第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
2
“
”
很开心能见到你，本书将带领你进入全新的领域。在过去
的学习中，无论你是卓越还是略有失意，此刻将是新的征途的开
始。你是否已准备好谱写新的辉煌？
在这里，你会知道许多著名数学家的趣事。你也会揭开数学
神秘的面纱，了解数学之美。
大数学家高斯说：“数学是一切科学的皇后。”如果说物理是
上帝的游戏，那数学就是上帝的游戏规则。数学是通往星辰大海
的秘钥，是国防科技的护盾，是我们脚下这片土地的未来。华罗
庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”
现在的你，肯定已迫不及待想要扬帆起航。但睿智的你肯定
也明白，学习的事，容不得半点含糊。
亲爱的同学：
第一，凡事预则立，不预则废。
第二，认真听课，积极互动。认真做笔记，总结解题方法、技巧。
第三，温故而知新，可以为师矣。不忘温习，方得始终。
第四，及时完成随堂练习。今朝有题今朝做，明朝又有明朝事。
第五，整理错题，学会总结。聪明人知错就改，糊涂人有错就瞒。
最后，青春的帆已扬起，只待你乘风破浪，勇往直前。
对于初中直播课学习，给你一些建议：
序言
华
罗
庚
高
斯
第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
3
1
心形函数曲线
π
5
2
3
4
金字塔
有趣的黄金分割线
对称美
古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线条和其他一切
美的形体都必须有对称的形式。”对称本身即具有和谐的
整体美。
早在南北朝时期，大数学家祖冲之就利用割圆术将圆周
率π精算到小数点后七位，直到15世纪，阿拉伯数学
家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
金字塔，是古埃及人智慧代表的巅峰之作。早在古希腊
时期，几何学家泰勒斯就可以根据投影与相似三角形定
理，测量出金字塔的高度。
0.618比1，著名的“黄金分割比”。意大利著名画家
达·芬奇笔下的《蒙娜丽莎》就多次应用黄金分割比，
蒙娜丽莎之所以越看越美，就是因为她的脸型、身材均
符合黄金矩形。
笛卡尔给公主的信中，只有一道函数公式：r=a(1-sinθ）。
而极具浪漫色彩的是，当公主把函数图象画出来后，一颗饱满
的心跃然纸上。这就是著名的“心形线”。
第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
5
希望学教研团队
亲爱的同学：
当你翻开这本书的时候，你又开始了一段新的学习之旅。
本书由希望学教研团队编写而成。团队有多年的教研沉淀，致力于
为同学们提供小学、初中和高中全学科的课外有益补充，培养学生分
析问题和自主解决问题的能力。锻炼思维，开拓视野，由“知识型”
向“能力型”转化。
下面我们将向你介绍本书的诞生过程：
1、对标教材和课程标准建立课程大纲
希望学教研团队根据教育部审定的最新中学教材，选取重难点模
块，收集各地区题目，精心敲定教学大纲。
2、依据大数据、编撰高标准
①依托多年教研沉淀，精品题库、讲义素材、课件切片等四大库教
研基建，为讲义编撰提供优质素材；
②希望学大数据核心算法定位学习中的薄弱环节；
③百人教研团队，历经1000+小时，严格按照大纲目录进行编写，
三轮审核三轮校对。
3、三审三校
初稿经由希望学教研中心内部一审，学科产品、教学中心、主讲老
师集中二审，外部专家专业三审后进入校对环节。
由编者一次精校；教研中心资深教研员二次精校；排版团队三次精
校。只有经过全面的三审三校，这本书才能发送给我们的用户！
4、排版
编撰与审校结束后，会安排专业团队进行排版印刷。模板和风格由
专业设计师进行设计，并不断更新迭代，紧跟审美风向标，提升可读
性。由供应部门统一调配和发货，这本书就会到达你的手中啦！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！接下来的每一天，我们都会在
你的见证下不断精进，不断成长。
未来，希望学也会继续承担起用科技推动教育进步的重任，不断致
力于教育资源的均衡发展。伴随着你的成长，见证着你的成功，每天
进步一点点，一起做更好的自己！
目录
Contents
第1 讲
期末押题课（赠）
选取最新试题，班主任老师发送电子版讲义
第2 讲
一轮基础梳理——三角形的全等与相似
1
模块一
全等三角形·················································3
模块二
相似三角形················································12
随堂练习······························································16
第3 讲
一轮基础梳理——特殊三角形与四边形
21
模块一
等腰三角形················································23
模块二
直角三角形················································27
模块三
四边形性质与判定·······································30
模块四
四边形综合················································33
随堂练习······························································37
第4 讲
一轮基础梳理——圆
41
模块一
圆的基本性质·············································43
模块二
圆的切线··················································49
模块三
圆的综合应用·············································54
随堂练习······························································56
第5 讲
一轮基础梳理——代数基础
61
模块一
数式运算····················································63
模块二
方程··························································64
模块三
不等式·······················································69
模块四
方程不等式实际应用······································72
随堂练习································································74
第6 讲
一轮基础梳理——一次函数与反比例函数
79
模块一
一次函数····················································81
模块二
反比例函数··················································87
模块三
综合进阶····················································91
随堂练习································································94
第7 讲
一轮基础梳理——二次函数
99
模块一
二次函数性质·············································101
模块二
二次函数最值·············································105
模块三
二次函数综合·············································107
随堂练习·······························································109
第8 讲
二轮专题训练——二次函数存在性问题
113
模块一
二次函数的角度问题·····································115
模块二
相似三角形存在性········································119
随堂练习·······························································122
讲
第2
一轮基础梳理——三角形
的全等与相似
模块一
全等三角形
模块二
相似三角形
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
2
本讲概况
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
全等三角形
全等模型
★★★
例1、2
随堂练习1
★★★★
例3、4
全等辅助线
★★★
例5
★★★★
例6
相似三角形
相似模型
★★★
例7
相似模型进阶
★★★★
例8-10
随堂练习2
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
3
模块一
全等三角形
知识梳理
全等三角形模型
三垂直全等模型
如图1、2，△𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，根据“同角的余角相等”可得∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐴𝐹或
∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐶𝐹，因此可得△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐴𝐹.
三垂直模型的其他使用场景：
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
4
拓展：一线三等角模型
手拉手全等模型
如图，△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐷都是等腰三角形，𝐴𝐵= 𝐴𝐸，𝐴𝐶= 𝐴𝐷，且∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷= 𝛼．
可得到结论：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐶；𝐵𝐷= 𝐸𝐶；∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝐶𝑂𝐷= 𝛼.
手拉手模型的其他常见变形：
等边三角形
等腰直角三角形
正方形
错位手拉手模型
已知等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶和等腰直角三角形𝐴𝐸𝐷，连接𝐵𝐷、𝐶𝐸，若𝐺是𝐶𝐸的中点，
且𝐴𝐺所在直线交𝐵𝐷于𝐹，则有结论：𝐴𝐺⊥𝐵𝐷（即𝐴𝐹⊥𝐵𝐷），且𝐴𝐺= 1
2𝐵𝐷.
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
5
角含半角全等模型
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸是𝐴𝐷边上一点，𝐹是𝐶𝐷边上一点，若∠𝐸𝐵𝐹= 45∘，则
𝐴𝐸+𝐶𝐹= 𝐸𝐹.
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶= 90∘，𝐴𝐶边上两点𝐸、𝐹，若∠𝐸𝐵𝐹= 45∘，则𝐴𝐸2 +
𝐶𝐹2 = 𝐸𝐹2．
对角互补全等模型
如图，已知𝐴𝐷= 𝐷𝐶，∠𝐴+∠𝐷𝐶𝐵= 180∘，通过△𝐷𝐴𝐵≌△𝐷𝐶𝐸可得𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶.
