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第四章 图形的相似
单元测试
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（2022·浙江·九年级单元测试）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】A
【分析】根据四条线段成比例的定义逐项判断即可．若四条线段 成比例，则 （或
或 ），是有顺序的，位置不能随意颠倒．
【详解】解：A、 ，
四条线段成比例，故符合题意；
B、 ，
四条线段不成比例，故不符合题意；
C、 ，
四条线段不成比例，故不符合题意；
D、 ，
四条线段不成比例，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了比例线段，验证第一条线段与第四条线段的长度乘积是否等于中间两条线段的长度乘
积是解题的关键．特别注意，成比例线段是有顺序关系的．
2．（2020·辽宁·抚顺市第五十中学七年级期中）已知 (x，y，z均不为零)，则 =（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【分析】设 ，则 ，再代入计算即可得．
【详解】解：由题意，设 ，则 ，所以 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式求值，将x,y,z用一个共同的字母k表示出来是解题关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、
DE，则图中阴影部分的面积是（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接BD，EF，可看出阴影部分的面积等于 正方形的面积+一个三角形的面积，用相似求出三角
形的面积，阴影部分的面积可得．
【详解】解：连接BD，EF．
∵阴影部分的面积= ABD的面积+ BDG的面积 （G为BF与DE的交点），
△ △
∴△BCD的面积= ABD的面积= 正方形ABCD的面积= ，
△
∵点E，F分别是BC，CD的中点，
∴ BDE的面积= BCD的面积，EF∥BD，EF= BD，
△ △
∴△GEF∽△GDB，
∴DG=2GE，∴△BDG的面积= BDE的面积= BCD的面积= ，
△ △
∴阴影部分的面积= + = ( )，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，关键是连接BD，把阴影部分分成两部分计
算．
4．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为 边 上任一点， 交 于点E，连接
相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
【详解】解：∵ ，
∴ ，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴ ， ，故B不符合题意，C符合题意；
∴ ，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与
判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知在等腰Rt ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过
点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线△段EF的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，由勾股定理可求AD的长，由面积法可求CE，由
“AAS”可证 ACD≌△CBH，可得CD＝BH＝1，AD＝CH＝ ，通过证明 ACF∽△BHF，可得
△ △
＝ ，可求CF的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，
∵AD为BC边的中线，AC＝BC＝2，
∴CD＝BD＝1，
∴AD＝ ＝ ＝ ，
∵ ，
∴CE＝ ＝ ，
∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°，
∴∠ADC＝∠H，
在 ACD和 CBH中，
△ △，
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝ ，
∵AC⊥BC，BH⊥BC，
∴AC∥BH，
∴△ACF∽△BHF，
∴ ＝ ，
∴CF＝ ，
∴EF＝CF﹣CE＝ ﹣ ＝ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性
质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD的垂直平
分线，则EF的长为（ ）
A． cm B． cm C． cm D．8cm
【答案】C
【分析】首先证明△BOF≌△DOE，得出OE＝OF，再证明△BOF∽△BAD，得出 ，然后再根据
勾股定理，得出BD的长，进而得出BO的长，再结合相似比，算出FO的长，即可得出EF的长，从而得
出选项．
【详解】解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，∵∠OBF＝∠ODE，∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴OE＝OF，
∵∠OBF＝∠ABD，
∴△BOF∽△BAD，
∴ ＝ ，
∵BD＝ ＝10cm，
∴BO＝5cm，
∴FO＝5× ＝ cm，
∴EF＝2FO＝ cm．
故选：C
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判
定，勾股定理，根据勾股定理求BD的长是解本题的关键．
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点
O为位似中心画 OA′B′，使它与 OAB的相似比为1：4，则点A的对应点的坐标是（ ）
△ △
A．（ ，1） B．（ ，﹣1）
C．（ ，1）或（ ，﹣1） D．（8，16）或（﹣8，﹣16）
【答案】C
【分析】根据位似变换的性质解答即可得．
【详解】解：∵以原点O为位似中心画△OA′B′，使它与△OAB的相似比为1：4，点A（2，4），∴点A的对应点的坐标为（2 ，4 ）或（2×（ ），4×（ ）），即（ ，1）或（ ，﹣1），
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的概念和性质，解题的关键是掌握这些知识点．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上一点，交AC于点E，交
CD的延长线于点G，若2AF=3FD.则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由2AF＝3DF，可以假设DF＝k，则AF＝ k，AD＝AF+FD＝ ，再利用相似三角形性
质即可解决问题．
