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第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
2
“
”
很开心能见到你，本书将带领你进入全新的领域。在过去
的学习中，无论你是卓越还是略有失意，此刻将是新的征途的开
始。你是否已准备好谱写新的辉煌？
在这里，你会知道许多著名数学家的趣事。你也会揭开数学
神秘的面纱，了解数学之美。
大数学家高斯说：“数学是一切科学的皇后。”如果说物理是
上帝的游戏，那数学就是上帝的游戏规则。数学是通往星辰大海
的秘钥，是国防科技的护盾，是我们脚下这片土地的未来。华罗
庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”
现在的你，肯定已迫不及待想要扬帆起航。但睿智的你肯定
也明白，学习的事，容不得半点含糊。
亲爱的同学：
第一，凡事预则立，不预则废。
第二，认真听课，积极互动。认真做笔记，总结解题方法、技巧。
第三，温故而知新，可以为师矣。不忘温习，方得始终。
第四，及时完成随堂练习。今朝有题今朝做，明朝又有明朝事。
第五，整理错题，学会总结。聪明人知错就改，糊涂人有错就瞒。
最后，青春的帆已扬起，只待你乘风破浪，勇往直前。
对于初中直播课学习，给你一些建议：
序言
华
罗
庚
高
斯
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第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
3
1
心形函数曲线
π
5
2
3
4
金字塔
有趣的黄金分割线
对称美
古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线条和其他一切
美的形体都必须有对称的形式。”对称本身即具有和谐的
整体美。
早在南北朝时期，大数学家祖冲之就利用割圆术将圆周
率π精算到小数点后七位，直到15世纪，阿拉伯数学
家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
金字塔，是古埃及人智慧代表的巅峰之作。早在古希腊
时期，几何学家泰勒斯就可以根据投影与相似三角形定
理，测量出金字塔的高度。
0.618比1，著名的“黄金分割比”。意大利著名画家
达·芬奇笔下的《蒙娜丽莎》就多次应用黄金分割比，
蒙娜丽莎之所以越看越美，就是因为她的脸型、身材均
符合黄金矩形。
笛卡尔给公主的信中，只有一道函数公式：r=a(1-sinθ）。
而极具浪漫色彩的是，当公主把函数图象画出来后，一颗饱满
的心跃然纸上。这就是著名的“心形线”。
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第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
5
前言
希望学教研团队
亲爱的同学：
当你翻开这本书的时候，你又开始了一段新的学习之旅。
本书由希望学教研团队编写而成。团队有多年的教研沉淀，致力于为同学们
提供小学、初中和高中全学科的课外有益补充，培养学生分析问题和自主解决问
题的能力。锻炼思维，开拓视野，由“知识型”向“能力型”转化。
下面我们将向你介绍本书的诞生过程：
1、对标教材和课程标准建立课程大纲
希望学教研团队根据教育部审定的最新中学教材，选取重难点模块，收集各
地区题目，精心敲定教学大纲。
2、依据大数据、编撰高标准
①依托多年教研沉淀，精品题库、讲义素材、课件切片等四大库教研基建，
为讲义编撰提供优质素材；
②希望学大数据核心算法定位学习中的薄弱环节；
③百人教研团队，历经1000+小时，严格按照大纲目录进行编写，三轮审核
三轮校对。
3、三审三校
初稿经由希望学教研中心内部一审，学科产品、教学中心、主讲老师集中二
审，外部专家专业三审后进入校对环节。
由编者一次精校；教研中心资深教研员二次精校；排版团队三次精校。只有
经过全面的三审三校，这本书才能发送给我们的用户！
4、排版
编撰与审校结束后，会安排专业团队进行排版印刷。模板和风格由专业设计
师进行设计，并不断更新迭代，紧跟审美风向标，提升可读性。由供应部门统一
调配和发货，这本书就会到达你的手中啦！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！接下来的每一天，我们都会在你的见证
下不断精进，不断成长。
未来，希望学也会继续承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育
资源的均衡发展。伴随着你的成长，见证着你的成功，每天进步一点点，一起做
更好的自己！
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目录
第1 讲
直观想象——有理数与数
轴综合
1
模块一
有理数
3
模块二
数轴、相反数、绝对值
5
模块三
数轴上点的表示
8
模块四
数轴上的规律探究
10
【习题课】有理数与数轴综合
14
第2 讲
数学运算——有理数的混
合运算
19
模块一
有理数的加减