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
6
精讲精练
知识模型
全等模型
典型例题1
如图，在平面直角坐标系中，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴在𝑥轴正半轴上，顶点𝐵，𝐶在第一
象限，顶点𝐷的坐标为(5
2,2)．反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥（常数𝑘> 0，𝑥> 0）的图象恰好经过正
方形𝐴𝐵𝐶𝐷的两个顶点，则𝑘的值是
．
典型例题2
如图，已知点𝐴(3,0)，点𝐵在𝑦轴正半轴上，将线段𝐴𝐵绕点𝐴顺时针旋转120∘到线段
𝐴𝐶，若点𝐶的坐标为(7,ℎ)，则ℎ=
．
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
7
典型例题3
如图，𝐸，𝐹分别是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷边𝐴𝐵，𝐵𝐶上的点，𝐵𝐸= 𝐵𝐹= 2．以𝐷𝐸，𝐷𝐹为边作平
行四边形𝐷𝐸𝐺𝐹，延长𝐺𝐸交𝐴𝐷于点𝐻，连接𝐻𝐹．若𝐻𝐹⊥𝐸𝐷，则𝐴𝐸的长为（ ）．
A. 3
2
B. √2
C. 2√3−2
D. 2√2−2
典型例题4
如图，在△𝐴𝐵𝐶、△𝐴𝐷𝐸中，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，𝐴𝐹是△𝐴𝐷𝐶的
中线，𝐶，𝐷，𝐸三点在一条直线上，连接𝐵𝐷，𝐵𝐸，以下六个结论：①𝐵𝐷= 𝐶𝐸；②𝐵𝐷⊥𝐶𝐸；
③𝐷𝐴平分∠𝐵𝐷𝐸；④∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐵𝐶= 45∘；⑤2𝐴𝐹= 𝐵𝐸；⑥𝐵𝐸⊥𝐴𝐹中，正确的个数是
（ ）．
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
8
知识梳理
全等三角形辅助线
见中垂，连两端
见角平分线，构造轴对称
见中线，则倍长
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
9
见线段和差，则截长补短
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
10
精讲精练
知识模型
全等辅助线
典型例题5
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵> 𝐴𝐶，在𝐴𝐵上取一点𝐸，使得𝐴𝐸= 𝐴𝐶，过点𝐸作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，交
𝐵𝐶于点𝐷，连接𝐴𝐷，已知𝐶𝐷= 𝐷𝐸．
（1）求证：𝐴𝐶⊥𝐵𝐶．
（2）若𝐴𝐵= 2√13，𝐷𝐸
𝐵𝐸= 3
2，求𝐵𝐷的长．
（3）若𝐹是𝐴𝐵的中点，连接𝐶𝐹，交𝐴𝐷于点𝐺，若𝐶𝐷= 𝐷𝐺，求证：𝐴𝐹−𝐵𝐸= 𝐶𝐺．
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
11
典型例题6
在Rt△𝐴𝐵𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷= 90∘，𝐴𝐵= 5，过点𝐴作𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，垂足为𝐶，且𝐴𝐶= 4，𝐸是线段
𝐶𝐷上一点，过𝐸作𝐸𝐹⊥𝐴𝐷，垂足为𝐹．
（1）请直接写出𝐴𝐷的长为
．
（2）如图1，若点𝐹在∠𝐴𝐵𝐷的角平分线上，求𝐷𝐹的长．
（3）如图2，连接𝐶𝐹，点𝐺为点𝐴关于𝐶𝐹的对称点．
①连接𝐷𝐺，𝐶𝐺，当四边形𝐶𝐺𝐷𝐹中有两边互相平行时，求𝐶𝐸的长．
②连接𝐴𝐺交𝐵𝐷于点𝐻，点𝐻在点𝐸的上方，若∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐸𝐴𝐻= 30∘，则𝐻𝐺
𝐴𝐻=
．
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
12
模块二
相似三角形
知识梳理
相似三角形模型
“A”字型相似与“8”字型相似
三平行型相似(两“A”一“8”字)
反“A”型相似与反“8”型相似
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
13
双垂直型相似
三垂直型相似
一线三等角型相似
旋转型相似及变式
构造旋转型相似
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
14
精讲精练
知识模型
相似模型
典型例题7
边长分别为10，6，4 的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图
中阴影部分的面积为
．
知识模型
相似模型进阶
典型例题8
如图，已知在两个直角顶点重合的Rt△𝐴𝐵𝐶和Rt△𝐶𝐷𝐸中，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 90∘，∠𝐶𝐴𝐵
= ∠𝐶𝐷𝐸= 30∘，𝐵𝐶= 3，𝐶𝐸= 2，将△𝐶𝐷𝐸绕着点𝐶顺时针旋转，当点𝐷恰好落在𝐴𝐵
边上时，连接𝐵𝐸，那么𝐵𝐸=
．
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
15
典型例题9
如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为12，𝐸是𝐴𝐵中点，𝐹是对角线𝐴𝐶上一点，且𝐴𝐹
𝐴𝐶= 1
3，在
𝐶𝐷上取点𝐺，使得∠𝐹𝐸𝐺= 45∘，𝐸𝐺交𝐴𝐶于𝐻，则𝐶𝐻的长为（ ）．
A. 4
B. 5√2
2
C. 3√2
D. 7√2
2
典型例题10
如图，一个由8 个正方形组成的“𝐶”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角
顶点𝑀，𝑁，𝑂，𝑃，𝑄都在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边上，若8 个小正方形的面积均为1，则边𝐴𝐵的
长为
．
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
16
随堂练习1
如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，垂足为𝐸，𝐵𝐹//𝐴𝐶交𝐸𝐷的延长线于点𝐹，
若𝐵𝐶恰好平分∠𝐴𝐵𝐹，𝐴𝐸= 2𝐵𝐹．给出下列四个结论：
①𝐷𝐸= 𝐷𝐹；②𝐷𝐵= 𝐷𝐶；③𝐴𝐷⊥𝐵𝐶；④𝐴𝐶= 3𝐵𝐹，
其中正确的结论共有（ ）
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
17
随堂练习2
已知：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷为𝐵𝐶边的中点，点𝐹是𝐴𝐵边上一点，点𝐸在线段
𝐷𝐹的延长线上，∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐷𝐹，点𝑀在线段𝐷𝐹上，∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐷𝐵𝑀．
（1）如图1，当∠𝐴𝐵𝐶= 45∘时，求证𝐴𝐸= √2𝑀𝐷．
（2）如图2，当∠𝐴𝐵𝐶= 60∘时，则线段𝐴𝐸、𝑀𝐷之间的数量关系为
．
（3）在(2) 的条件下，延长𝐵𝑀到𝑃，使𝑀𝑃= 𝐵𝑀，连接𝐶𝑃，若𝐴𝐵= 7，𝐴𝐸= 2√7，求
tan∠𝐵𝐶𝑃的值．
第
2
讲
三
角
形
的
全
等
与
相
似
18
思维游戏
帽子大猜测
在一个生日派对上，准备了3 顶蓝帽子和2 顶红帽子。在前
面扮演小丑的大毛、二毛、三毛排成一列站着。大毛后面站着二毛，
二毛后面站着三毛。
他们每人头上都戴上一项帽子，剩下的帽子被藏了起来。他们
可以看到前面所有的人帽子的颜色，但看不到自己的。
“三毛，你的帽子是什么颜色？”
“不知道。”
“二毛呢？”
“我也不知道”。
听到上面的对话，谁的帽子都看不到的大毛却说：
“啊！我知道
了”。
请问：大毛的帽子是什么颜色？
大毛的帽子是蓝色的。
讲
第3
一轮基础梳理——特殊三
角形与四边形
模块一
等腰三角形
模块二
直角三角形
模块三
四边形性质与判定
模块四
四边形综合
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
22
本讲概况
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
等腰三角形
问题初步
★★★
例1、2
随堂练习1
面积问题
★★★★
例3
存在性问题
★★★★
例4
直角三角形
直角三角形综合
★★★★
例5、6
随堂练习2、3
存在性问题
★★★★
例7
四边形性质与
判定
正方形与相似
★★★★
例8
正方形与全等
★★★★★
例9
四边形综合
问题初步
★★★★
例10、11
随堂练习4
综合进阶
★★★★★
例12
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
23
模块一
等腰三角形
知识梳理
等腰三角形
1. 性质
（1）两腰相等（两圆一线构造法）
（2）两底角相等（底角=90∘-1
2 顶角）
（3）三线合一（对称性）
2. 特殊等腰三角形
3. 常见技巧
（1）辅助线：等腰常作底边高
（2）多解问题：锐角、钝角等腰三角形；腰和底边的分类讨论
（3）构造等腰三角形
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
24
（4）等边三角形的高和面积
若等边三角形的边长为𝑎，则它的高ℎ= √3
2 𝑎，它的面积𝑆= √3
4 𝑎2
精讲精练
知识模型
问题初步
典型例题1
如图，𝑀，𝑁是∠𝐴𝑂𝐵的边𝑂𝐴上的两个点（0 < 𝑂𝑀< 𝑂𝑁），∠𝐴𝑂𝐵= 45∘，𝑂𝑀= 𝑎，𝑀𝑁
= 4．若边𝑂𝐵上有且只有1 个点𝑃，满足△𝑃𝑀𝑁是等腰三角形，则𝑎的取值范围是
．
典型例题2
如图，𝑃为等腰△𝐴𝐵𝐶内一点，过点𝑃分别作三条边𝐵𝐶、𝐶𝐴、𝐴𝐵的垂线，垂足分别为𝐷、
