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第
0
讲
请
设
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文
内
容
2
“
”
很开心能见到你，本书将带领你进入全新的领域。在过去
的学习中，无论你是卓越还是略有失意，此刻将是新的征途的开
始。你是否已准备好谱写新的辉煌？
在这里，你会知道许多著名数学家的趣事。你也会揭开数学
神秘的面纱，了解数学之美。
大数学家高斯说：“数学是一切科学的皇后。”如果说物理是
上帝的游戏，那数学就是上帝的游戏规则。数学是通往星辰大海
的秘钥，是国防科技的护盾，是我们脚下这片土地的未来。华罗
庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”
现在的你，肯定已迫不及待想要扬帆起航。但睿智的你肯定
也明白，学习的事，容不得半点含糊。
亲爱的同学：
第一，凡事预则立，不预则废。
第二，认真听课，积极互动。认真做笔记，总结解题方法、技巧。
第三，温故而知新，可以为师矣。不忘温习，方得始终。
第四，及时完成随堂练习。今朝有题今朝做，明朝又有明朝事。
第五，整理错题，学会总结。聪明人知错就改，糊涂人有错就瞒。
最后，青春的帆已扬起，只待你乘风破浪，勇往直前。
对于初中直播课学习，给你一些建议：
序言
华
罗
庚
高
斯
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0
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内
容
3
1
心形函数曲线
π
5
2
3
4
金字塔
有趣的黄金分割线
对称美
古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线条和其他一切
美的形体都必须有对称的形式。”对称本身即具有和谐的
整体美。
早在南北朝时期，大数学家祖冲之就利用割圆术将圆周
率π精算到小数点后七位，直到15世纪，阿拉伯数学
家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
金字塔，是古埃及人智慧代表的巅峰之作。早在古希腊
时期，几何学家泰勒斯就可以根据投影与相似三角形定
理，测量出金字塔的高度。
0.618比1，著名的“黄金分割比”。意大利著名画家
达·芬奇笔下的《蒙娜丽莎》就多次应用黄金分割比，
蒙娜丽莎之所以越看越美，就是因为她的脸型、身材均
符合黄金矩形。
笛卡尔给公主的信中，只有一道函数公式：r=a(1-sinθ）。
而极具浪漫色彩的是，当公主把函数图象画出来后，一颗饱满
的心跃然纸上。这就是著名的“心形线”。
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【相交线与平行线】 能熟练运用平行线
的性质和判定来解决平
行线的证明、平行线间
的动点问题；
【数域拓展课】 实数易错概念辨析
【数形思想课】 平面直角坐标系中的面
积问题
【数形思想课】 平面直角坐标系中的规
律探究
【运算能力课】 含参二元一次方程（组）
【运算能力课】 含参不等式（组）
【实际应用课】 列方程、不等式解应用
题
【动态探究课】 平面直角坐标系中的动
点问题
【运算能力课】 有理数的运算技巧
【数形思想课】 有理数与数轴结合、分
类讨论、绝对值的代数
意义与几何意义
【动态探究课】 数轴上的动态问题
【运算能力课】 整式与整体思想、巧解
一元一次方程与含参一
元一次方程
【实际应用课】 方案选择与阶梯计价
【几何思维课】 线与角的分类讨论、动
态问题
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容
7
希望学教研团队
亲爱的同学：
当你翻开这本书的时候，你又开始了一段新的学习之旅。
本书由希望学教研团队编写而成。团队有多年的教研沉淀，致力于
为同学们提供小学、初中和高中全学科的课外有益补充，培养学生分
析问题和自主解决问题的能力。锻炼思维，开拓视野，由“知识型”
向“能力型”转化。
下面我们将向你介绍本书的诞生过程：
1、对标教材和课程标准建立课程大纲
希望学教研团队根据教育部审定的最新中学教材，选取重难点模
块，收集各地区题目，精心敲定教学大纲。
2、依据大数据、编撰高标准
①依托多年教研沉淀，精品题库、讲义素材、课件切片等四大库教
研基建，为讲义编撰提供优质素材；
②希望学大数据核心算法定位学习中的薄弱环节；
③百人教研团队，历经1000+小时，严格按照大纲目录进行编写，
三轮审核三轮校对。
3、三审三校
初稿经由希望学教研中心内部一审，学科产品、教学中心、主讲老
师集中二审，外部专家专业三审后进入校对环节。
由编者一次精校；教研中心资深教研员二次精校；排版团队三次精
校。只有经过全面的三审三校，这本书才能发送给我们的用户！
4、排版
编撰与审校结束后，会安排专业团队进行排版印刷。模板和风格由
专业设计师进行设计，并不断更新迭代，紧跟审美风向标，提升可读
性。由供应部门统一调配和发货，这本书就会到达你的手中啦！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！接下来的每一天，我们都会在
你的见证下不断精进，不断成长。
未来，希望学也会继续承担起用科技推动教育进步的重任，不断致
力于教育资源的均衡发展。伴随着你的成长，见证着你的成功，每天
进步一点点，一起做更好的自己！
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目录
第6 讲
应用意识课——因式分解
初步
1
模块一
因式分解概念
3
模块二
提公因式法和公式法
5
模块三
拆添项法
9
模块四
拓广探索
12
【习题课】因式分解初步
16
第7 讲
应用意识课——因式分解
重要方法
21
模块一
十字相乘法
24
模块二
主元法
29
模块三
拓广探索
30
【习题课】因式分解重要方法
34
第8 讲
应用意识课——因式分解
进阶技巧
39
模块一
因式定理
41
模块二
待定系数法
45
模块三
拓广探索
48
【习题课】因式分解进阶技巧
52
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第9 讲
运算能力课——分式
55
模块一
分式概念与性质
58
模块二
分式运算
60
模块三
分式恒等变形
64
模块四
拓广探索
66
【习题课】分式
70
第10 讲
运算能力课——分式方程
及含参问题
73
模块一
分式方程
76
模块二
分式方程含参问题
78
模块三
分式拆分
80
模块四
拓广探索
81
【习题课】分式方程及含参问题
85
半期阶段复习
(选取最新试题，班主任发送电子版讲义)
第11 讲
运算能力课——二次根式
89
模块一
二次根式的定义与性质
92
模块二
二次根式的乘除
95
模块三
二次根式的加减
97
模块四
拓广探索
99
【习题课】二次根式
103
第12 讲
推理能力课——勾股定理
107
模块一
勾股定理
109
模块二
勾股定理逆定理
114
模块三
拓广探索
116
【习题课】勾股定理
120
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第6 讲
应用意识课——
应用意识课——
因式分解初步
模块一
因式分解概念
模块二
提公因式法和公式法
模块三
拆添项法
模块四
拓广探索
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第
6
讲
因
式
分
解
初
步
2
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
因式分解
概念
因式分解概念
★★★
例1
随堂练习1
提公因式法
和公式法
提公因式法
★★★
例2
随堂练习2
公式法
★★★
例3、4
提公因式法和
公式法综合
★★★★
例5
随堂练习3、4
拆添项法
拆添项法
★★★★
例6、7
★★★★★
例8、9
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第
6
讲
因
式
分
解
初
步
3
模块一
模块一
因式分解概念
知识梳理
整式乘法和因式分解是方向相反的变形.
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，又叫分解因
式.
【注意】
因式分解结果书写规范
①结果一定是乘积的形式；
②每一个因式都是整式；
③相同的因式的积要写成幂的形式；
④没有大括号和中括号；
⑤每个因式中不能含有同类项，如果需要合并同类项，合并后要注意能否再分解；
⑥单项式因式写在多项式因式的前面；
⑦每个多项式因式第一项系数一般不为负；
⑧若无特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为
止.
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第
6
讲
因
式
分
解
初
步
4
【举例】
𝑥2 −1 = (𝑥+1)(𝑥−1) 是因式分解；
𝑥+1 = 𝑥(1+ 1
𝑥) 不是因式分解；
(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦) = 𝑥2 −𝑦2 不是因式分解；
𝑥2 +3𝑥−2 = 𝑥(𝑥+3)−2 不是因式分解.
知识模型
判断是否因式分解
典型例题1
下列各式属于因式分解的是( )．
A. 3𝑎𝑏𝑐3 = 3𝑐⋅𝑎𝑏𝑐2
B. 6𝑥2 +9𝑥+3 = 3(2𝑥2 +3𝑥)
C. 𝑥2 −2𝑥−1 = 𝑥(𝑥−2)−1
D. 4𝑡2 −9 = (2𝑡+3)(2𝑡−3)
知识模型
已知因式分解结果求参数
融会贯通1
已知多项式𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐因式分解的结果为(𝑥−1)(𝑥+2)，则𝑏+𝑐的值为( )．
A. −1
B. −2
C. 2
D. 0
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第
6
讲
因
式
分
解
初
步
5
模块二
模块二
提公因式法和公式法
知识梳理
因式分解的基本方法
提公因式法
如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公
因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
确定公因式的方法
1. 系数——取多项式各项系数的最大公约数；
2. 字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式) 的最低次幂．
【举例】𝑎+𝑎2 = 𝑎(1+𝑎).