21
模块二
有理数的乘除
24
模块三
有理数的乘方及混合运算
27
【习题课】有理数的混合运算
32
第3 讲
数学运算——有理数运算
技巧
35
模块一
分数裂项
37
模块二
换元法
39
模块三
错位相减法
40
【习题课】有理数运算技巧
44
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第1 讲
直观想象——有
直观想象——
有理数与数轴综合
模块一
有理数
模块二
数轴、相反数、绝对值
模块三
数轴上点的表示
模块四
数轴上的规律探究
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第
1
讲
有
理
数
与
数
轴
综
合
2
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
有理数
有理数的分类
★★★
例1、2
随堂练习1
数轴、相反
数、绝对值
利用数轴比大小
★★★
例3
随堂练习2
确定数轴原点
★★★★
例4
数轴上点的
表示
数轴上点的移动
★★★
例5
与数轴相关的中点
问题
★★★★★
例6
随堂练习3
数轴上的规
律探究
数轴上的规律探究
★★★★★
例7
随堂练习4
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第
1
讲
有
理
数
与
数
轴
综
合
3
模块一
模块一
有理数
知识梳理
一、正数和负数的定义
1. 正数：像3、1.8%、+0.33 这样大于0 的数叫做正数．
2. 负数：像−1、−3.12、−17
5 、−2008 这样在正数前面加上符号“−”（负号）的数叫做负数．
3. 数0 的认识:0 既不是正数，也不是负数．
二、有理数及分类
1. 有理数：整数与分数统称为有理数
【注意】
想一想
5.1 是非负整数对吗？
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第
1
讲
有
理
数
与
数
轴
综
合
4
知识模型
有理数的分类
典型例题1
在−1
3，11.11111，95.5̇2̇7，0，+2004，−2π，1.12122122212222，−1
11 这些数中，属于非负有
理数的有
．
典型例题2
下列说法：
①0 是最小的整数；
②有理数不是正数就是负数；
③非负数就是正数；
④−π
2 不仅是有理数，而且是分数；
⑤23
7 是无限不循环小数，所以不是有理数；
⑥无限小数不都是有理数；
⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；
其中说法错误的有( )．
A. 7 个
B. 6 个
C. 5 个
D. 4 个
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第
1
讲
有
理
数
与
数
轴
综
合
5
模块二
模块二
数轴、相反数、绝对值
知识梳理
一、数轴
1．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
2．有理数与数轴的关系：
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都代表有理数．
3．利用数轴比较有理数的大小
数轴上的数，右边的数总大于左边的数．正数大于0，负数小于0，正数大于负数．两个
负数，绝对值大的反而小．
二、相反数，绝对值与数轴的关系
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第
1
讲
有
理
数
与
数
轴
综
合
6
知识模型
利用数轴比大小
典型例题3
请在下图中标出−𝑏、|𝑎| 的位置，并用“<”或“=”连接𝑎、𝑏、−𝑎、−𝑏、|𝑎|、|𝑏|．
实战演练1
已知实数𝑎，𝑏在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是( )．
A. −𝑏< −1 < −𝑎
B. 1 < |𝑏| < |𝑎|
C. 1 < |𝑎| < 𝑏
D. 𝑎< 1 < 𝑏
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第
1
讲
有
理
数
与
数
轴
综
合
7
知识模型
确定数轴原点
典型例题4
如图，数轴上的𝐴、𝐵、𝐶三点所表示的数分别是𝑎、𝑏、𝑐，其中𝐴𝐵= 𝐵𝐶，如果|𝑎|>|𝑏|>|𝑐|，
那么该数轴的原点𝑂的位置应该在( )
A. 点𝐴的左边
B. 点𝐴与点𝐵之间
C. 点𝐵与点𝐶之间
D. 点𝐵与点𝐶之间(靠近点𝐶) 或在点𝐶及其右边
实战演练2
如图，𝑀，𝑁，𝑃，𝑅分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且𝑀𝑁=
𝑁𝑃= 𝑃𝑅= 1，数𝑎对应的点在𝑀与𝑁之间，数𝑏对应的点在𝑃与𝑅之间，若|𝑎|+|𝑏| = 3，
则原点可能是( )．
A. 𝑀或𝑅
B. 𝑁或𝑃
C. 𝑀或𝑁
D. 𝑃或𝑅
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第
1
讲
有
理
数
与