𝐸、𝐹，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 10，𝐵𝐶= 12，且𝑃𝐷∶𝑃𝐸∶𝑃𝐹= 1 ∶3 ∶3，则𝐴𝑃的长为（ ）．
A. 4
3
B. 20
3
C. 7
D. 8
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
25
知识模型
面积问题
典型例题3
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为4 的菱形，∠𝐴= 60∘，点𝑄为𝐶𝐷的中点，𝑃为线段𝐴𝐵上
的动点，现将四边形𝑃𝐵𝐶𝑄沿𝑃𝑄翻折得到四边形𝑃𝐵′𝐶′𝑄．当∠𝑄𝑃𝐵= 45∘时，求四边
形𝐵𝐵′𝐶′𝐶的面积．
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
26
知识模型
存在性问题
典型例题4
如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 8．点𝐷为斜边𝐴𝐵的中点，𝐸𝐷⊥𝐴𝐵，交
边𝐵𝐶于点𝐸．点𝑃为射线𝐴𝐶上的动点，点𝑄为边𝐵𝐶上的动点，且运动过程中始终保
持𝑃𝐷⊥𝑄𝐷．连接𝑃𝑄，交线段𝐸𝐷于点𝐹．当△𝑃𝐷𝐹为等腰三角形时，求线段𝐴𝑃的长．
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
27
模块二
直角三角形
知识梳理
直角三角形
1．直角三角形的边角关系
（1）两锐角互余；
（2）三边满足勾股定理；
（3）边角间满足锐角三角函数关系．
正弦：sin𝐴= 𝑎
𝑐； 余弦：cos𝐴= 𝑏
𝑐； 正切：tan𝐴= 𝑎
𝑏．
特殊角的锐角三角函数值：
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
28
2．特殊直角三角形
3．直角三角形中的特殊线段
精讲精练
知识模型
直角三角形综合
典型例题5
如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 3，点𝐷在直线𝐴𝐶上，𝐴𝐷= 1，过点𝐷作
𝐷𝐸//𝐴𝐵交直线𝐵𝐶于点𝐸，连接𝐵𝐷，点𝑂是线段𝐵𝐷的中点，连接𝑂𝐸，则𝑂𝐸的长为
．
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
29
典型例题6
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑂为对角线𝐴𝐶的中点，𝐸为正方形内一点，连接𝐵𝐸，𝐵𝐸= 𝐵𝐴，
连接𝐶𝐸并延长，与∠𝐴𝐵𝐸的平分线交于点𝐹，连接𝑂𝐹，若𝐴𝐵= 2，则𝑂𝐹的长度为
（ ）．
A. 2
B. √3
C. 1
D. √2
知识模型
存在性问题
典型例题7
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 6，𝐴𝑂= 𝐵𝑂，𝑃是射线𝐶𝑂上的一个动点，∠𝐴𝑂𝐶= 60∘，则
当△𝑃𝐴𝐵为直角三角形时，𝐴𝑃的长为
．
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
30
模块三
四边形性质与判定
知识梳理
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定
* 用时须证明．
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
31
四边形关系框图
精讲精练
知识模型
正方形与相似
典型例题8
如图，点𝐸是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐵𝐶上一点，𝐹𝐺垂直平分𝐴𝐸且分别交𝐴𝐵，𝐴𝐸，𝐵𝐷，
𝐶𝐷于点𝐹，𝐻，𝐼，𝐺．若𝐹𝐻= 2，𝐼𝐺= 6，则𝐻𝐼的长度为
，sin∠𝐹𝐼𝐵的值为
．
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
32
知识模型
正方形与全等
典型例题9
如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，以其三边为边向外作正方形，连接𝐶𝐹，作𝐺𝑀⊥𝐶𝐹于
点𝑀，𝐵𝐽⊥𝐺𝑀于点𝐽，𝐴𝐾⊥𝐵𝐽于点𝐾，交𝐶𝐹于点𝐿．若正方形𝐴𝐵𝐺𝐹与正方形𝐽𝐾𝐿𝑀
的面积之比为5，𝐶𝐸= √10+√2，则𝐶𝐻的长为（ ）．
A. √5
B. 3+√5
2
C. 2√2
D. √10
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
33
模块四
四边形综合
知识梳理
中点坐标公式
若平面直角坐标系中两点𝐴(𝑥1,𝑦1)、𝐵(𝑥2,𝑦2)，则线段𝐴𝐵的中点𝐶的坐标为
(𝑥1 +𝑥2
2
, 𝑦1 +𝑦2
2
)．
精讲精练
知识模型
问题初步
典型例题10
如图，已知平行四边形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴、𝐶分别在直线𝑥= 1 和𝑥= 4 上，𝑂是坐标原点，
则对角线𝑂𝐵长度的最小值为
．
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
34
知识梳理
平行四边形中的面积关系
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
35
精讲精练
典型例题11
如图，点𝐸、𝐹、𝐺、𝐻分别是平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷各边的中点，连接𝐴𝐹、𝐶𝐸相交于点𝑀，连
接𝐴𝐺、𝐶𝐻相交于点𝑁．
（1）求证：四边形𝐴𝑀𝐶𝑁是平行四边形．
（2）若平行四边形𝐴𝑀𝐶𝑁的面积为4，求平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
36
知识模型
综合进阶
典型例题12
如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 5，𝐵𝐷为对角线．点𝐸是边𝐴𝐵延长线上的任意一点，连接
𝐷𝐸交𝐵𝐶于点𝐹，𝐵𝐺平分∠𝐶𝐵𝐸交𝐷𝐸于点𝐺．
（1）求证：∠𝐷𝐵𝐺= 90∘．
（2）若𝐵𝐷= 6，𝐷𝐺= 2𝐺𝐸．
①求菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．
②求tan∠𝐵𝐷𝐸的值．
（3）若𝐵𝐸= 𝐴𝐵，当∠𝐷𝐴𝐵的大小发生变化时（0∘< ∠𝐷𝐴𝐵< 180∘），在𝐴𝐸上找一点𝑇，
使𝐺𝑇为定值，说明理由并求出𝐸𝑇的值．
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
37
随堂练习1
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60∘，则等腰三角形的底角度数为（ ）
A. 15∘
B. 30∘
C. 15∘或75∘
D. 30∘或150∘
随堂练习2
如图1 是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的
直角三角形，恰好能够组合得到如图2 所示的四边形𝑂𝐴𝐵𝐶．若𝑂𝐶= √5，𝐵𝐶= 1，
∠𝐴𝑂𝐵= 30∘，则𝑂𝐴的值为（ ）．
A. √3
B. 3
2
C. √2
D. 1
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
38
随堂练习3
如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，点𝐷，𝐸分别是边𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点，延长𝐵𝐶至𝐹，使
𝐶𝐹= 1
2𝐵𝐶，若𝐴𝐵= 10，则𝐸𝐹的长是（ ）．
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
随堂练习4
如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶交𝐵𝐶于点𝐸，𝐸𝐹⊥𝐴𝐷交𝐴𝐷于点𝐹，若𝐸𝐹= 3，
𝐴𝐸= 5，则𝐴𝐷=
．
第
3
讲
特
殊
三
角
形
与
四
边
形
39
思维游戏
七环金链
望望在一家珠宝公司工作，由于她工作积极，所以公司决定奖
励一条金链给她。这条金链由七环组成。但是公司规定，每个星期
只能领一个环，而且切割费用由自己负责。
这让望望感到为难，因为每切一个金环，就需要付一次昂贵的
费用，焊接回去还要再付一次费用，想想真不划算。聪明的望望想
了一会儿之后，发现了一个不错的方法，她不必将金链分开切成7
个，只需要从中切下一个金环，就可以每星期都领到一个金环。
她是怎么做到的呢？
锯掉第三个金环，形成1 个金环、2 个金环、4 个金环三组。
第一周：给1 个；第二周：给2 个，换回1 个；第三周：再给1
个；第四周：给4 个，换回1 个、2 个；第五周：再给1 个；第六周：给
2 个，换回1 个；第七周：再给1 个。
讲
第4
一轮基础梳理——圆
模块一
圆的基本性质
模块二
圆的切线
模块三
圆的综合应用
第
4
讲
圆
42
本讲概况
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
圆的基本性质
问题初步
★★★
例1、2
随堂练习1、2
问题进阶
★★★★
例3、4
随堂练习4
圆的切线
问题初步
★★★
例5、6
综合进阶
★★★★
例7、8
随堂练习3
圆的综合应用
圆与全等
★★★★
例9
四点共圆的应用
★★★★★
例10
第
4
讲
圆
43
模块一
圆的基本性质
知识梳理
弧、弦、圆心角间的关系
垂径定理
定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
第
4
讲
圆
44
【垂径定理常用方法】
圆周角定理
定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90∘的圆周角所对的弦是直径．
推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．
圆内接四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补.
