y2z x4y2 ，再计算：当x3，y ， 12  17   8  4 z1的值． 【常规讲解】 1  1 （1）2x4y5z2  x2y5z2 x42y55z21 6x2z． 3  3 （2）解：由长方体的体积，得 3 高：3a3b5 ab ab2 2 3 3a2b4 ab2 2 2ab2． 答：这个长方体的高是2ab2． 17  2   1  17  2   4 （3） x3y x3y2z x4y2     8 x334y122  x2yz ， 12  17   8  12  17  3 1 4 1 把x3，y ，z1代入得原式 32 13． 4 3 4 8练习7: （1）（★★★☆☆）（2019•普陀区校级月考）三角形的面积为x，一底边长为a，则这条边 上的高可以表示为： ． 3 2 （2）（★★★☆☆）先化简，再求值：[(34x4y6z)17y4]( x3y2)，其中x1，y ， 4 3 z 3． 【常规讲解】 2x （1）解：这条边上的高可以表示为 ． a 2x 故答案为： ． a 3 （2）解：原式(2x4y2z)( x3y2) 4 8  xz， 3 2 当x1，y ，z 3时， 3 8 原式 138 3 9知识加油站3——多项式除以单项式【建议时长：30分钟】 考点五：多项式除以单项式 知识笔记3 多项式除以单项式： 先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商___________． 【填空答案】 相加 例题8: （★★★☆☆）计算： （1）（2020•松江区期末）计算：(12a3 6a2 3a)3a （2）（2021•普陀区期末）计算：(9a6 12a3)3a3  ． 1 1 （3）（2021•宝山区期末）计算：[(4x y)2  y(x y)]4x 2 4 1 （4）（2020•徐汇区校级月考）计算：[(2x y)2 3( y2 xy)]2x． 3 【常规讲解】 （1）解：原式4a2 2a1． （2）解：(9a6 12a3)3a3 9a6 3a312a33a3 3a34． 3 （3）解：原式(16x2 3xy)4x4x y． 4 （4）解：原式(4x2 4xy y2 y2 3xy)2x (4x2 xy)2x 4x2 2xxy2x 1 2x y． 2 10练习8: （★★★☆☆）计算： （1）  9a6 6a4 12a3 3a3 （2）  4x2y3 8x2y2 2xy2 2xy2． （3）(xy)(x2y)(3x3 6x2y)3x． （4）[(x2  y2)(xy)2 2y(xy)]4y． 【常规讲解】 （1）  9a6 6a4 12a3 3a3 9a6 3a3 6a4 3a3 12a3 3a3 3a3 2a4． （2）  4x2y3 8x2y2 2xy2 2xy2 4x2y3 2xy2 8x2y2 2xy2 2xy2 2xy2 2xy4x1． （3）解：原式x2 3xy2y2 x2 2xy xy2y2． （4）解：原式(x2  y2 x2 2xyy2 2xy2y2)4y， (4xy2y2)4y， 1 x y． 2 例题9: （★★★☆☆）计算： （1）  x2 3x3 2x4 x  x2 2x3 3x4 x2． （2）[2a2(3a4)(3a3)2](2a)2． 3 （3）（2022•宝山实验学校期中）计算：(18x3y2 12x2y3 6x2y2)( x2y2)． 4 （4）（2019•徐汇区校级月考）[(3a5)2 (a2)3 2a5(2a)3](3a2)2 【常规讲解】 （1）  x2 3x3 2x4 x  x2 2x3 3x4 x2 x3 3x4 2x5   12x3x2 2x5 3x4 x33x2 2x1． 3 （2）解：[2a2(3a4)(3a3)2](2a)2 (6a6 9a6)4a2 3a6 4a2  a4． 4 （3）解：原式24x16y8． （4）解：原式[9a10 (a6)16a8]9a4 (9a4 16a8)9a4 16 1 a4． 9 11练习9: （★★★☆☆）计算： （1）  18x3y3 12x2y3 6x2y2   3x2y2 ． （2）  ab  a2 2ab  a2ba3b  3a2b ． （3）  35x7y5 21x5y3 28x6y4   7x5y2 ． 