文档文本内容
更多精品课程加微信：M920853
第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
2
“
”
很开心能见到你，本书将带领你进入全新的领域。在过去
的学习中，无论你是卓越还是略有失意，此刻将是新的征途的开
始。你是否已准备好谱写新的辉煌？
在这里，你会知道许多著名数学家的趣事。你也会揭开数学
神秘的面纱，了解数学之美。
大数学家高斯说：“数学是一切科学的皇后。”如果说物理是
上帝的游戏，那数学就是上帝的游戏规则。数学是通往星辰大海
的秘钥，是国防科技的护盾，是我们脚下这片土地的未来。华罗
庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”
现在的你，肯定已迫不及待想要扬帆起航。但睿智的你肯定
也明白，学习的事，容不得半点含糊。
亲爱的同学：
第一，凡事预则立，不预则废。
第二，认真听课，积极互动。认真做笔记，总结解题方法、技巧。
第三，温故而知新，可以为师矣。不忘温习，方得始终。
第四，及时完成随堂练习。今朝有题今朝做，明朝又有明朝事。
第五，整理错题，学会总结。聪明人知错就改，糊涂人有错就瞒。
最后，青春的帆已扬起，只待你乘风破浪，勇往直前。
对于初中直播课学习，给你一些建议：
序言
华
罗
庚
高
斯
更多精品课程加微信：M920853
第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
3
1
心形函数曲线
π
5
2
3
4
金字塔
有趣的黄金分割线
对称美
古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线条和其他一切
美的形体都必须有对称的形式。”对称本身即具有和谐的
整体美。
早在南北朝时期，大数学家祖冲之就利用割圆术将圆周
率π精算到小数点后七位，直到15世纪，阿拉伯数学
家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
金字塔，是古埃及人智慧代表的巅峰之作。早在古希腊
时期，几何学家泰勒斯就可以根据投影与相似三角形定
理，测量出金字塔的高度。
0.618比1，著名的“黄金分割比”。意大利著名画家
达·芬奇笔下的《蒙娜丽莎》就多次应用黄金分割比，
蒙娜丽莎之所以越看越美，就是因为她的脸型、身材均
符合黄金矩形。
笛卡尔给公主的信中，只有一道函数公式：r=a(1-sinθ）。
而极具浪漫色彩的是，当公主把函数图象画出来后，一颗饱满
的心跃然纸上。这就是著名的“心形线”。
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
5
希望学教研团队
亲爱的同学：
当你翻开这本书的时候，你又开始了一段新的学习之旅。
本书由希望学教研团队编写而成。团队有多年的教研沉淀，致力于
为同学们提供小学、初中和高中全学科的课外有益补充，培养学生分
析问题和自主解决问题的能力。锻炼思维，开拓视野，由“知识型”
向“能力型”转化。
下面我们将向你介绍本书的诞生过程：
1、对标教材和课程标准建立课程大纲
希望学教研团队根据教育部审定的最新中学教材，选取重难点模
块，收集各地区题目，精心敲定教学大纲。
2、依据大数据、编撰高标准
①依托多年教研沉淀，精品题库、讲义素材、课件切片等四大库教
研基建，为讲义编撰提供优质素材；
②希望学大数据核心算法定位学习中的薄弱环节；
③百人教研团队，历经1000+小时，严格按照大纲目录进行编写，
三轮审核三轮校对。
3、三审三校
初稿经由希望学教研中心内部一审，学科产品、教学中心、主讲老
师集中二审，外部专家专业三审后进入校对环节。
由编者一次精校；教研中心资深教研员二次精校；排版团队三次精
校。只有经过全面的三审三校，这本书才能发送给我们的用户！
4、排版
编撰与审校结束后，会安排专业团队进行排版印刷。模板和风格由
专业设计师进行设计，并不断更新迭代，紧跟审美风向标，提升可读
性。由供应部门统一调配和发货，这本书就会到达你的手中啦！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！接下来的每一天，我们都会在
你的见证下不断精进，不断成长。
未来，希望学也会继续承担起用科技推动教育进步的重任，不断致
力于教育资源的均衡发展。伴随着你的成长，见证着你的成功，每天
进步一点点，一起做更好的自己！
更多精品课程加微信：M920853
目录
第7 讲
运算能力课——一元二次
方程的解法进阶
1
模块一
一元二次方程解法进阶
3
模块二
二次方程综合进阶
7
第8 讲
【真题易错】一元二次方
程的解法进阶
15
第9 讲
运算能力课——一元二次
方程的根系关系
19
模块一
再看一元二次方程判别式
21
模块二
一元二次方程根系关系
24
第10 讲
【真题易错】一元二次方
程的根系关系
31
第11 讲
应用意识课——一元二次
方程的特殊根
35
模块一
公共根问题
37
模块二
整数根问题
39
第12 讲
【真题易错】一元二次方
程的特殊根
47
更多精品课程加微信：M920853
第13 讲
应用意识课——一元二次
方程的构造
53
模块一
根据根的意义构造方程
55
模块二
根据根系关系构造方程
58
第14 讲
【真题易错】一元二次方
程的构造
65
第15 讲
运算能力课——高次方程
不等式探究
71
模块一
二元二次方程组
73
模块二
高次方程的根系关系
78
模块三
高次不等式初识
80
第16 讲
【真题易错】高次方程不
等式探究
85
第17 讲
运算能力课——反比例函
数探究
91
模块一
反比例函数的基本概念
93
模块二
反比例函数的图象和性质
95
模块三
求反比例函数解析式进阶
104
第18 讲
【真题易错】反比例函数
探究
109
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第7 讲
运算能力课——
元
运算能力课——
一元二次方程的解法进
阶
模块一
一元二次方程解法进阶
模块二
二次方程综合进阶
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
解
法
进
阶
2
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
一元二次
方程解法进阶
配方法解二次方程
★★★
例1
公式法解二次方程
★★★
例2
随堂练习1、2
★★★★
例3
含参二次方程
★★★★★
例4
二次方程
综合进阶
含绝对值的二次方程
★★★★
例5
随堂练习3
换元法解二次方程
★★★★
例6
随堂练习4
★★★★★
例7
高次方程的同解问题
★★★★★
例8
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
解
法
进
阶
3
模块一
模块一
一元二次方程解法进阶
知识梳理
【一元二次方程】
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，最高次数的项系数不为0 的整式方程叫
做一元二次方程．
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0)，𝑎为二次项系数，𝑏为一次项系数，𝑐为常数项．
1. 一元二次方程必须符合以下四个标准：
是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．
是一元方程，即方程中只含有一个未知数．
是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．
最高次数的项系数不为0．
2. 任何一个关于𝑥的一元二次方程经过整理都可以化为一般式𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0)．
要特别注意对于关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0．当𝑎≠0 时，方程是一元二次方程；当
𝑎= 0 且𝑏≠0 时，方程是一元一次方程．
【一元二次方程的解法】
1. 直接开平方法
对形如𝑥2 = 𝑚，(𝑎𝑥+𝑏)2 = 𝑛(𝑎≠0，𝑛⩾0) 的一元二次方程进行直接开方的方法叫做直
接开平方法．
2. 因式分解法
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
①将方程化为一元二次方程的一般形式；
②把方程的左边分解为两个一次因式的积；
③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的解．
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
解
法
进
阶
4
3. 配方法
配方法解一元二次方程的一般步骤
①常数项右移；
②二次项系数化为1；
③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）；
④化成(𝑥+𝑚)2 = 𝑛的形式；
⑤若𝑛⩾0，直接开平方得出方程的解．
4. 公式法
利用配方法解一般形式的一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0)，得到根的一般表达式，
再解一元二次方程的方法称为公式法．
将𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0) 进行配方可以得到：(𝑥+ 𝑏
2𝑎)
2
= 𝑏2 −4𝑎𝑐
4𝑎2