数
轴
综
合
8
模块三
模块三
数轴上点的表示
知识模型
数轴上的点的移动
典型例题5
数轴上点𝐴表示的数为−2，从𝐴出发，沿数轴移动4 个单位长度到达点𝐵，则点𝐵表示
的数是
．
实战演练3
一个小虫在数轴上先向右爬2 个单位，再向左爬6 个单位，所在位置正好距离数轴原点
2 个单位，则小虫的起始位置所表示的数是( )．
A. 6
B. −2
C. 2 或6
D. −2 或4
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第
1
讲
有
理
数
与
数
轴
综
合
9
知识模型
与数轴相关的中点问题
典型例题6
小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1 的点与表示−5 的点重合：若数
轴上𝐴、𝐵两点之间的距离为7（𝐴在𝐵的左侧)，且𝐴、𝐵两点经上述折叠后重合，则𝐴点
表示的数为( )．
A. −3.5
B. 3.5
C. −4.5
D. −5.5
实战演练4
若𝐴、𝐵、𝑃是数轴上的三点且点𝐴表示的数为−2，点𝐵表示的数为1，点𝑃表示的数为
𝑥，当其中一点到另外两点的距离相等时，则𝑥的值为
．
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第
1
讲
有
理
数
与
数
轴
综
合
10
模块四
模块四
数轴上的规律探究
典型例题7
如图所示，圆的周长为4 个单位长度，在圆的四等分点处标上数字0、1、2、3，先让圆周上
数字0 所对应的点与数轴上的数字−2 所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向
滚动，那么数轴上的数字−2021 对应的点将与圆周上数字( ) 对应的点重合．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
实战演练5
等边△𝐴𝐵𝐶在数轴上的位置如图所示，点𝐴、𝐵、𝐶对应的数分别为0、−0.5 和−1，若
△𝐴𝐵𝐶绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1 次后，点𝐵所对应的数为1．则翻
转2017 次后，点𝐵所对应的数是( )
A. 2017
B. 2016.5
C. 2015.5
D. 2015
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第
1
讲
有
理
数
与
数
轴
综
合
11
随堂练习
随堂练习1
下列说法正确的是( )
A. 整数分为正整数和负整数
B. 有理数不包括小数
C. 0 是最大的非正整数
D. 不带“−”号的数就是正数
随堂练习2
如图，数轴上𝐴，𝐵两点分别对应有理数𝑎，𝑏，则𝑎，−𝑎，𝑏，−𝑏，1 比较大小正确的是( )
A. 𝑎< −𝑎< 𝑏< −𝑏< 1
B. 𝑎< −𝑏< 𝑏< 1 < −𝑎
C. 𝑎< 𝑏< −𝑎< −𝑏< 1
D. 𝑎< −𝑏< 1 < 𝑏< −𝑎
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第
1
讲
有
理
数
与
数
轴
综
合
12
随堂练习3
点𝑀表示的有理数是−1，点𝑀在数轴上移动5 个单位长度后得到点𝑁，则点𝑁表示
的有理数是
．
随堂练习4
如图，圆的周长为4 个单位长度．在该圆的四等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表
示数字0 的点与数轴上表示−1 的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数
轴上表示−2020 的点与圆周上表示数字( ) 的点重合．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
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第
1
讲
有
理
数
与
数
轴
综
合
13
数学探索
火眼识金币
100 个盒子，每个盒子里有100 枚硬币。这些硬币外观一模
一样，但是只有一个盒子里有100 个金币，其他盒子里的硬币都是
伪金币. 已知金币每个重1.01 克，伪金币每个重1 克. 只有一个秤，
但只能称一次重量. 怎么判断真金币在哪个盒子里?
第一个盒子里拿一个币，第二个盒子拿两个... 称出来多多少
克重量，金币就在哪个盒子
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第
1
讲
有
理
数
与
数
轴
综
合
14
“三精”习题课
第 讲
1
有理数与数轴综合
典型例题1
频率：中
数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1 厘米，若在这个数轴上随意画出
一条长2021 厘米的线段𝐴𝐵，则线段𝐴𝐵盖住的整点个数有( ) 个．
A. 2019 或2020
B. 2020 或2021
C. 2021 或2022
D. 2022 或2023
睛
点
法
方
数轴上的整点覆盖问题
方法点睛：本题需要分类讨论.
