FY25暑假初一A10B06因式分解——公式法学生版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_志高_学生版PDF

B06 公式法因式分解 考情链接 1. 本次任务由两个部分构成 （1）平方差公式因式分解 （2）完全平方公式因式分解 （3）代数式化简求值 2. 考情分析 （1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分 解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察； （2）学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会 分解的思想、逆向思考的作用．它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学 习的重要基础．本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘 法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思 想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了 有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用，提取公因式法是因式分 解的基本而又重要的一种方法. 1知识加油站1——平方差公式因式分解 考点一：平方差公式因式分解的概念 知识笔记1 1、平方差公式复习： ____________________________ 2、公式法的定义： 逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法. 3、平方差公式因式分解：____________________________ 例题1: 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( ) A．a2 b2 B．2ab2 C．a2 b2 D．a2 b2 练习1: 下列各多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是( ) A． 9a2 1 B． 4a2 b2 C．ab2 4 D．ab2 4 考点二：平方差公式因式分解 知识笔记2 1、因式分解的平方差公式： _____________________________________________________________________ 2、运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征： (1) 公式左边必须是一个__________，且符号相反； (2) 两项中的每一项必须是某个数或某个式子的________形式； (3) 右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积； (4) 公式中字母“a”和“b”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式. 2例题2: 将下列各式因式分解： （1）（2021•宝山区期末）分解因式：x2 1 ． （2）（2022•徐汇区模拟）因式分解：m2 4n2  ． （3）（2022•嘉定区南翔中学模拟）分解因式：x2 9y2 ． （4）（2022•普陀区模拟）分解因式：x3 4x ． （5）（2022•崇明区二模）分解因式：xy3 9xy ． （6）（2022•长宁区二模）分解因式：4a2 16 ． （7）16x4 1. 练习2: 因式分解： （1）4x2 9y2 （2） x4 1 （2）9b2 a2 （4） an4 an 25 4 （5）4x2y2  a2b2 （6）9a2n  a2n2 9 9 3例题3: 将下列各式因式分解： （1）（2022•黄浦区期中）分解因式：25(mn)2 9(mn)2． （2）（2022•黄浦区期中）分解因式：(ab)2 1 ． （3）x2x4 y24x （3）(p4)(p1)3p． （4）(x2 9y2)2 36x2y2． （5）(x y2z)2(x2y3z)2. 练习3: 将下列各式因式分解： （1）  a2 b2 ab2 （2）9x2y2 25x2y2 4（3）25a2b3 42ba （4）2mn2 3m2n2 （5）(abc)2 (abc)2 考点三：平方差公式因式分解的应用 例题4: 在正整数中， 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) 22 2 2 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) 32 3 3 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) 42 4 4 1 观察上面的算式，可以归纳得出：(1 ) ． n2 1 1 1 利用上述规律，计算下列各式：(1 )(1 )(1 ) ． 22 32 42 1 1 1 1 (1 )(1 )(1 )(1 ) （请将解题步骤写在下方空白处） 22 32 42 20152 5练习4: 观察下列式子的因式分解做法： ①x2 1(x1)(x1)； ②x31(x1)(x2 x1)； ③x4 1(x1)(x3 x2 x1)． （1）模仿以上做法，尝试对x5 1进行因式分解：x5 1 ． （2）观察以上结果，猜想xn 1 ．(n为正整数，直接写结果，不用验 证） （3）试求26 25 24 2322 21的值． 6知识加油站2——完全平方公式因式分解 考点四：完全平方公式因式分解的概念 知识笔记3 1、完全平方公式复习： ____________________________；____________________________ 2、完全平方公式因式分解：____________________________ 例题5: （2022•青浦实验中学期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的( ) 1 A．x2 x1 B．x2 2x1 C．x2 2x4 D．