．
①当𝑏2 −4𝑎𝑐⩾0 时，两个根为𝑥1,2 = −𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
，其中𝑏2 −4𝑎𝑐= 0 时，两根相等
为𝑥1 = 𝑥2 = −𝑏
2𝑎；
②当𝑏2 −4𝑎𝑐< 0 时，没有实数根．
【注】可以用Δ 表示𝑏2 −4𝑎𝑐，Δ 称为根的判别式．
运用公式法解一元二次方程的一般步骤
①把方程化为一般形式；
②确定𝑎、𝑏、𝑐的值；
③计算𝑏2 −4𝑎𝑐的值；
④若𝑏2 −4𝑎𝑐⩾0，则代入公式求方程的根；
⑤若𝑏2 −4𝑎𝑐< 0，则方程无实数根．
典型例题1
（1）用配方法解方程2𝑥2 −𝑥−1 = 0，变形结果正确的是（ ）．
A. (𝑥−1
2)
2
= 3
4
B. (𝑥−1
4)
2
= 3
4
C. (𝑥−1
4)
2
= 17
16
D. (𝑥−1
4)
2
= 9
16
（2）用配方法解方程：3𝑥2 −5𝑥−2 = 0．
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
解
法
进
阶
5
典型例题2
（1）用公式法解方程3𝑥2 +5𝑥+1 = 0，正确的是（ ）．
A. 𝑥1,2 = −5±√13
6
B. 𝑥1,2 = −5±√13
3
C. 𝑥1,2 = 5±√13
6
D. 𝑥1,2 = 5±√13
3
（2）用公式法解方程：2𝑥2 +3𝑥−3 = 0．
（3）用公式法解方程：−2𝑥+𝑥2 −1 = 0．
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
解
法
进
阶
6
典型例题3
（1）解方程：169𝑥2 −39𝑥−2 = 0．
（2）解方程：3√2𝑥2 −3𝑥+√2 = 0．
典型例题4
解关于𝑥的方程：(𝑚−1)𝑥2 +(2𝑚−1)𝑥+𝑚−3 = 0．
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
解
法
进
阶
7
模块二
模块二
二次方程综合进阶
典型例题5
（1）解方程(2𝑥−1)2 −3|2𝑥−1|+2 = 0．
（2）方程𝑥|𝑥|−3|𝑥|+2 = 0 的实数根个数为（ ）．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
（3）解方程：|(𝑥−2)(𝑥+3)| = 4+|𝑥−1|．
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
解
法
进
阶
8
典型例题6
（1）解方程：𝑥= (𝑥2 +3𝑥−2)
2 +3(𝑥2 +3𝑥−2)−2．
（2）解方程：2𝑥4 +3𝑥3 −16𝑥2 +3𝑥+2 = 0．
典型例题7
（1）解方程：𝑥2 −6𝑥−6+𝑥√𝑥2 −2𝑥−2 = 0．
（2）解方程：5√𝑥+5√2𝑥+3+2√2𝑥2 +3𝑥= 11−3𝑥．
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
解
法
进
阶
9
典型例题8
已知方程𝑥2 −3𝑥−1 = 0 的两根也是方程𝑥4 +𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0 的根，则𝑎+𝑏−2𝑐=
．
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
解
法
进
阶
10
随堂练习
随堂练习1
用公式法解方程：𝑥2 −2√2𝑥−1 = 0．
随堂练习2
用公式法解方程：𝑥(6𝑥+1)+4𝑥−3 = 2(2𝑥+ 1
2)．
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
解
法
进
阶
11
随堂练习3
解方程：𝑥2 −5|𝑥|−6 = 0．
随堂练习4
解方程：𝑥2 +3𝑥
2𝑥2 +2𝑥−8 + 𝑥2 +𝑥−4
3𝑥2 +9𝑥= 11
12．
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
解
法
进
阶
12
思维游戏
井底之蛙
一只井底之蛙想出去见见世面，于是开始攀爬井壁。每爬一
次，就上升3 米，但在再次攀爬井壁前会下落2 米。已知井深10
米。请问：这只青蛙要攀爬几次才能爬出井去？
8 次。不要被题中的话蒙蔽，每次跳上3 米滑下2 米实际上就
是每次跳1 米，因此10 米花10 次就可全部跳出，这样想就错了。
因为跳到第8 次的时候，就出了井口，不再下滑了。
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第8 讲
【真题易错】元二
【真题易错】一元二次方
程的解法进阶
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
︻
真
题
易
错
︼
一
元
二
次
方
程
的
解
法
进
阶
16
进阶拓展1
创新班专属
解方程：
1
𝑥2 −10𝑥−29 +
1
𝑥2 −10𝑥−45 −
2
𝑥2 −10𝑥−69 = 0．
睛
点
法
方
观察到多次出现𝑥2 −10𝑥，可利用换元法将𝑥2 −10𝑥表示为𝑡从而降次
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
︻
真
题
易
错
︼
一
元
二
次
方
程
的
解
法
进
阶
17
进阶拓展2
创新班专属
解关于𝑥的方程2𝑥3 +(1−𝑡)𝑥2 −2𝑡𝑥+(𝑡2 −𝑡) = 0．
进阶拓展3
创新班专属
解方程𝑥3 +2√10𝑥2 +10𝑥+1+√10 = 0
睛
点
法
方
面对形式复杂的方程，需灵活运用整式恒等变形的技巧对题目进行求解，如分组分
解、换元及主元法等
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第9 讲
运算能力课——
元
运算能力课——
一元二次方程的根系关
系
模块一
再看一元二次方程判别式
模块二
一元二次方程根系关系
更多精品课程加微信：M920853
第
9
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
根
系
关
系
20
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
再看一元二次
方程判别式
根据根的情况求参数
范围
★★★
例1
随堂练习1
★★★★
例2
根的情况相关证明
★★★★★
例3、4
随堂练习2
一元二次
方程根系关系
根系关系初步
★★★★
例5
代数式求解
★★★★★
例6、7
随堂练习3
利用根系关系变形
★★★★★
例8
根系关系进阶应用
★★★★★
例9
随堂练习4
更多精品课程加微信：M920853
第
9
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
根
系
关
系
21
模块一
模块一
再看一元二次方程判别式
知识梳理
【一元二次方程根的判别式的定义】
运用配方法解一元二次方程过程中得到(𝑥+ 𝑏
2𝑎)
2
= 𝑏2 −4𝑎𝑐
4𝑎2
，显然只有当𝑏2 −4𝑎𝑐⩾0
时，才能直接开平方得：𝑥+ 𝑏
2𝑎= ±√𝑏2 −4𝑎𝑐
4𝑎2
．
也就是说，𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0) 只有当系数𝑎、𝑏、𝑐满足条件Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐⩾0 时才有实
数根．这里𝑏2 −4𝑎𝑐叫做一元二次方程根的判别式．
【判别式与根的关系】
设一元二次方程为𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0)，其根的判别式为：Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐. 则：
①Δ > 0 ⇔方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0) 有两个不相等的实数根𝑥1,2 = −𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
．
②Δ = 0 ⇔方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0) 有两个相等的实数根𝑥1 = 𝑥2 = −𝑏
2𝑎．
③Δ < 0 ⇔方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0) 没有实数根．
典型例题1
（1）下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A. 𝑥2 −2𝑥= 0
B. 𝑥2 +4𝑥−1 = 0
C. 2𝑥2 −4𝑥+3 = 0
D. 3𝑥2 = 5𝑥−2
更多精品课程加微信：M920853
第
9
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
根
系
关
系
22
（2）关于𝑥的一元二次方程(𝑚−2)𝑥2 +2𝑥+1 = 0 有实数根，则𝑚的取值范围是( )
A. 𝑚⩽3
B. 𝑚< 3
C. 𝑚< 3 且𝑚≠2
D. 𝑚⩽3 且𝑚≠2
典型例题2
（1）已知𝑎> 0，𝑏> 𝑎+𝑐，判断关于𝑥的方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0 的根的情况，并给出必要的
说明.