若线段𝐴𝐵的端点刚恰好与数轴整点重合，则1 厘米的线段刚好覆盖2 个整点，𝑛
厘米的线段刚好覆盖𝑛+1 个整点；
若线段𝐴𝐵的端点不与数轴整点重合，则1 厘米的线段刚好覆盖1 个整点，𝑛厘米
的线段刚好覆盖𝑛个整点.
典型例题2
频率：中
数轴上所表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1 厘米，若在这个数轴上
随意画出一条长为18 厘米的线段𝐴𝐵，则线段𝐴𝐵盖住的整点数是( )．
A. 17 个或18 个
B. 17 个或19 个
C. 18 个或19 个
D. 18 个或20 个
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第
1
讲
有
理
数
与
数
轴
综
合
15
典型例题3
频率：较高
小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1 的点与表示−3 的点重合，若数
轴上𝐴、𝐵两点之间的距离为2014(𝐴在𝐵的左侧)，且𝐴、𝐵两点经上述折叠后重合，则
𝐴点表示的数为( )．
A. −1006
B. −1007
C. −1008
D. −1009
睛
点
法
方
数轴上的翻折问题
方法点睛：
数轴翻折后重合的两个点关于翻折点对称，即翻折点是两个重合点的中点.
即若已知数轴上𝐴点对应的数为𝑎，𝐵点对应的数为𝑏，则𝐴𝐵的中点𝑀表示的数
为：𝑎+𝑏
2
典型例题4
频率：较高
根据如图给出的数轴，解答下面的问题：
（1）点𝐴表示的数是
，点𝐵表示的数是
．若将数轴折叠，使得
𝐴与−5 表示的点重合，则𝐵点与数
表示的点重合．
（2）观察数轴，与点𝐴的距离为4 的点表示的数是：
．
（3）已知𝑀点到𝐴、𝐵两点距离和为8，求𝑀点表示的数．
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第
1
讲
有
理
数
与
数
轴
综
合
16
典型例题5
频率：较高
如图，若数轴上𝑎的绝对值是𝑏的绝对值的3 倍，则数轴的原点在点
或点
．(填“𝐴”、
“𝐵”、
“𝐶”或“𝐷”)
睛
点
法
方
数轴上的找原点问题
方法点睛：
数轴上找原点问题通常结合相反数、绝对值出题.
①表示互为相反数的两个点（0 除外），在原点的两侧且到原点的距离相等；
②数轴上的点对应的绝对值越大，离原点越远.
典型例题6
频率：较高
如图，𝑀，𝑁，𝑃，𝑅分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且𝑀𝑁= 𝑁𝑃
= 𝑃𝑅= 1，数𝑎对应的点在𝑀与𝑁之间，数𝑏对应的点在𝑃与𝑅之间，若|𝑎|+|𝑏| = 2，则
原点是
(填入𝑀、𝑁、𝑃、𝑅中的一个或几个)．
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第
1
讲
有
理
数
与
数
轴
综
合
17
典型例题7
频率：高
如图，在数轴上有𝐴、𝐵、𝐶、𝐷四个整数点（即各点均表示整数），且2𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 3𝐶𝐷，若
𝐴、𝐷两点表示的数分别为−5 和6，且𝐴𝐶的中点为𝐸，𝐵𝐷的中点为𝑀，𝐵𝐶之间距点𝐵
的距离为1
3𝐵𝐶的点𝑁，则该数轴的原点为( )．
A. 点𝐸
B. 点𝐹
C. 点𝑀
D. 点𝑁
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第2 讲
数学运算——有
数学运算——
有理数的混合运算
模块一
有理数的加减
模块二
有理数的乘除
模块三
有理数的乘方及混合运算
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第
2
讲
有
理
数
的
混
合
运
算
20
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
有理数
的加减
有理数的加减与数轴
★★★
例1
有理数的加减混合
★★★
例2
有理数
的乘除
有理数的乘除与数轴
★★★
例3
多个有理数相乘
★★★
例4
有理数的乘除混合运算
★★★
例5
有理数的四则混合运算
★★★★
例6
随堂练习1、3
有理数
的乘方
及混合
运算
有理数的乘方
★★★
例7
随堂练习2
含乘方的有理数混合运算
★★★★
例8
随堂练习4
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第
2
讲
有
理
数
的
混
合
运
算
21
模块一
模块一
有理数的加减
知识梳理
有理数的加法
1. 有理数加法法则：
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
⑵异号两数相加：
绝对值相等时（互为相反数的两数）和为0；
绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
一个数同0 相加，仍得这个数．
2. 有理数加法的运算律：
⑴加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变．即𝑎+𝑏= 𝑏+𝑎．
⑵加法结合律：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
即(𝑎+𝑏)+𝑐= 𝑎+(𝑏+𝑐)．
当算式中只含加法时，利用加法交换律可随意改变加数的位置，利用加法结合律可随
意改变相加的顺序．
有理数的减法
