(2.3.13)--高数-第四章中值定理-题目._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件

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第四章 中值定理章节测试
一．选择题，每题 5 分，共 5 分.
1.设函数y  f (x)在 0,内有界且可导，则（ ）
A.当 lim f(x) 0时，必有 lim f(x) 0
x x
B.当 lim f(x)存在时，必有 lim f(x) 0
x x
C.当lim f(x) 0时，必有lim f(x) 0
x0 x0
D.当lim f(x)存在时，必有lim f(x) 0
x0 x0
二．解答题，每题 10 分，共 140 分.
    
2.设 f(x)在  0,  上连续，在0, 内可导， f  0 0, f   1，证明:至少存
 2  2  2
 
在一点 0, ，使 f()cos0.
 2
3.设函数 f  x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，且 f x 0.试证:存在, a,b ，
f eb ea
使得  e .
f ba
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4.设函数 f  x  在 0,a  上连续，在  0,a  内可导，证明:存在 0,a  ，使
f
f 
f

a

.
5.设函数 f  x 在 0,2 上连续，在 0,2 内可导，且满足 f  0  f  2 2.
证明:存在
0,2
使 f
f

2.
6.设函数 f  x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f  0  f  1  .证明:在 0,1 内存
在不同的点和，使 f f 0.
1
7.设函数 f  x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且满足 f  1 33e1x2 f  x  dx .
0
证明:存在
0,1
，使 f2f 
.
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  
8.证明在开区间  ， 内至少有一点使得方程sinxx10成立.
 2 2
9.设函数 f  x 在区间 0,1 上连续，在 0,1 内可导，试证在 0,1 内至少存在一点
，使得 4   f  1  f  0     12  f  .

10.设函数 f  x 在[0,)上可导， f  0 0，且 lim f  x 2.证明:
x
(1)存在a 0，使得 f  a 1;
1
(2)对于(1)中的a，存在 0,a ，使得 f
a
11.设 f  x 在 0,1 上具有一阶连续导数， f  0 0，证明:存在 0,1 ，使得
f2 1
f

x

dx
0
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1
12.设函数 f  x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f  0  f  1 0, f   1，证
2
明:
1 
(1)存在  ,1，使得 f ;
2 
(2)对于任意实数，必存在 0,，使得 f

f 

1.
13.设函数 f  x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f  0 0, f  1 1，证明存在
1 1
不同的,  0,1 ，使得   2.
1 2 f f 
1 2
ln2bln2a 2ln
14.已知0 ab，证明:存在 a,b ，使得  .
ba 
x
15.证明恒等式arctanxarcsin  x
.
1x2
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