（2）设方程∣𝑥2 +𝑎𝑥∣= 4 只有3 个不相等的实数根，求𝑎的取值和相应的3 个根．
更多精品课程加微信：M920853
第
9
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
根
系
关
系
23
典型例题3
设𝑎、𝑏、𝑐为互不相等的非零实数，求证：以下三个方程𝑎𝑥2 +2𝑏𝑥+𝑐= 0，𝑏𝑥2 +2𝑐𝑥+𝑎= 0，
𝑐𝑥2 +2𝑎𝑥+𝑏= 0，不可能都有2 个相等的实数根．
典型例题4
若关于𝑥的方程𝑥2 +2𝑝𝑥−𝑞= 0 和𝑥2 −2𝑞𝑥+𝑝= 0 都没有实数根(𝑝、𝑞是实数)，
①问式子𝑞
𝑝+ 𝑝
𝑞是否总有意义，说明理由．
②问𝑝+𝑞是否可以是整数，若可以，当𝑝+𝑞为整数时，求𝑝+𝑝𝑞
𝑞
+ 𝑞+𝑝𝑞
𝑝
的值；若𝑝+𝑞
不可以为整数，说明理由．
更多精品课程加微信：M920853
第
9
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
根
系
关
系
24
模块二
模块二
一元二次方程根系关系
知识梳理
【韦达定理】
如果𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0) 的两根是𝑥1，𝑥2，则𝑥1 +𝑥2 = −𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 = 𝑐
𝑎．(使用前提：Δ ⩾0)
特别地，当一元二次方程的二次项系数为1 时，设𝑥1，𝑥2 是方程𝑥2 +𝑝𝑥+𝑞= 0 的两个根，
则𝑥1 +𝑥2 = −𝑝，𝑥1𝑥2 = 𝑞．
【韦达定理与根的符号关系】
在Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐⩾0 的条件下，我们有如下结论：
①当𝑐
𝑎< 0 时，方程的两根必一正一负．若−𝑏
𝑎⩾0，则此方程的正根不小于负根的绝对
值；若−𝑏
𝑎< 0，则此方程的正根小于负根的绝对值．
②当𝑐
𝑎> 0 时，方程的两根同正或同负．若−𝑏
𝑎> 0，则此方程的两根均为正根；若−𝑏
𝑎< 0，
则此方程的两根均为负根．
典型例题5
（1）已知方程𝑥2 +𝑝𝑥+4+√5 = 0 的一个根是2+√5，求另一个根与𝑝的值．
（2）解方程：3𝑥2 +𝑥= 3√2+
4√2．
更多精品课程加微信：M920853
第
9
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
根
系
关
系
25
典型例题6
（1）已知关于𝑥的方程𝑥2 −13𝑥+𝑘= 0 的两根𝛼、𝛽满足条件𝛼−3𝛽= 1，求𝑘的值．
（2）设𝛼，𝛽是一元二次方程𝑥2 +2𝑥−4 = 0 的两实根，则𝛼3 +4𝛼+12𝛽−5 =
．
典型例题7
已知方程𝑥2 −2𝑎𝑥+(𝑎2 −𝑎+6) = 0 的两个根为𝛼，𝛽，试求(𝛼−1)2 +(𝛽−1)2 的最小值．
更多精品课程加微信：M920853
第
9
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
根
系
关
系
26
典型例题8
对于一切不小于2 的自然数𝑛，关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −(𝑛+2)𝑥−2𝑛2 = 0 的两个根记
为𝑎𝑛，𝑏𝑛(𝑛⩾2)，则
1
(𝑎2 −2)(𝑏2 −2) +
1
(𝑎3 −2)(𝑏3 −2) +⋯+
1
(𝑎2007 −2)(𝑏2007 −2) =
．
典型例题9
已知𝑎，𝑏，𝑐为实数，且𝑎> 0，𝑏2 −𝑎𝑐< 0，𝑥1，𝑥2 是方程𝑥2 −(𝑎+𝑐)𝑥−𝑏2 +𝑎𝑐= 0 的两个
实数根．证明：
（1）𝑥1，𝑥2 都是正数；
（2）若𝑥1 ⩾𝑥2，则𝑥1 ⩾𝑎，𝑥2 ⩽𝑐．
更多精品课程加微信：M920853
第
9
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
根
系
关
系
27
随堂练习
随堂练习1
关于𝑥的方程(1−2𝑘)𝑥2 −2√𝑘+1𝑥−1 = 0 有两个不相等的实数根，求𝑘的取值范围.
随堂练习2
已知：𝑎、𝑏、𝑐分别是△𝐴𝐵𝐶的三边长，当𝑚> 0 时，关于𝑥的一元二次方程
𝑐(𝑥2 +𝑚)+𝑏(𝑥2 −𝑚)−2𝑎√𝑚𝑥= 0 有两个相等的实数根，求证：△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
更多精品课程加微信：M920853
第
9
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
根
系
关
系
28
随堂练习3
已知𝑚、𝑛是方程𝑥2 +2𝑥−5 = 0 的两个实数根，求𝑚2 −𝑚𝑛+3𝑚+𝑛的值．
随堂练习4
已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −2𝑥+𝑚−1 = 0 有两个实数根𝑥1，𝑥2．
（1）求𝑚的取值范围；
（2）当𝑥12 +𝑥22 = 6𝑥1𝑥2 时，求𝑚的值．
更多精品课程加微信：M920853
第
9
讲
运
算
能
力
课
一
元
二
次
方
程
的
根
系
关
系
29
思维游戏
3 只桶的交易
有一个农夫用一个大桶装了12 千克的油到市场上卖，恰巧市
场上两个家庭主妇分别只带了5 千克和9 千克的两个小桶，但她
们买走了6 千克的油，而且一个带9 千克桶的家庭主妇只买了1
千克油，另一个家庭主妇买了5 千克，更为惊奇的是她们之间的交
易没有用任何称量的工具。
你知道她们是怎么分的吗？
先从大桶中倒出5 千克油到5 千克的桶，然后将其倒入9 千
克桶里，再从大桶里倒出5 千克油到5 千克的桶里，然后用5 千克
桶里的油将9 千克的桶灌满。现在，大桶里剩下2 千克油，9 千克
的桶已装满，5 千克的桶里有1 千克油。再将9 千克桶里的油全部
倒回大桶里，大桶里有了11 千克油。把5 千克桶里的油倒进9 千
克桶里，再从大桶里倒出5 千克油装满5 千克的桶，现在大桶里有
6 千克油，而另外6 千克油也被换成了1 千克和5 千克两份。
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第10 讲
【真题易错】元二
【真题易错】一元二次方
程的根系关系
更多精品课程加微信：M920853
第
10
讲
︻
真
题
易
错
︼
一
元
二
次
方
程
的
根
系
关
系
32
进阶拓展1
创新班专属
设𝑎是实数，已知𝑥的二次方程𝑥2 −2𝑎𝑥+𝑎2 −4 = 0．
（1）𝑎为何值时，方程有两个正根？
（2）𝑎为何值时，方程有一正根、一负根？
进阶拓展2
创新班专属
已知一元二次方程𝑥2 −4𝑎𝑥+5𝑎2 −6𝑎= 0 有两个实根，且两根之差的绝对值为6，求𝑎的
值．
睛
点
法
方
对一元二次方程一定要先考虑根的情况再使用根系关系进行求解
要灵活利用两根之和与两根之积去表达多种代数式
更多精品课程加微信：M920853
第
10
讲
︻
真
题
易
错
︼
一
元
二
次
方
程
的
根
系
关
系
33
进阶拓展3
创新班专属
𝑥、𝑦为实数，且满足𝑦=
2𝑥
𝑥2 +𝑥+1，求𝑦的最大值和最小值．
睛
点
法
方
转化为关于𝑥的一元二次方程，根据根的判别式确定𝑦的取值范围
进阶拓展4
创新班专属
若方程(𝑥2 −1)(𝑥2 −4) = 𝑘有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距离排列，
则实数𝑘=
．
睛
点
法
方
根据方程形式确定四个非零实根的特点，再根据四个根等差得到根的关系
结合根系关系进一步求解
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第11 讲
应用意识课——
元
应用意识课——
一元二次方程的特殊根
模块一
公共根问题
模块二
整数根问题
更多精品课程加微信：M920853
第
11
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
特
殊
根
36
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
公共根问题
一元二次方程的公共
根问题
★★★★
例1、2
随堂练习1、2
★★★★★
例3、4
整数根问题
因式分解法
★★★★
例5、6
随堂练习3