有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．𝑎−𝑏= 𝑎+(−𝑏)．
处理减法，就是将其转化为方便处理的加法．
有理数加减混合运算的步骤
1. 把算式中的减法转化为加法；
2. 省略加号与括号；
3. 利用运算律及技巧简便计算，求出结果．
【注】根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依
据上述法则转变为只有加法的运算．为了书写简便，可以省略算式中的括号和部分加号．
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第
2
讲
有
理
数
的
混
合
运
算
22
【例】3−0.15+9+5−11 = (+3)+(−0.15)+9+(+5)+(−11)，它的含义是正3，负0.15，正
9，正5，负11 的和．
知识模型
有理数的加减与数轴
典型例题1
实数𝑎，𝑏在数轴上对应点的位置如图所示，则( )．
A. 𝑎+𝑏> 0
B. 𝑎−𝑏< 0
C. 𝑏−𝑎< 0
D. 𝑎< 𝑏
融会贯通1
有理数𝑎，𝑏在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )．
A. 𝑎−𝑏> 0
B. −𝑎−𝑏< 0
C. 𝑎−(−𝑏) < 0
D. −𝑎−(−𝑏) < 0
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第
2
讲
有
理
数
的
混
合
运
算
23
知识模型
有理数加减混合运算
典型例题2
（1）计算：51
4 +(−61
6)+23
4 +(−145
6)．
（2）计算：(−1
3)−(−31
6)−(+22
3)+(−61
6)．
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第
2
讲
有
理
数
的
混
合
运
算
24
模块二
模块二
有理数的乘除
知识梳理
有理数的乘法运算法则
1. 有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 任何数同0 相乘，都得0.
例如：
3×4=12
−3×(−4) = 12
−3×4 = −(3×4) = −12
−3×0 = 0
2. 有理数乘法运算律：
(1) 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即𝑎𝑏= 𝑏𝑎．
(2) 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即
(𝑎𝑏)𝑐= 𝑎(𝑏𝑐)．
(3) 乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把
积相加，即𝑎(𝑏+𝑐) = 𝑎𝑏+𝑎𝑐．
【注意】
几个不等于0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定. 当负因数有奇数个时，积为
负；当负因数有偶数个时，积为正.
有理数的除法运算法则
有理数除法法则：
1. 除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数，即𝑎÷𝑏= 𝑎⋅1
𝑏(𝑏≠0)．
2. 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
3. 0 除以任何一个不为0 的数，都得0.
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第
2
讲
有
理
数
的
混
合
运
算
25
例如：
3÷5 = 3× 1
5 = 3
5
−3÷5 = −3× 1
5 = −3
5
0÷5 = 0
知识模型
有理数的乘除与数轴
典型例题3
若实数𝑎，𝑏，𝑐在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是( )．
A. 𝑎𝑏< 0
B. 𝑏𝑐> 0
C. 𝑎𝑐> 𝑏𝑐
D. 𝑎𝑏> 𝑐𝑏
知识模型
多个有理数相乘
典型例题4
下列各式中，积为负数的是( )．
A. (−5)×(−2)×(−3)×(−7)
B. (−5)×(−2)×|−3|
C. (−5)×(−2)×0×(−7)
D. (−5)×2×(−3)×(−7)
融会贯通2
将四个互不相等的整数𝑎、𝑏、𝑐、𝑑相乘得到：𝑎𝑏𝑐𝑑= 4，那么𝑎+𝑏+𝑐+𝑑的值等于( )．
A. −4
B. 0
C. 4
D. 6
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第
2
讲
有
理
数
的
混
合
运
算
26
知识模型
有理数乘除混合运算
典型例题5
计算：27÷ 3
8 × 7
3 ÷(−6)× 2
7．
知识模型
有理数四则混合运算
典型例题6
计算：
（1）∣−51
2∣×(1
3 −1
2)× 3
11 ÷(1−1
4)．
（2）25×(−2
13)+16÷ 13
2 −30× 2
13．
（3）(−1
24)÷(13
4 −7
8 + 7
12)．
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第
2
讲
有
理
数
的
混
合
运
算
27
模块三
模块三
有理数的乘方及混合运算
知识梳理
一、乘方的定义及相关概念
1. 乘方的定义：求𝑛个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在𝑎𝑛中，𝑎
叫做底数，𝑛叫做指数.
