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第
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“
”
很开心能见到你，本书将带领你进入全新的领域。在过去
的学习中，无论你是卓越还是略有失意，此刻将是新的征途的开
始。你是否已准备好谱写新的辉煌？
在这里，你会知道许多著名数学家的趣事。你也会揭开数学
神秘的面纱，了解数学之美。
大数学家高斯说：“数学是一切科学的皇后。”如果说物理是
上帝的游戏，那数学就是上帝的游戏规则。数学是通往星辰大海
的秘钥，是国防科技的护盾，是我们脚下这片土地的未来。华罗
庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”
现在的你，肯定已迫不及待想要扬帆起航。但睿智的你肯定
也明白，学习的事，容不得半点含糊。
亲爱的同学：
第一，凡事预则立，不预则废。
第二，认真听课，积极互动。认真做笔记，总结解题方法、技巧。
第三，温故而知新，可以为师矣。不忘温习，方得始终。
第四，及时完成随堂练习。今朝有题今朝做，明朝又有明朝事。
第五，整理错题，学会总结。聪明人知错就改，糊涂人有错就瞒。
最后，青春的帆已扬起，只待你乘风破浪，勇往直前。
对于初中直播课学习，给你一些建议：
序言
华
罗
庚
高
斯
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心形函数曲线
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金字塔
有趣的黄金分割线
对称美
古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线条和其他一切
美的形体都必须有对称的形式。”对称本身即具有和谐的
整体美。
早在南北朝时期，大数学家祖冲之就利用割圆术将圆周
率π精算到小数点后七位，直到15世纪，阿拉伯数学
家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
金字塔，是古埃及人智慧代表的巅峰之作。早在古希腊
时期，几何学家泰勒斯就可以根据投影与相似三角形定
理，测量出金字塔的高度。
0.618比1，著名的“黄金分割比”。意大利著名画家
达·芬奇笔下的《蒙娜丽莎》就多次应用黄金分割比，
蒙娜丽莎之所以越看越美，就是因为她的脸型、身材均
符合黄金矩形。
笛卡尔给公主的信中，只有一道函数公式：r=a(1-sinθ）。
而极具浪漫色彩的是，当公主把函数图象画出来后，一颗饱满
的心跃然纸上。这就是著名的“心形线”。
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希望学教研团队
亲爱的同学：
当你翻开这本书的时候，你又开始了一段新的学习之旅。
本书由希望学教研团队编写而成。团队有多年的教研沉淀，致力于
为同学们提供小学、初中和高中全学科的课外有益补充，培养学生分
析问题和自主解决问题的能力。锻炼思维，开拓视野，由“知识型”
向“能力型”转化。
下面我们将向你介绍本书的诞生过程：
1、对标教材和课程标准建立课程大纲
希望学教研团队根据教育部审定的最新中学教材，选取重难点模
块，收集各地区题目，精心敲定教学大纲。
2、依据大数据、编撰高标准
①依托多年教研沉淀，精品题库、讲义素材、课件切片等四大库教
研基建，为讲义编撰提供优质素材；
②希望学大数据核心算法定位学习中的薄弱环节；
③百人教研团队，历经1000+小时，严格按照大纲目录进行编写，
三轮审核三轮校对。
3、三审三校
初稿经由希望学教研中心内部一审，学科产品、教学中心、主讲老
师集中二审，外部专家专业三审后进入校对环节。
由编者一次精校；教研中心资深教研员二次精校；排版团队三次精
校。只有经过全面的三审三校，这本书才能发送给我们的用户！
4、排版
编撰与审校结束后，会安排专业团队进行排版印刷。模板和风格由
专业设计师进行设计，并不断更新迭代，紧跟审美风向标，提升可读
性。由供应部门统一调配和发货，这本书就会到达你的手中啦！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！接下来的每一天，我们都会在
你的见证下不断精进，不断成长。
未来，希望学也会继续承担起用科技推动教育进步的重任，不断致
力于教育资源的均衡发展。伴随着你的成长，见证着你的成功，每天
进步一点点，一起做更好的自己！
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目录
第1 讲
推理能力课——全等三角
形拼接探究
1
模块一
平行四边形的概念与性质
2
模块二
平行四边形的判定
6
第2 讲
推理能力课——直角三角
形拼接探究
17
模块一
矩形的性质与应用
18
模块二
矩形的判定
22
第3 讲
推理能力课——等腰三角
形拼接探究
29
模块一
菱形的性质及应用
30
模块二
菱形的判定
33
第4 讲
推理能力课——等腰直角
三角形拼接探究
41
模块一
正方形的性质与判定
42
模块二
正方形的特殊模型和解法
46
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第5 讲
推理能力课——巧合三角
形拼接探究
55
模块一
梯形的性质与判定
56
模块二
梯形的辅助线构造
60
第6 讲
推理能力课——中点问题
综合探究
69
模块一
中位线
70
模块二
中点四边形
75
模块三
中点问题综合进阶
78
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第1 讲
推理能力课——全
推理能力课——
全等三角形拼接探究
模块一
平行四边形的概念与性质
模块二
平行四边形的判定
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第
1
讲
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模块一
模块一
平行四边形的概念与性质
知识梳理
【平行四边形的定义】
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
表示平行四边形时按一定的方向依次表示各顶点，如
．
【平行四边形的性质】
1. 平行四边形的对边相等
四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形⇒𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐴𝐷= 𝐵𝐶．
2. 平行四边形的对角相等
四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形⇒∠𝐴= ∠𝐶，∠𝐵= ∠𝐷．
3. 平行四边形的对角线互相平分
四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形⇒𝑂𝐴= 𝑂𝐶，𝑂𝐵= 𝑂𝐷．
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第
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讲
全
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三
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4. 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
【注】经过平行四边形对称中心的任意一条直线都把平行四边形分成面积和周长相等
的两部分．
典型例题1
如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝑂，则下列结论不一定成立的是
( )．
A. 𝐴𝑂= 𝐷𝑂
B. 𝐶𝐷= 𝐴𝐵
C. ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷
D. 𝐴𝐷//𝐵𝐶，且𝐴𝐷= 𝐵𝐶
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第
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4
典型例题2
（1）如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐷= 100∘，∠𝐷𝐴𝐵的平分线𝐴𝐸交𝐷𝐶于点𝐸，连接
𝐵𝐸．若𝐴𝐸= 𝐴𝐵，则∠𝐸𝐵𝐶的度数为
．
（2）如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点𝑂，𝐴𝐵= 10cm，𝐴𝐷= 8cm，若
𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，则𝑂𝐵=
cm．
典型例题3
