FY25暑假初一A10B06因式分解——公式法教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_志高_教师版PDF

B06 公式法因式分解 考情链接 1. 本次任务由两个部分构成 （1）平方差公式因式分解 （2）完全平方公式因式分解 （3）代数式化简求值 2. 考情分析 （1）因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分 解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察； （2）学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会 分解的思想、逆向思考的作用．它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学 习的重要基础．本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘 法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思 想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了 有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用，提取公因式法是因式分 解的基本而又重要的一种方法. 环节 需要时间 课后练习讲解 10分钟 切片1：平方差公式因式分解 30分钟 切片2：完全平方公式因式分解 35分钟 切片3：代数式化简求值 20分钟 出门测 15分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站1——平方差公式因式分解【建议时长：30分钟】 考点一：平方差公式因式分解的概念 知识笔记1 1、平方差公式复习： ____________________________ 2、公式法的定义： 逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法. 3、平方差公式因式分解：____________________________ 【填空答案】 1、(ab)(ab) a2 b2 2、a2 b2 (ab)(ab) ； 例题1: （★☆☆☆☆）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( ) A．a2 b2 B．2ab2 C．a2 b2 D．a2 b2 【常规讲解】 解：A、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； B、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； C、原式(ba)(ba)，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意； D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意， 故选：C． 练习1: （★☆☆☆☆）下列各多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是( ) A． 9a2 1 B． 4a2 b2 C．ab2 4 D．ab2 4 【常规讲解】 2解：A、原式(3a1)(3a1)，不符合题意； B、原式(2ab)(2ab)，不符合题意； C、原式不能利用平方差公式进行因式分解，符合题意； D、原式(ab2)(ab2)，不符合意义， 故选：C． 考点二：平方差公式因式分解 知识笔记2 1、因式分解的平方差公式： _____________________________________________________________________ 2、运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征： (1) 公式左边必须是一个__________，且符号相反； (2) 两项中的每一项必须是某个数或某个式子的________形式； (3) 右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积； (4) 公式中字母“a”和“b”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式. 【填空答案】 a2 b2 (ab)(ab)；二项式；平方 例题2: （★★☆☆☆）将下列各式因式分解： （1）（2021•宝山区期末）分解因式：x2 1 ． （2）（2022•徐汇区模拟）因式分解：m2 4n2  ． （3）（2022•嘉定区南翔中学模拟）分解因式：x2 9y2 ． （4）（2022•普陀区模拟）分解因式：x3 4x ． （5）（2022•崇明区二模）分解因式：xy3 9xy ． （6）（2022•长宁区二模）分解因式：4a2 16 ． （7）16x4 1. 