根系关系法
★★★★
例7
随堂练习4
★★★★★
例8
判别式的应用
★★★★
例9
★★★★★
例10
更多精品课程加微信：M920853
第
11
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
特
殊
根
37
模块一
模块一
公共根问题
知识梳理
【公共根问题一般题型】
已知若干个方程有相同的根，求方程中的未知参数．
本节着重讨论两个一元二次方程的公共根问题，对于多个方程或是其他类型的方程可以
运用类似方法灵活解决．
典型例题1
（1）如果方程𝑥2 −𝑝𝑥+2𝑞= 0 和𝑥2 −𝑞𝑥+2𝑝= 0(𝑝≠𝑞) 有公共根，则该公共根为
．
（2）若一元二次方程𝑥2 +𝑘𝑥−1 = 0，𝑥2 +𝑥+(𝑘−2) = 0 有相同的根，求𝑘的值，并求两个
方程的根．
更多精品课程加微信：M920853
第
11
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
特
殊
根
38
典型例题2
设𝑎，𝑏，𝑐为△𝐴𝐵𝐶的三边长，且二次三项式𝑥2 +2𝑎𝑥+ 𝑏2 与𝑥2 +2𝑐𝑥−𝑏2 有一次公因
式，证明：△𝐴𝐵𝐶一定是直角三角形．
典型例题3
求所有的非零实数𝑎、𝑏使得𝑥2 +𝑎𝑥+𝑏= 0，𝑥2 +𝑥+𝑎𝑏= 0 和𝑎𝑥2 +𝑥+𝑏= 0 恰好有一个
公共根．
典型例题4
已知方程𝑥2 +𝑎1𝑥+𝑎2𝑎3 = 0 与方程𝑥2 +𝑎2𝑥+𝑎1𝑎3 = 0 有且只有一个非零公共根．求证：
这两个方程的另两根（除公共根外）是方程𝑥2 +𝑎3𝑥+𝑎1𝑎2 = 0 的根（𝑎3 ≠0）．
更多精品课程加微信：M920853
第
11
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
特
殊
根
39
模块二
模块二
整数根问题
知识梳理
【有理系数一元二次方程的根的性质】
1. 若𝑚，𝑛为有理数，√𝑛是无理数，𝑚+√𝑛是有理系数一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0)
的一个实根，则它的共轭根式𝑚−√𝑛也是这个方程的实根．
2. 有理系数一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0) 有有理根，当且仅当它的判别式是一个
有理数的平方．
【解决整数根问题的思路】
①先看方程二次项系数，确定二次项系数是否能为0．
②确定是一元二次方程以后，看能否因式分解求出根的取值．
③不能因式分解的：令判别式是完全平方数或者利用韦达定理，然后利用数论的知识解
决相关问题．
典型例题5
已知关于𝑥的方程(𝑎−1)𝑥2 +2𝑥−𝑎−1 = 0 的根都是整数，那么符合条件的整数𝑎有
个．
更多精品课程加微信：M920853
第
11
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
特
殊
根
40
典型例题6
若𝑘为正整数，且关于𝑥的方程(𝑘2 −1)𝑥2 −6(3𝑘−1)𝑥+ 72 = 0 有两个相异正整数根，
求𝑘的值．
典型例题7
已知关于𝑥的方程𝑥2 +(𝑎−6)𝑥+𝑎= 0 的两根都是整数，求𝑎的值．
更多精品课程加微信：M920853
第
11
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
特
殊
根
41
典型例题8
已知一元二次方程𝑥2 +(𝑚−17)𝑥+𝑚−2 = 0 的两根都是正整数，则整数𝑚的值是多少？
典型例题9
当𝑚是什么整数时，关于𝑥的一元二次方程𝑚𝑥2−4𝑥+4 = 0 与𝑥2−4𝑚𝑥+4𝑚2−4𝑚−5 = 0
的根都是整数？
更多精品课程加微信：M920853
第
11
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
特
殊
根
42
典型例题10
若𝑚，𝑛都是整数，求证：方程𝑥2 +10𝑚𝑥−5𝑛+3 = 0 没有整数根．
更多精品课程加微信：M920853
第
11
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
特
殊
根
43
随堂练习
随堂练习1
若方程𝑎2𝑥2 +𝑎𝑥−1 = 0 和𝑥2 −𝑎𝑥−𝑎2 = 0 有公共根，求𝑎的值．
随堂练习2
已知𝑎、𝑏、𝑐是互不相等的实数，三个方程①𝑥2+𝑎𝑥+𝑏= 0；②𝑥2+𝑏𝑥+𝑐= 0；③𝑥2+𝑐𝑥+𝑎=
0，①②有公共根𝑝，②③有公共根𝑞，③①有公共根𝑟，则𝑎𝑏𝑐=( )
A. 1
B. −3
C. −1
D. 2
更多精品课程加微信：M920853
第
11
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
特
殊
根
44
随堂练习3
已知𝑎2𝑥2 −(3𝑎2 −8𝑎)𝑥+2𝑎2 −13𝑎+15 = 0(𝑎为非负整数) 至少有一个整数根，那么𝑎的
值为多少？
随堂练习4
已知𝑎、𝑏为正整数，𝑎= 𝑏−2005，若关于𝑥的方程𝑥2 −𝑎𝑥+𝑏= 0 有正整数根，则𝑎的最
小值为多少？
更多精品课程加微信：M920853
第
11
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
特
殊
根
45
思维游戏
药丸的问题
某制药厂最近新生产了一批感冒药，每100 粒装在一个瓶子
里，6 个瓶子为一箱。在推向市场之前，制药厂必须把这些药丸送
到药检局检验。一天，制药厂收到紧急通知：这一箱药丸里，有几个
瓶子里的每一粒都超重1 毫克。
如果每一瓶都取出一粒药丸来称量，那么一共需要称6 次才
能得出结果。能不能想出一个最好的办法，称一次就能把问题解决
呢？
从6 个瓶子里分别取出1、2、4、8、16 和32 粒药丸来，然后放
在一起称一次就可以知道问题出在哪几瓶里。比如：称量之后超重
15 毫克，而这6 个数字能构成15 的组合只有一种，即：1+2+4+8。
因此，问题就出在第1 瓶、第2 瓶、第3 瓶和第4 瓶。
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第12 讲
【真题易错】元二
【真题易错】一元二次方
程的特殊根
更多精品课程加微信：M920853
第
12
讲
︻
真
题
易
错
︼
一
元
二
次
方
程
的
特
殊
根
48
进阶拓展1
创新班专属
已知关于𝑥的方程𝑥2 +𝑝𝑥+𝑞= 0 与𝑥2 +𝑞𝑥+𝑝= 0(𝑝≠𝑞) 有一个公共根，求(𝑝+𝑞)2012
的值．
睛
点
法
方
将公共根设出后得到关于这个根的两个方程
联立后求解
更多精品课程加微信：M920853
第
12
讲
︻
真
题
易
错
︼
一
元
二
次
方
程
的
特
殊
根
49
进阶拓展2
创新班专属
已知𝑘为自然数，关于𝑥的方程𝑥2 +𝑥+10 = 𝑘(𝑘−1) 有两个整数根，求出这个方程的正
整数根和𝑘的值．
更多精品课程加微信：M920853
第
12
讲
︻
真
题
易
错
︼
一
元
二
次
方
程
的
特
殊
根
50
进阶拓展3
创新班专属
求一切实数𝑘，使得关于𝑥的方程5𝑥2 −5𝑘𝑥+66𝑘−1 = 0 的两根均为正整数．
睛
点
法
方
方程有整数根的前提条件是根的判别式为完全平方数（式）
根据此条件得到𝑘满足的条件后求解
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第13 讲
应用意识课——
应用意识课——
一元二次方程的构造
模块一
根据根的意义构造方程
模块二
根据根系关系构造方程
更多精品课程加微信：M920853
第
13
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
构
造
54
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
根据根的意义
构造方程
一元二次方程根
的定义
★★★
例1
随堂练习1、2
★★★★
例2-4
★★★★★
例5
一元二次方程的
判别式
★★★★★
例6
根据根系关系
构造方程
根系关系直接构造
★★★★
例7、8
随堂练习3、4
★★★★★
例9、10
更多精品课程加微信：M920853
第
13
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
构
造
55
模块一
模块一
