文档文本内容
更多精品课程加微信：M920853
第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
2
“
”
很开心能见到你，本书将带领你进入全新的领域。在过去
的学习中，无论你是卓越还是略有失意，此刻将是新的征途的开
始。你是否已准备好谱写新的辉煌？
在这里，你会知道许多著名数学家的趣事。你也会揭开数学
神秘的面纱，了解数学之美。
大数学家高斯说：“数学是一切科学的皇后。”如果说物理是
上帝的游戏，那数学就是上帝的游戏规则。数学是通往星辰大海
的秘钥，是国防科技的护盾，是我们脚下这片土地的未来。华罗
庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”
现在的你，肯定已迫不及待想要扬帆起航。但睿智的你肯定
也明白，学习的事，容不得半点含糊。
亲爱的同学：
第一，凡事预则立，不预则废。
第二，认真听课，积极互动。认真做笔记，总结解题方法、技巧。
第三，温故而知新，可以为师矣。不忘温习，方得始终。
第四，及时完成随堂练习。今朝有题今朝做，明朝又有明朝事。
第五，整理错题，学会总结。聪明人知错就改，糊涂人有错就瞒。
最后，青春的帆已扬起，只待你乘风破浪，勇往直前。
对于初中直播课学习，给你一些建议：
序言
华
罗
庚
高
斯
更多精品课程加微信：M920853
第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
3
1
心形函数曲线
π
5
2
3
4
金字塔
有趣的黄金分割线
对称美
古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线条和其他一切
美的形体都必须有对称的形式。”对称本身即具有和谐的
整体美。
早在南北朝时期，大数学家祖冲之就利用割圆术将圆周
率π精算到小数点后七位，直到15世纪，阿拉伯数学
家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
金字塔，是古埃及人智慧代表的巅峰之作。早在古希腊
时期，几何学家泰勒斯就可以根据投影与相似三角形定
理，测量出金字塔的高度。
0.618比1，著名的“黄金分割比”。意大利著名画家
达·芬奇笔下的《蒙娜丽莎》就多次应用黄金分割比，
蒙娜丽莎之所以越看越美，就是因为她的脸型、身材均
符合黄金矩形。
笛卡尔给公主的信中，只有一道函数公式：r=a(1-sinθ）。
而极具浪漫色彩的是，当公主把函数图象画出来后，一颗饱满
的心跃然纸上。这就是著名的“心形线”。
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
5
前言
希望学教研团队
亲爱的同学：
当你翻开这本书的时候，你又开始了一段新的学习之旅。
本书由希望学教研团队编写而成。团队有多年的教研沉淀，致力于为同学们
提供小学、初中和高中全学科的课外有益补充，培养学生分析问题和自主解决问
题的能力。锻炼思维，开拓视野，由“知识型”向“能力型”转化。
下面我们将向你介绍本书的诞生过程：
1、对标教材和课程标准建立课程大纲
希望学教研团队根据教育部审定的最新中学教材，选取重难点模块，收集各
地区题目，精心敲定教学大纲。
2、依据大数据、编撰高标准
①依托多年教研沉淀，精品题库、讲义素材、课件切片等四大库教研基建，
为讲义编撰提供优质素材；
②希望学大数据核心算法定位学习中的薄弱环节；
③百人教研团队，历经1000+小时，严格按照大纲目录进行编写，三轮审核
三轮校对。
3、三审三校
初稿经由希望学教研中心内部一审，学科产品、教学中心、主讲老师集中二
审，外部专家专业三审后进入校对环节。
由编者一次精校；教研中心资深教研员二次精校；排版团队三次精校。只有
经过全面的三审三校，这本书才能发送给我们的用户！
4、排版
编撰与审校结束后，会安排专业团队进行排版印刷。模板和风格由专业设计
师进行设计，并不断更新迭代，紧跟审美风向标，提升可读性。由供应部门统一
调配和发货，这本书就会到达你的手中啦！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！接下来的每一天，我们都会在你的见证
下不断精进，不断成长。
未来，希望学也会继续承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育
资源的均衡发展。伴随着你的成长，见证着你的成功，每天进步一点点，一起做
更好的自己！
更多精品课程加微信：M920853
【相交线与平行线】 能熟练运用平行线
的性质和判定来解决平
行线的证明、平行线间
的动点问题；
【数域拓展课】 实数易错概念辨析
【数形思想课】 平面直角坐标系中的面
积问题
【数形思想课】 平面直角坐标系中的规
律探究
【运算能力课】 含参二元一次方程（组）
【运算能力课】 含参不等式（组）
【实际应用课】 列方程、不等式解应用
题
【动态探究课】 平面直角坐标系中的动
点问题
【运算能力课】 有理数的运算技巧
【数形思想课】 有理数与数轴结合、分
类讨论、绝对值的代数
意义与几何意义
【动态探究课】 数轴上的动态问题
【运算能力课】 整式与整体思想、巧解
一元一次方程与含参一
元一次方程
【实际应用课】 方案选择与阶梯计价
【几何思维课】 线与角的分类讨论、动
态问题
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第
0
讲
请
设
置
边
文
内
容
9
练习册是根据最新中学课本，选取重难点模块，筛选各
地区诊断题目，精心编写而成。为课上讲义匹配的同步练习
册，基于每一讲的内容精心提炼出常见题型，每个题型下匹
配2-4道练习题，针对课上学习的内容强化训练，巩固复习。
使用步骤：
第一步，完成相应讲次课程，整理课堂笔记，梳理解题
方法；
第二步，有针对性的完成重点题型的练习题，巩固知识，
诊断学习效果；
第三步，参照答案，有错改错，定期复习，查漏补缺。
“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。” 愿