【常规讲解】 （1）解：x2 1(x1)(x1)． （2）解：m2 4n2 m2 (2n)2 (m2n)(m2n)． 3（3）解：原式(x3y)(x3y)． （4）解：x3 4x x(x2 4) x(x2)(x2)． （5）解：原式xy(y2 9)xy(y3)(y3)， （6）解：4a2 164(a2 4)4(a2)(a2)． （7）16x4 1(4x2)2 1(4x2 1)(4x2 1) (4x2 1)(2x1)(2x1)； 练习2: （★★☆☆☆）因式分解： （1）4x2 9y2 （2） x4 1 （3）9b2 a2 （4） an4 an 25 4 （5）4x2y2  a2b2 （6）9a2n  a2n2 9 9 【常规讲解】 （1）4x2 9y2 2x3y2x3y （2）x4 1  x21  x2 1    x21 x1x1 （3）9b2 a2 a2 9b2 a3ba3b （4）an4 an an a4 1  an  a2 1  a2 1  an  a2 1 a1a1 25  5  5  （5）4x2y2  a2b2 2xy ab2xy ab 9  3  3  4  4   2  2  （6）9a2n  a2n2 a2n 9 a2 a2n 3 a3 a 9  9   3  3  4例题3: （★★★☆☆）将下列各式因式分解： （1）（2022•黄浦区期中）分解因式：25(mn)2 9(mn)2． （2）（2022•黄浦区期中）分解因式：(ab)2 1 ． （3）x2x4 y24x （4）(p4)(p1)3p． （5）(x2 9y2)2 36x2y2． （6）(x y2z)2(x2y3z)2. 【常规讲解】 （1）解：25(mn)2 9(mn)2 [5(mn)3(mn)][5(mn)3(mn)] (2m8n)(8m2n) 4(m4n)(4mn)． （2）解：原式[1(ab)][1(ab)] (1ab)(1ab)． （3）x2x4 y24xx2 x4y2 x4 x4 x2 y2   x4x y xy  （4）原式 p2  p4p43p p2 4(p2)(p2)． （5）原式(x2 9y2 6xy)(x2 9y2 6xy)(x3y)2(x3y)2． （6）(xy2z)2(x2y3z)2  (xy2z)(x2y3z) (xy2z)(x2y3z)  x y2zx2y3zx y2zx2y3z2x3yzy5z 练习3: （★★★☆☆）将下列各式因式分解： （1） a2 b2 ab2 （2）9x2y2 25x2y2 （3）25a2b3 42ba （4）2mn2 3m2n2 （5）(abc)2 (abc)2 【常规讲解】 （1）  a2 b2 ab2 ababab2 ab  abab  =ababab=2bab （2）9x2y2 25x2y2  3x2y5x2y   3x2y5x2y  =(8x4y)(16y2x) =8(2xy)(8yx) 5（3）25a2b3 42ba25a2b3 4a2ba2b25a2b2 4   a2b 5a2b2   5a2b2  a2b5a10b25a10b2 （4）(2mn)2 (3m2n)2 (2mn)(3m2n)(2mn)(3m2n) 2mn3m2n2mn3m2n5mnm3n5mnm3n （5）(abc)2 (abc)2 [(abc)(abc)][(abc)(abc)]4a(bc)． 考点三：平方差公式因式分解的应用 例题4: (★★★★☆)（2017•浦东新区月考）在正整数中， 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) 22 2 2 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) 32 3 3 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) 42 4 4 1 观察上面的算式，可以归纳得出：(1 ) ． n2 1 1 1 利用上述规律，计算下列各式：(1 )(1 )(1 ) ． 22 32 42 1 1 1 1 (1 )(1 )(1 )(1 ) （请将解题步骤写在下方空白处） 22 32 42 20152 1 1 1 【常规讲解】解：归纳得出：(1 )(1 )(1 )； n2 n n 计 算 ： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 4 3 5 (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )       22 32 42 2 2 3 3 4 4 2 2 3 3 4 4 1 5 5    ； 2 4 8 1 1 1 1 (1 )(1 )(1 )(1 ) 22 32 42 20152 1 1 1 1 1 1 1 (1 )(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )(1 ) 2 2 3 3 4 4 2015 1 2016 1008    2 2015 2015 1 1 5 1008 故答案为(1 )(1 )； ； ． n n 8 2015 6练习4: （★★★★☆）观察下列式子的因式分解做法： ①x2 1(x1)(x1)； ②x31(x1)(x2 x1)； ③x4 1(x1)(x3 x2 x1)． （1）模仿以上做法，尝试对x5 1进行因式分解：x5 1 ． （2）观察以上结果，猜想xn 1 ．