第
4
讲
圆
45
【圆中的倒角】
第
4
讲
圆
46
精讲精练
知识模型
问题初步
典型例题1
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，𝐵𝐶//𝐴𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷于𝐹．若∠𝐴𝑂𝐷= 120∘，𝐴𝐷= √3，则
∠𝐶𝐴𝑂的度数与𝐵𝐶的长分别为（ ）．
A. 10∘，1
B. 10∘，√2
C. 15∘，1
D. 15∘，√2
第
4
讲
圆
47
典型例题2
如图，⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆，弦𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝐸，𝐴𝐸= 𝐷𝐸，𝐵𝐶= 𝐶𝐸，过点𝑂作
𝑂𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，延长𝐹𝑂交𝐵𝐸于点𝐺，若𝐷𝐸= 3，𝐸𝐺= 2，则𝐴𝐵的长为（ ）．
A. 4√3
B. 7
C. 8
D. 4√5
第
4
讲
圆
48
知识模型
问题进阶
典型例题3
如图，以△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶为直径作⊙𝑂，交𝐵𝐶边于点𝐷，过点𝐶作𝐶𝐸//𝐴𝐵交⊙𝑂于
点𝐸，连接𝐴𝐷，𝐷𝐸，∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸．
（1）求证：𝐴𝐶= 𝐵𝐶．
（2）若tan𝐵= 2，𝐶𝐷= 3，求𝐴𝐵和𝐷𝐸的长．
典型例题4
如图是以点𝑂为圆心，𝐴𝐵为直径的圆形纸片，点𝐶在⊙𝑂上，将该圆形纸片沿直线𝐶𝑂
对折，点𝐵落在⊙𝑂上的点𝐷处（不与点𝐴重合），连接𝐶𝐵，𝐶𝐷，𝐴𝐷．设𝐶𝐷与直径
𝐴𝐵交于点𝐸．若𝐴𝐷= 𝐸𝐷，则∠𝐵=
度；𝐵𝐶
𝐴𝐷的值等于
．
第
4
讲
圆
49
模块二
圆的切线
知识梳理
切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
小技巧：见切点，连半径，得垂直．
切线的判定：
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
大招总结
无交点，作垂直，证半径；有交点，连半径，证垂直．
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的
夹角．
第
4
讲
圆
50
精讲精练
知识模型
问题初步
典型例题5
如图，在⊙𝑂中，直径𝐴𝐵与弦𝐶𝐷交于点𝐸．
⌢
𝐴𝐶= 2
⌢
𝐵𝐷，连接𝐴𝐷，过点𝐵的切线与𝐴𝐷
的延长线交于点𝐹．若∠𝐴𝐹𝐵= 68∘，则∠𝐷𝐸𝐵=
∘．
第
4
讲
圆
51
典型例题6
（1）如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，点𝐷在斜边𝐴𝐵上，以𝐴𝐷为直径的半圆𝑂与𝐵𝐶
相切于点𝐸，与𝐴𝐶相交于点𝐹，连接𝐷𝐸．若𝐴𝐶= 8，𝐵𝐶= 6，则𝐷𝐸的长是（ ）．
A. 4√10
9
B. 8√10
9
C. 80
27
D. 8
3
（2）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，以𝐷为圆心，𝐴𝐷为半径的弧恰好与
𝐵𝐶相切，切点为𝐸．若𝐴𝐵
𝐶𝐷= 1
3，则sin𝐶的值是（ ）．
A. 2
3
B. √5
3
C. 3
4
D. √7
4
第
4
讲
圆
52
知识模型
综合进阶
典型例题7
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，以𝐵𝐶为直径作⊙𝑂，交𝐴𝐶于点𝐹，过𝐶点作𝐶𝐷⊥𝐴𝐶交
𝐴𝐵延长线于点𝐷，𝐸为𝐶𝐷上一点，且𝐸𝐵= 𝐸𝐷．
（1）求证：𝐵𝐸为⊙𝑂的切线．
（2）若𝐴𝐹= 2，tan𝐴= 2，求𝐵𝐸的长．
第
4
讲
圆
53
典型例题8
如图，Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，𝐴𝐶= 10，𝐵𝐶= 24，点𝑃是线段𝐶𝐷上一动点，
当半径为6 的⊙𝑃与△𝐴𝐵𝐶的一边相切时，𝐶𝑃的长为
．
第
4
讲
圆
54
模块三
圆的综合应用
精讲精练
知识模型
圆与全等
典型例题9
如图，在⊙𝑂中，直径𝐴𝐵垂直弦𝐶𝐷于点𝐸，连接𝐴𝐶，𝐴𝐷，𝐵𝐶，作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷于点𝐹，交线
段𝑂𝐵于点𝐺（不与点𝑂，𝐵重合），连接𝑂𝐹．
（1）若𝐵𝐸= 1，求𝐺𝐸的长．
（2）求证：𝐵𝐶2 = 𝐵𝐺⋅𝐵𝑂．
（3）若𝐹𝑂= 𝐹𝐺，猜想∠𝐶𝐴𝐷的度数，并证明你的结论．
第
4
讲
圆
55
知识模型
四点共圆的应用
典型例题10
如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为4，点𝐸为边𝐴𝐵上的动点，点𝐹是边𝐵𝐶的中点，连接
𝐷𝐸，点𝑀、𝑁在线段𝐷𝐸上，点𝑀在点𝑁的右侧．若△𝐹𝑀𝑁是以𝐹𝑀为斜边的等腰直
角三角形，记△𝐹𝑀𝑁的面积为𝑆，则𝑆的取值范围是
．
第
4
讲
圆
56
随堂练习1
如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐸𝐹，𝐸𝐵是⊙𝑂的弦，且𝐸𝐹= 𝐸𝐵，𝐸𝐹与𝐴𝐵交于点𝐶，连接
𝑂𝐹，若∠𝐴𝑂𝐹= 40∘，则∠𝐹的度数是（ ）
A. 20∘
B. 35∘
C. 40∘
D. 55∘
随堂练习2
陕西饮食文化源远流长，
“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个
“老碗”（图①）的形状示意图．
⌢
𝐴𝐵是⊙𝑂的一部分，𝐷是
⌢
𝐴𝐵的中点，连接𝑂𝐷，与弦𝐴𝐵
交于点𝐶，连接𝑂𝐴，𝑂𝐵．已知𝐴𝐵= 24cm，碗深𝐶𝐷= 8cm，则⊙𝑂的半径𝑂𝐴为（ ）．
A. 13cm
B. 16cm
C. 17cm
D. 26cm
第
4
讲
圆
57
随堂练习3
如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐷𝐵，𝐷𝐸分别切⊙𝑂于点𝐵、𝐶，若∠𝐴𝐶𝐸= 20∘，则∠𝐷的度数
是（ ）
A. 40∘
B. 50∘
C. 60∘
D. 70∘
随堂练习4
已知，如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐶𝐷是弦，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐸，点𝐺在直径𝐷𝐹的延长线上，
∠𝐷= ∠𝐺= 30∘．
（1）求证：𝐶𝐺是⊙𝑂的切线．
（2）若𝐶𝐷= 6，求𝐺𝐹的长．
第
4
讲
圆
58
思维游戏
石头剪刀布
石头剪刀布是一个很有技巧的猜拳游戏。假设规定每人不能
连续出2 次相同的拳法，连猜10 次决定胜负。
已知希希第一把出了剪刀，望望第一把出了布，那么希希接下
来怎么做，能保证自己不输呢？
希希最好出上一把会输给望望的拳。比如，第二把，希希出石
头，望望只能出剪刀或石头。那么希希要么赢，要么平。
讲
第5
一轮基础梳理——代数
基础
模块一
数式运算
模块二
方程
模块三
不等式
模块四
方程不等式实际应用
第
5
讲
代
数
基
础
62
本讲概况
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
数式运算
综合进阶
★★★★
例1、2
方程
方程组灵活运用
★★★★
例3
解的情况
★★★
例4、5
随堂练习1
综合进阶
★★★★
例6
随堂练习4
不等式
解不等式
★★★
例7
解的情况
★★★★
例8
随堂练习2、3
方程不等式实际应用
实际应用
★★★★
例9、10
第
5
讲
代
数
基
础
63
模块一
数式运算
精讲精练
知识模型
综合进阶
典型例题1
观察下列各式：
√1+ 1
12 + 1
22 = 1+
1
1×2，
√1+ 1
22 + 1
32 = 1+
1
2×3，
√1+ 1
32 + 1
42 = 1+
1
3×4，
……
请利用你所发现的规律，
计算√1+ 1
12 + 1
22 +√1+ 1
22 + 1
32 +√1+ 1
32 + 1
42 ⋯+√1+ 1
92 + 1
102，其结果为
．
典型例题2
已知𝑎，𝑏，𝑐是非零实数，且
𝑎
𝑏+𝑐=
𝑏
𝑎+𝑐=
𝑐
𝑏+𝑎= 𝑘，求𝑘的值为（ ）．
A. 1
2
B. 1
3
C. −1 或1
3
D. −1 或1
2
第
5
讲
代
数
基
础
64
模块二
方程
知识梳理
一、一元一次方程和二元一次方程组
1．定义
方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．
一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1 的整式方程叫一元一次
方程．
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1 的方程叫做二元
一次方程．
二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次
方程组．
2．解法
解一元一次方程步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1．
解二元一次方程组方法：代入消元法或者加减消元法．
二、一元二次方程
1．定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2 的整式方程叫做一元二次方程．
2．解法
(1) 直接开平方法：适用于解形如(𝑥+𝑏)2 = 𝑎(𝑎⩾0) 的一元二次方程．
(2) 配方法：添加一次项系数一半的平方凑成完全平方公式，再利用直接开平方法解题．
基本步骤：①二次项系数化1；
②常数项移到等式右边；
③等式两边加上一次项系数一半的平方；
④利用直接开平方法解题．
第
5
讲
代
数
基
础
65
(3) 公式法：当Δ ≥0 时，直接利用公式𝑥= −𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
，代入𝑎，𝑏，𝑐求解．
基本步骤：①将方程化为一般式形式，分别找出𝑎，𝑏，𝑐的值，
②判断根的情况，若Δ ⩾0，可以继续代入求解；
③若Δ < 0，方程无实数根．
(4) 因式分解法：适用于方程两边一边为零，一边为可因式分解的式子．
3．一元二次方程根的判别式
式子𝑏2 −4𝑎𝑐叫做一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0) 根的判别式，用Δ 表示：
当Δ > 0 时，方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0) 有两个不相等的实数根；
当Δ = 0 时，方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0) 有两个相等的实数根；
当Δ < 0 时，方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0) 没有实数根．
4．一元二次方程根与系数的关系
对于一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0)，若Δ ⩾0，其两根分别为𝑥1 = −𝑏+√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
和𝑥2 = −𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
，则有𝑥1 +𝑥2 = −𝑏
𝑎，𝑥1𝑥2 = 𝑐
𝑎．
特别地，当二次项系数为1 时，方程𝑥2 +𝑝𝑥+𝑞= 0 的两根满足𝑥1 +𝑥2 = −𝑝，𝑥1𝑥2 = 𝑞．
【注意】
（1）韦达定理只有在Δ ⩾0 时才可以使用；
（2）对于复杂代数式，可以利用通分、配方、降次等方法，将其转化成含𝑥1 + 𝑥2 和
𝑥1𝑥2 的代数式进行求值．
三、分式方程
1．定义
分母里含有未知数的方程叫分式方程
2．解法
将分式方程转化为整式方程来解．
基本步骤：(1) 去分母：将等式两边都乘以最简公分母，化成整式方程，
(2) 解这个整式方程，
(3) 检验：将整式方程的根代入最简公分母检验，如果结果为零，则此解为原方程的增
根，必须舍弃；若结果不为零，则此解就是原方程的解．
第
5
讲
代
数
基
础
66
精讲精练
知识模型
方程组灵活运用
典型例题3
阅读材料：善于思考的小军在解方程组
⎧{{
⎨{{⎩
2𝑥+5𝑦= 3①
4𝑥+11𝑦= 5②
时采用了一种“整体代换”的解
法：
解：将方程②变形：4𝑥+10𝑦+𝑦= 5，即2(2𝑥+5𝑦)+𝑦= 5③，
把方程①代入方程③得：2×3+𝑦= 5 ，∴𝑦= −1．
把𝑦= −1 代入方程①得𝑥= 4，∴方程组的解为
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥= 4
𝑦= −1
．
请你解决以下问题：
已知𝑥、𝑦满足方程组
⎧{{
⎨{{⎩
3𝑥2 −2𝑥𝑦+12𝑦2 = 47①
2𝑥2 +𝑥𝑦+8𝑦2 = 36②
．
（1）求𝑥2 +4𝑦2 的值；
（2）求1
𝑥+ 1
2𝑦的值．
第
5
讲
代
数
基
础
67
知识模型
解的情况
典型例题4
（1）在解方程组
⎧{
⎨{⎩
𝑎𝑥+5𝑦= 10
4𝑥−𝑏𝑦= −4
时，由于粗心，甲看错了方程组中的𝑎，得到的解为
⎧{
⎨{⎩
𝑥= −3
𝑦= −1
，乙看错了方程组中的𝑏，得到的解为
⎧{
⎨{⎩
𝑥= 5
𝑦= 4
．则原方程组的解为（ ）．
A.