【举例】4𝑥2 +2𝑥3 = 2𝑥2 (2+𝑥).
公式法
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种
因式分解的方法叫做公式法．
常用公式有：
（1）𝑎2 −𝑏2 = (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)．
（2）𝑎2 +2𝑎𝑏+𝑏2 = (𝑎+𝑏)2；𝑎2 −2𝑎𝑏+𝑏2 = (𝑎−𝑏)2．
（3）𝑎3 +𝑏3 = (𝑎+𝑏)(𝑎2 −𝑎𝑏+𝑏2)；𝑎3 −𝑏3 = (𝑎−𝑏)(𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏2)
知识模型
提公因式法
典型例题2
𝑥3𝑦−2𝑥2𝑦−𝑥𝑦进行因式分解正确的是( )．
A. 𝑥𝑦(𝑥−1)2
B. 𝑥𝑦(𝑥2 −2𝑥)
C. 𝑥(𝑥𝑦−2𝑦−𝑦)
D. 𝑥𝑦(𝑥2 −2𝑥−1)
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第
6
讲
因
式
分
解
初
步
6
融会贯通2
分解因式：2𝑎(𝑎−3)2 −6𝑎2(3−𝑎)−8𝑎(𝑎−3)．
知识模型
公式法
典型例题3
分解因式：(3𝑚−1)2 −(2𝑚−3)2．
融会贯通3
因式分解：9(𝑥+𝑦)2 −4(𝑥−𝑦)2．
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第
6
讲
因
式
分
解
初
步
7
融会贯通4
因式分解：81𝑎4 −𝑏4．
典型例题4
因式分解：(𝑚+𝑛)2 −6𝑚2 +6𝑛2 +9(𝑚−𝑛)2．
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第
6
讲
因
式
分
解
初
步
8
知识模型
提公因式法和公式法综合
典型例题5
分解因式：𝑥2(𝑎−𝑏)2 −𝑦2(𝑏−𝑎)2
融会贯通5
分解因式：𝑎𝑛+2 +8𝑎𝑛+16𝑎𝑛−2．
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第
6
讲
因
式
分
解
初
步
9
模块三
模块三
拆添项法
知识梳理
拆添项法：拆项与添项
在对所给多项式直接分组难以进行因式分解时，常常可以通过拆项或添项，创造出提取
公因式或运用乘法公式进行因式分解的条件，使原式的某些项之间能够建立起联系，便
于采用分组法进行因式分解．拆项和添项都是代数式的恒等变形．拆、添项法常见于次数
比较高的式子．
1. 拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项．
如：𝑥3 −9𝑥+8
= 𝑥3 −𝑥−8𝑥+8
= 𝑥(𝑥2 −1)−8(𝑥−1)
= 𝑥(𝑥+1)(𝑥−1)−8(𝑥−1)
= (𝑥−1)(𝑥2 +𝑥−8)
2. 添项：在代数式中添上和为零的几项，叫做添项．
如：𝑎4 +4
= 𝑎4 +4𝑎2 −4𝑎2 +4
= (𝑎2 +2)
2 −(2𝑎)2
= (𝑎2 +2𝑎+2)(𝑎2 −2𝑎+2)
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第
6
讲
因
式
分
解
初
步
10
知识模型
拆添项凑公式
典型例题6
因式分解：𝑥4 +4𝑦4．
典型例题7
因式分解：𝑥2 +𝑦2 −𝑥2𝑦2 −4𝑥𝑦−1．
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第
6
讲
因
式
分
解
初
步
11
知识模型
根据系数关系进行拆添项
典型例题8
分解因式：3𝑥3 +2𝑥−5．
典型例题9
分解因式：𝑥3 +5𝑥2 +3𝑥−9．
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第
6
讲
因
式
分
解
初
步
12
模块四
模块四
拓广探索
典型例题10
分解因式：9𝑥4 −3𝑥3 +7𝑥2 −3𝑥−2．
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第
6
讲
因
式
分
解
初
步
13
随堂练习
随堂练习1
下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )．
A. 9−𝑎2 = (3+𝑎)(3−𝑎)
B. 𝑥2 −2𝑥= (𝑥2 −𝑥)−𝑥
C. (𝑥+2) = 𝑥(1+ 2
𝑥)
D. 𝑦(𝑦−2) = 𝑦2 −2𝑦
随堂练习2
把代数式3𝑥3 −12𝑥2 +12𝑥分解因式，结果正确的是( )
A. 3𝑥(𝑥2 −4𝑥+4)
B. 3𝑥(𝑥−4)2
C. 3𝑥(𝑥+2)(𝑥−2)
D. 3𝑥(𝑥−2)2
随堂练习3
把多项式4𝑥2𝑦−4𝑥𝑦2 −𝑥3 分解因式的结果是( )．
A. 4𝑥𝑦(𝑥−𝑦)−𝑥3
B. −𝑥(𝑥−2𝑦)2
C. 𝑥(4𝑥𝑦−4𝑦2 −𝑥2)
D. −𝑥(−4𝑥𝑦+4𝑦2 +𝑥2)
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第
6
讲
因
式
分
解
初
步
14
随堂练习4
（1）因式分解：6𝑥𝑦2 −9𝑥2𝑦−𝑦3．
（2）−3𝑎+12𝑎2 −12𝑎3．
（3）𝑎2(𝑥+𝑦)−25(𝑥+𝑦)．
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第
6
讲
因
式
分
解
初
步
15
思维游戏
思维游戏——鸡蛋不破
你拿一个生鸡蛋，让它自由下落。在地上没有任何铺垫物的情
况下，你能够使鸡蛋下落1 米而不破吗？
可以。只要将生鸡蛋的高度拿到1 米以上，然后让鸡蛋自由下
落，当它下落了1 米的时候，并没有碰到地面，当然不会破。
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第
6
讲
因
式
分
解
初
步
16
“三精”习题课
第 讲
6
因式分解初步
进阶拓展1
频率：高
分解因式：𝑏𝑐(𝑏+𝑐)+𝑐𝑎(𝑐−𝑎)−𝑎𝑏(𝑎+𝑏)．
睛
点
法
方
提公因式法
𝑎+𝑏= (𝑏+𝑐)−(𝑐−𝑎)
进阶拓展2
频率：高
分解因式：(5𝑥2 +2𝑥−3)
2 −(𝑥2 −2𝑥−3)
2．
睛
点
法
方
提公因式法+ 公式法
平方差公式：𝑎2 −𝑏2 = (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)
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第
6
讲
因
式
分
解
初
步
17
进阶拓展3
频率：较高
分解因式：−2𝑥5𝑛−1𝑦𝑛+4𝑥3𝑛−1𝑦𝑛+2 −2𝑥𝑛−1𝑦𝑛+4．
睛
点
法
方
提公因式法+ 公式法
完全平方公式：𝑎2 −2𝑎𝑏+𝑏2 = (𝑎−𝑏)2
进阶拓展4
频率：高
分解因式：𝑥4 +𝑥2𝑦2 +𝑦4．
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6
讲
因
式
分
解
初
步
18
进阶拓展5
频率：高
分解因式：𝑎4 +64𝑏4．
进阶拓展6
频率：较高
分解因式：3𝑥3 +𝑥2 +5𝑥+7．
睛
点
法
方
拆添项法：通过拆项或添项，凑出常见公式，进一步进行因式分解
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第7 讲
应用意识课——因
应用意识课——
因式分解重要方法
模块一
十字相乘法
模块二
主元法
模块三
拓广探索
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第
7
讲
因
式
分
解
重
要
方
法
22
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
十字相乘法
二次项系数为±1 的
十字相乘法
★★★
例1
随堂练习1-3
二次项系数不为±1
的十字相乘法
★★★
例2
随堂练习4
应用整体思想的十字
相乘法
★★★★
例3
随堂练习5
系数为整式的十字相
乘法
★★★★★
例4
双十字相乘法
★★★★★
例5
主元法
主元法
★★★★★
例6
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第
7
讲
因
式
分
解
重
要
方
法
23
知识引入
字母也需要交叉合作，以此找到自己的完美组合。
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第
7
讲
因
式
分
解
重
要
方
法
24
模块一
模块一
十字相乘法
知识梳理
十字相乘法
1. 计算：
（1）(𝑥+2)(𝑥+3) =
；
（2）(𝑥+1)(𝑥+7) =
；
通过以上计算，总结规律并填空．
(𝑥+𝑝)(𝑥+𝑞) = (____)2 +(_______)𝑥+(____)
2. 这个方法也可以推广到二次项系数不为1 的情形
𝑎𝑐𝑥2 +(𝑎𝑑+𝑏𝑐)𝑥+𝑏𝑑= (𝑎𝑥+𝑏)(𝑐𝑥+𝑑)
大招
总结
十字相乘法，可以概括为16 个字：
“首尾分解，交叉相乘，求和凑中，横向书写”．
知识模型
二次项系数为±1 的十字相乘法
典型例题1
把下列各式因式分解：
（1）𝑥2 −12𝑥−45．