2. 含义：𝑎𝑛中，𝑎为底数，𝑛为指数，即表示𝑎的个数，𝑎𝑛表示有𝑛个𝑎连续相乘，读作
“𝑎的𝑛次方”, 也可读作“𝑎的𝑛次幂”.
二、幂中的“奇负偶正”
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
知识模型
有理数的乘方
典型例题7
计算：(−1)2008 +(−1)2009 ÷|−1| =
．
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第
2
讲
有
理
数
的
混
合
运
算
28
实战演练1
下列四组数相等的是( )﹒
A. −24 和(−2)4
B. −23 和(−2)3
C. (−1)2020 和(−1)2021
D. 22
3 和(2
3)
2
知识模型
含有乘方的混合运算
典型例题8
计算：[−22 −(−1)2020]÷ 15
4 × 4
3 −|−2+4|．
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第
2
讲
有
理
数
的
混
合
运
算
29
随堂练习
随堂练习1
计算12+(−18)÷(−6)−(−3)×2 的结果是( )．
A. 7
B. 8
C. 21
D. 36
随堂练习2
下列各组运算中，运算后结果相同的是( )
A. 43 和34
B. (−5)3 和−53
C. −42 和(−4)2
D. (−2
3)
2
和(−3
2)
3
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第
2
讲
有
理
数
的
混
合
运
算
30
随堂练习3
计算：−8×(−15
29)+12×(−15
29)−4×(−15
29)．
随堂练习4
计算：−22 −|−32|+(−11
3)
3
+5−|2÷(−3)2|．
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第
2
讲
有
理
数
的
混
合
运
算
31
数学探索
推理
有个学生请教数学家逻辑学有什么用.
数学家问他：
“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个干
干净净，你认为哪一个该去洗澡？”
“当然是脏的那个。”学生说。
“不对。脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏，哪里
会去洗澡？”
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第
2
讲
有
理
数
的
混
合
运
算
32
“三精”习题课
第 讲
2
有理数的混合运算
典型例题1
频率：较高
计算：
（1）3.5÷[(1
3 +0.25)× 4
5]．
（2）[5
6 ÷(−1
2 −1
3)+21
8]÷(−11
8)．
睛
点
法
方
有理数的四则运算
先乘除，后加减，有括号的要先去括号.