【详解】解：由2AF＝3DF，可以假设DF＝k，则AF＝ k，AD＝ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DGF，
∵∠AFE＝∠GFD，
∴△ABF∽△DFG，且∠AFE＝∠GBC，
∴△BCG为等腰三角形，即BC＝CG＝AD＝ ，
∵△GFD为等腰三角形，即FD＝GD，
∴CD＝CG﹣DG＝ ，
AB∥CD，
，∴△ABE∽△CGE，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的
判定和性质进行解题．
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在边长为1的正方形网格中， ABC与 DEF是位似图形，则
ABC与 DEF的面积比是（ ）
A．4：1 B．2：1 C． ：1 D．9：1
【答案】A
【分析】△ABC与△DEF是位似图形，所以△ABC∽△DEF，根据勾股定理求出AB和DE算出他们的比值，
则面积之比也就解出来了．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
由图可知AB= = ，DE= ，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：1
故选：A．【点睛】本题考查位似图形的性质和相似三角形的的性质，熟练的运用似图形的性质是解题的关键．
10．（2021·贵州·铜仁学院附属中学九年级阶段练习）如图， ABC与 DEF是位似图形，相似比为2：
3，已知AB＝10，则DE的长为（ ）
A． B．15 C．30 D．20
【答案】B
【分析】位似图形就是特殊的相似图形，位似比得于相似比．利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AB：DE=2：3，
∴10：DE=2：3，
∴DE=15，
故选：B．
【点睛】本题主要考查位似的定义．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似
比的特点．
二、填空题
11．（2022·广东珠海·九年级阶段练习）如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的
黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走________米报幕（结果精确到0.1米）．
【答案】3.8
【分析】根据黄金分割的定义，先求出PB= AB，再根据AP=AB﹣PB计算即可得解．
【详解】解：∵点P为AB的黄金分割点，AP＜BP，
∴PB= AB= ×10=5 ﹣5（米），∴AP=AB﹣PB=10﹣（5 ﹣5）=15﹣5 ≈3.8（米）．
故答案为：3.8．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金比是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系中， 的顶点A的坐标为 ，以原点 为
位似中心，把 缩小为原来的 ，得到 ，则点A的对应点 的坐标为 __．
△
【答案】（﹣2，1）或（2，﹣1）．
【分析】根据位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，
那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．得到答案．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的 ，得到△ ，A（﹣4，2），
∴点A的对应点 的坐标为A（﹣4× ，2× ）或A（﹣4×（﹣ ），2×（﹣ ）），即（﹣2，1）或
（2，﹣1），
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
【点睛】本题考查位似，涉及分类讨论思想，解题的关键在于理解位似图形的性质．
13．（2021·江苏·开明中学八年级期末）如图，D、E分别为△ABC中边AB、AC上的点，DE BC，且
，则 的值为___
【答案】
【分析】根据 ，可得 ，根据面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D、E分别在AC、BC上，
CE=AD，CG⊥DE于点F，FE=1，FG=3，则△AC=______．
【答案】
【分析】过点D作DT⊥AD交AB于点T，连接ET，连接CT交DE于点M，通过推导角度可知CT=CG，
且四边形DTEC为矩形，设CF为x，表示出DF，利用相似可求出x，进而可得结果．
【详解】解：过点D作DT⊥AD交AB于点T，连接ET，连接CT交DE于点M，
∵Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠△A=∠B=45°，
∵DT⊥AD，
∴ ADT为等腰直角三角形，
∵△CE=AD，
∴DT=CE，
∵DT CE，∠DCE=90°，∴四边形DTEC为矩形，
∴DE=CT，
设∠BCG=α，则∠CDE=α，
∴∠DCT=α，
∴∠CTB=45°+α，
∵∠CGT=45°+α，
∴CT=CG，
∴DE=CG，
设CF=x,则DE=CG=x+3，
∴DF=x+2，
∵△CFE∽△DFC，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得x=2或x=-1（舍），
∴CF=2，
∴DF=4，CE=AD= ，
∴CD=2 ，
∴AC=3 ．
故答案为：3 ．
【点睛】本题考查三角形与四边形综合知识，需要同学们熟练掌握等腰直角三角形的性质、矩形的性质、
相似三角形的性质与判定，选择适当的辅助线将AD=CE这一条件联系起来是解题关键．
15．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示，图中 ___．【答案】
【分析】先根据三角形内角和定理求出 的度数，由相似三角形的判定定理可判断出 ，再
根据相似三角形的对应边成比例即可解答．
【详解】解： 中， ， ，
，
， ，
，
，
即 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题涉及到三角形内角和定理、相似三角形的判定及性质，比较简单．
16．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在Rt ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点
（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C△顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点
F，连接AE．若AB=3 ，AD=2BD，则AF=_____．
【答案】
【分析】先计算出BD ，AD＝2 ，BC＝3，∠B＝∠BAC＝45°，再根据旋转的性质得到∠DCE＝
90°，CD＝CE，则可判断 CDE为等腰直角三角形，所以∠EDC＝45°，然后证明 ADF∽△BCD，则利用
相似比可计算出AF． △ △【详解】解：∵AB＝3 ，AD＝2BD，