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第
7
讲
因
式
分
解
重
要
方
法
25
（2）−𝑥2 −3𝑥+28．
（3）−𝑥2 +𝑥𝑦+2𝑦2．
融会贯通1
多项式𝑥2 +𝑝𝑥+12 可分解为两个一次因式的积，则整数𝑝所有可能的取值有
个．
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7
讲
因
式
分
解
重
要
方
法
26
知识模型
二次项系数不为±1 的十字相乘法
典型例题2
分解因式：
（1）−3𝑎2 +7𝑎−4．
（2）12𝑥2 −11𝑥𝑦−15𝑦2．
知识模型
应用整体思想的十字相乘法
典型例题3
（1）用十字相乘法因式分解：(𝑎+2)2 +5(𝑎+2)−36．
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第
7
讲
因
式
分
解
重
要
方
法
27
（2）分解因式：(𝑥2 +4𝑥)
2 −(𝑥2 +4𝑥)−20．
知识模型
系数为整式的十字相乘法
典型例题4
（1）分解因式：𝑘𝑥2 +(2𝑘−3)𝑥+𝑘−3．
（2）分解因式：(𝑎2 −3𝑎+2)𝑥2 +(2𝑎2 −4𝑎+1)𝑥𝑦+(𝑎2 −𝑎)𝑦2．
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第
7
讲
因
式
分
解
重
要
方
法
28
知识梳理
双十字相乘法
适用范围: 适用于对形如𝐴𝑥2 +𝐵𝑥𝑦+𝐶𝑦2 +𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹的二次多项式进行因式分解．
条件1：𝑎1𝑎2 = 𝐴,𝑐1𝑐2 = 𝐶,𝑓1𝑓2 = 𝐹
条件2：𝑎1𝑐2 +𝑎2𝑐1 = 𝐵,𝑐1𝑓2 +𝑐2𝑓1 = 𝐸,𝑎1𝑓2 +𝑎2𝑓1 = 𝐷
即：
则：𝐴𝑥2 +𝐵𝑥𝑦+𝐶𝑦2 +𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹
= (𝑎1𝑥+𝑐1𝑦+𝑓1)(𝑎2𝑥+𝑐2𝑦+𝑓2)
知识模型
双十字相乘法
典型例题5
双十字相乘法分解因式：𝑥2 −6𝑥𝑦+9𝑦2 −5𝑥𝑧+15𝑦𝑧+6𝑧2．
融会贯通2
双十字相乘法分解因式：2𝑎2 −7𝑎𝑏−22𝑏2 −5𝑎+35𝑏−3．
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7
讲
因
式
分
解
重
要
方
法
29
模块二
模块二
主元法
典型例题6
分解因式：𝑥3 −𝑎𝑥2 −2𝑎𝑥+𝑎2 −1．
融会贯通3
分解因式：(𝑎+𝑏)𝑐3 −(𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏2)𝑐2 +𝑎2𝑏2．
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第
7
讲
因
式
分
解
重
要
方
法
30
模块三
模块三
拓广探索
典型例题7
分解因式：(𝑥+1)(𝑥+3)(𝑥+5)(𝑥+7)+15
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7
讲
因
式
分
解
重
要
方
法
31
随堂练习
随堂练习1
多项式𝑥2 −4𝑥−12 可以因式分解成( )．
A. 𝑥(𝑥−4)−12
B. (𝑥−2)(𝑥+6)
C. (𝑥+2)(𝑥−6)
D. (𝑥+3)(𝑥−4)
随堂练习2
十字相乘法分解因式：𝑥2 −5𝑥−36．
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第
7
讲
因
式
分
解
重
要
方
法
32
随堂练习3
分解因式：𝑥2 −10𝑥𝑦−24𝑦2．
随堂练习4
分解因式：3𝑥2 −5𝑥+2．
随堂练习5
分解因式：(𝑚+𝑛)2 −2(𝑚+𝑛)(𝑝+𝑞)−15(𝑝+𝑞)2．
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第
7
讲
因
式
分
解
重
要
方
法
33
思维游戏
思维游戏——称糖1
有一个两臂不一样长却处于平衡状态的天平，给你2 个500
克的砝码，如何称出1 千克的糖？
两个砝码放左边，右边放糖，平衡后把左边的砝码换成糖即可。
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第
7
讲
因
式
分
解
重
要
方
法
34
“三精”习题课
第 讲
7
因式分解重要方法
进阶拓展1
频率：较高
分解因式：1+𝑎+𝑏+𝑐+𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑏𝑐+𝑎𝑏𝑐．
睛
点
法
方
挑选𝑎,𝑏,𝑐中任意一个为主元，其他视为参数，进行因式分解
进阶拓展2
频率：高
用十字相乘法因式分解：2(2𝑎2 +1)
2 −3(2𝑎2 +1)−9．
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第
7
讲
因
式
分
解
重
要
方
法
35
进阶拓展3
频率：高
因式分解：2(𝑎−𝑏)4 −4𝑏2(𝑎−𝑏)2 −16𝑏4．
睛
点
法
方
把其中一部分视为一个整体，利用十字相乘进行因式分解
进阶拓展4
频率：较高
分解因式：6𝑥2 −5𝑥𝑦−6𝑦2 −2𝑥𝑧−23𝑦𝑧−20𝑧2．
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第
7
讲
因
式
分
解
重
要
方
法
36
进阶拓展5
频率：较高
因式分解．6𝑥2 +2𝑦2 +3𝑧2 −7𝑥𝑦−5𝑦𝑧+9𝑥𝑧．
睛
点
法
方
双十字相乘法
适用范围：适用于对形如𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦+ 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥+ 𝐸𝑦+ 𝐹的二次多项式进行因式分
解．
举例：𝑥2 +𝑥𝑦−6𝑦2 +𝑥+13𝑦−6
则原式= (𝑥−2𝑦+3)(𝑥+3𝑦−2)
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第8 讲
应用意识课——因
应用意识课——
因式分解进阶技巧
模块一
因式定理
模块二
待定系数法
模块三
拓广探索
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第
8
讲
因
式
分
解
进
阶
技
巧
40
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
因式定理
因式定理直接应用
★★★
例1
随堂练习3
因式定理—
首1 多项式
★★★★
例2
★★★★★
例3
因式定理—
非首1 多项式
★★★★★
例4
随堂练习4
待定系数法
待定系数法直接应用
★★★★
例5
随堂练习1
待定系数法分解因式
★★★★★
例6
随堂练习2
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第
8
讲
因
式
分
解
进
阶
技
巧
41
模块一
模块一
因式定理
知识引入
就像知晓原理后要敢于去做实验一样，
试根法的关键在于掌握方法后要敢于尝试！
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第
8
讲
因
式
分
解
进
阶
技
巧
42
知识梳理
1. 因式定理
若𝑎是方程𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +⋯+𝑎1𝑥+𝑎0 = 0(𝑎𝑛≠0) 的根，
则(𝑥−𝑎) 为多项式𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +⋯+𝑎1𝑥+𝑎0 (𝑎𝑛≠0) 的一个因式；
反之，如果多项式𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +⋯+𝑎1𝑥+𝑎0 (𝑎𝑛≠0) 有因式(𝑥−𝑎)，
则𝑎是方程𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +⋯+𝑎1𝑥+𝑎0 = 0(𝑎𝑛≠0) 的根.
2. 试根法
利用因式定理，可以根据方程𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +⋯+𝑎1𝑥+𝑎0 = 0(𝑎𝑛≠0) 的根，求出多
项式𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +⋯+𝑎1𝑥+𝑎0 (𝑎𝑛≠0) 的一次因式，进而进行因式分解．
求方程𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +⋯+𝑎1𝑥+𝑎0 = 0(𝑎𝑛≠0) 的根的一个方法:
设𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + … +𝑎1𝑥+𝑎0 为整系数多项式，𝑝是常数项𝑎0 的因数，𝑞是首项
系数𝑎𝑛的因数，当这个多项式等于零时，它的根一定可以写成𝑝
𝑞这种形式.