根据根的意义构造方程
知识梳理
【一元二次方程的构造】
一元二次方程的构造通常基于两种形式
1. 根的意义
2. 一元二次方程的根系关系
在解题过程中，这两者通常是互为因果的：
根据根的定义来构造一元二次方程，然后由根系关系得出结论；
或根据根系关系来构造方程，然后由根的定义来推出结果．
有时为了确定参数的范围，在构造一元二次方程之后，会利用判别式来处理问题．
典型例题1
若实数𝑎，𝑏满足等式𝑎2 = 7−3𝑎，𝑏2 = 7−3𝑏，则代数式𝑏
𝑎+ 𝑎
𝑏的值为（ ）．
A. −23
7
B. 23
7
C. 2 或−23
7
D. 2 或23
7
典型例题2
设实数𝑠，𝑡分别满足19𝑠2 +99𝑠+1 = 0，𝑡2 +99𝑡+19 = 0 并且𝑠𝑡≠1，则𝑠𝑡+4𝑠+1
𝑡
的值为
．
更多精品课程加微信：M920853
第
13
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
构
造
56
典型例题3
已知𝑝2 −𝑝−1 = 0，1−𝑞−𝑞2 = 0，且𝑝𝑞≠1，求𝑝𝑞+1
𝑞
的值．
典型例题4
已知2014(𝑥−𝑦)+√2014(𝑦−𝑧)+(𝑧−𝑥) = 0(𝑥≠𝑦)，求(𝑧−𝑦)(𝑧−𝑥)
(𝑥−𝑦)2
的值．
更多精品课程加微信：M920853
第
13
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
构
造
57
典型例题5
当𝑥= 1
2 (5
1
𝑛−5−1
𝑛) 时，(𝑥+√1+𝑥2)
𝑛
=
.（𝑛为自然数）
典型例题6
已知√3𝑦−3𝑧= 𝑥，求证：𝑦2 ⩾4𝑥𝑧．
更多精品课程加微信：M920853
第
13
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
构
造
58
模块二
模块二
根据根系关系构造方程
知识梳理
【韦达定理的逆定理】
以两个数𝑥1，𝑥2 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是𝑥2 −(𝑥1 +𝑥2)𝑥+𝑥1𝑥2 = 0．
一般地，如果有两个数𝑥1，𝑥2 满足𝑥1 +𝑥2 = −𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 = 𝑐
𝑎，那么𝑥1，𝑥2 必定是𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐=
0(𝑎≠0) 的两个根．
（使用前提：Δ ⩾0）
典型例题7
已知𝑎、𝑏、𝑐均为实数，且𝑎−𝑏= 8，𝑎𝑏+𝑐2 +16 = 0，求𝑎+𝑏+𝑐的值．
典型例题8
已知方程𝑥2 −3𝑥−2 = 0，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒
数，另一个根为原方程两根差的平方．
更多精品课程加微信：M920853
第
13
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
构
造
59
典型例题9
已知𝑥、𝑦均为实数，且满足𝑥𝑦+𝑥+𝑦= 17，𝑥2𝑦+𝑥𝑦2 = 66．求𝑥4 +𝑥3𝑦+𝑥2𝑦2 +𝑥𝑦3 +𝑦4 的
值．
典型例题10
解方程：(√2+√3)
𝑥
+(√2−√3)
𝑥
= 4．
更多精品课程加微信：M920853
第
13
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
构
造
60
随堂练习
随堂练习1
已知一个一元二次方程的两根是−1+√5
2
、−1−√5
2
，请写出一个符合条件的一元二次方
程．
随堂练习2
已知2𝛼2 +2𝛼= 1，2𝛽2 +2𝛽= 1，求∣𝛼−𝛽∣的值．
更多精品课程加微信：M920853
第
13
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
构
造
61
随堂练习3
已知四个互不相等的正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足(𝑎2012 −𝑐2012)(𝑎2012 −𝑑2012) = 2012，
(𝑏2012 −𝑐2012)(𝑏2012 −𝑑2012) = 2012，则(𝑎𝑏)2012 −(𝑐𝑑)2012 =( )．
A. −2012
B. −2011
C. 2012
D. 2011
随堂练习4
已知某二次项系数为1 的一元二次方程的两个实根为𝑝、𝑞，且
⎧{{
⎨{{⎩
𝑝+𝑞(𝑝+1) = 5
𝑝2𝑞+𝑝𝑞2 = 6
，试求
这个一元二次方程．
更多精品课程加微信：M920853
第
13
讲
应
用
意
识
课
一
元
二
次
方
程
的
构
造
62
思维游戏
移动杯子
有10 只杯子，前面5 只装着水，后面5 只没有装水。移动4
只杯子可以将盛水的杯子和空杯相间排列，现在只移动2 只杯子
也要使其相间，你可以做到吗？
将第二只杯子里的水倒入第七只杯子，将第四只杯子里的水
倒入第九只杯子里，这样就可以使其相间排列了。其实题目考的是
一种思维方式，解答的时候不要拘泥于题目本身，要开拓思路。
数学的学习也是一样，有时需要开拓思路. 换一种思维进行思
考，很多问题就会迎刃而解了.
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第14 讲
【真题易错】元
【真题易错】一元二次方
程的构造
更多精品课程加微信：M920853
第
14
讲
︻
真
题
易
错
︼
一
元
二
次
方
程
的
构
造
66
进阶拓展1
创新班专属
已知𝑎、𝑏、𝑐、𝑚、𝑛、𝑝均为实数，求证：(𝑎2 +𝑏2 +𝑐2)(𝑚2 +𝑛2 +𝑝2) ⩾(𝑎𝑚+𝑏𝑛+𝑐𝑝)2．
睛
点
法
方
观察到原不等式由一平方项和一乘积项组成
考虑与根的判别式形式相似，进而构造一元二次方程
更多精品课程加微信：M920853
第
14
讲
︻
真
题
易
错
︼
一
元
二
次
方
程
的
构
造
67
进阶拓展2
创新班专属
设𝑎1，𝑎2，𝑏1，𝑏2 都是实数，𝑎1 ≠𝑎2，且(𝑎1 +𝑏1)(𝑎1 +𝑏2) = (𝑎2 +𝑏1)(𝑎2 +𝑏2) = 1，求证：
(𝑎1 +𝑏1)(𝑎2 +𝑏1) = (𝑎1 +𝑏2)(𝑎2 +𝑏2) = −1．
睛
点
法
方
根据𝑎1 与𝑎2 在条件的两个乘积式中位置完全一致，考虑构造一以𝑎1 与𝑎2 为根
的一元二次方程
根据𝑏1 与𝑏2 在求证的两个乘积式中位置完全一致，考虑构造一以𝑏1 与𝑏2 为根
的一元二次方程
再利用根系关系尝试对两个方程进行转换
更多精品课程加微信：M920853
第
14
讲
︻
真
题
易
错
︼
一
元
二
次
方
程
的
构
造
68
进阶拓展3
创新班专属
设实数𝑎、𝑏、𝑐满足𝑎+𝑏+𝑐= 0，𝑎𝑏𝑐= 2．求𝑢= |𝑎|3 +|𝑏|3 +|𝑐|3 的最小值．
睛
点
法
方
根据条件发现可用𝑎表示𝑏与𝑐的和与积，判断三者正负性后将所求式表达为关
于𝑎的多项式
根据根系关系构造方程后利用方程有解的条件计算𝑎的取值范围后求解
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第15 讲
运算能力课——高
运算能力课——
高次方程不等式探究
模块一
二元二次方程组
模块二
高次方程的根系关系
模块三
高次不等式初识
更多精品课程加微信：M920853
第
15
讲
运
算
能
力
课
高
次
方
程
不
等
式
探
究
72
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
二元二次
方程组
二元二次方程（组）
的定义
★★★
例1
随堂练习1
消元思想解高次
方程组
★★★★
例2
随堂练习2、3
降次思想解高次
方程组
★★★★
例3-5
随堂练习4
利用根系关系
构造方程
★★★★★
例6、7
高次方程的
根系关系
利用高次根系关系
求解方程组
★★★★
例8
★★★★★
例9
高次不等式
初识
高次不等式求解
★★★★
例10
随堂练习5
更多精品课程加微信：M920853
第
15
讲
运
算
能
力
课
高
次
方
程
不
等
式
探
究
73
模块一
模块一
二元二次方程组
知识梳理
【二元二次方程】
仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2 的整式方程，叫做二元二次方
程.