x2 x 4 练习5: 下列多项式能用完全平方公式分解因式的是( ) A． x2 2x1 B．abab4ab 1 C．a2 ab b2 D．y2 2y1 4 7考点五：完全平方公式因式分解 知识笔记4 1、因式分解的完全平方公式： ____________________________________________ ____________________________________________ 2、运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征： (1)公式的左边必须是一个__________，且可以看成是一个_______________式； (2)其中两项的符号必须是_____的，且能写成某两个数或两个十字的_________形式；而另 一项的绝对值必须是前两项中两个数或式子的乘积的____倍； (3)右边分解的结果是这两个数或式子的和或差的完全平方，其和或差的符号与左边第三项 的符号相同； (4)公式中字母“a”和“b”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示_______________或 _______________. 例题6: 将下列各式因式分解： （1）（2022•虹口区二模）分解因式：x2 4x4 ． （2）（2022•长宁第三女子中学期中）分解因式：m(m4)4． （3）（2022•浦东新区建平中学西校期中）分解因式：(x2  y2)2 4x2y2． （4） 2ab2c16abc32ac （5） x2 16 2 64x2 8（6）4x3y4x2y2 xy3 （7）4ab4a2b2． 练习6: 将下列各式因式分解： （1） a2b2 6ab9 （2）9x2 30xy25y2 3 9 27 （3） ax2 ax a 4 2 4 1 2 （4） x2  xy y2 9 3 91 （5）2x2 2x 2 （6） a4 18a2b2 81b4 例题7: 因式分解： （1）（2022•黄浦区期中）因式分解：(x2 4x)2 8(x2 4x)16． （2）(x2 6x)2 18(x2 6x)81； （3）（2022•长宁第三女子中学期中）(mn)2 6(m2 n2)9(mn)2． （4）因式分解：(mn)2 4(m1n) （5）4a2 9b2 c2 12ab6bc4ac 10练习7: 因式分解： （1）4ab2 12ab9 （2）x y2 4  x2  y2 4x y2 11考点六：完全平方公式因式分解的应用 例题8: 计算：（1）1052 2  1002 52 952 （2）1011901012952． （3）6.52 133.53.52 练习8: 计算： （1）8002 16007997992 （2）1982 3962022022 11 11 1 1 （3）( )2 2   2 2 2 4 12例题9: 阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅 可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察处如何进行因式 分解，这种方法就是换元法． 例如：分解因式 (x1)(x2)(x3)(x6)x2 时，可以先将原式中的 (x1)(x6) 、 (x2)(x3)分别计算，得：x2 7x6，x2 5x6，观察后设 x2 5x6 A，则原式 (A2x)Ax2  A2 2Axx2 (Ax)2 (x2 6x6)2 又如：分解因式4x4 12x3 17x2 12x4时，考虑到系数的对称性，如果提取中间项的字 母及指数后，就可以使用换元法，具体过程如下： 12 4 1 1 4x4 12x3 17x2 12x4 x2(4x2 12x17  ) x2[4(x2  )12(x )17] 令 x x2 x2 x 1 2 x t，则原式 x2(4t2 12t9) x2(2t3)2  x2(2x 3)2 (2x2 3x2)2，请参照阅 x x 读材料中的换元对下列各式进行因式分解： （1）a4 18a2 81 （2）(x3)(x2)(x6)(x9)4x2 （3）x4 4x3 2x2 4x1． 13练习9: 阅读下列材料：因式分解：(x y)2 2(x y)1． 解：将“x y”看成整体，令x y A，则原式 A2 2A1(A1)2.再将“A”还原，得原 式(x y1)2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你用“整体思想”常规讲解下列问题： （1）因式分解：(xy)2 2(xy)1； （2）因式分解：(ab)(ab4)4； （3）计算：(a4b3c)(a4b3c)． 14知识加油站3——代数式化简求值 考点七：代数式化简求值 知识笔记5 代数式化简求值步骤： （1）利用公式法进行因式分解 （2）利用整体代入思想求代数式的值 例题10: （1）已知a2b2 2a4b10，求a2b2006的值． （2）已知a2 b2 2a4b50，求a2 b2的值。 练习10: （1）已知a2 4ab4b2 2a4b1=m2，试用含a、b的代数式表示m． 1 3 （2）已知：ab ,ab ,求a3b2a2b2 ab3的值。 2 8 15全真战场 关卡一 练习1: 下列多项式：①x2  y2；②x2 4y2；③1a2；④0.081a2 b2，其中能用平方差公式 分解因式的多项式有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 练习2: 分解因式： （1） x2  y22 4x2y2 ； （2） 81x4 18x2 1 ； （3）2mn3 8nm5． 练习3: 分解因式： （1）9x2 24xy16y2； （2） 8a4a2 4 ． 16（3）2x32 9x12； （4）  3a2 5b22   5a2 3b22． 练习4: 已知：4a2 b2 4a6b100，求a2 b2的值。 17关卡二 练习4: 求证：当x为大于等于2的自然数时，x4  x2 1是一个合数． 练习5: 已知乘法公式： （1）ab a4 a3ba2b2 ab3 b4 a5 b5； （2）ab a4 a3ba2b2 ab3 b4 a5 b5． 利用或者不利用上述公式分解因式： x8 x6 x4 x2 1 ． 练习6: 分解因式：x1x2x3x41 18