【举例】
多项式2𝑥3 −𝑥2 −5𝑥−2，𝑎0 = −2 的因数为±1，±2；𝑎𝑛= 2 的因数也为±1，±2．所以
2𝑥3 −𝑥2 −5𝑥−2 = 0 的有理根只能是±1，±2，±1
2 中的数．
知识模型
因式定理直接应用
典型例题1
（1）若多项式𝑥2 −𝑚𝑥+𝑛（𝑚、𝑛是常数）分解因式后，有一个因式是𝑥−3，则3𝑚−𝑛的
值为
．
（2）多项式2𝑥4 −3𝑥3 +𝑎𝑥2 +7𝑥+𝑏能被𝑥2 +𝑥−2 整除，求𝑎
𝑏的值．
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第
8
讲
因
式
分
解
进
阶
技
巧
43
知识模型
因式定理—首1 多项式
典型例题2
（1）分解因式：𝑥3 −4𝑥2 +6𝑥−4．
（2）分解因式：𝑥3 −(𝑎+𝑏+𝑐)𝑥2 +(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)𝑥−𝑎𝑏𝑐．
典型例题3
（1）分解因式：𝑥5 +𝑥4 −12𝑥3 −4𝑥2 +11𝑥+3．
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8
讲
因
式
分
解
进
阶
技
巧
44
（2）分解因式：𝑥6 +2𝑥5 +3𝑥4 +4𝑥3 +3𝑥2 +2𝑥+1．
知识模型
因式定理—非首1 多项式
典型例题4
分解因式：4𝑥4 +8𝑥3 +11𝑥2 +10𝑥+3．
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8
讲
因
式
分
解
进
阶
技
巧
45
模块二
模块二
待定系数法
知识引入
若𝑥4 +2𝑥3 +3𝑥2 +2𝑥+1 = (𝑥2 +𝑎𝑥+𝑏)(𝑥2 +𝑐𝑥+𝑑), 你知道𝑎、𝑏、𝑐、𝑑是下面哪个数
字吗？
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第
8
讲
因
式
分
解
进
阶
技
巧
46
知识梳理
待定系数法：
如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等．
即，如果𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+𝑎1𝑥1 +𝑎0 = 𝑏𝑛𝑥𝑛+𝑏𝑛−1𝑥𝑛−1 +𝑏𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+
𝑏1𝑥1 +𝑏0 恒成立，那么𝑎𝑛= 𝑏𝑛，𝑎𝑛−1 = 𝑏𝑛−1，…，𝑎1 = 𝑏1，𝑎0 = 𝑏0．
举例：若𝑥取任意值，等式𝑥2 +2𝑥+3 = 𝑥2 +(3−𝑎)𝑥+𝑠恒成立，则𝑎=
.
【注意】
待定系数法的使用前提是知道所需要求的代数式的形式，根据代数式的形式把不确
定的部分设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解．
知识模型
待定系数法直接应用
典型例题5
已知多项式𝑥4 +𝑥2 +1 有因式𝑥2 +𝑥+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．
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讲
因
式
分
解
进
阶
技
巧
47
知识模型
待定系数法分解因式
典型例题6
分解因式：𝑥4 +𝑥3 +𝑥2 +2．
融会贯通1
分解因式：𝑥4 +𝑥3 +2𝑥2 −𝑥+3．
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8
讲
因
式
分
解
进
阶
技
巧
48
模块三
模块三
拓广探索
典型例题7
请判断多项式𝑥4 −𝑥2 +1 是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．
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第
8
讲
因
式
分
解
进
阶
技
巧
49
随堂练习
随堂练习1
已知𝑥2 −𝑥−1 是𝑎𝑥3 +𝑏𝑥2 +1 的一个因式，则𝑏的值为( )．
A. −2
B. −1
C. 1
D. 2
随堂练习2
若𝑥2 +2𝑥+3 是𝑥4 +𝑎𝑥2 +𝑏的一个因式，𝑎的值为
，𝑏的值为
．
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8
讲
因
式
分
解
进
阶
技
巧
50
随堂练习3
若多项式𝑥4 +3𝑥3 +8𝑥2 −𝑘𝑥+11 能被𝑥+3 整除，试求𝑘的值．
随堂练习4
分解因式：2𝑥3 −𝑥2 −5𝑥−2．
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8
讲
因
式
分
解
进
阶
技
巧
51
思维游戏
思维游戏——称糖2
用一个只能称100 克以上物品重量的天平，称3 个重量都比
50 克大一点但都达不到100 克的糖。
请问：你用什么办法能准确地称出它们各自的重量？
分别把三块糖设编号为1、2、3。我们可以先称出1 号和2 号
两块糖的总重量，然后再把3 号糖放上去，称出这三块糖的总重量。
这样，用它们的总重量减去1、2 两块糖的重量，就得到了3 号糖的
重量。以此类推，可以分别称出1 号、3 号糖的重量和2 号、3 号糖
的重量，用总的重量去减，就得到了2 号和1 号糖的重量。
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第
8
讲
因
式
分
解
进
阶
技
巧
52
“三精”习题课
第 讲
8
因式分解进阶技巧
进阶拓展1
频率：中
分解因式：𝑥3 −5
3𝑥2 −11
3 𝑥−1．
进阶拓展2
频率：较高
分解因式：𝑥3 −9𝑥2𝑦+26𝑥𝑦2 −24𝑦3．
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8
讲
因
式
分
解
进
阶
技
巧
53
进阶拓展3
频率：中
分解因式：3𝑥5 +𝑥4 +8𝑥3 +11𝑥2 +7𝑥+6．
睛
点
法
方
因式定理
试根法→确定一个因式→大除法→得到其他因式→确定因式分解结果
进阶拓展4
频率：较高
用待定系数法分解因式：𝑥5 +𝑥4 +1．
睛
点
法
方
待定系数法
设系数→展开系数对应相等→确定系数→得到因式分解结果
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第9 讲
运算能力课
运算能力课——
分式
模块一
分式概念与性质
模块二
分式运算
模块三
分式恒等变形
模块四
拓广探索
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第
9
讲
分
式
56
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
分式概念
与性质
分式的定义
★★★
例1
分式有意义& 分式值为0
★★★
例2
分式运算
分式乘除运算
★★★
例3
随堂练习4
分式通分
★★★★
例4
随堂练习1
分式加减运算
★★★★
例5
随堂练习2
分式混合运算
★★★★★
例6
随堂练习5
分式恒等
变形
设参法
★★★★
例7
随堂练习3
公式法
★★★★
例8
倒数法
★★★★★
例9
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第
9
讲
分
式
57
知识引入
分式要求分母中含有字母，看起来可怕，但只要弄清定义、性质，它也就是个“纸老虎”.
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第
9
讲
分
式
58
模块一
模块一
分式概念与性质
知识梳理
分式的概念
两个整式𝐴、𝐵相除，即𝐴÷𝐵时，可以表示为𝐴
𝐵．如果𝐵中含有字母，那么𝐴
𝐵叫做分式
（Fraction），𝐴叫分式的分子，𝐵叫分式的分母．
举例：2
𝑎，1
𝑎𝑥+1.
分式有意义(或分式存在) 的条件
分式的分母不等于零，即𝐵≠0．
举例：使
1
𝑥+1 有意义的条件是𝑥≠−1.
分式的值为零的条件
分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零．
即当𝐴= 0 且𝐵≠0 时，𝐴
𝐵= 0．
举例：使𝑥−1
𝑥+1 值为零的𝑥值为1.
分式的基本性质
分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即
𝐴
𝐵= 𝐴×𝑀
𝐵×𝑀，𝐴
𝐵= 𝐴÷𝑀
𝐵÷𝑀（其中𝑀是不等于零的整式）
【举例】𝑥−𝑦
𝑥𝑦
= (𝑥−𝑦)𝑦
𝑥𝑦𝑦
= 𝑥𝑦−𝑦2
𝑥𝑦2
.
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第
9
讲
分
式
59
知识模型
分式的定义
典型例题1
在式子1
𝑎、2𝑥𝑦
𝜋、3𝑎2𝑏3𝑐
4
、5
6+𝑥、𝑥
7 + 𝑦
8、9𝑥+ 10
𝑦中，分式有( )
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
知识模型
分式有意义& 分式值为0
典型例题2
下列结论：①无论𝑎取何值，𝑎
𝑎2 +1 都有意义；②𝑎= −1 时，分式𝑎+1
𝑎2 −1 的值为0；③若
𝑥2 +1
𝑥+1 的值为负，则𝑥的取值范围是𝑥< −1；④若𝑥+1
𝑥+2 ÷ 𝑥+1
𝑥
有意义，则𝑥的取值范
围是𝑥≠−2 且𝑥≠0，其中正确的是( )．
A. ①③④
B. ①②③
C. ①③
D. ①④
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第
9
讲
分
式
60
模块二
模块二
分式运算
知识梳理
约分
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．
【举例】
5𝑎𝑏
20𝑎2𝑏= 1
4𝑎；
𝑥2 −9
𝑥2 −6𝑥+9 = (𝑥+3)(𝑥−3)
(𝑥−3)2
= 𝑥+3
𝑥−3．
大招
总结
（1）化简分式时，如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数
的最大公因数、相同的因式的最低次幂；
如果分子、分母是多项式，先分解因式，再约分．
（2）化简分式时要将分式化成最简分式或整式．
分式的乘除
（1）分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母.
用式子表示：𝑎
𝑏⋅𝑐
𝑑= 𝑎𝑐
𝑏𝑑.
（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
用式子表示：𝑎
𝑏÷ 𝑐
𝑑= 𝑎
𝑏⋅𝑑
𝑐= 𝑎𝑑
𝑏𝑐.