如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸、𝐹是对角线𝐵𝐷上的两个点，且𝐷𝐹= 𝐵𝐸，试猜想𝐴𝐸与
𝐶𝐹有何数量关系及位置关系并加以证明．
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第
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讲
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5
典型例题4
如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷交于点𝑂，𝐸𝑂⊥𝐴𝐶．
（1）若△𝐴𝐵𝐸的周长为10cm，求平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长．
（2）若∠𝐴𝐵𝐶= 78∘，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，试求∠𝐷𝐴𝐶的度数．
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第
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6
模块二
模块二
平行四边形的判定
知识梳理
【平行四边形的判定】
1. 定义法
证明一个四边形是平行四边形，可依据平行四边形的定义来证明，即证明这个四边形
的两组对边分别平行．
2. 判定定理
判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
∵𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐴𝐷= 𝐵𝐶
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形
判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷= 𝐵𝐶
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形
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第
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讲
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7
判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
∵∠𝐴= ∠𝐶，∠𝐵= ∠𝐷
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形
判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
∵𝑂𝐴= 𝑂𝐶，𝑂𝐵= 𝑂𝐷
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形
典型例题5
点𝐴、𝐵、𝐶、𝐷在同一平面内，从①𝐴𝐵//𝐶𝐷；②𝐴𝐵= 𝐶𝐷；③𝐵𝐶= 𝐴𝐷；④𝐵𝐶//𝐴𝐷这四个
条件中任选两个，能使四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形的选法有( )．
A. 3 种
B. 4 种
C. 5 种
D. 6 种
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第
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8
典型例题6
已知，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中．
（1）如图1，若𝐷𝐸= 𝐵𝐹，求证：四边形𝐴𝐹𝐶𝐸是平行四边形．
（2）若𝐴𝐸、𝐶𝐹分别是∠𝐷𝐴𝐵、∠𝐵𝐶𝐷的平分线．求证：四边形𝐴𝐹𝐶𝐸是平行四边形．
（3）如图2，在(1) 的基础上，连接𝐵𝐸、𝐷𝐹，分别交𝐹𝐶、𝐸𝐴于点𝐺、𝐻，求证：四边形
𝐸𝐻𝐹𝐺为平行四边形．
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全
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9
典型例题7
如图，在凸四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，且𝐴𝐵+𝐵𝐶= 𝐴𝐷+𝐷𝐶．求证：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平
行四边形．
典型例题8
如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐷、𝐹分别为𝐶𝐵、𝐵𝐴上的点，且𝐶𝐷= 𝐵𝐹，以𝐴𝐷为边作等边
△𝐴𝐷𝐸．
求证：
（1）△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐹;
（2）四边形𝐶𝐷𝐸𝐹为平行四边形．
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10
典型例题9
如图，已知𝐴𝐶是平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线，△𝐴𝐶𝑃和△𝐴𝐶𝑄都是等边三角形，求证：
四边形𝐵𝑃𝐷𝑄是平行四边形．
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11
典型例题10
已知，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 4cm，𝐵𝐶= 8cm，𝐴𝐶的垂直平分线𝐸𝐹分别交𝐴𝐷、𝐵𝐶于点
𝐸、𝐹，垂足为𝑂．
动点𝑃，𝑄分别从𝐴、𝐶两点同时出发，沿△𝐴𝐹𝐵和△𝐶𝐷𝐸各边匀速运动一周，即点𝑃
自𝐴→𝐹→𝐵→𝐴停止，点𝑄自𝐶→𝐷→𝐸→𝐶停止．在运动过程中，
①已知点𝑃的速度为每秒5cm，点𝑄的速度为每秒4cm，运动时间为𝑡秒，当𝐴𝐶𝑃𝑄四
点为顶点的四边形是平行四边形时，求𝑡的值．
②若点𝑃，𝑄的运动路程分别为𝑎，𝑏，已知𝐴𝐶𝑃𝑄四点为顶点的四边形是平行四边形，
求𝑎与𝑏满足的数量关系式．
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第
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12
随堂练习
随堂练习1
如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃是平行四边形内任意一点，△𝐴𝐵𝑃、△𝐵𝐶𝑃、△𝐶𝐷𝑃、
△𝐴𝐷𝑃的面积分别为𝑆1、𝑆2、𝑆3、𝑆4，则一定成立的是( )
A. 𝑆1 +𝑆2 > 𝑆3 +𝑆4
B. 𝑆1 +𝑆2 = 𝑆3 +𝑆4
C. 𝑆1 +𝑆2 < 𝑆3 +𝑆4
D. 𝑆1 +𝑆3 = 𝑆2 +𝑆4
随堂练习2
在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐴1,𝐴2,𝐴3,𝐴4 和𝐶1,𝐶2,𝐶3,𝐶4 分别𝐴𝐵和𝐶𝐷的五等分点，
点𝐵1,𝐵2 和𝐷1,𝐷2 分别是𝐵𝐶和𝐷𝐴的三等分点，已知四边形𝐴4𝐵2𝐶4𝐷2 的面积为1，
则平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积为( )
A. 2
B. 3
5
C. 5
3
D. 15
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全
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随堂练习3
如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸、𝐹分别在线段𝐵𝐷、𝐷𝐵的延长线上，若𝐷𝐹= 𝐵𝐸，判
断𝐴𝐸与𝐶𝐹的关系，请写出结论并证明．
随堂练习4
如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，𝐶𝐹⊥𝐴𝐷，𝐷𝑁= 𝐵𝑀．求证：𝐸𝐹与𝑀𝑁互相平分．
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14
思维游戏
遗产该怎么分
古希腊一位寡妇要同她即将出生的孩子一起分配她丈夫的
3500 元遗产。如果生的是儿子，那么按照古希腊的法律，母亲应分
得儿子份额的一半；如果生的是女儿，母亲就应分得女儿份额的两
倍。可是如果生的是一对双胞胎——一男一女，遗产又该怎么分
呢？这个问题把律师给难倒了。
聪明的你知道遗产该怎么分吗？
那位寡妇应分得1000 元，儿子分得2000 元，女儿500 元。这
样，遗嘱人的遗愿就完全得到履行了，因为寡妇所得恰是儿子的一
半，又是女儿的两倍。
解法：设寡妇得𝑥元，则儿子得2𝑥元，女儿得1
2𝑥元.