关于𝑥、𝑦的二元二次方程的一般形式是：𝑎𝑥2 +𝑏𝑥𝑦+𝑐𝑦2 +𝑑𝑥+𝑒𝑦+𝑓= 0(𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，𝑒，𝑓都
是常数，且𝑎，𝑏，𝑐至少有一个不是零；当𝑏为零时，𝑎与𝑑以及𝑐与𝑒分别不全为零)．
例：𝑥2 +𝑦= 0；𝑥2 +𝑦2 = 2；3𝑥2 +3𝑥𝑦−𝑦2 +2𝑥−𝑦+12 = 0．
【二元二次方程组】
仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数是2 的方程组．
例：
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥2 +2𝑦
2 −1 = 0
𝑥+𝑦= 3
；
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥𝑦+𝑥= 20
𝑦= 4
．
典型例题1
（1）若(𝑎−2)𝑥𝑎2−2 +2𝑦= 10 是二元二次方程，则𝑎=
．
（2）下列方程组中是二元二次方程组的有
个．
(1)
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥−2𝑦= 3
𝑥𝑦= 1
(2)
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥2 −3𝑦= 2
𝑥(𝑥−2𝑥𝑦) = 1
(3)
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥2 −2𝑦2 = −2
𝑦= 3
(4)
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥+√𝑥𝑦= 7
𝑥−√𝑥𝑦= 5
(5)
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥𝑦= 4
𝑦𝑧= −2
(6)
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥= 4
𝑦2 = 20
更多精品课程加微信：M920853
第
15
讲
运
算
能
力
课
高
次
方
程
不
等
式
探
究
74
知识梳理
【解二元二次方程组的基本思想】
解二元二次方程组的基本思想是消元和降次．
【解二元二次方程的基本方法】
1. 代入消元法：把一个未知数用另一个未知数的代数式表示，代入消元，解一元方程，再
写出原方程的组．
2. 加减消元法：利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对
值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而
得以求解．
3. 利用因式分解转化为两个二元一次方程组，进行求解．
【解二元二次方程组的特殊方法】
1. 巧用韦达定理：有一类二元二次方程组，包含一个二元二次方程和一个二元一次方程，
这种二元二次方程组常常通过恒等变形，化为求解（一个或者多个）形如
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥+𝑦= 𝑎
𝑥𝑦= 𝑏
的方程组，进而应用韦达定理求解．
2. 换元法：有些复杂的二元二次方程可以考虑利用换元法解决问题，简化求解过程．
典型例题2
（1）解方程组：
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥2 +𝑦2 = 10
2𝑥−𝑦= 5
（2）解方程组：
⎧{{
⎨{{⎩
2𝑥2 +4𝑥𝑦−2𝑥−𝑦+2 = 0
3𝑥2 +6𝑥𝑦−𝑥+3𝑦= 0
更多精品课程加微信：M920853
第
15
讲
运
算
能
力
课
高
次
方
程
不
等
式
探
究
75
典型例题3
解方程组：
⎧{{
⎨{{⎩
2𝑥−𝑦−1 = 0
2𝑥2 +3𝑥𝑦+𝑦2 = 0
．
典型例题4
解方程组：
⎧{{
⎨{{⎩
1
3𝑥2 +2𝑥𝑦= 4
3𝑥𝑦+2𝑦2 = 6
更多精品课程加微信：M920853
第
15
讲
运
算
能
力
课
高
次
方
程
不
等
式
探
究
76
典型例题5
解方程组：
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥2 +2𝑥𝑦+2𝑦2 +3𝑥= 40
𝑥𝑦+𝑦2 +3𝑦= 24
典型例题6
解方程组：
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥+𝑦= 7
𝑥2 +𝑦2 +𝑥+𝑦= 32
更多精品课程加微信：M920853
第
15
讲
运
算
能
力
课
高
次
方
程
不
等
式
探
究
77
典型例题7
解方程组：
⎧{{
⎨{{⎩
3𝑥2 +7𝑥𝑦+3𝑦2 −4𝑥−4𝑦= 14
5𝑥2 +13𝑥𝑦+5𝑦2 −12𝑥−12𝑦= 6
更多精品课程加微信：M920853
第
15
讲
运
算
能
力
课
高
次
方
程
不
等
式
探
究
78
模块二
模块二
高次方程的根系关系
知识梳理
【高次方程中的韦达定理】
如果一元三次方程𝑎𝑥3 +𝑏𝑥2 +𝑐𝑥+𝑑= 0(𝑎≠0) 的三根为𝑥1、𝑥2、𝑥3，那么由因式定理，该
方程可以写成𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥3) = 0 的形式，展开后可以得到以下结论：
①𝑥1 +𝑥2 +𝑥3 = −𝑏
𝑎，
②𝑥1𝑥2 +𝑥1𝑥3 +𝑥2𝑥3 = 𝑐
𝑎，
③𝑥1𝑥2𝑥3 = −𝑑
𝑎．
一元四次方程也有类似的结论．
典型例题8
解方程组：
⎧{{{{
⎨{{{{⎩
𝑥+𝑦+𝑧= 9
𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥= 26
𝑥𝑦𝑧= 24
更多精品课程加微信：M920853
第
15
讲
运
算
能
力
课
高
次
方
程
不
等
式
探
究
79
典型例题9
解方程组
⎧{{{{
⎨{{{{⎩
𝑥+2𝑦+3𝑧= 6
𝑥2 +4𝑦2 +9𝑧2 = 14
𝑥3 +8𝑦3 +27𝑧3 = 36
更多精品课程加微信：M920853
第
15
讲
运
算
能
力
课
高
次
方
程
不
等
式
探
究
80
模块三
模块三
高次不等式初识
典型例题10
解不等式：
（1）(2−3𝑥)(5𝑥+1) < 0．
（2）(2−𝑥)(2𝑥+1)(3𝑥+5) > 0．
更多精品课程加微信：M920853
第
15
讲
运
算
能
力
课
高
次
方
程
不
等
式
探
究
81
随堂练习
随堂练习1
下列方程中是二元二次方程的为( )
A. 2𝑥2 +3𝑥−4 = 0
B. 𝑦2 +2𝑥= 0
C. 𝑥2 +√3−𝑦−7 = 0
D. 𝑦2 +
1
𝑥−3 = 0
随堂练习2
解方程组：
⎧{{
⎨{{⎩
2𝑥−𝑦= 3①
𝑦2 −4𝑥2 +6𝑥−3 = 0②
更多精品课程加微信：M920853
第
15
讲
运
算
能
力
课
高
次
方
程
不
等
式
探
究
82
随堂练习3
设方程组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥2 −𝑥−𝑦= 0
𝑦= 2𝑥−1
的解是
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥= 𝑥1
𝑦= 𝑦1
和
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥= 𝑥2
𝑦= 𝑦2
，
则1
𝑥1
+ 1
𝑥2
=
，𝑦1 ⋅𝑦2 =
．
随堂练习4
解方程组：
⎧{{
⎨{{⎩
𝑦= 𝑥2 −4𝑥+3
𝑥= 𝑦2 −4𝑦+3
随堂练习5
不等式−3𝑥2 +6𝑥> 2 的解集是（ ）．
A. −1−√3
3 < 𝑥< −1+ √3
3
B. 1−√3
3 < 𝑥< 1+ √3
3
C. 𝑥< 1−√3
3 或𝑥> 1+ √3
3
D. 𝑥< −1−√3
3 或𝑥> −1+ √3
3
更多精品课程加微信：M920853
第
15
讲
运
算
能
力
课
高
次
方
程
不
等
式
探
究
83
思维游戏
礼服和围巾的问题
下面有3 个礼盒，分别装着“3 条围巾”，
“3 件晚礼服”，
“2 件晚
礼服，1 条围巾”，标签写着对应的内容，但是贴标签时全部贴错了。
请问：你应在哪几个盒子里至少检查多少物品，才能确定哪只
盒子里有什么物品？
你只需要检查“2 件晚礼服、1 条围巾”的盒子里装的是什么物
品，就行了。如果里面装的是3 件晚礼服，那么“3 条围巾”的盒子