典型例题2
频率：较高
计算：
（1）(−5)×(−36
7)+(−7)×(−36
7)+12×(−36
7)．
（2）(−5)+(1
3 −1
6 −1
8)÷ 1
24．
睛
点
法
方
乘法分配律
𝑎(𝑏+𝑐) = 𝑎𝑏+𝑎𝑐
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第
2
讲
有
理
数
的
混
合
运
算
33
典型例题3
频率：高
（1）(−2
3)
2021
×(3
2)
2022
的计算结果是( )．
A. 2
3
B. −2
3
C. 3
2
D. −3
2
（2）计算：(−8)2021 ×(1
8)
2022
×(−1)2022 =
．
睛
点
法
方
有理数的乘方
1. 幂中的“奇负偶正”
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
2. 𝑎𝑚⋅(1
𝑎)
𝑚
= (𝑎⋅1
𝑎)
𝑚
= 1
典型例题4
频率：较高
计算：
（1）−12018 +0.5÷(−1
2)
3
×[3−(−2)]．
（2）−43 ÷(−32)−[(−2
3)
3
×(−3)2 +(−11
3 )]．
（3）(−1)2021 −1
6 ×[2×(−1)2 +(−3)3]．
睛
点
法
方
有理数混合运算
1. 先乘方，再乘除，再加减，有括号的先算括号里的；
2. 幂中的“奇负偶正”: 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
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第3 讲
数学运算——有
数学运算——
有理数运算技巧
模块一
分数裂项
模块二
换元法
模块三
错位相减法
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第
3
讲
有
理
数
运
算
技
巧
36
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
分数裂项
裂差
★★★
例1
随堂练习1
裂差
★★★★★
例2
裂和
★★★★
例3
随堂练习2
裂和
★★★★★
例4
换元法
换元法
★★★★
例5
随堂练习3
错位相减法
错位相减法
★★★★★
例6
随堂练习4
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第
3
讲
有
理
数
运
算
技
巧
37
模块一
模块一
分数裂项
知识模型
裂差
典型例题1
规律探究：
1
1×2 = 2−1
1×2 =
2
1×2 −
1
1×2 = 1−1
2，
1
2×3 = 3−2
2×3 =
3
2×3 −
2
2×3 = 1
2 −1
3，
1
3×4 = 4−3
3×4 =
4
3×4 −
3
3×4 = 1
3 −1
4，
⋯
（1）猜想：
1
2018×2019 =
．
（2）1
1×2 +
1
2×3 +
1
3×4 +⋯+
1
2020×2021 =
．
（3）2
1×3 +
2
3×5 +
2
5×7 +⋯+
2
2019×2021 =
．
（4）1
1×3 +
1
3×5 +
1
5×7 +⋯+
1
2019×2021 =
．
融会贯通1
计算：1
1×6 +
1
6×11 +
1
11×16 +⋯+
1
51×56．
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第
3
讲
有
理
数
运
算
技
巧
38
典型例题2
计算：
2
1×2×3 +
2
2×3×4 +
2
3×4×5 +⋯+
2
2013×2014×2015．
知识模型
裂和
典型例题3
计算：5+6
5×6 −6+7
6×7 + 7+8
7×8 −8+9
8×9 + 9+10
9×10 ．
典型例题4
计算：
5
2×3×4 +
7
3×4×5 +
9
4×5×6 +⋯+
19
9×10×11．
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第
3
讲
有
理
数
运
算
技
巧
39
模块二
模块二
换元法
知识模型
换元法
典型例题5
计算(1
2 + 1
3 + 1
4 + 1
5)−(1−1
2 −1
3 −1
4 −1
5)−2×(1
2 + 1
3 + 1
4 + 1
5 + 1
6) 的结果是
．
融会贯通2
计算：2×[3×(1
7 + 1
8 + 1
9)+6×(1
4 + 1
5 + 1
6)+1]−3×[2×(1
7 + 1
8 + 1
9)+4×(1
4 + 1
5 + 1
6)−1]
=
．
融会贯通3
计算：20212021×20212022−202120212 −20212021．
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第
3
讲
有
理
数
运
算
技
巧
40
模块三
模块三
错位相减法
典型例题6
数学课上老师出了一道计算题：1+21 +22 +23 +24 +25 +26 +27 +28 +29，老师在教室巡
视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案：
解：令𝑠= 1+21 +22 +23 +24 +25 +26 +27 +28 +29①，
则2𝑠= 21 +22 +23 +24 +25 +26 +27 +28 +29 +210②，
②−①得𝑠= 210 −1．
根据以上方法请计算：