由题意得：𝑥+2𝑥+ 1
2𝑥= 3500
𝑥= 1000
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第2 讲
推理能力课——直
推理能力课——
直角三角形拼接探究
模块一
矩形的性质与应用
模块二
矩形的判定
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讲
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模块一
模块一
矩形的性质与应用
知识梳理
【矩形的定义】
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【矩形的性质】
矩形除具有平行四边形的一切性质外，还具有下述性质：
1. 矩形的四个内角都相等，且为90∘．
2. 矩形的两条对角线相等．
3. 矩形是轴对称图形，对称轴是一组对边中点的连线所在的直线．
【注】存在一点到两对相对顶点的距离的平方和相等的平行四边形是矩形．
典型例题1
如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷交于𝑂，𝐴𝐸⊥𝐵𝐷于𝐸，∠𝐷𝐴𝐸∶∠𝐵𝐴𝐸=3∶1，则
∠𝐸𝐴𝐶=
∘．
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第
2
讲
直
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19
典型例题2
（1）如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的两条对角线相交于点𝑂，∠𝐴𝑂𝐷= 120∘，𝐴𝐵= 2，则矩形的对角
线𝐴𝐶的长是( )
A. 2
B. 4
C. 2√3
D. 4√3
（2）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝑂，点𝑃在𝐴𝐷上，𝑃𝑀⊥𝐴𝐶于
点𝑀，𝑃𝑁⊥𝐵𝐷于点𝑁．若𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 8，则𝑃𝑀+𝑃𝑁=
．
典型例题3
如图：在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= √2𝐴𝐵，∠𝐵𝐴𝐷的平分线交𝐵𝐶于点𝐸，𝐷𝐻⊥𝐴𝐸于点𝐻，连
接𝐵𝐻并延长交𝐶𝐷于点𝐹，连接𝐷𝐸交𝐵𝐹于点𝑂，有下列结论：①∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐷；
②𝑂𝐸= 𝑂𝐷；③△𝐵𝐸𝐻≌△𝐻𝐷𝐹；④𝐵𝐶−𝐶𝐹= 2𝐸𝐻；⑤𝐴𝐵= 𝐹𝐻．其中正确的结论有( )
A. 5 个
B. 4 个
C. 3 个
D. 2 个
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第
2
讲
直
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拼
接
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究
20
典型例题4
如图，将矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿对角线𝐴𝐶折叠，使点𝐵落到点𝐵′ 的位置，𝐴𝐵
′ 与𝐶𝐷交于
点𝐸．
（1）试找出一个与△𝐴𝐸𝐷全等的三角形，并加以证明．
（2）若𝐴𝐵= 8，𝐷𝐸= 3，𝑃为线段𝐴𝐶上的任意一点，𝑃𝐺⊥𝐴𝐸于𝐺，𝑃𝐻⊥𝐸𝐶于𝐻，试求
𝑃𝐺+𝑃𝐻的值，并说明理由．
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第
2
讲
直
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21
典型例题5
如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐺中，点𝐷为𝐴𝐺上一点，且𝐵𝐷= 𝐵𝐶，𝐸𝐷平分∠𝐴𝐷𝐵，交𝐴𝐵于𝐸，
𝐵𝑁//𝐷𝐸，交𝐶𝐸于𝑁．
求证：
（1）𝐶𝐷⊥𝐷𝐸．
（2）𝐸𝑁= 𝐶𝑁．
（3）∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐵𝐸𝐶．
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2
讲
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22
模块二
模块二
矩形的判定
知识梳理
【矩形的判定】
1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2. 对角线相等的平行四边形是矩形．
3. 有三个角是90∘的四边形是矩形．
【注】存在一点到两对相对顶点的距离的平方和相等的平行四边形是矩形．
典型例题6
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷为𝐵𝐶的中点，四边形𝐴𝐵𝐷𝐸是平行四边形．探究四边
形𝐴𝐷𝐶𝐸的形状．
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第
2
讲
直
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角
形
拼
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究
23
典型例题7
如图，𝑂是矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线的交点，𝐸、𝐹、𝐺、𝐻分别是𝑂𝐴、𝑂𝐵、𝑂𝐶、𝑂𝐷上的点，且
𝐴𝐸= 𝐵𝐹= 𝐶𝐺= 𝐷𝐻．
（1）求证：四边形𝐸𝐹𝐺𝐻是矩形．
（2）若𝐸、𝐹、𝐺、𝐻分别是𝑂𝐴、𝑂𝐵、𝑂𝐶、𝑂𝐷的中点，且𝐷𝐺⊥𝐴𝐶，𝑂𝐹= 2cm，求矩形
𝐴𝐵𝐶𝐷的面积.