2 1 1 （4）( a4b7  a2b6)( ab3)2． 3 9 6 【常规讲解】 （1）  18x3y3 12x2y3 6x2y2   3x2y2 18x3y3   3x2y2 12x2y3   3x2y2 6x2y2   3x2y2 6xy4y2． （2）  ab  a2 2ab  a2ba3b  3a2b   a3b2a2b2 a3b3a2b2 3a2b 1 a2b2 3a2b b． 3 （3）  35x7y5 21x5y3 28x6y4   7x5y2 35x7y5   7x5y2 21x5y3   7x5y2 28x6y4   7x5y2 5x2y3 3y4xy2． 2 1 1 （4）原式( a4b7  a2b6)( a2b6) 3 9 36 2 1 1 1 ( a4b7)( a2b6)( a2b6)( a2b6) 3 36 9 36 24a2b4． 12考点六：多项式除以单项式的应用 例题10: 1 （1）（★★★★☆）已知一个多项式与单项式2x2y的积是x3y x2y2，求这个多项式． 2 （2）（★★★☆☆）（2020•浦东新区月考）一个矩形的面积为m2 8m，若一边长为m，则 其邻边长为 ． （3）（★★★★☆）化简求值：[(xy)2 x(3x2y)(x y)(xy)]2x，其中x1，y2． 【常规讲解】 （1）  x3y 1 x2y2    2x2y   1 x 1 y．  2  2 4 （2）解：∵矩形面积为m2 8m，一边长为m， 邻边长为：(m2 8m)mm8， 故答案为m8． （3）解：原式[x2 2xy y2 3x2 2xyx2 y2]2x 1 (x2)2x  x， 2 1 当x1，y2时，原式 ． 2 练习10: （1）（★★★★☆）已知5x与一个整式的积是25x2 15x3y20x4，求这个整式． 1 （2）（★★★★☆）先化简再求值：[(3ab)2 (b3a)(3ab)6b2]2b，其中a ，b2． 3 【常规讲解】 （1）  25x2 15x3y20x4 5x25x2 5x15x3y5x20x4 5x 5x3x2y4x3 （2）解：[(3ab)2 (b3a)(3ab)6b2]2b (9a2 b2 6ab3abb2 9a2 3ab6b2)2b (4b2 6ab)2b 2b3a， 1 1 当a ，b2时，原式2(2)3( )3． 3 3 13全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补充练习或课后补充练习让学生的完成 ．． ．． 关卡一 练习1: （★★☆☆☆）计算： （1）10a2b3 (5ab3)__________． （2）6m6 (2m2)3 __________． （3）12x5y6xy__________． （4）(2xy)3 2xy2 __________． （5） 2ab6ab2． （6）   5xy2 15xy． 【常规讲解】 （1）解：原式2a， 3 （2）解：原式6m6 (8m6)  ． 4 （3）解：原式2x4． （4）解：(2xy)3 2xy2 8x3y3 2xy2 4x2y． （5）6ab22ab12a2b3； （6）5xy215xy75x2y3； 练习2: （★★★☆☆）计算： （1）  36a2b4 6ab； （2）5a5b3c15a4b3； （3）28x4y2 7x3y； （4）16x5y8 4x2y3． 【常规讲解】 （1）  36a2b4 6ab36a21b41 6ab3； 1 （2）5a5b3c15a4b3 515a54b33c ac； 3 （3）28x4y2 7x3y287x43y21  4xy； 14（4）16x5y8 4x2y3 164x52y83 4x3y5 ． 练习3: （★★★☆☆）计算： （1）  15m7 18m6 12m3 3m3 1 m2． 3 （2）  18x2y2 30x3y2 3x2y2． 1 1 1 （3）[( a4b7  a2b6)( ab3)]2(3a2b1)2. 3 9 3 1 （4）（2018•浦东新区校级月考）[(3xy)2x3 2x2(3xy2)3 y]9x4y2 2 【常规讲解】 （1）  15m7 18m6 12m3 3m3 1 m2   5m4 6m3 4   1 m2  5 m6 2m5  4 m2． 