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第
9
讲
分
式
61
知识模型
分式乘除运算
典型例题3
计算：(𝑥𝑦−𝑥2)÷ 𝑥2 −2𝑥𝑦+𝑦2
𝑥𝑦
÷ 𝑥2
𝑥−𝑦．
知识梳理
分式的通分
1. 将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分．
2. 通分先要确定公分母，如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的最小公倍数与
字母因式的最高次幂的积作为公分母．这样的公分母叫做最简公分母．
举例：2
3𝑎2 与
1
6𝑎𝑏，最简公分母是6𝑎2𝑏，2
3𝑎2 =
4𝑏
6𝑎2𝑏，1
6𝑎𝑏=
𝑎
6𝑎2𝑏.
3
𝑥−1 与
1
𝑥+1，最简公分母是(𝑥+1)(𝑥−1)，3
𝑥−1 =
3(𝑥+1)
(𝑥+1)(𝑥−1)，
1
𝑥+1 =
𝑥−1
(𝑥+1)(𝑥−1).
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第
9
讲
分
式
62
知识模型
分式通分
典型例题4
通分：把
−1
3𝑎+6，
2
𝑎2 +2𝑎+1，
𝑎
𝑎2 +3𝑎+2 通分后，各分式的分子之和为
.
知识梳理
分式的加减
1. 同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减.
用式子表示：𝑎
𝑐± 𝑏
𝑐= 𝑎±𝑏
𝑐
．
2. 异分母分式相加减， 先通分，变为同分母的分式，再加减.
用式子表示：𝑎
𝑏± 𝑐
𝑑= 𝑎𝑑
𝑏𝑑± 𝑏𝑐
𝑏𝑑= 𝑎𝑑±𝑏𝑐
𝑏𝑑
．
知识模型
分式加减运算
典型例题5
计算：𝑎−𝑏+𝑐
𝑎+𝑏−𝑐−𝑎−2𝑏+3𝑐
𝑏−𝑐+𝑎+ 𝑏−2𝑐
𝑐−𝑎−𝑏．
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第
9
讲
分
式
63
知识模型
分式混合运算
典型例题6
先化简，再求值：(
3
𝑎+1 −𝑎+1) ÷
𝑎2 −4
𝑎2 +2𝑎+1，并从−2 ⩽𝑎⩽2 中取一个你认为合适的整
数作为𝑎的值代入求值．
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第
9
讲
分
式
64
模块三
模块三
分式恒等变形
知识模型
设参法
典型例题7
已知𝑥
3 = 𝑦
4 = 𝑧
6 ≠0，则𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥
𝑥2 +𝑦2 +𝑧2 =
．
知识模型
公式法
典型例题8
（1）若𝑥−1
𝑥= 1，则𝑥2 + 1
𝑥2 的值是( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 4
（2）若𝑥2 −3𝑥+1 = 0，则
𝑥2
𝑥4 +𝑥2 +1 的值为
．
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9
讲
分
式
65
知识模型
倒数法
典型例题9
已知三个数𝑎、𝑏、𝑐满足
𝑎𝑏
𝑎+𝑏= 1
3，𝑏𝑐
𝑏+𝑐= 1
4，𝑐𝑎
𝑐+𝑎= 1
5．求
𝑎𝑏𝑐
𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎的值．
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第
9
讲
分
式
66
模块四
模块四
拓广探索
典型例题10
计算：1
𝑎+ 1
𝑏(1+ 1
𝑎)+ 1
𝑐(1+ 1
𝑎)(1+ 1
𝑏)+ 1
𝑑(1+ 1
𝑎)(1+ 1
𝑏)(1+ 1
𝑐)−(1+ 1
𝑎)(1+ 1
𝑏)
(1+ 1
𝑐)(1+ 1
𝑑)
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第
9
讲
分
式
67
随堂练习
随堂练习1
把分式
1
𝑥(𝑥−𝑦)，
1
𝑦(𝑥+𝑦)，
1
𝑥2 −𝑦2 进行通分，它们的最简公分母是( )
A. 𝑥(𝑥−𝑦)
B. 𝑦(𝑥+𝑦)
C. 𝑥𝑦(𝑥2 −𝑦2)
D. 𝑥𝑦(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)(𝑥2 −𝑦2)
随堂练习2
计算
2
𝑎−2 −
𝑎
𝑎−2 的结果是( )
A. 1
B. −1
C. 2
D. −2
随堂练习3
若𝑎
2 = 𝑏
3 = 𝑐
4 ≠0，则2𝑎2 −3𝑏𝑐+𝑐2
𝑎2 −2𝑎𝑏−𝑐2 的值是( )
A. 1
3
B. −1
3
C. 1
2
D. −1
2
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第
9
讲
分
式
68
随堂练习4
计算：
1
𝑥2 −4𝑥+4 ⋅𝑥2 −4
𝑥
=
．
随堂练习5
化简：(2−𝑥−1
𝑥+1)÷ 𝑥2 +6𝑥+9
𝑥2 −1
．
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第
9
讲
分
式
69
思维游戏
思维游戏——移数字
请移动下面等式中的一个数字（只能是数字，不能将数字对
调，也不能移动符号），使等式成立。
将102 改为10 的2 次方。
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第
9
讲
分
式
70
“三精”习题课
第 讲
9
分式
进阶拓展1
频率：高
( 4𝑥3 −2𝑥2
2𝑥2 +𝑥−1 −3𝑥3
𝑥+1)÷(1−
𝑥
𝑥+1)÷𝑥2．
进阶拓展2
频率：高
先化简3𝑥−6
𝑥−1 −𝑥+1
𝑥
÷ 𝑥2 −1
𝑥2 −3𝑥，并求𝑥取什么整数时，该式的值为整数．
睛
点
法
方
分离常数
当分子次数与分母次数相同时，可将其化为一个常数与一个分式的和或差．
例如：3𝑥+1
𝑥−2 = 3(𝑥−2)+7
𝑥−2
= 3+
7
𝑥−2．
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第
9
讲
分
式
71
进阶拓展3
频率：较高
若𝑥+ 1
𝑥= 3，求
𝑥3 + 1
𝑥3 +7
𝑥4 + 1
𝑥4 +3
的值．
睛
点
法
方
分式恒等变形
𝑥2 + 1
𝑥2 = (𝑥+ 1
𝑥)
2
−2
𝑥4 + 1
𝑥4 = (𝑥2 + 1
𝑥2)
2
−2
进阶拓展4
频率：较高
已知𝑎𝑏𝑐= 1，𝑎+𝑏+𝑐= 2，𝑎2 +𝑏2 +𝑐2 = 3，求
1
𝑎𝑏+𝑐−1 +
1
𝑏𝑐+𝑎−1 +
1
𝑐𝑎+𝑏−1 的值．
睛
点
法
方
分式恒等变形
将一个代数式换成一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形（或恒等变换）．从恒等
变形的意义来看，是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，变形前和变形后的
两个代数式值是相等的，也就是“形”变“值”不变．
常见方法有：分离常数、裂项、倒数法等
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第10 讲
运算能力课——分
运算能力课——
分式方程及含参问题
模块一
分式方程
模块二
分式方程含参问题
模块三
分式拆分
模块四
拓广探索
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第
10
讲
分
式
方
程
及
含
参
问
题
74
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
分式概念
与性质
解分式方程
★★★
例1-2
随堂练习1、4、5
巧解分式方程
★★★
例3
分式运算
已知分式方程解
的情况求参数
★★★★
例4
随堂练习2
已知分式方程
有增根求参数
★★★★
例5
已知分式方程
无解求参数
★★★★
例6
随堂练习3
分式拆分
部分分式
★★★★★
例7
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第
10
讲
分
式
方
程
及
含
参
问
题
75
知识引入
思考：𝑥2
𝑥= 0 和𝑥= 0 是一回事儿吗？
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10
讲
分
式
方
程
及
含
参
问
题
76
模块一
模块一
分式方程
知识梳理
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的解
使分式方程等号左右两边相等且分母不等于0 的未知数的值，叫做分式方程的解．
可化为一元一次方程的分式方程
解分式方程的关键是去分母，将其转化为已学过的整式方程再求解．
解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：
1、去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；
2、解这个整式方程：移项→合并同类项→两边同除以未知数的系数→得出方程的解；
3、验根：把得到的方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不为零的值是原方程的根
(保证题目中的分式有意义)．
分式方程的增根问题
1. 在分式方程变形时，有时可能产生不适合原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的
增根．
2. 增根需满足的两个条件：
（1）增根是去分母后解整式方程所得的根；
（2）增根能使分式的分母等于0.
3. 解分式方程产生增根的原因：
增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，分式方程化为整式方程的过
程必须两边乘一个适当的整式，由于这个整式可能是零，使本不相等的两边也相等了，
这时就可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
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讲
分
式
方
程
及
含
参
问
题
77
知识模型
解分式方程
典型例题1
（1）解分式方程：3
2 −
2𝑥
3𝑥−1 =
7
6𝑥−2．
（2）解分式方程．
𝑥
𝑥+1 −1 =
3
(𝑥+1)(𝑥−2)．
典型例题2
解分式方程：1
𝑥−6 −
1
𝑥−3 =
1
𝑥−5 −
1
𝑥−2．
知识模型
巧解分式方程
典型例题3
解关于𝑥的方程：𝑥−1
𝑥−2 + 𝑥−7
𝑥−8 = 𝑥−3
𝑥−4 + 𝑥−5
𝑥−6．
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10
讲
分
式
方
程
及
含
参
问
题
78
模块二
模块二
分式方程含参问题
知识梳理
分式方程的含参问题主要有如下几类考法：
1. 已知方程无解或方程有增根，求参数的值．
这类问题需要我们理解增根的含义，转化为整式方程无解或整式方程的解使得最简公
分母的值为零．
2. 已知分式方程解的范围，求参数范围.