∴BD ，AD＝2 ，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴BC AB＝3，∠B＝∠BAC＝45°，
∵CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，
∴∠DCE＝90°，CD＝CE，
∴△CDE为等腰直角三角形，∠EDC＝45°，
∵∠ADC＝∠B+∠BCD，
即∠ADF+∠EDC＝∠B+∠BCD，
∴∠ADF＝∠BCD，
而∠DAF＝∠B，
∴△ADF∽△BCD，
∴ ，即 ，
∴AF ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．
三、解答题
17．（2021·山东·冠县育才双语学校九年级阶段练习）已知： ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标
△分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
(1) ABC向下平移4个单位长度得到的 ，点 的坐标是 ；
△
(2)以点B为位似中心，在网格内画出 ，使 与 ABC位似，且位似比为2：1，点 的坐标
△
是 ；（画出图形）
(3) 的面积是 平方单位．
【答案】(1)（2，﹣2）；
(2)图形见解析，（1，0）；
(3)10．
【分析】（1）根据平移的性质可得答案；
（2）根据位似变换的性质，找出点A、C的对应点 、 的位置即可，然后根据所作图形写出点 的坐
标；
（3）用割补法求解即可．
（1）
解：∵C（2，2）， ABC向下平移4个单位长度得到的 ，
△
∴点C 的坐标为（2，﹣2），
1
故答案为：（2，﹣2）；
（2）
解： 如图所示，
点C 的坐标为：（1，0），
2
故答案为：（1，0）；（3）
的面积为： （平方单位），
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平移的性质，作位似图形以及割补法求面积，熟练掌握平移变换和位似变换的性质是
解题的关键．
18．（2021·甘肃·会宁县枝阳初级中学九年级期中）已知，如图 ，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求
DE和EF的长．
【答案】DE=6，EF=10
【分析】根据平行线分线段成比例的性质，得3：5=DE：（16-DE），即可求出DE的长，进而可得EF的
长．
【详解】解：∵ ，
∴AB：BC=DE：EF，
∵AB=3，BC=5，DF=16，
∴3：5=DE：（16-DE），
∴DE=6，
∴EF=16-6=10．【点睛】主要考查了平行线分线段成比例的性质，掌握该定理：两条直线被平行线所截，对应线段成比例
是解题的关键．
19．（2022·湖南·九年级单元测试）如图，等边三角形 ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为
AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°． △
(1)求证： ABP∽ PCD；
(2)若PC=△2，求CD△的长．
【答案】(1)见解析
(2)CD的长为
【分析】（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在 APB中，
∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此 ABP∽ PCD； △
△ △
（2）由（1）的结论 ABP∽ PCD 可得 ，从而可以求出线段CD的长．
△ △
（1）
证明：∵等边三角形ABC，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠CPD=120°，
在 APB中，∠APB+∠BAP=120°，
∴△∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD；
（2）
解：等边三角形边长为3，PC=2，
由（1）得 ABP∽ PCD，
△ △
，∴ ，
∴CD= ．
答：CD的长为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是
推出 ABP∽ PCD．
20．△（2022·全△国·九年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点F．点E在BD上，且
， ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求∠CBD的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．
（2）根据（1）中 ，得出 ，再根据对顶角相等， ，证得
，得出 ，即可求解．
（1）
∵
∴ ，
∴ ，
，
∵在 和 中，
，∴ ．
（2）
∵ ，
∴ ，
又∵ ，对顶角相等，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
21．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在 中， ， ， ，动点P从点
A开始沿着边AB向点B以 的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以
的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动 ．
(1)当移动几秒时， 的面积为 ．
(2)设四边形APQC的面积为 ，当移动几秒时，四边形APQC的面积为 ？
(3)当移动几秒时， 与 相似？
【答案】(1)2秒或4秒
(2)3秒
(3)当移动3秒或 秒时， 与 相似．
【分析】（1）求出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合 BPQ的面积为
△32cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）用 ABC的面积减去 BPQ的面积即可得出S，令其等于108即可得出关于t的一元二次方程，解之
即可得出△结论； △
（3）分两种情况：①当 BPQ∽△BAC时，②当 BPQ∽△BCA时，分别利用相似三角形的性质列式求解
即可． △ △
（1）
解：运动时间为t秒时（0≤t＜6），PB＝12−2t，BQ＝4t，
由题意得：S BPQ＝ PB·BQ＝ （12−2t）·4t＝ ＝32，
△
解得：t＝2，t＝4，
1 2
答：当移动2秒或4秒时， BPQ的面积为32cm2；
（2） △
由题意得： ，
解得：t＝3，
答：当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2；
（3）
分两种情况：
①当 BPQ∽△BAC时，
△
则 ，即 ，
解得： ，
②当 BPQ∽△BCA时，
△
则 ，即 ，
解得： ，
综上，当移动3秒或 秒时， 与 相似．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质，正确理解题意，列出方程或比例式
是解答此题的关键．