典型例题8
如图，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，𝐷𝐸= 𝐵𝐶，且∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸，求证：四边形𝐵𝐶𝐸𝐷是矩形．
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2
讲
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角
三
角
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24
随堂练习
随堂练习1
已知在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，两条对角线的交点为𝑂，若𝑂𝐴= 5，𝐴𝐵= 6，则𝐵𝐶=
．
随堂练习2
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是一张矩形纸片，𝐴𝐷= 2𝐴𝐵，若沿过点𝐷的折痕𝐷𝐸将𝐴角翻折，
使点𝐴落在𝐵𝐶上的𝐴1 处，则∠𝐸𝐴1𝐵=
∘．
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2
讲
直
角
三
角
形
拼
接
探
究
25
随堂练习3
已知：如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶与𝐵𝐷交于𝑂点，∠𝑂𝐴𝐵= ∠𝑂𝐵𝐴．
（1）求证：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形．
（2）作𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸，𝐶𝐹⊥𝐵𝐷于𝐹，求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
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第
2
讲
直
角
三
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形
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究
26
思维游戏
过关
在古代欧洲某个地方有这样一个规定：商人带着商品每经过
一个关口，就要被没收一半的钱币，再退还一个。有一个商人，在经
过10 个关口之后，只剩下2 个钱币了，你知道这个商人最初有多
少个钱币吗？
商人最初就只有2 个钱币。
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第3 讲
推理能力课——等
推理能力课——
等腰三角形拼接探究
模块一
菱形的性质及应用
模块二
菱形的判定
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第
3
讲
等
腰
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接
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模块一
模块一
菱形的性质及应用
知识梳理
【菱形的定义】
有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
【菱形的性质】
菱形除具有平行四边形的一切性质外，还具有下述性质：
性质1：菱形的四条边相等．
性质2：菱形的对角线互相垂直平分．
性质3：菱形的对角线平分一组对角．
性质4：菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线．
另外，菱形的面积除了可以用平行四边形面积的求法外，还可以用对角线乘积的一半来
计算．
典型例题1
（1）如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中∠𝐵= 50∘，点𝐸在𝐶𝐷上，若𝐴𝐸= 𝐴𝐶，则∠𝐵𝐴𝐸=
∘．
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
拼
接
探
究
31
（2）如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐴𝐶长为6，若𝐴𝐵= 5，过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为𝐸，则𝐴𝐸
的长为( )．
A. 4
B. 12
5
C. 24
5
D. 5
典型例题2
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，连接𝐵𝐷，与𝐴𝐶相交于点𝑂，延长𝐶𝐷至点𝐸且𝐶𝐷= 𝐷𝐸．
下列判断正确的有( )．
（1）∠𝐴𝑂𝐵= 90∘；
（2）𝐴𝐸= 2𝑂𝐷；
（3）∠𝑂𝐴𝐸= 90∘；
（4）∠𝐴𝐸𝑂= ∠𝐶𝐸𝑂．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
拼
接
探
究
32
典型例题3
如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，已知𝐸是𝐵𝐶上一点，且𝐴𝐸= 𝐴𝐵，∠𝐸𝐴𝐷= 2∠𝐵𝐴𝐸．
（1）求∠𝐵𝐴𝐷的度数．
（2）求证：𝐵𝐸= 𝐴𝐹．
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第
3
讲
等
腰
三
角
形
拼
接
探
究
33
模块二
模块二
菱形的判定
知识梳理
【菱形的判定】
1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2. 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
3. 四条边相等的四边形是菱形．
典型例题4
如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸、𝐹分别是边𝐴𝐷、𝐵𝐶上的点，且𝐴𝐸= 𝐶𝐹，直线𝐸𝐹分
别交𝐵𝐴的延长线、𝐷𝐶的延长线于点𝐺、𝐻，交𝐵𝐷于点𝑂．
（1）求证:△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹．
（2）连接𝐷𝐺，若𝐷𝐺= 𝐵𝐺，则四边形𝐵𝐸𝐷𝐹是什么特殊四边形？请说明理由．
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第
3
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形
拼
接
探
究
34
典型例题5
如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝑂，过点𝐴作𝐴𝑁//𝐵𝐷，过点𝐵作𝐵𝑁//𝐴𝐶，
两线相交于点𝑁．
（1）求证：𝐴𝑁= 𝐵𝑁．
（2）连接𝐷𝑁，交𝐴𝐶于点𝐹，若𝐷𝑁⊥𝑁𝐵于点𝑁，求∠𝐷𝑂𝐶的度数．
典型例题6
如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷在边𝐴𝐶上，𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 𝐷𝐸，连接𝐵𝐸，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸= 72∘．
（1）连接𝐶𝐸，求证：𝐶𝐸= 𝐵𝐸．
（2）分别延长𝐶𝐸、𝐴𝐵交于点𝐹，求证：四边形𝐷𝐵𝐹𝐸是菱形．
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第
3
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等
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形
拼
接
探
究
35
典型例题7
如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于𝐷，𝐶𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻，交𝐴𝐷于𝐹，
𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸．
（1）求证：四边形𝐶𝐷𝐸𝐹为菱形．
（2）若𝐴𝐶= 8，𝐴𝐵= 10，求𝐸𝐹的长．
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形
拼
接
探
究
36
典型例题8
已知，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，点𝐷为直线𝐵𝐶上一动点(点𝐷不与点𝐵、𝐶重合)．以𝐴𝐷