这类问题需将参数作为常数进行解方程的运算，最后去掉增根的情况即可.
3. 已知不等式组的解集情况，以及分式方程解的情况，求参数范围.
这类问题结合不等式组相关问题，需结合二者解的情况进行分析，注意增根情况.
知识模型
已知分式方程解的情况求参数
典型例题4
若关于𝑥的分式方程
2𝑥
𝑥−1 −3 =
𝑚
1−𝑥的解为正数，则𝑚的取值范围是
．
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分
式
方
程
及
含
参
问
题
79
知识模型
已知分式方程有增根求参数
典型例题5
若关于𝑥的分式方程𝑥−𝑎
𝑥−2 + 2𝑎
2−𝑥= 6 有增根，则𝑎的值为
．
知识模型
已知分式方程无解求参数
典型例题6
若关于𝑥的方程
𝑎𝑥
𝑥−1 =
2
𝑥−1 +1 无解，则𝑎的值是( )．
A. 1
B. 3
C. −1 或2
D. 1 或2
融会贯通1
已知关于𝑥的分式方程
2
𝑥−1 +
𝑚𝑥
(𝑥−1)(𝑥+2) =
1
𝑥+2，若方程无解，求𝑚的值．
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分
式
方
程
及
含
参
问
题
80
模块三
模块三
分式拆分
典型例题7
阅读材料，解决问题：
对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分
式叫作真分式．如
2𝑥2
6𝑥3 +9𝑥−7 就是一个真分式．有时候需要把一个真分式化成几个更简
单的真分式的代数和，如
2𝑥
𝑥2 −4 =
1
𝑥−2 +
1
𝑥+2，像这种恒等变形，称为真分式化为部分分
式．将一个真分式化为部分分式时，一般将分式的分母因式分解，再根据分母的次数假设
分解后的部分分式，最后用待定系数法求解．
如果分式的分母中含有因式(𝑥−𝑎)𝑛，那么设相应的部分分式为：
𝐴
𝑥−𝑎+
𝐵
(𝑥−𝑎)2 +
𝐶
(𝑥−𝑎)3 +⋯+
𝑀
(𝑥−𝑎)𝑛，
（其中𝐴、𝐵、𝐶……𝑀为待定常数）
请你根据以上信息，解决下列问题：
（1）已知
5𝑥+11
2𝑥2 +7𝑥−4 =
𝐴
2𝑥−1 +
𝐵
𝑥+4，求𝐴、𝐵的值．
（2）将
8
𝑥2 −4𝑥部分分式分解．
（3）请将
𝑥2 +1
(𝑥+1)2(𝑥+2)
化为部分分式．
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第
10
讲
分
式
方
程
及
含
参
问
题
81
模块四
模块四
拓广探索
典型例题8
解关于𝑥的方程：𝑎(𝑥+𝑛)
𝑥+𝑚
+ 𝑏(𝑥+𝑚)
𝑥+𝑛
= 𝑎+𝑏．
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10
讲
分
式
方
程
及
含
参
问
题
82
随堂练习
随堂练习1
分式方程
1
𝑥−2 = 1−𝑥
2−𝑥−3 的解是( )
A. 𝑥= 0
B. 𝑥= 2
C. 𝑥= −2
D. 无解
随堂练习2
关于𝑥的分式方程
𝑚
𝑥+1 = −1 的解是负数，则𝑚的取值范围是( )．
A. 𝑚> −1
B. 𝑚> −1 且𝑚≠0
C. 𝑚⩾−1
D. 𝑚⩾−1 且𝑚≠0
随堂练习3
已知关于𝑥的分式方程𝑥+𝑚
𝑥−3 −1 = 1
𝑥无解，则𝑚的值是( )
A. −2 或−3
B. 0 或3
C. −3 或3
D. −3 或0
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10
讲
分
式
方
程
及
含
参
问
题
83
随堂练习4
解分式方程：2
𝑥+1 +
1
1−𝑥=
4
𝑥2 −1．
随堂练习5
解方程：4−2𝑥
𝑥2 −4 + 3𝑥
𝑥+2 = 3．
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10
讲
分
式
方
程
及
含
参
问
题
84
思维游戏
思维游戏——一封军事情报
某军总司令部截获一份秘密情报。经过初步破译得知，下月初，
敌军的三个师的士兵将分东西两路再次发动进攻。在东路集结的部
队人数为“ETWQ”, 从西路进攻的部队人数为“FEFQ”，东西两路总
兵力为“AWQQQ”，但到底是多少却无从得知，通过又一情报得知：
W=4。后来，苦思不得其解的密码竟然被一位数学老师破译了。
你知道数学老师是怎么破译的吗?
E=7 , W=4 , F=6 , T=2 , Q=0 。东路兵力是7240，西路兵力
是6760，总兵力是14000。细心分析，可以发现只能是Q+Q=Q，而
不可能是Q+Q=2Q，故Q=0；同样，只能是W+F=10 ，T+E+1=10 ，
E+F+1=10+W 。所以有3 个式子：
（1）W+F=10 ，
（2）T+E=9 ，
（3）
E+F=9+W ，可以推出2W=E+1，所以E=7，F=6，T=2，A=1，Q=0。
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第
10
讲
分
式
方
程
及
含
参
问
题
85
“三精”习题课
第 讲
10
分式方程及含参问题
进阶拓展1
频率：高
如果关于𝑥的不等式组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥−𝑚
2
> 0
𝑥−4 < 3(𝑥−2)
的解集为𝑥> 1，且关于𝑥的分式方程1−𝑥
2−𝑥+
𝑚
𝑥−2 = 3 有非负整数解，则符合条件的𝑚的所有值的和是( )
A. −2
B. −4
C. −7
D. −8
进阶拓展2
频率：高
若数𝑎使关于𝑥的不等式组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥−1
2
< 1+𝑥
3
5𝑥−2 ⩾𝑥+𝑎
有且只有四个整数解，且使关于𝑦的方程
𝑦+𝑎
𝑦−1 + 2𝑎
1−𝑦= 2 的解为非负数，则符合条件的整数𝑎的值为
．
睛
点
法
方
含参分式方程与不等式组结合
已知不等式组的解集情况，以及分式方程解的情况，求参数范围.
这类问题结合不等式组相关问题，需结合二者解的情况进行分析，注意增根情况.