（1）1+21 +22 +23 +⋯+22015（写出过程，结果用幂表示）．
（2）1+31 +32 +33 +⋯+32015 =
（结果用幂表示）．
（3）5−52 +53 −54 +⋯+511．
融会贯通4
计算：1+ 1
3 + 1
32 +⋯+
1
32022．
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第
3
讲
有
理
数
运
算
技
巧
41
随堂练习
随堂练习1
计算：1
2×5 +
1
5×8 +
1
8×11 +
1
11×14，结果正确的是( )
A. 3
7
B. 4
7
C. 1
7
D. 4
21
随堂练习2
计算1+2
1×2 −2+3
2×3 + 3+4
3×4 −4+5
4×5 + 5+6
5×6 的结果为( )．
A. 5
6
B. 1
C. 7
6
D. 2
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第
3
讲
有
理
数
运
算
技
巧
42
随堂练习3
计算：(1+ 1
2 + 1
4)×(1
2 + 1
4 + 1
6)−(1+ 1
2 + 1
4 + 1
6)×(1
2 + 1
4) =
．
随堂练习4
计算：1+ 1
2 + 1
22 +⋅⋅⋅+
1
2100．
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第
3
讲
有
理
数
运
算
技
巧
43
数学探索
聪明的商人
一位犹太商人来到一家银行贷款部，对贷款部经理说：
“我想
借点钱。”
“您想借多少呢？”
“1 美元，可以吗？”贷款部经理十分诧
异，此人穿戴十分阔绰，为什么只借1 美元呢？也许，他在试探银
行的工作质量和服务态度。于是他立即十分高兴的说：
“当然可以，
只要有担保，无论多少都可以照办。”犹太商人从豪华的皮包里取
出一大堆股票、国债、债券等放在经理的办公桌上。经理清点了一
下对犹太商人说：
“先生，总共是50 万美元，做担保足够了。不过您
真的只想借1 美元吗？”
“是的，我只需要1 美元。”犹太商人办完一
切手续便欲离去。这时银行行长从后面追上来，有些窘迫的说：
“先
生，我实在弄不明白，您拥有50 万美元的家当，为什么还要借1 美
元呢？”
“我到这里来是想做一笔生意的，可是随身携带的这些票券
很碍事。租金库的租金昂贵，但我贷1 美元，一年只还1 美分，便将
这些东西以担保的形式寄存在贵行，这多合算啊。”聪明的犹太商
人从事情的反面进行思考，把由原先存钱的思路变成了借钱思路，
将保存品变成了抵押品，同样达到保管票券的目的，却付出很少。
我们在学习数学时，有时一些问题从正面进行思考往往繁琐，
甚至束手无策。此时，如能改变方向，逆向思考，往往会收到意想不
到的效果。
逆向思维是一种积极的具有创造性的思维方式，这种思维方
式在数学中屡见不鲜。如整式的乘法和因式分解；去括号与添括号
等。
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第
3
讲
有
理
数
运
算
技
巧
44
“三精”习题课
第 讲
3
有理数运算技巧
典型例题1
频率：高
计算：1
1×2 +
1
2×3 +⋯+
1
99×100．
睛
点
法
方
分数裂项——裂差
1
𝑛(𝑛+1) = 1
𝑛−
1
𝑛+1
1
𝑛(𝑛+𝑘) = 1
𝑘(1
𝑛−
1
𝑛+𝑘)
典型例题2
频率：高
计算：1
1×4 +
1
4×7 +
1
7×10 +⋯+
1
25×28 +
1
28×31．
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第
3
讲
有
理
数
运
算
技
巧
45
典型例题3
频率：高
计算：1
3 + 1
15 + 1
35 + 1
63 + 1
99 + 1
143．
典型例题4
频率：高
1
1×2×3 +
1
2×3×4 +
1
3×4×5 +⋯+
1
8×9×10 =( )．
A. 9
10
B. 9
20
C. 22
45
D. 11
45
典型例题5
频率：中
计算：3
1×2 −
5
2×3 +
7
3×4 −
9
4×5 +⋅⋅⋅−
197
98×99 +
199
99×100．
睛
点
法
方
分数裂项——裂和
𝑛+(𝑛+1)
𝑛(𝑛+1) = 1
𝑛+
1
𝑛+1
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第
3
讲
有
理
数
运
算
技
巧
46
典型例题6
频率：中
计算：(1+ 1
2 + 1
3 + 1
4 + 1
5)×(1
2 + 1
3 + 1
4 + 1
5 + 1
6)−(1+ 1
2 + 1
3 + 1
4 + 1
5 + 1
6)×(1
2 + 1
3 + 1
4 + 1
5)．
睛
点
法
方
换元法：
根据代数式的特征，把其中的某一部分看成一个整体，并用一个新的字母代替之，从
而使得原代数式的结构简化，便于解题，这种方法就是换元法．换元法的本质是“整
体思想”.
换元法的基本步骤
1．找出原式中重复出现的部分；
2．将重复出现的部分用一个新的字母（如𝑡）代替；
3．把原式整理成关于新字母的多项式（如关于𝑡的多项式），然后进行计算.
典型例题7
频率：中
计算：(1+22 +32 +⋯+492)×(22 +32 +⋯+502)−(1+22 +32 +⋯+502)×
(22 +32 +⋯+492) =
．
11220323470208
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