为边作菱形𝐴𝐷𝐸𝐹，使∠𝐷𝐴𝐹= 60∘，连接𝐶𝐹．
（1）如图①，当点𝐷在边𝐵𝐶上时，①求证：∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶；
②请直接判断结论∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐷𝐴𝐶是否成立．
（2）如图②，当点𝐷在边𝐵𝐶的延长线上时，其他条件不变，结论∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐷𝐴𝐶
是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出∠𝐴𝐹𝐶、∠𝐴𝐶𝐵、∠𝐷𝐴𝐶之间存
在的等量关系，并写出证明过程．
（3）如图③，当点𝐷在边𝐶𝐵的延长线上，且点𝐴、𝐹分别在直线𝐵𝐶的异侧时，
其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠𝐴𝐹𝐶、∠𝐴𝐶𝐵、∠𝐷𝐴𝐶之间存在的等量关系．
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37
随堂练习
随堂练习1
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是由两个全等的等腰三角形拼接而成，底边𝐴𝐶的长为6，连接𝐵𝐷，
𝐵𝐷= 8，𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于点𝐻，则𝐴𝐻的长等于( )．
A. 12
5
B. 4
C. 24
5
D. 5
随堂练习2
如图，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷，连接𝐴𝐶，过𝐴𝐶的中点𝑂作𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，交𝐵𝐶于点𝐸，交𝐴𝐷于点
𝐹，连接𝐴𝐸，𝐶𝐹．
（1）判断𝐴𝐸𝐶𝐹的形状，并说明理由．
（2）若𝐴𝐵= 6，𝐴𝐶= 10，𝐸𝐶= 25
4 ，求𝐸𝐹的长．
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三
角
形
拼
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究
38
随堂练习3
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐸//𝐴𝐷交𝐴𝐵于点𝐸．
（1）求证：四边形𝐴𝐸𝐶𝐷是菱形．
（2）若点𝐸是𝐴𝐵的中点，试判断△𝐴𝐵𝐶的形状，并说明理由．
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3
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三
角
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拼
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探
究
39
思维游戏
鸭梨怎么分
蕾蕾家里来了5 位同学。蕾蕾想用鸭梨来招待他们，可是家里
只有5 个一样大小的鸭梨，怎么办呢？应该每个人都有份且每份一
样多（蕾蕾也想尝尝鸭梨的味道）。那就只好把鸭梨切开了，可是
又不好切成碎块，蕾蕾希望每个鸭梨最多切成3 块。于是，这就又
面临一个难题：给6 个人平均分配5 个鸭梨，任何一个鸭梨都不能
切成3 块以上？蕾蕾想了一会儿就把问题给解决了。
你知道她是怎么分的吗？
鸭梨是这样分的：先把3 个鸭梨各切成两半，把这6 个半块分
给每人1 块。另两个鸭梨每个切成3 等块，这6 个1
3 也分给每人
1 块。于是，每个人都得到了一个半块和一个1
3 块，也就是说，6 个
人都平均分配到了鸭梨，而且每个鸭梨都没有切成多于3 块。
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第4 讲
推理能力课——等腰
推理能力课——
等腰直角三角形拼接
探究
模块一
正方形的性质与判定
模块二
正方形的特殊模型和解法
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第
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42
模块一
模块一
正方形的性质与判定
知识梳理
【正方形的定义】
有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形．
【正方形的性质】
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：
1. 边的性质：对边平行，四条边都相等．
2. 角的性质：四个角都是直角．
3. 对角线性质：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
4. 对称性：正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形．
典型例题1
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的外侧，作等边三角形𝐴𝐷𝐸，𝐴𝐶、𝐵𝐸相交于点𝐹，则∠𝐵𝐹𝐶为
( )．
A. 45∘
B. 55∘
C. 60∘
D. 75∘
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4
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43
典型例题2
如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为4，点𝐸在线段𝐵𝐷上，且∠𝐵𝐴𝐸= 22.5∘，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，垂足为
𝐹，则𝐸𝐹的长为( )．
A. 1
B. √2
C. 4−2√2
D. 3√2−4
典型例题3
如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为10，𝐴𝐺= 𝐶𝐻= 8，𝐵𝐺= 𝐷𝐻= 6，连接𝐺𝐻，则线段𝐺𝐻的
长为( )．
A. 8√3
5
B. 2√2
C. 14
5
D. 10−5√2
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44
知识梳理
【正方形的判定】
结合矩形和菱形的定义，有如下两条判定定理：
1. 有一组邻边相等的矩形是正方形．
2. 有一个内角是直角的菱形是正方形．
【注】正方形是特殊的矩形和菱形，所以也可以根据对角线性质进行判断：
1. 对角线相等的菱形是正方形
2. 对角线垂直的矩形是正方形．
典型例题4
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，点𝐸为𝐶𝐵延长线上的一点，连接𝐷𝐸交𝐴𝐵于𝐹，
连接𝐴𝐸，𝐴𝐸//𝐷𝐵．
（1）求证：𝐵𝐶= 𝐵𝐸．
（2）连接𝐶𝐹，若∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐵𝐶𝐹且𝐴𝐷= 2𝐴𝐹，探究四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的形状．
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4
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45
典型例题5
如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 6，𝐷𝐶= 8，四边形𝐸𝐹𝐺𝐻的三个顶点𝐸，𝐺，𝐻分别在长
方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵，𝐶𝐷，𝐷𝐴上，且𝐻𝐺= 𝐺𝐹= 𝐸𝐻= 𝐸𝐹，𝐴𝐻= 2，连接𝐶𝐹．
（1）若𝐷𝐺= 2，探究四边形𝐸𝐹𝐺𝐻的形状．
（2）若𝐷𝐺= 6，求△𝐹𝐶𝐺的面积．
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46
模块二
模块二
正方形的特殊模型和解法
知识梳理
【正方形弦图】
正方形弦图是由四个全等的直角三角形顺次连接而成的图形，其中包含“三垂直模型”．
1. 外弦图：条件：正方形𝐴𝐵𝐶𝐷、正方形𝐸𝐹𝐺𝐻
结论：△𝐴𝐵𝐹≌△𝐵𝐶𝐺≌△𝐶𝐷𝐻≌𝐷𝐴𝐸
2. 内弦图：条件：正方形𝐴𝐵𝐶𝐷、正方形𝐸𝐹𝐺𝐻
结论：△𝐴𝐸𝐻≌△𝐵𝐹𝐸≌△𝐶𝐺𝐹≌△𝐷𝐻𝐺
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47