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10
讲
分
式
方
程
及
含
参
问
题
86
进阶拓展3
频率：较高
对于两个不相等的非零实数𝑎、𝑏，若分式(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)
𝑥
的值为零，则𝑥= 𝑎或𝑥= 𝑏．
又因为(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)
𝑥
= 𝑥2 −(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎𝑏
𝑥
= 𝑥+ 𝑎𝑏
𝑥−(𝑎+𝑏)，
所以关于𝑥的方程𝑥+ 𝑎𝑏
𝑥= 𝑎+𝑏有两个解，分别为𝑥1 = 𝑎，𝑥2 = 𝑏．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程𝑥+ 8
𝑥= 6 的两个解中较大的一个为
．
（2）关于𝑥的方程𝑥+ 𝑚−𝑛
𝑚𝑛𝑥= 𝑚+4𝑚𝑛−𝑛
2𝑚𝑛
的两个解分别为𝑥1、𝑥2（𝑥1 < 𝑥2），若𝑥1 与
𝑥2 互为倒数，则𝑥1 =
，𝑥2 =
．
（3）关于𝑥的方程2𝑥+ 𝑛2 +2𝑛−3
2𝑥−1
= 2𝑛+3 的两个解分别为𝑥1、𝑥2（𝑥1 < 𝑥2），求𝑥2 −2
2𝑥1
的值．
睛
点
法
方
新定义问题
解决新定义运算类问题，关键是要正确理解新定义的算式的含义，严格按照新定义
的运算顺序，将数值代人算式中，再把它转化为一般的有理数运算，然后进行运算．
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第11 讲
运算能力课—
运算能力课——
二次根式
模块一
二次根式的定义与性质
模块二
二次根式的乘除
模块三
二次根式的加减
模块四
拓广探索
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11
讲
二
次
根
式
90
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
二次根式
的定义与
性质
二次根式的概念
★★★
例1
随堂练习1
二次根式的化简
★★★
例2
二次根式化简与数轴结合
★★★★
例3
二次根式的非负性
★★★★★
例4
二次根式
的乘除
最简二次根式
★★★
例5
随堂练习2
二次根式的乘除运算
★★★★
例6
二次根式
的加减
同类二次根式
★★★
例7
随堂练习3
二次根式的加减运算
★★★
例8
二次根式的混合运算
★★★★★
例9
随堂练习4
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第
11
讲
二
次
根
式
91
知识引入
想一想
若下图中的方桌面积是𝑎，那你知道它的边长怎么表示吗？
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第
11
讲
二
次
根
式
92
模块一
模块一
二次根式的定义与性质
知识梳理
二次根式的相关概念
1．定义：一般地，我们把形如√𝑎（𝑎⩾0）的式子叫做二次根式，
“√
”称为二次根号，𝑎
叫做被开方数．
【举例】√2，√𝑥−1（𝑥⩾1）．
2．二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．
【举例】二次根式√𝑥−1 有意义的条件是𝑥⩾1．
二次根式的性质
1．二次根式的双重非负性：
对于√𝑎：①𝑎⩾0，②√𝑎⩾0．
2．(√𝑎)2 = 𝑎（𝑎⩾0）
3．√𝑎2 = |𝑎| =
⎧{{{{
⎨{{{{⎩
𝑎(𝑎> 0)
0(𝑎= 0)
−𝑎(𝑎< 0)
【注】√𝑎2 = |𝑎| =
⎧{{
⎨{{⎩
𝑎(𝑎⩾0)
−𝑎(𝑎< 0)
；√𝑎2 = |𝑎| =
⎧{{
⎨{{⎩
𝑎(𝑎> 0)
−𝑎(𝑎⩽0)
．
【举例】√(−3)2=3，√(𝑥+1)2 = |𝑥+1|=
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥+1(𝑥⩾−1)
−𝑥−1(𝑥< −1)
．
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第
11
讲
二
次
根
式
93
知识模型
二次根式的概念
典型例题1
下列各式中，二次根式有( )
①√1
3；②√−3；③−√𝑥2 +1；④
3√8；⑤√(1
3)
2
；⑥√1−𝑥；⑦√𝑥2 +2𝑥+3．
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
知识模型
二次根式的化简
典型例题2
若√(2𝑎−1)2 = 1−2𝑎，则𝑎的取值范围是
．
知识模型
二次根式化简与数轴结合
典型例题3
已知实数𝑎，𝑏，𝑐在数轴上的位置如图所示，化简：|𝑎|−√(𝑎+𝑐)2 +√(𝑐−𝑎)2 −√𝑏2．
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第
11
讲
二
次
根
式
94
知识模型
二次根式的非负性
典型例题4
已知√3𝑥+5𝑦−2−𝑚+√2𝑥+3𝑦−𝑚= √𝑥−199+𝑦⋅√199−𝑥−𝑦，则𝑚=
。
融会贯通1
已知实数𝑎，𝑏，𝑐满足√−𝑎2 +𝑎−𝑏−2+√−𝑏2 −3𝑏+𝑎−3+√𝑐2 −6𝑐−2𝑏+14 = 3，则𝑎+𝑏
+𝑐=
．
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11
讲
二
次
根
式
95
模块二
模块二
二次根式的乘除
知识梳理
二次根式的乘除法则
1．乘法法则：√𝑎√𝑏= √𝑎𝑏（𝑎⩾0，𝑏⩾0）．
2．除法法则：√𝑎
√𝑏
= √𝑎
𝑏（𝑎⩾0，𝑏> 0）．
最简二次根式
1．我们把满足
(1) 被开方数中不含分母
(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根
式．
知识模型
最简二次根式
典型例题5
下列二次根式中，最简二次根式的个数是( )
√6𝑥−1，√𝑎2 +𝑏2，√2𝑎𝑏2，√0.5𝑎𝑏，√𝑎
3，√𝑏
4 ，√24𝑥，√𝑥2 −4𝑥+4．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
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11
讲
二
次
根
式
96
知识模型
二次根式的乘除运算
典型例题6
计算：6√13
5 ÷2√2×(−1
2
√60)．
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11
讲
二
次
根
式
97
模块三
模块三
二次根式的加减
知识梳理
同类二次根式
某些二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二
次根式．
【举例】√2、3√2 与−2√2 是同类二次根式；√5、−3√20 与√1
5 是同类二次根式．
二次根式的加减运算
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行
合并．
【注意】
进行二次根式的混合运算时，整式运算的法则、公式和运算律仍然适用．
知识模型
同类二次根式
典型例题7
若√12 与最简二次根式3√4−2𝑎是同类二次根式，则𝑎=
．
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11
讲
二
次
根
式
98
知识模型
二次根式的加减运算
典型例题8
计算2√1
2 −6√1
3 +√8 的结果是( )．
A. 3√2−2√3
B. 5−√2
C. 5−√3
D. 2√2
知识模型
二次根式的混合运算
典型例题9
（1）计算：(3√12−2√1
3 +√48)÷2√3+(√1
3)
2
．
（2）(2√12−6√48)×√1
3 −√6÷ √2
4 −(√3−2)
2
．
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11
讲
二
次
根
式
99
模块四
模块四
拓广探索
典型例题10
计算：√2016√2015√2014×2012+1+1+1．
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第
11
讲
二
次
根
式
100
随堂练习
随堂练习1
代数式√2𝑥+1 在实数范围内有意义的条件是( )．
A. 𝑥> −1
2
B. 𝑥≠−1
2
C. 𝑥< −1
2
D. 𝑥⩾−1
2
随堂练习2
下列二次根式中，最简二次根式的是( )．
A. √𝑥2 +3
B. √𝑥3𝑦
C. √𝑥
5
D. √20𝑥
随堂练习3
若最简二次根式1
3
√3𝑚+1 和2√8+2𝑚是同类二次根式，则𝑚=
．
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11
讲
二
次
根
式
101
随堂练习4
计算．
（1）3√22
3 ÷ 1
2√2
5 ×(−1
8
√15)．
（2）(3+√2)(3−√2)+(1+√2)
2
．
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11
讲
二
次
根
式
102
思维游戏
思维游戏——消失的钱
3 个人住宿时，每人交100 元钱，将300 元钱交给服务员后，服
务员再交到会计那里去。会计找回50 元钱。服务员私吞了20 元
钱，只还给他们30 元钱。
3 人分30 元钱，每人退回10 元钱，合计每人付了90 元钱，加
在一起共270 元钱，再加上服务员私吞的20 元钱，一共290 元钱，
怎么都与付账的钱对不上。
是哪里出了问题呢？
与付账是吻合的。3 个人开始拿出300 元钱，后退回30 元钱，
其结果是3 人负担270 元钱。
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第
11
讲
二
次
根
式
103
“三精”习题课
第 讲
11
二次根式
进阶拓展1
频率：较高
若𝑚，𝑛为任意实数，则下列各式成立的是( )．
A. √(𝑚+𝑛)2 = 𝑚+𝑛
B. √𝑚2 +√𝑛2 = 𝑚+𝑛
C. √𝑚𝑛= √𝑚+√𝑛
D. √(𝑚+𝑛)4 = (𝑚+𝑛)2
进阶拓展2
频率：高
计算：√𝑎𝑏3 ÷(−3√𝑏
2𝑎)×(−3√2𝑎)．
进阶拓展3
频率：高
计算：√8𝑎3 +𝑎√2𝑎−4√𝑎
2 + 1
𝑏
√2𝑎𝑏2．
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11
讲
二
次
根
式
104
进阶拓展4
频率：高
计算：(4𝑏√𝑎
𝑏+ 2
𝑎
√𝑎3𝑏)−(3𝑎√𝑏
𝑎+√9𝑎𝑏)．
睛
点
法
方
二次根式的计算
根据二次根式的非负性，判断参数的正负，再结合公式进行计算
√𝑎2 = |𝑎| =
⎧{{
⎨{{⎩
𝑎(𝑎≥0)
−𝑎(𝑎< 0)
进阶拓展5
频率：高
若|𝑥+2|−√𝑦2 −10𝑦+25 = 3−𝑥−𝑦，求√(𝑥−𝑦)2 −√(𝑥−1)2 −√(𝑦−3)2 的算术平方根．
睛
点
法
方
√𝑎2 = |𝑎|，结合绝对值化简的结果，判断𝑥，𝑦的取值范围
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第12 讲
推理能力课—
推理能力课——
勾股定理
模块一
勾股定理
模块二
勾股定理逆定理
模块三
拓广探索
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12
讲
勾
股
定
理
108
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
勾股定理
勾股定理中的分类讨论
★★★
例1
随堂练习1
勾股定理与面积
★★★
例2
随堂练习3
利用勾股定理求线段长
★★★★
例3
勾股定理与几何证明
★★★★★
例4
随堂练习2
勾股定理
逆定理
判断能否组成直角三角形
★★★
例5-6
随堂练习4
勾股定理逆定理的计算
★★★★
例7
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第
12
讲
勾
股
定
理
109
模块一
模块一
勾股定理
知识引入
相传，毕达哥拉斯在参加朋友宴会的时候，被朋友家的地砖图案深深吸引，进而通过
在地砖上以它对角线为边画正方形发现了新画正方形与地砖的面积关系，后来进一步的
演算，又发现了直角三角形三边的数量关系，这就是勾股定理发现的由来之一。据说毕达
哥拉斯为了庆祝这一伟大的发现，特宰杀了一百头牛，在学院里大摆宴席狂欢。
【思考】下图中的红色和蓝色这三个正方形面积有什么数量关系？
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勾
股
定
理
110
知识梳理
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用𝑎，𝑏和𝑐分别表示直角三角形的
两直角边和斜边，那么𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2．
【注】
勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边．
勾股定理的证明
1．方法一：传说中的毕达哥拉斯的证明：
∵𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷=4× 1
2𝑎𝑏+𝑎2 +𝑏2=4× 1
2𝑎𝑏+𝑐2
∴𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2