(n为正整数，直接写结果，不用验 证） （3）试求26 25 24 2322 21的值． 【常规讲解】解：（1）模仿以上做法，x5 1(x1)(x4 x3 x2 x1)， 故答案为：(x1)(x4 x3x2 x1)； （2）观察以上结果，可得xn 1(x1)(xn1xn2 x1)， 故答案为：(x1)(xn1xn2 x1)； （3）根据上述规律，可得27 1(21)(26 25 24 23 22 21)， 26 25 24 23 22 2127 1=127． 7知识加油站2——完全平方公式因式分解【建议时长：35分钟】 考点四：完全平方公式因式分解的概念 知识笔记3 1、完全平方公式复习： ____________________________；____________________________ 2、完全平方公式因式分解：____________________________ 【填空答案】 1、(ab)2  a2 2abb2；(ab)2  a2 2abb2 2、a2 2abb2 (ab)2；a2 2abb2 (ab)2 例题5: （★☆☆☆☆）（2022•青浦实验中学期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解 的( ) 1 A．x2 x1 B．x2 2x1 C．x2 2x4 D．x2 x 4 【常规讲解】 解：A．x2 x1，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．x2 2x1，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项B不符合题意； C ．x2 2x4，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C不符合题意； 1 1 D．x2 x (x )2，能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D符合题意； 4 2 故选：D． 练习5: （★☆☆☆☆）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是( ) A． x2 2x1 B．abab4ab 1 C．a2 ab b2 D．y2 2y1 4 【常规讲解】 81 1 解：a2 ab b2 (a b)2． 4 2 故选：C． 考点五：完全平方公式因式分解 知识笔记4 1、因式分解的完全平方公式： ____________________________________________ ____________________________________________ 2、运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征： (1)公式的左边必须是一个__________，且可以看成是一个_______________式； (2)其中两项的符号必须是_____的，且能写成某两个数或两个十字的_________形式；而另 一项的绝对值必须是前两项中两个数或式子的乘积的____倍； (3)右边分解的结果是这两个数或式子的和或差的完全平方，其和或差的符号与左边第三项 的符号相同； (4)公式中字母“a”和“b”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示_______________或 _______________. 【填空答案】 1、a2 2abb2 (ab)2;a2 2abb2 (ab)2 2、三项式；二次三项；正；平方；2；单项式；多项式 例题6: （★★☆☆☆）将下列各式因式分解： （1）（2022•虹口区二模）分解因式：x2 4x4 ． （2）（2022•长宁第三女子中学期中）分解因式：m(m4)4． （3）（2022•浦东新区建平中学西校期中）分解因式：(x2  y2)2 4x2y2． （4） 2ab2c16abc32ac （5） x2 16 2 64x2 （6）4x3y4x2y2 xy3 （7）4ab4a2b2． 【常规讲解】 9（1）解：x2 4x4(x2)2． （2）解：m(m4)4 m2 4m4 (m2)2． （3）解：原式(x2  y2 2xy)(x2  y2 2xy) (xy)2(x y)2 （4）2ab2c16abc32ac2ac  b2 8b16  2acb42 （5）(x2 16)2 64x2   x2 168x  x2 168x  x42x42 （6）4x3y4x2y2 xy3  xy  4x2 4xy y2  xy2x y2 （7）4ab4a2b2 (4ab4a2 b2) (2ab)2． 