里装的就是“2 件晚礼服、1 条围巾”，另一个盒子里装的就是3 条
围巾；如果里面装的是3 条围巾，那么“3 件晚礼服”的盒子里装
的就是“2 件晚礼服、1 条围巾”，另一个盒子里装的就是“3 件晚礼
服”。
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第16 讲
【真题易错】高次
【真题易错】高次方程不
等式探究
更多精品课程加微信：M920853
第
16
讲
︻
真
题
易
错
︼
高
次
方
程
不
等
式
探
究
86
进阶拓展1
创新班专属
解方程组：
⎧{{
⎨{{⎩
𝑦2 = 𝑥3 −3𝑥2 +2𝑥
𝑥2 = 𝑦3 −3𝑦2 +2𝑦
睛
点
法
方
观察到方程组中两个方程同次项系数完全一致
考虑做差后所有同次数项均可提公因式(𝑥−𝑦)
更多精品课程加微信：M920853
第
16
讲
︻
真
题
易
错
︼
高
次
方
程
不
等
式
探
究
87
进阶拓展2
创新班专属
解方程组：
⎧{{{{
⎨{{{{⎩
𝑥𝑦+𝑥+𝑦= 1
𝑦𝑧+𝑦+𝑧= 5
𝑧𝑥+𝑧+𝑥= 2
进阶拓展3
创新班专属
解方程组：
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥2 +𝑦2 = 52①
𝑥𝑦+𝑥+𝑦= 34②
更多精品课程加微信：M920853
第
16
讲
︻
真
题
易
错
︼
高
次
方
程
不
等
式
探
究
88
进阶拓展4
创新班专属
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥3 +𝑦3 = 40
𝑥2𝑦+𝑥𝑦2 = 8
睛
点
法
方
对方程一侧进行因式分解后尝试利用换元法简化高次方程
再进行求解
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第17 讲
运算能力课——
运算能力课——
反比例函数探究
模块一
反比例函数的基本概念
模块二
反比例函数的图象和性质
模块三
求反比例函数解析式进阶
更多精品课程加微信：M920853
第
17
讲
运
算
能
力
课
反
比
例
函
数
探
究
92
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
反比例函数
的基本概念
反比例函数的定义
★★★
例1
随堂练习1
求反比例函数解析式
★★★★
例2
随堂练习2
★★★★★
例3
反比例函数的
图象和性质
根据图象比较系数
★★★★
例4
随堂练习4
图象对称性
★★★★
例5
图象的判定
★★★★
例6
随堂练习3
★★★★★
例7
反比例函数面积
不变性
★★★★
例8
随堂练习5
★★★★★
例9、10
求反比例函数
解析式进阶
代几综合求解析式
★★★★★
例11、12
更多精品课程加微信：M920853
第
17
讲
运
算
能
力
课
反
比
例
函
数
探
究
93
模块一
模块一
反比例函数的基本概念
知识梳理
【反比例函数的概念】
一般地，形如𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘≠0，𝑘为常数) 的函数称为反比例函数．其中𝑥是自变量，自变量𝑥
的取值范围为不等于0 的一切实数．
【反比例函数解析式求法】
反比例函数的解析式𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘≠0) 中只有一个系数𝑘，确定了𝑘的值，也就确定了反比例
函数的解析式．因此，只需给出一组𝑥、𝑦的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数
法，即可确定反比例函数的解析式．
典型例题1
（1）下列函数：①𝑦= 2
𝑥；②𝑦= −4
3𝑥；③𝑦= 𝑘
𝑥；④𝑦= 𝑚2 +2
𝑥
中，一定是反比例函数的有
( )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
（2）已知𝑦= (𝑚2 +2𝑚)𝑥𝑚2+𝑚−1 是关于𝑥的反比例函数，求𝑚的值及函数的解析式．
更多精品课程加微信：M920853
第
17
讲
运
算
能
力
课
反
比
例
函
数
探
究
94
典型例题2
（1）一个反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘≠0) 的图象经过点𝑃(−2，−1)，则该反比例函数的解析式
是
．
（2）将𝑥= 2
3 代入反比例函数𝑦= −1
𝑥中，所得函数值记为𝑦1，又将𝑥= 𝑦1 +1 代入反比
例函数的关系式中，所得函数值记为𝑦2，再将𝑥= 𝑦2 +1 代入函数中，所得函数值记
为𝑦3，……，如此继续下去，则𝑦2016 =
．
典型例题3
已知函数𝑦= 𝑦1 +𝑦2，其中𝑦1 是关于𝑥的正比例函数，𝑦2 是关于𝑥的反比例函数．且当
𝑥= 2 时，𝑦= 8；当𝑥= 4 时，𝑦= 13．试确定𝑦与𝑥的解析式．
更多精品课程加微信：M920853
第
17
讲
运
算
能
力
课
反
比
例
函
数
探
究
95
模块二
模块二
反比例函数的图象和性质
知识梳理
【反比例函数的图象】
反比例函数的图象由两条曲线组成，每条曲线随着𝑥的不断增大(或减小) 越来越接近坐
标轴，反比例函数的图象属于双曲线．
反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥与𝑦= −𝑘
𝑥(𝑘≠0) 的图象关于𝑥轴对称，也关于𝑦轴对称．
【反比例函数的性质】
1. 反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘为常数，𝑘≠0) 的图象是双曲线；
2. 当𝑘> 0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，𝑦随𝑥的增大而减
小；
3. 当𝑘< 0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，𝑦随𝑥的增大而增
大．
更多精品课程加微信：M920853
第
17
讲
运
算
能
力
课
反
比
例
函
数
探
究
96
典型例题4
（1）若𝐴(𝑎1，𝑏1)，𝐵(𝑎2，𝑏2) 是反比例函数𝑦= −√2
𝑥
图象上的两个点，且𝑎1 < 𝑎2，则𝑏1
与𝑏2 的大小关系是( )
A. 𝑏1 < 𝑏2
B. 𝑏1 = 𝑏2
C. 𝑏1 > 𝑏2
D. 大小不确定
（2）如图是三个反比例函数𝑦= 𝑘1
𝑥，𝑦= 𝑘2
𝑥，𝑦= 𝑘3
𝑥在𝑥轴上方的图象，由此观察得到
𝑘1，𝑘2，𝑘3 的大小关系为
．
更多精品课程加微信：M920853
第
17
讲
运
算
能
力
课
反
比
例
函
数
探
究
97
典型例题5
（1）如图，⊙𝐴和⊙𝐵都与𝑥轴和𝑦轴相切，圆心𝐴和圆心𝐵都在反比例函数𝑦= 1
𝑥的
图象上，则图中阴影部分的面积等于
．
（2）直线𝑦= 𝑎𝑥(𝑎> 0) 与双曲线𝑦= 3
𝑥交于𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2) 两点，则4𝑥1𝑦2−3𝑥2𝑦1 =
．
更多精品课程加微信：M920853
第
17
讲
运
算
能
力
课
反
比
例
函
数
探
究
98
典型例题6
函数𝑦= 𝑘
|𝑥|(𝑘> 0) 的图象可能是( )
典型例题7
（1）当𝑎≠0 时，函数𝑦= 𝑎𝑥+1 与函数𝑦= 𝑎
𝑥在同一坐标系中的图象可能是（ ）．
A.
B.
C.
D.
更多精品课程加微信：M920853
第
17
讲
运
算
能
力
课
反
比
例
函
数
探
究
99
（2）已知𝑎≠0，𝑏≠0，𝑎+𝑏≠0 则函数𝑦= 𝑎𝑥+𝑏与𝑦= 𝑎+𝑏
𝑥
在同一坐标系中的图象不
可能是( )
知识梳理
【反比例函数比例系数的几何意义】
过反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘≠0)，图象上一点𝑃(𝑥，𝑦)，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、𝑃点
组成一个矩形，矩形的面积𝑆= |𝑥|⋅∣𝑦∣= ∣𝑥𝑦∣= |𝑘|．
1. 矩形面积不变性
如图，在反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘≠0) 的图象上任取点𝐴、𝐵、𝐶，过𝐴、𝐵、𝐶向𝑥、𝑦轴引垂线，
垂足分别为𝐴1、𝐴2、𝐵1、𝐵2、𝐶1、𝐶2，则𝑆矩形𝐴𝐴1𝑂𝐴2 = 𝑆矩形𝐵𝐵1𝑂𝐵2 = 𝑆矩形𝐶𝐶1𝑂𝐶2= |𝑘|
更多精品课程加微信：M920853
第
17
讲
运
算
能
力
课
反
比
例
函
数
