FY25暑假初一B08因式分解——分组分解法教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_志高_教师版PDF

B08 因式分解——分组分解法 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）四项式分组分解法 （2）五项式分组分解法 （3）六项式分组分解法 2. 考情分析 （1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分 解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察； （2）分组分解法是在提取公因式法、公式法、十字相乘法的基础上学习的最后一种基本的 因式分解方法．分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，通过对多项式进行适当的分 组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的 特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的．我们有目的地将多项式的某些项 组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的. 环节 需要时间 课后练习讲解 10分钟 切片1：四项式分组分解法 35分钟 切片2：五项式分组分解法 25分钟 切片3：六项式分组分解法 25分钟 出门测 15分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站1——四项式分组分解法【建议时长：35分钟】 考点一：二二分组因式分解 知识笔记1 1、分组分解法： 将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分 组分解法． 2、二二分组的特点： ①按__________分组 ②按__________分组 ③符合__________的两项分组 【填空答案】 字母、系数、公式 例题1: （★★★☆☆） （1）（2022•徐汇西南模范中学期中）分解因式：amanbmbn ． （2）（2022•徐汇中学期中）分解因式：2xayax2y  ． （3）（2022•青浦实验中学期中）因式分解：2ac6ad bc3bd ． （4）（2021•奉贤区期末）分解因式：a2 b2 2a2b2ab2． （5）（2021•浦东新区期末）分解因式：xy2  x y2 1． （6）（2021•宝山区期末）分解因式：x3  2x2y  9x 18y ． 1 1 （7）分解因式：x2n xn  y4m  y2m． 9 3 【常规讲解】 （1）解：amanbmbn (aman)(bmbn) a(mn)b(mn)  (m  n)(a b)， （2）解：2x ay  ax 2y 2(2x2y)(axay)  2(x  y) a(x  y)  (x  y)(2 a) ． （3）解：2ac6ad bc3bd 2a(c3d)b(c3d) (c3d)(2ab)． （4）解：原式 (a2 b2) (2a2b  2ab2) (ab)(ab)2ab(ab) (ab)(ab2ab) （5）解：原式 (xy2  x)  (y2 1)  x(y2 1)(y2 1)  (y2 1)(x 1)  (y 1)(y 1)(x1) ． （6）解：x3  2x2y  9x 18y  x2(x  2y) 9(x  2y)  (x  2y)(x2  9)  (x2y)(x3)(x3)． 1 1 （7）原式 x2n  y4m (xn  y2m) 9 3 1 1 1 (xn  y2m)(xn  y2m)(xn  y2m) 3 3 3 1 1 (xn  y2m)(xn  y2m 1) 3 3 练习1: （★★★☆☆）因式分解： （1）acbc3a3b； （2）xy x y1、 （3）x4  x3  x2  x ； （4）a2 2abac2bc （5）7x2  3y  xy  21x （6）6ax2  9a2xy  2xy  3ay2 （7）x2 axbxab 【常规讲解】 （1）原式c(ab)3(ab)(ab)(c3)； （2）原式 x(y1)(y1)(x1)(y1)． 