典型例题6
如图，点𝐸在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐵𝐶上，连接𝐴𝐸，设点𝐵关于直线𝐴𝐸的对称点为点
𝐵′，且点𝐵′ 在正方形内部，连接𝐸𝐵′ 并延长交边𝐶𝐷于点𝐹，过点𝐸作𝐸𝐺⊥𝐴𝐸交射线
𝐴𝐹于点𝐺，连接𝐶𝐺．若𝐵𝐸= 17，则𝐶𝐺的长为
．
典型例题7
如图，把正方形𝐶𝐺𝐸𝐹的对角线𝐶𝐸放在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐵𝐶的延长线上(𝐶𝐺> 𝐵𝐶)，
取线段𝐴𝐸的中点𝑀．探究线段𝑀𝐷、𝑀𝐹的关系，并加以证明．
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48
典型例题8
在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2 的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷与边长为
2√2 的正方形𝐴𝐸𝐹𝐺按图1 位置放置，𝐴𝐷与𝐴𝐸在同一直线上，𝐴𝐵与𝐴𝐺在同一直线
上．
（1）小明发现𝐷𝐺⊥𝐵𝐸，请你帮他说明理由．
（2）如图2，小明将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷绕点𝐴逆时针旋转，当点𝐵恰好落在线段𝐷𝐺上时，
请你帮他求出此时𝐵𝐸的长．
（3）如图3，小明将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷绕点𝐴继续逆时针旋转，线段𝐷𝐺与线段𝐵𝐸将相交，
交点为𝐻，写出△𝐺𝐻𝐸与△𝐵𝐻𝐷面积之和的最大值，并简要说明理由．
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第
4
讲
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三
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形
拼
接
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究
49
典型例题9
如图，正方形𝑀𝑁𝐵𝐶内有一点𝐴，以𝐴𝐵、𝐴𝐶为边向△𝐴𝐵𝐶形外作正方形𝐴𝐵𝑅𝑇和正方
形𝐴𝐶𝑃𝑄，连接𝑅𝑀、𝐵𝑃．求证：𝐵𝑃//𝑅𝑀．
典型例题10
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷和正方形𝐷𝐸𝐹𝐺中，点𝐺在𝐶𝐷上，𝐷𝐸= 2，将正方形𝐷𝐸𝐹𝐺绕
点𝐷顺时针旋转60∘，得到正方形𝐷𝐸′𝐹′𝐺′，此时点𝐺′ 在𝐴𝐶上，连接𝐶𝐸′，则𝐶𝐸′ +
𝐶𝐺′ =( )
A. √2+√6
B. √3+1
C. √3+√2
D. √3+√6
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第
4
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50
随堂练习
随堂练习1
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的外侧，作等边△𝐴𝐵𝐸，则∠𝐵𝐸𝐷为( )
A. 15∘
B. 35∘
C. 45∘
D. 55∘
随堂练习2
如图，点𝐸是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中的一点，连接𝐸𝐵、𝐸𝐶、𝐸𝐴、𝐸𝐷，若△𝐸𝐵𝐶为等边三角形时，
则∠𝐸𝐴𝐷=
．
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4
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拼
接
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51
随堂练习3
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，如果𝐴𝐹= 𝐵𝐸，那么∠𝐴𝑂𝐷的度数是
∘．
随堂练习4
如图所示，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐹为直角∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，𝐹𝐷⊥𝐶𝐴于𝐷，𝐹𝐸⊥𝐵𝐶于𝐸，
请判断四边形𝐶𝐷𝐹𝐸的形状，并说明理由．
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第
4
讲
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腰
直
角
三
角
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拼
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究
52
思维游戏
音乐转灯
有一盏音乐转灯设计很独特：在中心红光外面包着7 层圆筒
壳，每层壳上都有1 个五角星的图案，当7 层壳上的五角星排成一
条直线时，这样中心红光可以透出五角星的图案。如果开始时7 个
五角星是对齐的，然后7 层筒壳一起匀速转动，但是转速却不一样：
每分钟第一层转1 圈，第二层转2 圈，第三层转3 圈，第四层转4
圈，第五层转5 圈，第六层转6 圈，第七层转7 圈。
请问：至少要多长时间以后，可以透出五角星图案来？
给那么多的条件只是为了迷惑你，请你仔细想一下，在一分钟
后，它们各自刚好转了整数圈，肯定又会恰好对齐。
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第5 讲
推理能力课——巧
推理能力课——
巧合三角形拼接探究
模块一
梯形的性质与判定
模块二
梯形的辅助线构造
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第
5
讲
巧
合
三
角
形
拼
接
探
究
56
模块一
模块一
梯形的性质与判定
知识梳理
【梯形的定义】
【等腰梯形的性质】
1. 两腰相等；
2. 同一底上的两个角相等；
3. 对角线相等．
【等腰梯形的判定】
1. 两腰相等的梯形是等腰梯形；
2. 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
3. 对角线相等的梯形是等腰梯形．
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第
5
讲
巧
合
三
角
形
拼
接
探
究
57
典型例题1
（1）下列说法正确的是( )
A. 梯形是特殊的平行四边形
B. 等腰梯形的两底角相等
C. 有两邻角相等的梯形是等腰梯形
D. 有且只有一组相邻角为直角的四边形是直角梯形
（2）如图，在等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂，以下四个结论：
①∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐶𝐵，②𝑂𝐴= 𝑂𝐷，③∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐵𝐷𝐶，④𝑆△𝐴𝑂𝐵= 𝑆△𝐷𝑂𝐶．
其中正确的是( )
A. ①②
B. ①④
C. ②③④
D. ①②④
典型例题2
已知：如图，𝐴𝑀是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐷是线段𝐴𝑀的中点，𝐴𝑀= 𝐴𝐶，𝐴𝐸//𝐵𝐶．
求证：四边形𝐸𝐵𝐶𝐴是等腰梯形．
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5
讲
巧
合
三
角
形
拼
接
探
究
58
典型例题3
如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，∠𝐵= 60∘，𝐵𝐶= 2．点𝑂是𝐴𝐶的中点，过点𝑂的直线
𝑙从与𝐴𝐶重合的位置开始，绕点𝑂作逆时针旋转，交𝐴𝐵边于点𝐷．过点𝐶作𝐶𝐸//𝐴𝐵
交直线𝑙于点𝐸，设直线𝑙的旋转角为𝛼．
（1）①当𝛼=
∘时，四边形𝐸𝐷𝐵𝐶是等腰梯形，此时𝐴𝐷的长为
；
②当𝛼=
∘时，四边形𝐸𝐷𝐵𝐶是直角梯形，此时𝐴𝐷的长为
．
（2）当𝑎= 90∘时，判断四边形𝐸𝐷𝐵𝐶是否为菱形，并说明理由．
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5
讲
巧
合
三
角
形
拼
接
探
究
59
典型例题4
如图1 所示，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是等腰梯形，𝐴𝐵//𝐷𝐶、由4 个这样的等腰梯形可以拼出图2