⎧{
⎨{⎩
𝑥= −2
𝑦= 8
B.
⎧{
⎨{⎩
𝑥= 15
𝑦= 8
C.
⎧{
⎨{⎩
𝑥= −2
𝑦= 6
D.
⎧{
⎨{⎩
𝑥= −5
𝑦= 8
（2）关于𝑥，𝑦的方程组
⎧{{
⎨{{⎩
3𝑥+𝑦= 2𝑚−1
𝑥−𝑦= 𝑛
的解满足𝑥+𝑦= 1，则4𝑚÷2𝑛的值是（ ）．
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
典型例题5
若关于𝑥的方程
𝑥
𝑥−1 −2 =
3𝑚
2𝑥−2 的解为正数，则𝑚的取值范围是（ ）
A. 𝑚> −2
3
B. 𝑚< 4
3
C. 𝑚> −2
3 且𝑚≠0
D. 𝑚< 4
3 且𝑚≠2
3
第
5
讲
代
数
基
础
68
知识模型
综合进阶
典型例题6
阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程(𝑥2)
2 −13𝑥2 +36 = 0，如果我们把𝑥2 看作一个整体，然后设𝑦= 𝑥2，则原方
程可化为𝑦2 −13𝑦+36 = 0，经过运算，原方程的解为𝑥1,2 = ±2，𝑥3,4 = ±3．我们把以上这
种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数𝑚，𝑛满足𝑚2 −𝑚−1 = 0，𝑛2 −𝑛−1 = 0，且𝑚≠𝑛，显然𝑚，𝑛是方程𝑥2 −𝑥−1 = 0
的两个不相等的实数根，由韦达定理可知𝑚+𝑛= 1，𝑚𝑛= −1．根据上述材料，解决以下问
题：
（1）直接应用：
方程𝑥4 −5𝑥2 +6 = 0 的解为
．
（2）间接应用：
已知实数𝑎，𝑏满足：2𝑎4 −7𝑎2 +1 = 0，2𝑏4 −7𝑏2 +1 = 0 且𝑎≠𝑏，求𝑎4 +𝑏4 的值．
（3）拓展应用：
已知实数𝑚，𝑛满足：1
𝑚4 + 1
𝑚2 = 7，𝑛2 −𝑛= 7 且𝑛> 0，求
1
𝑚4 +𝑛2 的值．
第
5
讲
代
数
基
础
69
模块三
不等式
知识梳理
一、不等式
1. 不等式：用不等号表示不等关系的式子叫不等式．
（不等号：
“>”、
“<”、
“⩾”、
“⩽”、
“≠”）
2. 一元一次不等式：含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0 的不等式,
叫做一元一次不等式．
3. 一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做
一元一次不等式组．
4. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
5. 不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．一般不等式
的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用
数轴来表示．
6. 不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方
向不变.
𝑎> 𝑏⇒𝑎±𝑐> 𝑏±𝑐；𝑎<𝑏⇒𝑎±𝑐<𝑏±𝑐.
不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等
式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
𝑎> 𝑏，且𝑐> 0⇒𝑎𝑐> 𝑏𝑐，𝑎
𝑐> 𝑏
𝑐；
𝑎> 𝑏，且𝑐< 0⇒𝑎𝑐< 𝑏𝑐，𝑎
𝑐< 𝑏
𝑐.
第
5
讲
代
数
基
础
70
三、一元一次不等式组解的基本类型
由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型（表中
𝑎> 𝑏）
精讲精练
知识模型
解不等式
典型例题7
解关于𝑥的不等式：(𝑎𝑥−1)(𝑎+1) < 0．
第
5
讲
代
数
基
础
71
知识模型
解的情况
典型例题8
若关于𝑥的一元一次不等式组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥+3
2
⩽4
2𝑥−𝑎⩾2
至少有2 个整数解，且关于𝑦的分式方程
𝑎−1
𝑦−2 +
4
2−𝑦= 2 有非负整数解，则所有满足条件的整数𝑎的值之和是
．
第
5
讲
代
数
基
础
72
模块四
方程不等式实际应用
精讲精练
知识模型
实际应用
典型例题9
2021 年7 月24 日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段
学生作业负担和校外培训负担的意见》．某学校积极响应“双减”政策，为了丰富学生校
园生活，经研究决定准备购买一批体育健身器材，已知购买2 个篮球和3 个排球共花费
440 元，购买4 个篮球和1 个排球共花费480 元．
（1）求篮球和排球的单价．
（2）某体育用品店有两种优惠方案，方案一：每购买一个篮球就送一个排球．方案二：购买
篮球和排球的费用一律打七五折．该学校需要购买40 个篮球和𝑥个排球(𝑥> 40)．
方案一的费用为𝑦1 元，方案二的费用为𝑦2 元．
①根据题目信息，直接写出𝑦1 与𝑥的函数表达式 ；𝑦2 与𝑥的函数表达式
．
②画出𝑦2 的图象，并直接写出𝑦1，𝑦2 交点的坐标 ．
③根据图象回答：
当购买排球的数量𝑥满足条件 时，方案二比方案一更优惠．
第
5
讲
代
数
基
础
73
典型例题10
2021 年市民对医用口罩的需求量仍然很大，某药店计划购进一批医用口罩，甲、乙
两个口罩厂有相同的医用口罩可供选择，其具体销售方案如下表：
（1）该药店发现：若从甲、乙两口罩厂分别购买医用口罩各1600 个共花费1420 元，若从
甲、乙两口罩厂分别购买医用口罩各3000 个共花费2050 元，请求出𝑎，𝑏的值．
（2）①该药店计划购买医用口罩𝑥个，分别求出从甲、乙两口罩厂购买医用口罩所需的
费用𝑦（元）与𝑥之间的函数解析式．
②如果你是该药店的负责人，你认为到哪个口罩厂购买医用口罩才合算，并说明理
由．
第
5
讲
代
数
基
础
74
随堂练习1
若关于𝑥、𝑦的方程组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥+2𝑦= 5
2𝑥+𝑎𝑦= 4
的解都是正整数，那么整数𝑎的值有（ ）．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
随堂练习2
不等式组
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥−1
3
−1
2𝑥< −1
4(𝑥−1) ⩽2(𝑥−𝑎)
有3 个整数解，则𝑎的取值范围是（ ）
A. −6 ⩽𝑎< −5
B. −6 < 𝑎⩽−5
C. −6 < 𝑎< −5
D. −6 ⩽𝑎⩽−5
随堂练习3
关于𝑥的分式方程3𝑥−𝑎
𝑥−3 + 𝑥+1
3−𝑥= 1 的解为正数，且关于𝑦的不等式组
⎧{
⎨{⎩
𝑦+9 ⩽2(𝑦+2)
2𝑦−𝑎
3
> 1
的解集为𝑦⩾5，则所有满足条件的整数𝑎的值之和是（ ）．
A. 13
B. 15
C. 18
D. 20
第
5
讲
代
数
基
础
75
随堂练习4
已知关于𝑥的方程𝑥2 +(2𝑘−1)𝑥+𝑘2 −1 = 0 有两个实数根𝑥1，𝑥2．
（1）求实数𝑘的取值范围．
（2）若𝑥1，𝑥2 满足𝑥2
1 +𝑥2
2 = 16+𝑥1𝑥2，求实数𝑘的值．
第
5
讲
代
数
基
础
76
思维游戏
灯泡挑战赛
100 个灯泡，依次编号1∼100，每一盏灯有一根拉线开关，最初
所有的灯都是关着的，第一轮将所有灯泡的拉线开关拉一下；第二
轮将编号为2 的倍数的灯泡的拉线开关拉一下；第三轮将编号为3
的倍数的灯泡的拉线开关拉一下，依次类推，第100 轮结束的时候，
还有几盏灯亮着？
最后，完全平方数位置上的灯泡将处于开启状态，即10 盏灯
亮着，其余位置上的灯泡将处于关闭状态。例如，第1 盏、第4 盏、
第9 盏等位置上的灯泡将是开启的，而其他位置上的灯泡将是关
闭的。
讲
第6
一轮基础梳理——一次函
数与反比例函数
模块一
一次函数
模块二
反比例函数
模块三
综合进阶
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
80
本讲概况
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
一次函数
图象问题
★★★★
例1、2
随堂练习1
一次函数的最值问题
★★★★★
例3
新定义问题
★★★★★
例4
反比例函数
面积问题
★★★★
例5
随堂练习2、3
反比例函数与相似
★★★★★
例6、7
综合进阶
一次函数、反比例函数
综合
★★★★
例8
随堂练习4
★★★★★
例9、10
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
81
模块一
一次函数
知识梳理
1. 一次函数图象与性质
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
82
2. 一次函数图象变换
3. 特殊直线
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