3 3 3 3 （ 2 ）  18x2y2 30x3y2 3x2y2   18x2y2 30x3y2 6xy2 18x2y2 6xy2 30x3y2 6xy2 3x5x2 1 1 1 （3）解：[( a4b7  a2b6)( ab3)]2(3a2b1)2 3 9 3 1 (a3b4  ab3)2(3a2b1)2 3 1 ( ab3)2(3a2b1)2(3a2b1)2 3 1 ( ab3)2(3a2b1)2(3a2b1)2 3 1 ( ab3)2(9a4b2 1)2 3 1 (3a5b5  ab3)2 3 1 9a10b10 2a6b8  a2b6 9 1 （4）[(3xy)2x3 2x2(3xy2)3 y]9x4y2 2 1 (9x2y2x3 2x227x3y6 y)9x4y2 2 (9x5y2 27x5y7)9x4y2 x3xy5． 练习4: 15（★★★★☆）（2022•宝山区校级月考）先化简，再求值：[(x2y)2 (x2y)(x2y)](2x)， 其中x1，y2． 【常规讲解】原式(x2 4xy4y2 x2 4y2)(2x) (2x2 4xy)(2x)  x2y， 把x1，y2代入得： 原式12(2) 14 5． 关卡二 练习5: （★★★★☆）是否存在常数 p、q使得x4  px2 q能被x2 2x5整除？如果存在，求出 p、q的值，否则请说明理由． 【常规讲解】 假设存在 p、q，则说明x4  px2 q能被x2 2x5整除， 可设另一个因式是x2 mxn， ∴  x2 2x5  x2 mxn   x4  px2 q，即 x4 m2x3 n2m5x2 2n5mx5nx4  px2 q ，  m20 n2m5 p m2  p6 ∴ 且 ，解得 ， ， 2n5m0  5nq  n5 q25 ∴存在 p6、q25使得x4  px2 q能被x2 2x5整除． 故答案为：存在， p6，q25． 16练习6: （★★★★★）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算， 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，井把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低 于除式的次数时为止，被除式除式商式余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一 个多项式整除． 例如：计算(6x4 7x3 x2 1)(2x1)，可用竖式除法如图： 所以6x4 7x3 x2 1除以2x1，商式为3x3 5x2 2x1，余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题： （1）(x3 4x2 7x5)(x2)的商是_________________，余式是_________________； （2）x3 x2 axb能被x2 2x2整除，求a，b的值． 3x3 5x2 2x1 2x1 6x4 7x3x2 0x1 6x4 3x3 10x3x2 10x35x2 4x2 0x 4x2 2x 2x1 2x1 0 【常规讲解】 解：（1）(x3 4x2 7x5)(x2)x2 2x31 故答案为：x2 2x3，1． 17（2）由题意得： ∵x3 x2 axb能被x2 2x2整除， a26，b6， 即：a4，b6． 练习7: （★★★★★）已知a、b、c为实数，且多项式x3ax2 bxc能被多项式x2 3x4整除 （1）求4ac的值； （2）求2a2bc的值； （3）若a，b，c 为整数，且c a1，试确定a，b，c 的值． 【常规讲解】 解：（1）∵x2 3x4是x3ax2 bxc的一个因式， x2 3x40，即x4，x1是方程x3 ax2 bxc0的解， abc1①  ， 16a4bc64② ①4②得4ac12③； c （2）由③得a3 ，④ 4 3 代入①得b4 c⑤， 4 c 3 2a2bc2(3 )2(4 c)c14； 4 4 c （3）∵c a1，又a3 ， 4 c a3 c， 4 c 即13 c， 4 12 解得 c8， 5 又∵a、c 是大于1的正整数， 18c c3、4、5、6、7，但a3 ，a也是正整数， 4 c4， a2， 3 b4 c7． 