3（3）原式 x3(x 1) x(x 1)  x(x2 1)(x 1)． （4）原式 a(ac)2b(ac)(ac)(a2b)． （5）原式7x(x3) y(3 x)(7x y)(x3)． （6）原式3ax(2x3ay) y(2x3ay) (3ax y)(2x3ay)． （7）x2 axbxab (x2 ax)(bxab) x(xa)b(xa) (xa)(xb)． 考点二：三一分组因式分解 知识笔记2 三一分组的特点： 先____________公式后__________公式 【填空答案】 完全平方；平方差 例题2: （★★★☆☆） （1）（2022•闵行梅陇中学期中）因式分解：a2 6ab9b2 16． （2）分解因式：1 4x2  4y2  8xy （3）（2021•金山区期末）分解因式：25 4x2  4xy  y2． （4）（2022•虹口区校级月考）因式分解：a4 4a2 14a． （5）（2022·宝山区期末）分解因式：x2 4x21 【常规讲解】 （1）解：原式 (a2  6ab  9b2)16  (a3b)2 42  (a3b4)(a3b4)． （2）原式1  4x24y28xy  14  x2y22xy  14  xy 2 =12  xy 12  xy  12x2y  12x2y     （3）解：25  4x2  4xy  y2，  25 (4x2  4xy  y2)，  52  (2x  y)2 ， (52x y)(52x y) 4（4）解：原式a4 (4a2 14a) a4 (2a1)2 (a2)2 (2a1)2 (a2 2a1)(a2 2a1) (a2 2a1)(a1)2． （5）解：x2 4x21 =(x2 4x4)25 =(x2)2 52=(x25)(x25) (x7)(x3) 故答案为：(x7)(x3) 练习2: （★★★☆☆）分解因式： （1）4x2  y2  2y 1 ； （2）（2021•宝山区期末）x2  4y2  4xy  25 ． （3）2a2 2b2 4ab2 ； （4）9 x2 12xy 36y2 （5）（2022·宝山期末）分解因式：x3 2x2y9x18y 【常规讲解】 （1）原式4x2  y22y1  4x2 y1 2  2xy1  2xy1  （2）解：x2  4y2  4xy  25  x2  4xy  4y2  25  (x2  4xy  4y2) 25  (x  2y)2  52 (x2y5)(x2y5)． （3）原式2  a2 b2 2ab1  2   a2 b2 2ab  1  2  ab2 1   2a b 1a b 1 （4）原式9  x212xy36y2  9 x6y 2  3 x6y    3 x6y    3 x  6y3 x  6y （5）解：x3 2x2y9x18y ， =x2(x2y)9(x2y) ， =(x2y)(x2 9) ， =(x2y)(x3)(x3) ． 56知识加油站2——五项式因式分解【建议时长：25分钟】 考点三：五项式因式分解 知识笔记3 五项式因式分解步骤： 一般采用“三二分组”，再试用提公因式法、__________________、__________________、 或__________________继续因式分解. 有时候也需要运用添项、拆项等较强的解题技巧. 【填空答案】 平方差公式；完全平方公式；十字相乘法 例题3: （★★★★☆） （1）（2022•闵行梅陇中学期中）因式分解：x2  9xy 18y2 3x 9y ． （2）因式分解：a3bab3a2b21 （3）因式分解：x2  y2 4x6y5 ． （4）因式分解：4x2 4x y2 4y3 ． （5）因式分解：x4 7x3 14x2 7x1 （6）因式分解：x22xy35y22x14y 【配题说明】（1）（2）考察分组分解；（3）（4）（5）（6）考察拆项和添项 【常规讲解】（1）解：x2 9xy 18y2 3x 9y  (x2 9xy 18y2)(3x 9y) (x3y)(x6y)3(x3y) (x3y)(x6y3)． （2） 解：a3bab3a2b21 ab  a2b2 a2b21 abababa2b21   a2ab  abb2 a2b21   a2ab1  b2ab1  （3） 解：原式=(x2 4x4)(y2 6y9) =(x2)2 (y3)2 7(x y5)(x y1) （4）原式4x2 4x1 y2 4y31 (4x2 4x1)(y2 4y4) (2x1)2(y2)2 [(2x1)(y2)][(2x1)(y2)] (2x y3)(2x y1) （5）x4 7x3 14x2 7x1， x4 4x3 6x2 4x13x3 6x2 3x2x2， [(x1)2]2 3x(x1)2 2x2， [(x1)2 2x][(x1)2 x]， (x2 4x1)(x2 3x1)； （6）解：x22xy35y22x14y   x2 49y2   14y2 14y  2xy2x x7yx7y14yy12xy1 x7yx7y14y2xy1 x7yx7y2x7yy1 x7yx7y2y2 x7yx5y2． 