2．方法二：邹元治证法．将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：
∵𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷=(𝑎+𝑏)2 = 𝑐2 +4× 1
2𝑎𝑏
∴𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2
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讲
勾
股
定
理
111
3．方法三：赵爽弦图．将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：
∵𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑐2=(𝑎−𝑏)2 +4× 1
2𝑎𝑏
∴𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2
4．方法四：
“总统”法．将两个直角三角形拼成如图所示的直角梯形：
∵𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝐷= (𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)
2
= 2× 1
2𝑎𝑏+ 1
2𝑐2
∴𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2
知识模型
勾股定理中的分类讨论
典型例题1
（1）已知一个直角三角形的两边长分别为3 和4，则第三边的长的平方是
．
（2）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 15，𝐴𝐶= 13，高𝐴𝐷= 12，则三角形的周长是
．
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勾
股
定
理
112
知识模型
勾股定理与面积
典型例题2
（1）如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点．数字和字母代表各自正
方形面积．则𝑆1 +𝑆2 +𝑆3 +𝑆4 =
．
（2）如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为2，其面积标记为𝑆1，以𝐶𝐷为斜边作等腰直角三角
形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外做正方形，其面积标记为𝑆2，⋯，按
照此规律继续下去，则𝑆2022 的值为
．
（3）如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 3，𝐵𝐶= 4，分别以𝐴𝐵、𝐴𝐶、𝐵𝐶为边在𝐴𝐵
同侧作正方形𝐴𝐵𝐸𝐹，正方形𝐴𝐶𝑃𝑄，正方形𝐵𝐷𝑀𝐶，记四块阴影部分的面积分别为
𝑆1、𝑆2、𝑆3、𝑆4，则𝑆1 +𝑆3 +𝑆4 −𝑆2 =
．
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股
定
理
113
知识模型
利用勾股定理求线段长
典型例题3
如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90∘，𝐴𝐵= 3，𝐴𝐶= 4，在𝐵𝐶上找一点𝐷，使得𝐴𝐷将△𝐴𝐵𝐶
分成面积相等的两部分，作出线段𝐴𝐷，并求出𝐴𝐷的长度．
知识模型
勾股定理与几何证明
典型例题4
如图，已知等腰△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝑃为线段𝐵𝐶上一点，
（1）求证：𝑃𝐵⋅𝑃𝐶= 𝐴𝐶2 −𝐴𝑃2．
（2）若𝑃是𝐵𝐶延长线上一点，探求𝑃𝐵⋅𝑃𝐶，𝐴𝐶，𝐴𝑃之间的关系．
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讲
勾
股
定
理
114
模块二
模块二
勾股定理逆定理
知识梳理
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长𝑎、𝑏、𝑐满足𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理的应用
1．判断一个三角形是否为直角三角形；
2．证明线段的垂直关系．
勾股数
满足𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2 的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同正整数倍后，仍为勾股数．
知识模型
判断能否组成直角三角形
典型例题5
下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③𝑚2 + 𝑛2，𝑚2 −𝑛2，2𝑚𝑛（𝑚，𝑛均为正整数，𝑚> 𝑛）；
④𝑎2，𝑎2 +1，𝑎2 +2．其中能组成直角三角形的三边长的是( )
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ③④
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讲
勾
股
定
理
115
典型例题6
五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正
确的是( )
知识模型
勾股定理逆定理的计算
典型例题7
如图所示的一块四边形地𝐴𝐷𝐶𝐵，已知𝐴𝐷= 12m，𝐶𝐷= 9m，∠𝐴𝐷𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 39m，
𝐵𝐶= 36m，求这块地的面积．
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讲
勾
股
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理
116
模块三
模块三
拓广探索
典型例题8
若直角三角形的两条直角边长为𝑎、𝑏，斜边长为𝑐，斜边上的高为ℎ，
求证：
①1
𝑎2 + 1
𝑏2 = 1
ℎ2．
②𝑎+𝑏< 𝑐+ℎ．
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讲
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股
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117
随堂练习
随堂练习1
若直角三角形的两边长分别为3 和4，则斜边长为
．
随堂练习2
下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( )．
A.
B.
C.
D.
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股
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118
随堂练习3
如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
形，若最大正方形𝐺的边长是6cm，则正方形𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸，𝐹，𝐺的面积之和是( )．
A. 18cm2
B. 36cm2
C. 72cm2
D. 108cm2
随堂练习4
如图，已知在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴= 90∘，𝐴𝐵= 3cm，𝐴𝐷= 4cm，𝐶𝐷= 13cm，𝐵𝐶= 12cm，求
四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．
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讲
勾
股
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119
思维游戏
思维游戏——特殊两位数乘法的速算
如果两个两位数的十位相同，个位数相加为10，那么你可以立
即说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写作𝐴𝐵和𝐴𝐶，那么
它们的乘积的前两位就是𝐴和𝐴+ 1 的乘积，后两位就是𝐵和𝐶
的乘积。
比如，47 和43 的十位数相同，个位数之和为10，因而它们
乘积的前两位就是4×(4+1)=20，后两位就是7×3=21。也就是说，
47×43=2021。
类似地，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。
你知道这是为什么吗？
这个速算方法背后的原因是，
(10𝑥+𝑦)[10𝑥+(10−𝑦)] = 100𝑥(𝑥+1)+𝑦(10−𝑦) 对任意𝑥和𝑦
都成立。
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讲
勾
股
定
理
120
“三精”习题课
第 讲
12
勾股定理
进阶拓展1
频率：较高
如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90∘，𝐴𝐶= 6，𝐴𝐵= 8，𝐵𝐶= 10，分别以直角三角形三边
为直径向外作半圆，则图中阴影部分的面积为
．
睛
点
法
方
①方法：利用半圆和直角三角形的面积表示出不规则图形的面积
②总结：以两直角边为直径的半圆的面积之和等于以斜边为直径的半圆面积
进阶拓展2
频率：高
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 5，𝐵𝐶= 6，点𝑀为𝐵𝐶的中点，𝑀𝑁⊥𝐴𝐶于点𝑁，则𝑀𝑁
等于( )．
A. 6
5
B. 9
5
C. 12
5
D. 16
5
睛
点
法
方
①思路：连接𝐴𝑀，利用等腰三角形三线合一与勾股定理可求𝐴𝑀的长度；直角
△𝐴𝑀𝐶中，利用等面积法求得𝑀𝑁的长度.
②总结：直角三角形中可利用等面积法.
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勾
股
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121
进阶拓展3
频率：中
在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 8，∠𝐴= 60∘，∠𝐷= 150∘，四边形周长为32，求𝐵𝐶和𝐶𝐷
的长度．
睛
点
法
方
①方法：分割成特殊三角形求解
②总结：直角三角形可利用勾股定理列方程求边长
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122
进阶拓展4
频率：高
如图，已知锐角三角形𝐴𝐵𝐶的三边长分别为5、7、8，求该三角形的面积．
睛
点
法
方
①方法：作高将锐角三角形分割成两个直角三角形
②总结：重合的直角边可用来建立等量关系
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123
进阶拓展5
频率：高
阅读下列内容，并解决问题．
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究；
习题再现：
古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果𝑚表示大于1 的整数，𝑎= 2𝑚，𝑏= 𝑚2 −1，𝑐= 𝑚2 +1，
那么𝑎，𝑏，𝑐为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
资料搜集：
定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长
𝑎，𝑏，𝑐都是正整数，且满足𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2，那么𝑎，𝑏，𝑐称为一组勾股数．
关于勾股数的研究：我国西周初数学家商高在公元前1000 年发现了“勾三，股四，弦五”，
这组数(3,4,5) 是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数
学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究．习题中的表达式是柏拉图给出
的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是
《九章算术》，其勾股数公式为：𝑎= 1
2(𝑚2 −𝑛2)，𝑏= 𝑚𝑛，𝑐= 1
2(𝑚2 +𝑛2)，其中𝑚> 𝑛，𝑚，𝑛
是互质的奇数．
（注：𝑎，𝑏，𝑐的相同倍数组成的一组数也是勾股数）
问题解答：
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讲
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股
定
理
124
（1）根据柏拉图的研究，当𝑚= 6 时，请直接写出一组勾股数．
（2）若𝑚表示大于1 的整数，试证明(𝑚2 −1,2𝑚,𝑚2 +1) 是一组勾股数．
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出
所有的勾股数．
睛
点
法
方
证明一个命题需要给出严谨的推理过程，而证伪只需要一个反例
11220610482250
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