4 补充方法：x3 ax2 bxc(x2 3x4)(x p)x2 (p3)x2 (3p4)x4p得a p3， b3p4，c4p．然后代入第一、二小题得结果．第三小题解关于 p的不等式组得 p1． 故a2，b7，c4． 19出门测 教师监督学生完成今日任务对应的出门测，并进行错题数据记录和重难点讲解（15分钟） 1. （2018•徐汇区校级月考）已知32m 6，3n 8，则92mn  ． 2．（2022•长宁区二模）计算：xy6 xy3  ． 3. （2023•静安区校级月考）计算：(m2n3)6 (m2n3)2  ． 17 2 1 4．（2018•徐汇区校级月考）计算： a3b( a3b2c)( a4b2) ． 12 17 8 3 3 5. （2018•徐汇区校级月考）计算：( a2b a3b2 ab)(0.2ab) ． 5 10 6．（2021•浦东新区期末）计算：(18x3y2 12x2y3 x2y2)(6x2y2) ． 7. 计算：[xy(3x2)y(x2 2x)]x2y． 1 8．（2022•闵行区梅陇中学期中）先化简，再求值：[(ab1)(ab2)2a2b2 2]( ab)， 2 3 4 其中，a ，b ． 2 3 【常规讲解】 1. 解：∵32m 6，3n 8， 9 92mn 32(2mn) 34m2n (32m)2 (3n)2 62 82  ． 16 9 故答案为： 16 2. 解：xy6 xy3  y3 3. 解：(m2n3)6 (m2n3)2 m12n18 (m4n6) m8n12． 故答案为：m8n12． 17 2 8 4. 解：原式 a3b( a3b2c) 12 17 a4b2 4  a2bc， 3 4 故答案为： a2bc 3 203 3 5. 解：原式 a2b(0.2ab) a3b2 (0.2ab)ab(0.2ab) 5 10 3 3a a2b5 2 3 故答案为：3a a2b5 2 1 6. 解：(18x3y2 12x2y3 x2y2)(6x2y2)3x2y 6 7. 解：原式[3x2y2xyx2y2xy]x2y 2x2yx2y 2． 1 8. 解：[(ab1)(ab2)2a2b2 2]( ab) 2 1 (a2b2 2abab22a2b2 2)( ab) 2 1 (a2b2 ab)( ab) 2 2ab2， 3 4 当a ，b 时， 2 3 3 4 原式2 ( )2 2 3 42 2． 21出门测相似题 教师根据学生出门测完成情况，选择对应相似题让学生课后完成 1．（2018•浦东新区校级月考）已知a是不为零的实数a5n3 a3n2 a9，则n的值是 ． 2．（2015•上海月考）(a4)2 a3的计算结果是 ． 1 3. （2017•浦东新区月考）4x2y3 ( xy)2  ． 2 3 4. （2019•徐汇区校级月考）计算：8ab2n a2 4a2bn1  ． 2 5．化简：(8x3y3 4x2y2)2xy2  ． 1 6. 化简：[(x2y)2 4y2]( x)． 2 7. 计算：[(ab)2 (ab)2]2ab． 8．先化简再求值：[(ab)(ab)(ab)2 2b(ba)]4b，其中ba2019． 【常规讲解】 1. 解：由题意得，5n3(3n2)9， 解得，n5， 故答案为：5． 2. 解：原式a8 a3 a5 1 3. 解：4x2y3 ( xy)2 2 1 4x2y3 ( x2y2) 4 16y． 故答案为16y． 4. 解：原式12a3b2n 4a2bn1 3abn1 故答案为：3abn1 5. 解：原式8x3y3 2xy2 4x2y2 2xy2 4x2y2x． 1 6. 解：原式(x2 4xy4y2 4y2)( x) 2 221 (x2 4xy)( x) 2 2x8y． 7. 解：原式(a2 2abb2 a2 2abb2)2ab 4ab2ab 2． 8. 解：原式(a2 b2 a2 2abb2 2b2 2ab)(4b) (4ab4b2)(4b) ab (ba)， 当ba2019时， 原式(2019)2019． 23