83
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
84
精讲精练
知识模型
图象问题
典型例题1
如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数𝑦= 𝑘1𝑥+𝑏1 与𝑦= 𝑘2𝑥+𝑏2（其中𝑘1𝑘2 ≠0 的
图象分别为直线𝑙1 和直线𝑙2，下列结论中一定正确的是（ ）．
A. 𝑘1 +𝑘2 < 0
B. 𝑘1𝑘2 > 0
C. 𝑏1 +𝑏2 < 0
D. 𝑏1𝑏2 > 0
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
85
典型例题2
已知直线𝑦1 = 𝑥，𝑦2 = 1
3𝑥+1，𝑦3 = −4
3𝑥+6 的图象如图，若无论𝑥取何值，𝑦总取𝑦1 、𝑦2、
𝑦3 中的最小值，则𝑦的最大值为
．
知识模型
一次函数的最值问题
典型例题3
（1）在平面直角坐标系中，𝑄是直线𝑦= −1
2𝑥+2 上的一个动点，将𝑄绕点𝑃(1,0) 顺时
针旋转90∘，得到点𝑄′，连接𝑂𝑄′，则𝑂𝑄′ 的最小值为
．
（2）如图，在平面直角坐标系中，点𝐴在直线𝑦= √3𝑥的第一象限的图象上运动，点𝐵在
𝑥轴正半轴上运动，在𝐴𝐵右侧以它为边作矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝐴𝐵= 2√3，𝐴𝐷= 1，则𝑂𝐷
的最大值是（ ）．
A. √5+√3
B. √7+2
C. √5+2
D. 2√2+√3
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
86
知识模型
新定义问题
典型例题4
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，对于𝑀，𝑁两点给出如下定义：若点𝑀到𝑥轴，𝑦轴的距离中
的最大值等于点𝑁到𝑥轴，𝑦轴的距离中的最大值，则称𝑀，𝑁两点互为“等距点”．例如：
点𝑃(2,2) 与点𝑄(−2,−1) 到𝑥轴，𝑦轴的距离中的最大值都等于2，它们互为等距点．
已知点𝐴坐标为(1,3)．
（1）在点𝐵(0,−2)，𝐶(−3,2)，𝐷(4,3) 中，点
与点𝐴互为“等距点”．
（2）已知直线𝑙：𝑦= 𝑘𝑥+4𝑘+1．
①若𝑘= 1，点𝐸在直线𝑙上，且𝐴，𝐸两点互为“等距点”，求点𝐸的坐标．
②若直线𝑙上存在点𝐹，使得𝐴，𝐹两点互为“等距点”，求𝑘的取值范围．
（3）若⊙𝑁的圆心为(𝑛,2)，半径为2，⊙𝑁上恰有三个点是点𝐴的“等距点”直接写出𝑛
的值．
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
87
模块二
反比例函数
知识梳理
1. 反比例函数的图象与性质
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
88
2. 反比例函数𝑘的几何意义
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
89
精讲精练
知识模型
面积问题
典型例题5
（1）如图，点𝐴是函数𝑦= 2
𝑥图象上的任意一点，点𝐵、𝐶在反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥的图象上．
若𝐴𝐵//𝑥轴，𝐴𝐶//𝑦轴，阴影部分的面积为4，则𝑘=
．
（2）如图，反比例函数𝑦= −12
𝑥的图象与直线𝑦= 1
2𝑥+𝑏(𝑏> 0) 交于𝐴，𝐵两点，过点𝐴
作𝑥轴的垂线，垂足为点𝐶，连接𝐴𝑂，𝐵𝑂，图中阴影部分的面积为12，则𝑏的值为
．
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
90
知识模型
反比例函数与相似
典型例题6
如图，点𝐴是双曲线𝑦= 1
𝑥(𝑥< 0) 上一动点，连接𝑂𝐴，作𝑂𝐵⊥𝑂𝐴，且使𝑂𝐵= 3𝑂𝐴，当点
𝐴在双曲线𝑦= 1
𝑥上运动时，点𝐵在双曲线𝑦= 𝑘
𝑥上移动，则𝑘的值为
．
典型例题7
如图，四边形𝑂𝐴𝐵𝐶为矩形，点𝐴在第二象限，点𝐴关于𝑂𝐵的对称点为点𝐷，点𝐵，𝐷
都在函数𝑦= 6√2
𝑥(𝑥> 0) 的图象上，𝐵𝐸⊥𝑥轴于点𝐸．若𝐷𝐶的延长线交𝑥轴于点𝐹，当
矩形𝑂𝐴𝐵𝐶的面积为9√2 时，𝐸𝐹
𝑂𝐸的值为
，点𝐹的坐标为
．
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
91
模块三
综合进阶
精讲精练
知识模型
一次函数、反比例函数综合
典型例题8
设双曲线𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘> 0) 与直线𝑦= 𝑥交于𝐴、𝐵两点(点𝐴在第三象限)，将双曲线在第一
象限的一支沿射线𝐵𝐴的方向平移，使其经过点𝐴，将双曲线在第三象限的一支沿射线
𝐴𝐵的方向平移，使其经过点𝐵，平移后的两条曲线相交于𝑃、𝑄两点，此时我们称平移后
的两条曲线所围部分(如图中阴影部分) 为双曲线的“眸”，𝑃𝑄为双曲线的“眸径“，当双曲
线𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘> 0) 的眸径为6 时，𝑘的值为（ ）
A. 3
2
B. 2
C. 9
2
D. 3
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
92
典型例题9
如图，直线𝑙1 与反比例函数𝑦= 3
𝑥(𝑥> 0) 的图象相交于𝐴、𝐵两点，线段𝐴𝐵的中点为点
𝐶．过点𝐶作𝑥轴的垂线，垂足为点𝐷．直线𝑙2 过原点𝑂和点𝐶．若直线𝑙2 上存在点
𝑃(𝑚,𝑛)，满足∠𝐴𝑃𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵，则𝑚+𝑛的值可能为（ ）．
A. 3−√5
B. 3 或3
2
C. 3+√5 或3−√5
D. 3
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
93
典型例题10
如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，一次函数𝑦= −2𝑥+6 的图象与反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥的图
象相交于𝐴(𝑎,4)，𝐵两点．
（1）求反比例函数的表达式及点𝐵的坐标．
（2）过点𝐴作直线𝐴𝐶，交反比例函数图象于另一点𝐶，连接𝐵𝐶，当线段𝐴𝐶被𝑦轴分
成长度比为1 ∶2 的两部分时，求𝐵𝐶的长．
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完
美筝形”．设𝑃是第三象限内的反比例函数图象上一点，𝑄是平面内一点，当四边形
𝐴𝐵𝑃𝑄是完美筝形时，求𝑃，𝑄两点的坐标．
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
94
随堂练习1
如图，直线𝑦= 𝑥+ 𝑚与𝑦= 𝑛𝑥−5𝑛(𝑛≠0) 的交点的横坐标为3，则关于𝑥的不等式
𝑥+𝑚> 𝑛𝑥−5𝑛> 0 的整数解为（ ）．
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
随堂练习2
如图，在平面直角坐标系中，函数𝑦= 𝑘𝑥与𝑦= −1
𝑥的图象交于𝐴，𝐵两点，过𝐴作𝑦轴的
垂线，交函数𝑦= 2
𝑥(𝑥> 0) 的图象于点𝐶，连接𝐵𝐶，则△𝐴𝐵𝐶的面积为
．
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
95
随堂练习3
如图是反比例函数𝑦= 6
𝑥和𝑦= 2
𝑥在第一象限内的图象，在𝑦= 2
𝑥上取点𝑀，过点𝑀分别
作两坐标轴的垂线交𝑦= 6
𝑥于点𝐴、𝐵，连接𝑂𝐴、𝑂𝐵，则图中阴影部分面积为
．
随堂练习4
如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知正比例函数𝑦= 1
2𝑥的图象与反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥的
图象交于𝐴(𝑎,−2)，𝐵两点．
（1）求反比例函数的表达式和点𝐵的坐标．
（2）𝑃是第一象限内反比例函数图象上一点，过点𝑃作𝑦轴的平行线，交直线𝐴𝐵于点
𝐶，连接𝑃𝑂，若△𝑃𝑂𝐶的面积为3，求点𝑃的坐标．
第
6
讲
一
次
函
数
与
反
比
例
函
数
96
思维游戏
九个球问题
有九个相同的球，其中一个比其他八个略重。你只有一个天平
秤，可以称两次。
你如何确定哪个球比其他的球重？
首先，将球分成三组，每组三个球。称量第一组和第二组，如果
天平平衡，那么留下第三组中的三个球，并称量其中两个球。如果
天平倾斜，那么留下重的那组，并称量其中两个球。最后，确定哪个
球比其他的球重。
讲
第7
一轮基础梳理——二次
函数
模块一
二次函数性质
模块二
二次函数最值
模块三
二次函数综合
第
7
讲
二
次
函
数
100
本讲概况