练习6: （★★☆☆☆）将下列各式因式分解： （1） a2b2 6ab9 （2）9x2 30xy25y2 3 9 27 （3） ax2 ax a 4 2 4 1 2 （4） x2  xy y2 9 3 1 （5）2x2 2x 2 （6） a4 18a2b2 81b4 【常规讲解】 （1）a2b2 6ab9ab32 （2）9x2 30xy25y2 3x5y2 （3） 3 ax2  9 ax 27 a 3 a  x2 6x9   3 ax32 4 2 4 4 4 2 1 2 1  （4） x2  xy y2  xy 9 3 3  （5）2x2 2x 1  1 4x2 4x1   1 2x12 2 2 2 （6）a4 18a2b2 81b4   a2 9b22 (a3b)2(a3b)2 例题7: 10（★★★★☆）因式分解： （1）（2022•黄浦区期中）因式分解：(x2 4x)2 8(x2 4x)16． （2）(x2 6x)2 18(x2 6x)81； （3）（2022•长宁第三女子中学期中）(mn)2 6(m2 n2)9(mn)2． （4）（2014•普陀区期末）因式分解：(mn)2 4(m1n) （5）4a2 9b2 c2 12ab6bc4ac 【常规讲解】 （1）解：原式(x2 4x4)2 (x2)4． （2）原式(x2 6x9)2 [(x3)2]2 (x3)4； （3）解：原式(mn)2 6(mn)(mn)9(mn)2，[(mn)3(mn)]2， (4m2n)2，4(2mn)2． （4）解：原式(mn)2 4(mn)4 (mn2)2． （5）4a2 9b2 c2 12ab6bc4ac  4a2 12ab9b2 6bc4acc2 2a3b2 22a3bcc2 2a3bc2 练习7: （★★★☆☆）因式分解： （1）4ab2 12ab9 （2）x y2 4  x2  y2 4x y2 【常规讲解】 （1）4(ab)2 12(ab)9 2ab3  2 2a2b32 （2）(x y)2 4(x2  y2)4(x y)2 (x y)2 4x yx y4(x y)2   xy2xy  2  xy2x2y 2 3yx2 11考点六：完全平方公式因式分解的应用 例题8: （★★★☆☆）计算：（1）1052 2  1002 52 952 （2）1011901012952． （3）6.52 133.53.52 【常规讲解】 （1）1052 2  1002 52 95 21052 21005100595 2105952 100 （2）原式1012210195952 (10195)2 36． （3）6.52 133.53.52 6.52 26.53.53.52 6.53.52 9 练习8: （★★★☆☆）计算： （1）8002 16007997992 （2）1982 3962022022 11 11 1 1 （3）( )2 2   2 2 2 4 【常规讲解】 （1）8002 16007997992 8007992 1 （2）原式1982 21982022022 (198202)2 (4)2 16． 11 11 1 1 11 1 （3）( )2 2   (  )2 25 2 2 2 4 2 2 12例题9: （★★★★☆）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅 可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察处如何进行因式 分解，这种方法就是换元法． 例如：分解因式 (x1)(x2)(x3)(x6)x2 时，可以先将原式中的 (x1)(x6) 、 (x2)(x3)分别计算，得：x2 7x6，x2 5x6，观察后设 x2 5x6 A，则原式 (A2x)Ax2  A2 2Axx2 (Ax)2 (x2 6x6)2 又如：分解因式4x4 12x3 17x2 12x4时，考虑到系数的对称性，如果提取中间项的字 母及指数后，就可以使用换元法，具体过程如下： 12 4 1 1 4x4 12x3 17x2 12x4 x2(4x2 12x17  ) x2[4(x2  )12(x )17] 令 x x2 x2 x 1 2 x t，则原式 x2(4t2 12t9) x2(2t3)2  x2(2x 3)2 (2x2 3x2)2，请参照阅 x x 读材料中的换元对下列各式进行因式分解： （1）a4 18a2 81 （2）(x3)(x2)(x6)(x9)4x2 （3）x4 4x3 2x2 4x1． 【常规讲解】解：（1）设t a2，则原式t2 18t81(t9)2 (a3)2(a3)2； （2）∵(x3)(x6)x2 3x18，(x2)(x9)x2 7x18， 设A x2 3x18， 原式 A(A4x)4x2  A2 4Ax4x2 (A2x)2 (x2 5x18)2； 4 1 1 1 （3）原式 x2(x2 4x2  ) x2[(x2  )4(x )2]， x x2 x2 x 1 设tx ， x 1 则原式x2(t2 4t4)x2(t2)2 x2(x 2)2 (x2 2x1)2． x 13练习9: （★★★☆☆）阅读下列材料：因式分解：(x y)2 2(x y)1． 