练习3: （★★★☆☆）因式分解： （1）x22xyy2xy （2）（2022·青浦区期中）xy y2 x y2 （3）x22xy26y8 （4）x2 y2 4x2y3 【常规讲解】 （1）解：原式  x22xy y2 xy xy2xy xyxy1 （2）原式=xyx y2 y2 =x(y1)(y1)(y2) =(y1)(x y2) 8（3）原式x22x1y26y9   x2 2x1    y2 6y9  x12 y32 x1y3x1y3 xy2xy4 ． （4）原式(x2 4x4)(y2 2y1)， (x2)2 (y1)2， (x2 y1)(x2y1)， (x y3)(x y1)． 9知识加油站3——六项式因式分解【建议时长：25分钟】 考点四：六项式因式分解 知识笔记4 六项式因式分解步骤： 一般采用“三二一分组”，再试用提公因式法、完全平方法、平方差法或十字相乘法继续因 式分解. 此外，还可以直接使用双十字相乘作答. 例题3: （★★★★☆） （1）因式分解：2xx2 2xy14y38y2 （2）因式分解：x3 2x2 x2x5 2x4 （3）因式分解：a2 10ab25b2 40b8a9 （4）因式分解：x2 ax2 xax22a （5）分解因式：4x2 4xy y2 4x2y3． （6）分解因式：x2 xy6y2 2x11y3． （7）因式分解：a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2c2a2． 【常规讲解】 （1）方法一：原式x2 2xy8y2 2x14y3 (x4y)(x2y)2(x7y)3 (x4y1)(x2y3)； 方法二：原式(x1)2 2y(x1)8y2 12y4 (x1)2 2y(x1)4(2y1)(y1) (x4y1)(x2y3)． （2）原式x2(x2)(x2)x4(x2)(x2)(x2 x4 1) （3）原式(a5b)2 8(a5b)9 (a5b9)(a5b1)． （4）解：x2 ax2 xax22a 10   ax2 ax2a (x2 x2) a(x2 x2)(x2 x2) (a1)(x2 x2) (a1))(x2)(x1) （5）解： 原式(4x2 4xy y2)(4x2y)3(2x y)2 2(2x y)3(2x y1)(2x y3)． （6）解：原式(x2y)(x3y)(2x11y)3(x2y3)(x3y1)． （7）a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2c2a2 (a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2c2a2) [(a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2c2a2)4a2b2] [(a2 b2 c2)2 (2ab)2] (abc)(abc)(abc)(abc) 练习3: （★★★☆☆） （1）因式分解：x2 2xy3y2 3x y2 （2）因式分解：axaybxcycxby； （3）因式分解：x2  4xy  4y2  x  2y  6． （4）因式分解：x2 2xy y2 2x2y3 （5）分解因式：a2 b2 c2 4d2 2ab4cd． （6）分解因式：x2 2xy3y2 2xz14yz8z2． 【常规讲解】（1）解：原式(x2 2xy3y2)(3x y)2 (x3y)(xy)(3x y)2 (x3y2)(xy1)． 故答案为：(x3y2)(xy1)． a(x y)b(x y)c(y x)(abc)(x y) （2）原式 ． （3）原式 (x  2y)2  (x  2y) 6  (x  2y 3)(x  2y  2)． （4）原式(xy)2 2(xy)3(xy3)(xy1)． （5）解：a2 b2 c2 4d2 2ab4cd a2 2abb2 (c2 4cd4d2) (ab)2 (c2d)2 [(ab)(c2d)][(ab)(c2d)] 11(abc2d)(abc2d)． （6）解：x2 2xy3y2 2xz14yz8z2 (x2 2xy3y2)(2xz14yz)8z2 (x3y)(xy)(2zx14yz)8z2 (x3y2z)(x y4z) 12全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补充练习或课后补充练习让学生的完成 ．． ．． 