探
究
100
2. 三角形面积不变性
如图，在反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘≠0) 的图象上任取点𝐴、𝐵、𝐶，过𝐴、𝐵、𝐶向𝑥或𝑦轴引垂
线，垂足分别为𝐴1、𝐵1、𝐶2，则𝑆Rt△𝐴𝐴1𝑂= 𝑆Rt△𝐵𝐵1𝑂= 𝑆Rt△𝑂𝐶𝐶2= 1
2 |𝑘|
3. 梯形面积不变性
如图，在反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘≠0) 的图象上任取点𝐴、𝐵，过𝐴、𝐵向𝑥、𝑦轴引垂线，垂足
分别为𝐴1、𝐴2、𝐵1、𝐵2，则𝑆梯形𝐴𝐵𝐵1𝐴1 = 𝑆梯形𝐴𝐵𝐵2𝐴2 = 𝑆△𝑂𝐴𝐵
更多精品课程加微信：M920853
第
17
讲
运
算
能
力
课
反
比
例
函
数
探
究
101
典型例题8
（1）如图，正比例函数𝑦= 𝑘𝑥和𝑦= 𝑎𝑥(𝑎> 0) 的图象与反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘> 0) 的图象
分别相交于𝐴点和𝐶点．若Rt△𝐴𝑂𝐵和Rt△𝐶𝑂𝐷的面积分别为𝑆1 和𝑆2，则𝑆1
与𝑆2 的关系是( )
A. 𝑆1 > 𝑆2
B. 𝑆1 = 𝑆2
C. 𝑆1 < 𝑆2
D. 不能确定
（2）如图，直线𝑙交𝑦轴于点𝐶，与双曲线𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘< 0) 交于𝐴、𝐵两点，𝑃是线段𝐴𝐵上
的点(不与𝐴、𝐵重合)，𝑄为线段𝐵𝐶上的点(不与𝐵、𝐶重合)，过点𝐴、𝑃、𝑄分别向
𝑥轴作垂线，垂足分别为𝐷、𝐸、𝐹，连接𝑂𝐴、𝑂𝑃、𝑂𝑄，设△𝐴𝑂𝐷的面积为𝑆1、△𝑃𝑂𝐸
的面积为𝑆2、△𝑄𝑂𝐹的面积为𝑆3，则有( )
A. 𝑆1 < 𝑆2 < 𝑆3
B. 𝑆3 < 𝑆1 < 𝑆2
C. 𝑆3 < 𝑆2 < 𝑆1
D. 𝑆1 = 𝑆2 = 𝑆3
更多精品课程加微信：M920853
第
17
讲
运
算
能
力
课
反
比
例
函
数
探
究
102
典型例题9
（1）如图，过𝑥轴正半轴上的任意一点𝑃，作𝑦轴的平行线，分别与反比例函数𝑦= −6
𝑥
和𝑦= 4
𝑥的图象交于𝐴、𝐵两点. 若点𝐶是𝑦轴上任意一点，连接𝐴𝐶、𝐵𝐶，则△𝐴𝐵𝐶
的面积为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 10
（2）如图，曲线𝐶2 是双曲线𝐶1 ∶𝑦= 6
𝑥(𝑥> 0) 绕原点𝑂逆时针旋转45∘得到的图形，𝑃
是曲线𝐶2 上任意一点，点𝐴在直线𝑙∶𝑦= 𝑥上，且𝑃𝐴= 𝑃𝑂，则△𝑃𝑂𝐴的面积等于
( )
A. √6
B. 6
C. 3
D. 12
更多精品课程加微信：M920853
第
17
讲
运
算
能
力
课
反
比
例
函
数
探
究
103
典型例题10
如图，反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥(𝑥> 0) 的图象经过矩形𝑂𝐴𝐵𝐶对角线的交点𝑀，分别与𝐴𝐵、𝐵𝐶
相交于点𝐷、𝐸．若四边形𝑂𝐷𝐵𝐸的面积为6，则𝑘的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
更多精品课程加微信：M920853
第
17
讲
运
算
能
力
课
反
比
例
函
数
探
究
104
模块三
模块三
求反比例函数解析式进阶
典型例题11
如图，𝑂𝐴= 𝐴𝐵，∠𝑂𝐴𝐵= 90∘，双曲线𝑦= −8
𝑥经过点𝐴，双曲线𝑦= 𝑚
𝑥经过点𝐵，已知点𝐴
的纵坐标为−2，则𝑚=
．
典型例题12
如图，点𝐴(𝑎,2)、𝐵(−2,𝑏) 都在双曲线𝑦= 𝑘
𝑥(𝑥< 0) 上，点𝑃、𝑄分别是𝑥轴、𝑦轴上的
动点，当四边形𝑃𝐴𝐵𝑄的周长取最小值时，𝑃𝑄所在直线的解析式是𝑦= 𝑥+ 3
2，则𝑘=
．
更多精品课程加微信：M920853
第
17
讲
运
算
能
力
课
反
比
例
函
数
探
究
105
随堂练习
随堂练习1
若函数𝑦= 𝑚−1
𝑥|𝑚|
为反比例函数，则𝑚=
．
随堂练习2
已知反比例函数的图象经过点(3，2) 和(𝑚,−2)，则𝑚的值是
．
随堂练习3
一次函数𝑦= 𝑥+𝑚与反比例函数𝑦= 𝑚
𝑥(𝑚≠0) 在同一坐标系内的图象可以是( )
更多精品课程加微信：M920853
第
17
讲
运
算
能
力
课
反
比
例
函
数
探
究
106
随堂练习4
直线𝑦= 𝑘𝑥(𝑘> 0) 与双曲线𝑦= 4
𝑥交于𝐴(𝑥1，𝑦1)，𝐵(𝑥2，𝑦2) 两点，则2𝑥1𝑦2 −7𝑥2𝑦1 =
．
随堂练习5
如图，𝐴，𝐵，𝐶为反比例函数图象上的三个点，分别从𝐴，𝐵，𝐶向𝑥，𝑦轴作垂线，构成三个
矩形，它们的面积分别是𝑆1，𝑆2，𝑆3，则𝑆1，𝑆2，𝑆3 的大小关系是( )
A. 𝑆1 = 𝑆2 > 𝑆3
B. 𝑆1 < 𝑆2 < 𝑆3
C. 𝑆1 > 𝑆2 > 𝑆3
D. 𝑆1 = 𝑆2 = 𝑆3
更多精品课程加微信：M920853
第
17
讲
运
算
能
力
课
反
比
例
函
数
探
究
107
思维游戏
马圈趣题
牧马人有21 匹马，他想把它们圈在一个正方形的马圈中，并
在马圈内用栅栏隔成4 个小正方形马圈，使每个小正方形马圈里
都有偶数对马再加上一匹马。
你能帮牧马人造出来吗？
如果你够聪明，肯定已经想到用层层嵌套的方法，把一个马圈
套在另一个马圈里头。如图所示：
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第18 讲
【真题易错】反
【真题易错】反比例函数
探究
更多精品课程加微信：M920853
第
18
讲
︻
真
题
易
错
︼
反
比
例
函
数
探
究
110
进阶拓展1
创新班专属
在反比例函数𝑦= 12
𝑥(𝑥> 0) 的图象上，有一系列点𝐴1，𝐴2，𝐴3，⋯，𝐴𝑛，𝐴𝑛+1，若𝐴1 的横坐
标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标差2，现分别过点𝐴1，𝐴2，𝐴3，𝐴4，⋯,𝐴𝑛，
𝐴𝑛+1 作𝑥轴与𝑦轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右
依次记为𝑆1，𝑆2，𝑆3，…，𝑆𝑛，则𝑆1 =
，𝑆1 +𝑆2 +𝑆3 +⋯+𝑆𝑛=
．(用含𝑛
的代数式表示)
更多精品课程加微信：M920853
第
18
讲
︻
真
题
易
错
︼
反
比
例
函
数
探
究
111
进阶拓展2
创新班专属
两个反比例函数𝑦= 3
𝑥，𝑦= 6
𝑥在第一象限内的图象如图所示．点𝑃1，𝑃2，⋯，𝑃2005 在反比
例函数𝑦= 6
𝑥的图象上，它们的横坐标分别为𝑥1，𝑥2，⋯，𝑥2005，纵坐标分别为1，3，5，⋯，
4009，共2005 个连续的正奇数．过点𝑃1，𝑃2，⋯，𝑃2005 分别作𝑦轴的平行线，与𝑦= 3
𝑥的
图象依次交于点𝑄1 (𝑥1,𝑦1)，𝑄2 (𝑥2,𝑦2)，⋯，𝑄2005 (𝑥2005,𝑦2005)，则𝑦2005 =
．
更多精品课程加微信：M920853
第
18
讲
︻
真
题
易
错
︼
反
比
例
函
数
探
究
112
进阶拓展3
创新班专属
如图所示𝑃1(𝑥1，𝑦1)，𝑃2(𝑥2，𝑦2)，……，𝑃𝑛(𝑥𝑛，𝑦𝑛) 在函数𝑦= 9
𝑥(𝑥> 0) 的图象上，
△𝑂𝑃1𝐴1，△𝑃2𝐴1𝐴2，△𝑃3𝐴2𝐴3，…，△𝑃𝑛𝐴𝑛−1𝐴𝑛，…都是等腰直角三角形，斜边𝑂𝐴1，
𝐴1𝐴2，⋯，𝐴𝑛−1𝐴𝑛都在𝑥轴上，则𝑦1 +𝑦2 +⋯+𝑦𝑛=
．
睛
点
法
方
与反比例函数图象结合的规律探究问题，可对结论进行归纳
出题形式灵活，可与多个知识模块进行结合
更多精品课程加微信：M920853
第
18
讲
︻
真
题
易
错
︼
反
比
例
函
数
探
究
113
进阶拓展4
创新班专属
如图，把函数𝑦= 𝑥的图象上各点的纵坐标变为原来的2 倍，横坐标不变，得到函数𝑦= 2𝑥
的图象；也可以把函数𝑦= 𝑥的图象上各点的横坐标变为原来的1
2 倍，纵坐标不变，得到
函数𝑦= 2𝑥的图象.
类似地，我们可以认识其他函数.
（1）把函数𝑦= 1
𝑥的图象上各点的纵坐标变为原来的
倍，横坐标不变，得到函数
𝑦= 6
𝑥的图象；也可以把函数𝑦= 1
𝑥的图象上各点的横坐标变为原来的
倍，
纵坐标不变，得到函数𝑦= 6
𝑥的图象.
（2）函数𝑦= 1
𝑥的图象可以经过怎样的变化得到函数𝑦= −2𝑥+1
2𝑥+4 的图象？(写出一种即
可)
睛
点
法
方
除题干中提及的图象变换与函数解析式的联系外此题还需要与之前学习过的恒等
变形技巧与其他几何变换结合进行求解
更多精品课程加微信：M920853
11220922500794
更多精品课程加微信：M920853