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
二次函数性质
问题初步
★★★★
例1、2
随堂练习1
综合进阶
★★★★★
例3
随堂练习2
动点问题
★★★★★
例4
二次函数最值
对称性与最值
★★★★
例5-7
面积最值
★★★★
例8
二次函数综合
面积问题进阶
★★★★★
例9
随堂练习3
定值问题进阶
★★★★★
例10
第
7
讲
二
次
函
数
101
模块一
二次函数性质
知识梳理
一、二次函数解析式的三种表示形式
1．一般式：𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)；
2．顶点式：𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 +𝑘或𝑦= 𝑎(𝑥+ 𝑏
2𝑎)
2
+ 4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
(𝑎≠0)；
3．交点式：𝑦= 𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)(𝑎≠0)，其中𝑥1，𝑥2 是方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐= 0(𝑎≠0) 的两个
实根．
二、二次函数的增减性
1．当𝑎> 0，𝑥< −𝑏
2𝑎时，𝑦随𝑥的增大而减小；
2．当𝑎> 0，𝑥> −𝑏
2𝑎时，𝑦随𝑥的增大而增大；
3．当𝑎< 0，𝑥< −𝑏
2𝑎时，𝑦随𝑥的增大而增大；
4．当𝑎< 0，𝑥> −𝑏
2𝑎时，𝑦随𝑥的增大而减小．
三、二次函数图象与𝑥轴的交点问题
1．当𝑏2 −4𝑎𝑐> 0 时，抛物线与𝑥轴有2 个交点，并且关于直线𝑥= −𝑏
2𝑎对称，两交点之
间的距离为√𝑏2 −4𝑎𝑐
|𝑎|
；
2．当𝑏2 −4𝑎𝑐= 0 时，抛物线与𝑥轴有1 个交点，即为抛物线的顶点；
3．当𝑏2 −4𝑎𝑐< 0 时，抛物线与𝑥轴没有交点．
四、二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 的图象变换
1．平移变换：
平移规律：
“左加右减自变量，上加下减常数项”．
2．对称变换：
(1) 关于𝑥轴对称：得到的解析式为𝑦= −𝑎𝑥2 −𝑏𝑥−𝑐；
(2) 关于𝑦轴对称：得到的解析式为𝑦= 𝑎𝑥2 −𝑏𝑥+𝑐；
第
7
讲
二
次
函
数
102
(3) 关于原点对称：得到的解析式为𝑦= −𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−𝑐．
五、抛物线常见基本类型的性质
六、从二次函数的图象判断系数取值
1. 𝑎：通过图象的开口方向确定；
2. 𝑏：通过抛物线对称轴的位置和𝑎的符号确定，可用“左同右异”原则；
3. 𝑐：抛物线与𝑦轴交点纵坐标
4. 𝑎+𝑏+𝑐：𝑥= 1 时的函数值
5. 𝑎−𝑏+𝑐：𝑥= −1 时的函数值
6. 4𝑎+2𝑏+𝑐：𝑥= 2 时的函数值
7. 4𝑎−2𝑏+𝑐：𝑥= −2 时的函数值
8. 4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
：顶点纵坐标
9. 2𝑎±𝑏：通过对称轴与直线𝑥= ±1 的位置关系确定正负
10. Δ = 𝑏2 −4𝑎𝑐：通过抛物线与𝑥轴的交点个数来判断
第
7
讲
二
次
函
数
103
精讲精练
知识模型
问题初步
典型例题1
已知点𝐴(𝑥1,𝑦1) 在直线𝑦= 3𝑥+19 上，点𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝐶(𝑥3,𝑦3) 在抛物线𝑦= 𝑥2 +4𝑥−1
上，若𝑦1 = 𝑦2 = 𝑦3 且𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3，则𝑥1 +𝑥2 +𝑥3 的取值范围是（ ）．
A. −12 < 𝑥1 +𝑥2 +𝑥3 < −9
B. −8 < 𝑥1 +𝑥2 +𝑥3 < −6
C. −9 < 𝑥1 +𝑥2 +𝑥3 < 0
D. −6 < 𝑥1 +𝑥2 +𝑥3 < 1
典型例题2
已知反比例函数𝑦= 𝑘
𝑥(𝑘≠0) 在第一象限内的图象与一次函数𝑦= −𝑥+𝑏的图象如图所
示，则函数𝑦= 𝑥2 −𝑏𝑥+𝑘−1 的图象可能为（ ）．
A.
B.
C.
D.
第
7
讲
二
次
函
数
104
知识模型
综合进阶
典型例题3
如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐的对称轴是直线𝑥= 1，下列结论：
①𝑎𝑏𝑐> 0；②𝑏2 −4𝑎𝑐> 0；③8𝑎+𝑐< 0；④5𝑎+𝑏+2𝑐> 0；⑤对任意实数𝑚，都有𝑎(𝑚2 −1)
+𝑏(𝑚−1) ⩽0；⑥对抛物线上任意两点𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，都有𝑎(𝑥1 +𝑥2
2
)
2
+𝑏⋅𝑥1 +𝑥2
2
+
𝑐> 𝑦1 +𝑦2
2
，正确的有（ ）．
A. 6 个
B. 5 个
C. 4 个
D. 3 个
知识模型
动点问题
典型例题4
已知二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐的图象过点(−1,0)，且对任意实数𝑥，都有4𝑥−12 ⩽
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐⩽2𝑥2 −8𝑥+6．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）设𝑃是抛物线𝑦= 𝑥2 −2𝑥−3 上的动点，𝑂为原点，𝑃′ 为𝑂𝑃的中点．
设直线𝑦= 𝑚(𝑚> −2) 与抛物线及点𝑃′ 所在曲线都有两个交点，交点从左到右依
次为𝐴1，𝐴2，𝐴3，𝐴4，请直接写出线段𝐴1𝐴2，𝐴3𝐴4 之间的数量关系是
．
第
7
讲
二
次
函
数
105
模块二
二次函数最值
精讲精练
知识模型
对称性与最值
典型例题5
当−2 ⩽𝑥⩽1 时，二次函数𝑦= −(𝑥−𝑚)2 +𝑚2 +1 有最大值4，则实数𝑚的值为（ ）．
A. −7
4
B. √3 或−√3
C. 2 或−√3
D. 2 或√3 或−7
4
典型例题6
已知函数𝑦= −𝑥2+2𝑎𝑥，当𝑥⩽2 时，函数值𝑦随𝑥的增大而增大，且对任意的1 ⩽𝑥1 ⩽𝑎+1
和1 ⩽𝑥2 ⩽𝑎+1，𝑥1、𝑥2 相应的函数值𝑦1、𝑦2 总满足|𝑦1 −𝑦2| ⩽9，则实数𝑎的取值范围是
（ ）．
A. 2 ⩽𝑎⩽4
B. −2 ⩽𝑎⩽4
C. 𝑎⩾2
D. 2 ⩽𝑎⩽3
典型例题7
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2) 是抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎> 0) 上任意
两点，设抛物线的对称轴为𝑥= 𝑡．
（1）若对于𝑥1 = 1，𝑥2 = 2 有𝑦1 = 𝑦2，求𝑡的值．
（2）若对于0 < 𝑥1 < 1，1 < 𝑥2 < 2，都有𝑦1 < 𝑦2，求𝑡的取值范围．
第
7
讲
二
次
函
数
106
知识模型
面积最值
典型例题8
抛物线𝑦= 𝑥2 −3𝑥−4 与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点（𝐴在𝐵的左侧），与𝑦轴交于𝐶点．
（1）已知𝑃是第四象限抛物线上的动点．
①当△𝐶𝐵𝑃面积最大时，求𝑃点坐标．
②设𝐴𝑃和𝐵𝐶交于点𝑀，求𝐴𝑀
𝑃𝑀的最小值．
③过𝑃点作𝑃𝑁//𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝑁，求𝑃𝑁的最大值．
（2）设𝐸是线段𝐴𝐵上一点，过𝐵点作直线𝑙平行于𝐴𝐶，延长𝐶𝐸交𝑙于点𝐹，求
△𝐴𝐶𝐸与△𝐵𝐹𝐸面积之和的最小值．
第
7
讲
二
次
函
数
107
模块三
二次函数综合
精讲精练
知识模型
面积问题进阶
典型例题9
平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，抛物线𝐺：𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(0 < 𝑎< 12) 过点𝐴(1,𝑐−5𝑎)，𝐵(𝑥1,3)，
𝐶(𝑥2,3)，顶点𝐷不在第一象限，线段𝐵𝐶上有一点𝐸，设△𝑂𝐵𝐸的面积为𝑆1，△𝑂𝐶𝐸的
面积为𝑆2，𝑆1 = 𝑆2 + 3
2．则𝐸点坐标为
．
第
7
讲
二
次
函
数
108
知识模型
定值问题进阶
典型例题10
把二次函数𝑦= 1
4𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐的图象沿𝑦轴向下平移3 个单位长度，再沿𝑥轴向左平移1
个单位长度后，得到抛物线𝑀，其顶点恰好落在𝑦轴上点(0,−1)．
（1）【解决问题】
请直接写出抛物线𝑀的函数表达式，并求𝑏，𝑐的值．
（2）【探索研究】
小明在抛物线𝑀上任意找了一个点𝑃(𝑚,𝑛)，以点𝑃为圆心，𝑂𝑃长为半径画圆，他
观察发现所画出的圆与过点(0,−2) 且平行于𝑥轴的直线相切，请判断他的发现是