所示的平行四边形．
图1
图2
（1）求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷四个内角的度数．
（2）试探究四边形𝐴𝐵𝐶𝐷四条边之间存在的等量关系，并说明理由
（3）现有图2 中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大
致的示意图．
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5
讲
巧
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角
形
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究
60
模块二
模块二
梯形的辅助线构造
知识梳理
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5
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三
角
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究
61
典型例题5
（1）如图，在等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，若𝐴𝐷= 2，𝐵𝐶= 8 ，梯形的高是3，则∠𝐵的
度数是
．
（2）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐷= 2∠𝐵，若𝐴𝐷= 𝑎，𝐴𝐵= 𝑏，则𝐶𝐷的长是
．
典型例题6
如图，在等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，对角线𝐴𝐶⊥𝐵𝐷于点𝑂，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，垂足分
别为𝐸、𝐹，设𝐴𝐷= 4，𝐵𝐶= 10，则四边形𝐴𝐸𝐹𝐷的周长是
，梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积
为
．
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讲
巧
合
三
角
形
拼
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究
62
典型例题7
如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷= 2，𝐴𝐶= 4，𝐵𝐶= 6，𝐵𝐷= 8，求梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．
典型例题8
如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐸为𝐷𝐶的中点，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵于𝐹．
求证：梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积= 𝐴𝐵⋅𝐸𝐹．
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巧
合
三
角
形
拼
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探
究
63
典型例题9
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是直角梯形，𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐴= 90∘，过𝐵作𝐵𝐻⊥𝐷𝐶交线段𝐷𝐶于𝐻，
∠𝐵𝐷𝐶= 45∘，𝐵𝐻= 4√3，𝐻𝐶= 4．点𝑃在𝐵𝐻上，𝑄在线段𝐴𝐵上，且𝑃𝐻= 𝐵𝑄.
（1）求∠𝐶的度数．
（2）设𝑃𝑄与𝐵𝐷交于点𝑀，当△𝐵𝑀𝑃是以𝑀𝑃为腰的等腰三角形时，请直接写出𝑃𝐻
的值．
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5
讲
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合
三
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形
拼
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探
究
64
典型例题10
如图，已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为等腰梯形，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐴𝐷= √2，𝐸为𝐶𝐷的中点，连
接𝐴𝐸，且𝐴𝐸= 2√3，∠𝐷𝐴𝐸= 30∘，作𝐴𝐹⊥𝐴𝐸交𝐵𝐶于𝐹，求𝐵𝐹的长度．
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5
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三
角
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究
65
随堂练习
随堂练习1
下列命题中正确的是( )
A. 对角线相等的梯形是等腰梯形
B. 有两个角相等的梯形是等腰梯形
C. 一组对边平行的四边形一定是梯形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形
随堂练习2
在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐴= 60∘，∠𝐵= 30∘，𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 6，则𝐴𝐵的长度为
．
随堂练习3
如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐶⊥𝐷𝐵，𝐴𝐶= 5，∠𝐷𝐵𝐶= 30∘．
（1）求对角线𝐵𝐷的长度．
（2）求梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．
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第
5
讲
巧
合
三
角
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拼
接
探
究
66
思维游戏
盒子里的鸡蛋
往一只盒子里放鸡蛋，假定盒子里的鸡蛋数目每分钟增加一
倍，一小时后，盒子满了。
请问：在什么时候是半盒子鸡蛋？
盒子里的鸡蛋在60 分钟时全满，一分钟之前，即59 分钟的时
候是半盒子鸡蛋。
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第6 讲
推理能力课——中
推理能力课——
中点问题综合探究
模块一
中位线
模块二
中点四边形
模块三
中点问题综合进阶
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6
讲
中
点
问
题
综
合
探
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70
模块一
模块一
中位线
知识梳理
【中位线的定义】
连接三角形两边中点的线段称为三角形的中位线．
一个三角形有
条中位线．
【中位线定理】
三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
如图，若𝐷𝐸为△𝐴𝐵𝐶的中位线，则𝐷𝐸//𝐵𝐶，且𝐷𝐸= 1
2𝐵𝐶．
典型例题1
如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂，𝐸是𝐴𝐵中点，且𝐴𝐸+𝐸𝑂= 4，
则平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为( )
A. 20
B. 16
C. 12
D. 8
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6
讲
中
点
问
题
综
合
探
究
71
典型例题2
如图△𝐴𝐵𝐶的周长为96cm，连接各边中点得到第二个三角形，再连接第二个三角形各边
中点得到第三个三角形，这样顺次连接下去，那么第5 个三角形的周长等于( )．
A. 3cm
B. 4cm
C. 6cm
D. 16cm
知识梳理
【三角形中位线的性质】
三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形，且每个三角形的周长为原三
角形的一半，面积为原三角形的1
4.