关卡一 练习1: （★★★☆☆）因式分解： （1）（2020•宝山区期末）分解因式：2x3  2x2y  8y  8x ． （2）（2020•奉贤区期末）因式分解：9 x2  2xy  y2． （3）（2020•上海期末）分解因式：a4 4b2c2 a2b2 4a2c2． （4）（2020•松江区期末）因式分解：(x2  4x)2  2(x2  4x)15 ． （5）因式分解：9m24x24xyy2 【常规讲解】 （1）解：原式 2x2(x  y)8(x  y)  2(x  y)(x2  4) 2(x y)(x2)(x2)． （2）解：9 x2  2xy  y2  9  (x2  2xy  y2)  9 (x  y)2 (3 x y)(3 x y)． （3）解：原式 (a4  a2b2)(4a2c2  4b2c2)  a2(a2  b2) 4c2(a2  b2)  (a2  b2)(a2  4c2) (ab)(ab)(a2c)(a2c)． （4）解：原式 (x2  4x 5)(x2  4x 3) (x5)(x1)(x3)(x1)． （5）9m24x24xy y2 =9m2 (2xy)2 =(3m2xy)(3m2x y) 13练习2: （★★★★☆）因式分解： （1）a2－2ab－ac＋bc＋b2． x2xy2y2xy （2） （3）9a24b24bcc2 （4）axayx2 y2 2xy 【常规讲解】（1） 原式＝（a2－2ab＋b2）－（ac－bc） ＝（a－b）2－c（a－b） ＝（a－b）（a－b－c）． （2）x2xy2y2xy (x2 y2)(xyy2)(xy) (x y)(xy)y(x y)(x y) (x y)(xyy1) (x y)(x2y1) （3）解：9a24b24bcc2 9a2  4b24bcc2 3a22bc2 3a2bc3a2bc （4）axayx2 y2 2xy a(xy)(xy)2 (x y)(ax y) ． 练习3: （★★★★☆）因式分解： （1）x2 4xy4y2 x2y6 （2）x2 2xy y2 3x3y4 （3）a2 4ab4b2 2a4b1 （4）（2022•虹口区校级月考）a2 2abb2 3a3b2 ． （5）（2019·静安区阶段练习）6x25xyy217x7y12 ． 【常规讲解】（1）原式(x2y)2 (x2y)6(x2y3)(x2y2) （2） 14x2 2xy y2 3x3y4 (x2 2xy y2)(3x3y)4 (x y)23(x y)4 (x y4)(x y1) （3）(a2b)2 2(a2b)1 =(a2b1)2 （4）解：原式a2 2abb2 3a3b2 (ab)2 3(ab)2 (ab1)(ab2) ． （5）6x25xy y217x7y12 =6x25xy y28x4y9x3y12 = 2xy3xy42xy +33xy12 = 2xy3xy433xy4 = 2xy33xy4 . 所以答案为 2xy33xy4 . 15关卡二 练习5: （★★★★☆）分解因式：(x y2xy)(x y2)(xy1)2  ． 【常规讲解】解：原式(x y)2 2(x y)2xy(x y)4xy(xy)2 2xy1 (x y)2 2(x y)2xy(x y)(xy)2 2xy1 (x y)2 2(x y)(xy1)(xy1)2 [(x y)(xy1)]2 (x yxy1)2 (x1)2(y1)2． 故答案为(x1)2(y1)2． 练习6: （★★★★★）已知：a2b2 1，c2 d2 1，且acbd 0，求abcd的值． 【常规讲解】 由(ac  bd)2  a2c2  2abcd  b2d2  0，得 2abcd  a2c2 b2d2 ， 代入(ab  cd)2  a2b2  2abcd  c2d2  a2b2  a2c2 b2d2  c2d2  a2(b2  c2) d2(b2  c2)  (b2  c2)(a2  d2)， 再把a2b2 1，c2 d2 1代入，可得： (b2  c2)(a2  d2)  (1 a2 1 d2)(a2  d2)  (a2  d2)2， ∴(ab  cd)2  (a2  d2)2，∴(ab  cd)2  (a2  d2)2  0， 可得abcd0． 故答案为0 16