否正确？并说明理由．
（3）【理解应用】
①将抛物线𝑀的图象绕原点𝑂顺时针旋转90∘得抛物线𝑁，𝐶为抛物线𝑁上一
动点，点𝑄的坐标为(1,−1)，求出△𝑂𝐶𝑄周长的最小值．
②过原点的直线𝑙与抛物线𝑀交于𝐴，𝐵两点，试证明：1
𝐴𝑂+ 1
𝐵𝑂为定值，并求出
该定值．
第
7
讲
二
次
函
数
109
随堂练习1
关于二次函数𝑦= 2𝑥2 +4𝑥−1，下列说法正确的是（ ）
A. 图象与𝑦轴的交点坐标为(0,1)
B. 图象的对称轴在𝑦轴的右侧
C. 当𝑥< 0 时，𝑦的值随𝑥值的增大而减小
D. 𝑦的最小值为−3
随堂练习2
如图，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 的对称轴为直线𝑥= −1，给出下列结论：
①𝑏2 = 4𝑎𝑐；②𝑎𝑏𝑐> 0；③𝑎> 𝑐；④4𝑎−2𝑏+𝑐> 0，其中正确的有（ ）．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
第
7
讲
二
次
函
数
110
随堂练习3
设二次函数𝑦1 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑎−5 （𝑎，𝑏为常数，𝑎≠0），且2𝑎+𝑏= 3．
（1）若该二次函数的图象过点(−1,4)，求该二次函数的表达式．
（2）𝑦1 的图象始终经过一个定点，若一次函数𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘为常数，𝑘≠0）的图象也
经过这个定点，探究实数𝑘，𝑎满足的关系式．
（3）已知点𝑃(𝑥0,𝑚) 和𝑄(1,𝑛) 都在函数𝑦1 的图象上，若𝑥0 < 1，且𝑚> 𝑛，求𝑥0 的取
值范围（用含𝑎的代数式表示）．
第
7
讲
二
次
函
数
111
思维游戏
谁是小偷
希希警长正在盘问一宗盗窃案的5 个嫌疑犯，他们当中只有3
个人说的是真话。根据他们的说辞，你能猜出谁是小偷吗？
A：D 是小偷。
B：我是无辜的。
C：E 不是小偷。
D：A 说的是谎话。
E：B 说的是真话。
E 是小偷。
讲
第8
二轮专题训练——二次函
数存在性问题
模块一
二次函数的角度问题
模块二
相似三角形存在性
第
8
讲
二
次
函
数
存
在
性
问
题
114
本讲概况
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
二次函数的角度
问题
特殊角存在性
★★★★
例1
等角关系
★★★★★
例2、3
随堂练习1
二倍角关系
★★★★★
例4
相似三角形
存在性
存在性问题
★★★★
例5
★★★★★
例6、7
第
8
讲
二
次
函
数
存
在
性
问
题
115
模块一
二次函数的角度问题
精讲精练
知识模型
特殊角存在性
典型例题1
如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 2 与𝑥轴交于点𝐴(−1,0) 和点
𝐵(2,0)，与𝑦轴交于点𝐶．
（1）求该抛物线的表达式及点𝐶的坐标．
（2）已知点𝑃(1,𝑚) 与点𝑄都是抛物线上的点．
①求tan∠𝑃𝐵𝐶的值．
②如果∠𝑄𝐵𝑃= 45∘，求点𝑄的坐标．
第
8
讲
二
次
函
数
存
在
性
问
题
116
知识模型
等角关系
典型例题2
已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 −2𝑎𝑥+𝑐过点𝐴(−1,0) 和𝐶(0,3)，与𝑥轴交于另一点𝐵，顶点为𝐷．
（1）求抛物线的解析式，并写出𝐷点的坐标．
（2）如图，𝐸为线段𝐵𝐶上方的抛物线上一点，𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，垂足为𝐹，𝐸𝑀⊥𝑥轴，垂足为𝑀，
交𝐵𝐶于点𝐺．当𝐵𝐺= 𝐶𝐹时，求△𝐸𝐹𝐺的面积．
（3）如图，𝐴𝐶与𝐵𝐷的延长线交于点𝐻，在𝑥轴上方的抛物线上是否存在点𝑃，使
∠𝑂𝑃𝐵= ∠𝐴𝐻𝐵？若存在，求出点𝑃的坐标；若不存在，请说明理由．
第
8
讲
二
次
函
数
存
在
性
问
题
117
典型例题3
已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−3(𝑎≠0) 经过点𝐴(1,0)，𝐵(−2,−3)，顶点为点𝑃，与𝑦轴交于点
𝐶．
（1）求该抛物线的表达式以及顶点𝑃的坐标．
（2）将抛物线向上平移𝑚(𝑚> 0) 个单位后，点𝐴的对应点为点𝑀，若此时𝑀𝐵//𝐴𝐶，求
𝑚的值．
（3）设点𝐷在抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−3 上，且点𝐷在直线𝐵𝐶上方，当∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶时，
求点𝐷的坐标．
第
8
讲
二
次
函
数
存
在
性
问
题
118
知识模型
二倍角关系
典型例题4
已知抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐(𝑎> 0) 与𝑥轴交于点𝐴(1,0) 和𝐵(4,0)，与𝑦轴交于点𝐶，𝑂
为坐标原点，且𝑂𝐵= 𝑂𝐶．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点𝑃是线段𝐵𝐶上的一个动点（不与点𝐵、𝐶重合），过点𝑃作𝑥轴的垂
线交抛物线于点𝑄，连接𝑂𝑄．当四边形𝑂𝐶𝑃𝑄恰好是平行四边形时，求点𝑄的坐标．
（3）如图2，在（2）的条件下，𝐷是𝑂𝐶的中点，过点𝑄的直线与抛物线交于点𝐸，且
∠𝐷𝑄𝐸= 2∠𝑂𝐷𝑄，在直线𝑄𝐸上是否存在点𝐹，使得△𝐵𝐸𝐹与△𝐴𝐷𝐶相似？若存
在，求点𝐹的坐标：若不存在，请说明理由．
第
8
讲
二
次
函
数
存
在
性
问
题
119
模块二
相似三角形存在性
精讲精练
知识模型
存在性问题
典型例题5
如图，抛物线经过𝐴(−4,0)，𝐵(−1,0)，𝐶(0,2) 三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在直线𝐴𝐶下方抛物线上有一点𝐷，使得△𝐷𝐶𝐴的面积最大，求点𝐷的坐标以及
△𝐷𝐶𝐴的面积的最大值．
（3）点𝑃是抛物线上一个动点，过𝑃作𝑃𝑀⊥𝑥轴于𝑀，是否存在𝑃点，使得以𝐴，𝑃，𝑀
为顶点的三角形与△𝑂𝐴𝐶相似？若存在，直接写出符合条件的点𝑃的坐标；若不存
在，说明理由．
第
8
讲
二
次
函
数
存
在
性
问
题
120
典型例题6
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知抛物线𝑦= −𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐经过点𝐴(−1,0)、𝐵(2,0)，将该抛
物线位于𝑥轴上方的部分沿𝑥轴翻折，得到的新图象记为“图象𝑈”，
“图象𝑈”与𝑦轴交
于点𝐶．
（1）写出“图象𝑈”对应的函数解析式及定义域．
（2）求∠𝐴𝐶𝐵的正切值．
（3）点𝑃在𝑥轴正半轴上，过点𝑃作𝑦轴的平行线，交直线𝐵𝐶于点𝐸，交“图象𝑈”于
点𝐹，如果△𝐶𝐸𝐹与△𝐴𝐵𝐶相似，求点𝑃的坐标．
第
8
讲
二
次
函
数
存
在
性
问
题
121
典型例题7
如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，二次函数𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥−2 的图象经过点𝐴(−1,0)，
𝐵(3,0)，与𝑦轴交于点𝐶，连接𝐵𝐶、𝐴𝐶．
（1）求二次函数的表达式．
（2）设二次函数的图象的顶点为𝐷，求直线𝐵𝐷的函数表达式以及sin∠𝐶𝐵𝐷的值．
（3）若点𝑀在线段𝐴𝐵上（不与𝐴、𝐵重合），点𝑁在线段𝐵𝐶上（不与𝐵、𝐶重合），是
否存在△𝐶𝑀𝑁与△𝐴𝑂𝐶相似，若存在，请直接写出点𝑁的坐标，若不存在，请说明
理由．
第
8
讲
二
次
函
数
存
在
性
问
题
122
随堂练习1
已知抛物线𝑦= 𝑎(𝑥−2)2 −9 经过点𝑃(6,7)，与𝑥轴交于𝐴、𝐵两点，与𝑦轴交于点𝐶，直
线𝐴𝑃与𝑦轴交于点𝐷，抛物线对称轴与𝑥轴交于点𝐸．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点𝐸作一条直线𝑙（点𝐵、𝐶分别位于直线𝑙的异侧），设点𝐶到直线𝑙的距离为
𝑚，点𝐵到直线𝑙的距离为𝑛，求𝑚+𝑛的最大值．
（3）𝑦轴上是否存在点𝑄，使∠𝑄𝑃𝐷= ∠𝐷𝐸𝑂，若存在，请求出点𝑄的坐标；若不存在，请
说明理由．
第
8
讲
二
次
函
数
存
在
性
问
题
123
思维游戏
扑克牌大作战
桌上有8 张纸牌扣在上面，它们的位置如图所示：
在这8 张牌中，只有K、Q、J 和A 这4 种牌。其中至少有一张
是Q，每张Q 都在两张K 之间，至少有一张K 在两张J 之间。没
有一张J 与Q 相邻。其中只有一张A，没有一张K 与A 相邻，但
至少有一张K 和另一张K 相邻。
你能找出这8 张纸牌中哪一张是A 吗？
第二排第二张是A。从上到下、从左到右依次是：K、J、A、Q、J、
K、J、K。
11230922583774