解：将“x y”看成整体，令x y A，则原式 A2 2A1(A1)2.再将“A”还原，得原 式(x y1)2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你用“整体思想”常规讲解下列问题： （1）因式分解：(xy)2 2(xy)1； （2）因式分解：(ab)(ab4)4； （3）计算：(a4b3c)(a4b3c)． 【常规讲解】解：（1）原式(xy1)2； （2）原式(ab)2 4(ab)4 (ab2)2； （3）原式(a3c)2 (4b)2 a2 6ac9c2 16b2． 14知识加油站3——代数式化简求值【建议时长：20分钟】 考点七：代数式化简求值 知识笔记5 代数式化简求值步骤： （1）利用公式法进行因式分解 （2）利用整体代入思想求代数式的值 例题10: （★★★☆☆）（1）已知a2b2 2a4b10，求a2b2006的值． （2）已知a2 b2 2a4b50，求a2 b2的值。 【常规讲解】∵ a2b2 2a4b1(a2b)2 2(a2b)1(a2b1)2 0， ∴ a2b10，即a2b1． (a2b)2006 12006 1 ∴ ． （2）a2 2a1b2 4b40 (a1)2 (b2)2 0 所以a1 b2 a2 b2 (1)2 22 5 练习10: （★★★☆☆）（1）已知a2 4ab4b2 2a4b1=m2，试用含a、b的代数式表示m． 1 3 （2）已知：ab ,ab ,求a3b2a2b2 ab3的值。 2 8 【常规讲解】（1）∵a2 4ab4b2 2a4b1(a2b)2 2(a2b)1(a2b1)2 ∴ma2b1或ma2b1 ． （2）a3b2a2b2 ab3 ab(ab)2 1 3 3 将ab ,ab 代入，得 2 8 32 15全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补充练习或课后补充练习让学生的完成 ．． ．． 关卡一 练习1: （★☆☆☆☆）下列多项式：①x2  y2；②x2 4y2；③1a2；④0.081a2 b2，其中 能用平方差公式分解因式的多项式有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【常规讲解】 解：③1a2，符合公式特点； ①x2  y2；②x2 4y2，④0.081a2 b2不符合公式特点． 故选：A． 练习2: （★★★☆☆）分解因式： （1） x2  y22 4x2y2 ； （2） 81x4 18x2 1 ； （3）2mn3 8nm5． 【常规讲解】 （1）原式(x2  y2 2xy)(x2  y2 2xy)(x y)2(x y)2； （2）原式(9x2 1)2 [(3x1)(3x1)]2 (3x1)2(3x1)2； （3）原式2mn38mn5 2(mn)3[14(mn)2] 2(mn)3(12m2n)(12m2n)． 练习3: （★★★☆☆）分解因式： （1）9x2 24xy16y2； （2） 8a4a2 4 ． （3）2x32 9x12； （4）  3a2 5b22   5a2 3b22． 16【常规讲解】 （1）9x2 24xy16y2 (3x4y)2； （2）8a4a2 44(a2 2a1)4(a1)2． （3）原式(2x33x3)(2x33x3)5x(6x)； （4）原式(3a2 5b2 5a2 3b2)(3a2 5b2 5a2 3b2) (2a2 2b2)(8a2 8b2) 16(a2 b2)(ab)(ab)． 练习4: （★★★☆☆）已知：4a2 b2 4a6b100，求a2 b2的值。 【常规讲解】4a2 b2 4a6b100，故(2a1)2 (b3)2 0 1 a ，b3 2 1 1 故a2 b2  99 4 4 关卡二 练习4: （★★★★☆）求证：当x为大于等于2的自然数时，x4  x2 1是一个合数． 【常规讲解】x4 x2 1 x4 2x2 1x2 =  x2 1 2 x2   x2 x1  x2 x1  练习5: （★★★★★）已知乘法公式： （1）ab a4 a3ba2b2 ab3 b4 a5 b5； （2）ab a4 a3ba2b2 ab3 b4 a5 b5． 利用或者不利用上述公式分解因式： x8 x6 x4 x2 1 ． 【常规讲解】 解法一：利用上述公式： 原式 17(x2 1)[(x2)4 (x2)3 (x2)2 x2 1]  (x2 1) (x2)5 1  x2 1 (x5 1)(x5 1)  (x1)(x1) (x1)(x4 x3x2 x1)(x1)(x4 x3x2 x1)  (x1)(x1) (x4 x3x2 x1)(x4 x3x2 x1) 解法二：不利用上述公式： 原式 (x4 x2 1)2 2x6 2x4 2x2 x6 x2 (x4 x2 1)2 (x6 2x4 x2) (x4 x2 1)2 (x3 x)2 (x4 x3 x2 x1)(x4 x3 x2 x1) 练习6: （★★★★★）分解因式：x1x2x3x41 【常规讲解】原式(x2 5x4)(x2 5x6)1 (x2 5x)2 10(x2 5x)25 (x2 5x5)2． 18