如图，𝐸𝐹、𝐺𝐸、𝐺𝐹为△𝐴𝐵𝐶的三条中位线，则有：
1. △𝐴𝐸𝐺≌△𝐸𝐵𝐹≌△𝐺𝐹𝐶≌△𝐹𝐺𝐸
2. 𝐶△𝐸𝐹𝐺= 1
2𝐶△𝐴𝐵𝐶
3. 𝑆△𝐸𝐹𝐺= 1
4𝑆△𝐴𝐵𝐶
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第
6
讲
中
点
问
题
综
合
探
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72
典型例题3
如图所示，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝑀、𝑁、𝑃分别是𝐴𝐷、𝐵𝐶、𝐵𝐷的中点，
∠𝐴𝐵𝐷= 20∘，∠𝐵𝐷𝐶= 70∘，∠𝑃𝑀𝑁为
度．
融会贯通1
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐴𝐷的中点，连接𝐸𝐹并延长，分别
与𝐵𝐴、𝐶𝐷的延长线交于点𝑀、𝑁，求证：∠𝐵𝑀𝐸= ∠𝐶𝑁𝐸．
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讲
中
点
问
题
综
合
探
究
73
典型例题4
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 1
2𝐵𝐶，以𝐵𝐶为底作等腰直角△𝐵𝐶𝐷，𝐸是𝐶𝐷的中点．
求证：𝐴𝐸⊥𝐸𝐵且𝐴𝐸= 𝐵𝐸．
典型例题5
如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于𝐸，𝑀为𝐵𝐶的中点，𝐴𝐵= 14cm，
𝐴𝐶= 10cm，则𝑀𝐸的长为
．
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第
6
讲
中
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问
题
综
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74
典型例题6
如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷和正方形𝐶𝐸𝐹𝐺，𝑂为正方形𝐴𝐵𝐶𝐷对角线交点，𝑄为正方形𝐶𝐸𝐹𝐺
对角线交点，𝑀为𝐵𝐸中点，求证：△𝑂𝑀𝑄为等腰直角三角形．
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75
模块二
模块二
中点四边形
典型例题7
顺次连接四边形各边中点所得的四边形是( )
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 以上都不对
知识梳理
【中点四边形】
顺次连结一个四边形四边中点所得四边形称为中点四边形．
如图，四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是顺次连结四边形𝐴𝐵𝐶𝐷四条边中点所形成的四边形. 称之为原
四边形的中点四边形．
中点四边形题型思路是作出四边形对角线，构造三角形中位线进行求解或证明．
探索中点四边形是否为特殊的平行四边形取决于原四边形的两条对角线是否相等或垂
直．
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76
平行四边形的中点四边形是
；
矩形的对角线
，它的中点四边形是
；
菱形的对角线
，它的中点四边形是
；
正方形的对角线
，它的中点四边形是
；
梯形的中点四边形是
；
等腰梯形的对角线
，它的中点四边形是
．
典型例题8
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝑀、𝑁、𝑃、𝑄分别是𝐴𝐷、𝐵𝐶、𝐵𝐷、𝐴𝐶的中点．求证：
𝑀𝑁与𝑃𝑄互相垂直平分．
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77
典型例题9
如图，点𝑃是四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内一点，且满足𝑃𝐴= 𝑃𝐵，𝑃𝐶= 𝑃𝐷，∠𝐴𝑃𝐵= ∠𝐶𝑃𝐷= 90∘，点
𝐸，𝐹，𝐺，𝐻分别为边𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷，𝐷𝐴的中点，求证：中点四边形𝐸𝐹𝐺𝐻是正方形．
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78
模块三
模块三
中点问题综合进阶
典型例题10
已知如图，𝐵𝐷、𝐶𝐸是锐角△𝐴𝐵𝐶的两条高，过顶点𝐵、𝐶分别作𝐸𝐷的垂线𝐵𝐹、𝐶𝐺，垂
足分别为点𝐹、𝐺，求证：𝐸𝐹= 𝐷𝐺．
典型例题11
如图，在五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷= 90∘，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷，𝐹为𝐶𝐷的中点．求
证：𝐵𝐹= 𝐸𝐹．
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79
随堂练习
随堂练习1
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐹、𝐸、𝐷分别是𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐶𝐴的中点，若△𝐴𝐵𝐶的周长为12cm，则
△𝐷𝐸𝐹的周长是
cm．
随堂练习2
如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐷、𝐸分别是𝐵𝐶、𝐴𝐶的中点，𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐷𝐸于𝐹，若𝐵𝐶= 6，则
𝐷𝐹的长是
．
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80
随堂练习3
如图，𝐷是△𝐴𝐵𝐶内一点，𝐵𝐷⊥𝐶𝐷，𝐴𝐷= 6，𝐵𝐷= 4，𝐶𝐷= 3，𝐸、𝐹、𝐺、𝐻分别是𝐴𝐵、𝐴𝐶、
𝐶𝐷、𝐵𝐷的中点，求四边形𝐸𝐹𝐺𝐻的周长．
随堂练习4
如图，△𝐴𝐵𝐶的周长为26，点𝐷,𝐸都在边𝐵𝐶上，∠𝐴𝐵𝐶的平分线垂直于𝐴𝐸，垂足为
𝑄,∠𝐴𝐶𝐵的平分线垂直于𝐴𝐷，垂足为𝑃，若𝐵𝐶= 10，则𝑃𝑄的长为
．
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81
随堂练习5
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷= 90∘，𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点𝐸，点𝐺、𝐻分别是
𝐴𝐶、𝐵𝐷的中点．若∠𝐵𝐸𝐶= 80∘，那么∠𝐺𝐻𝐸等于( )
A. 5∘
B. 10∘
C. 20∘
D. 30∘
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82
思维游戏
称粮食
大米、小米和玉米分别装在3 只袋子里，它们的重量都在35
斤到40 斤之间。
用一台最小量程为50 斤的磅秤，最少称几次就能称出小米、
大米和玉米各重多少斤？
最少称3 次。把大米和玉米、玉米和小米、大米和小米分别两
袋一起称。把3 次的重量加起来除以2，就得到一袋大米、一袋小
米和一袋玉米的总重量。然后把总重量分别减去大米和玉米、玉米
和小米、大米和小米的重量，就能算出小米、大米和玉米各重多少
了。
其实核心是应用了方程组进行求解。
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