你在今后的学习道路上，披荆斩棘，每天进步一点点！
练习册使用说明
更多精品课程加微信：M920853
目录
第1 讲
化归转化思想——三角形
的边
1
模块一
三角形的基本概念
3
模块二
三角形边的两大模型
9
模块三
拓广探索
11
第2 讲
化归转化思想——三角形
的角
21
模块一
三角形的内角和
23
模块二
三角形角的两大模型
28
模块三
拓广探索
31
第3 讲
化归转化思想——三角形
双角分线型
41
模块一
三角形双角分线型
43
模块二
拓广探索
47
第4 讲
全等经典模型——全等的
性质与判定
57
模块一
全等的性质
59
模块二
全等的判定
62
模块三
拓广探索
68
更多精品课程加微信：M920853
第5 讲
全等经典模型——三大几
何变换中的全等
77
模块一
平移型全等
79
模块二
旋转型全等
81
模块三
对称型全等
83
模块四
基本辅助线添加
85
模块五
拓广探索
87
第6 讲
全等经典模型——倍长中
线与截长补短
97
模块一
倍长中线
99
模块二
截长补短
102
模块三
拓广探索
105
第7 讲
归纳类比思想——平面图
形探究
113
模块一
面积探究一
115
模块二
面积探究二
119
模块三
拓广探索
123
第8 讲
归纳类比思想——立体图
形探究
131
模块一
体积探究一
133
模块二
体积探究二
137
模块三
拓广探索
141
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第1 讲
化归转化思想—
化归转化思想——
三角形的边
模块一
三角形的基本概念
模块二
三角形边的两大模型
模块三
拓广探索
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
2
知识引入
欧几里得，古希腊数学家。
欧几里得的主要著作《几何原本》，是史上第一本采用公理化的体系来讨论数学的
书。是他将前人的成果，采用独创的编写方式，先提出定义、公理、公设，再由简到繁地证
明了一系列的定理的一本书，涉及范围包括平面图形和立体图形，以及整数、分数、比例
等。
至今，中学生所学的平面几何和立体几何都没有超出《几何原本》的范围。
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
3
模块一
模块一
三角形的基本概念
知识梳理
一、三角形的基本概念
1. 三角形的定义
由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形叫做三角形．
如图，线段𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐶𝐴是三角形的边，点𝐴、𝐵、𝐶是三角形的顶点，∠𝐴、∠𝐵、∠𝐶是相
邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．
顶点是𝐴、𝐵、𝐶的三角形记作“△𝐴𝐵𝐶”，读作“三角形𝐴𝐵𝐶”．三角形的三边有时也用
𝑎、𝑏、𝑐表示．
如图，顶点𝐴所对的边用𝑎表示，顶点𝐵所对的边用𝑏表示，顶点𝐶所对的边用𝑐表
示．
2. 其他与三角形有关的线段
在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做
三角形的高．
连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段，叫做三角形的中线．
三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做
三角形的角平分线．
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
4
如图(1)，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷，线段𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶边𝐵𝐶上的高；
如图(2)，𝐵𝐸= 𝐶𝐸，线段𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶边𝐵𝐶上的中线；
如图(3)，∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐹，线段𝐴𝐹是△𝐴𝐵𝐶的角平分线．
想一想
一个三角形有几条高，几条中线，几条角平分线？
二、三角形的分类
1. 按角分类
锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形．
直角三角形：有一个内角是直角的三角形．
钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形．
所以三角形按角分类可以分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
2. 按边分类
不等边三角形：三边互不相等的三角形．
等腰三角形：有两边相等的三角形．
等边三角形：三边都相等的三角形．
想一想
如果把三角形按边分类，能把三角形分为三类：不等边三角形、等腰三角形、等边三
角形吗？分类的时候要注意什么？
【探索】请分别在锐角三角形、直角三角形与钝角三角形中画出它的三条高、三条中线与
三条角平分线，你发现了什么？
三、三角形的三边关系
1. 三角形任意两边之和大于第三边．
2. 三角形任意两边之差小于第三边．
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
5
【注意】
在应用三边关系时，有两种常见方式：
（1）通过两边长确定第三边的取值范围，可用“两边之差< 第三边< 两边之和”．
（2）通过三边长确定是否可以构成三角形，可用“最长线段< 另外两条线段之和”或
者“最短线段> 另外两条线段之差”．
知识模型
判断能否构成三角形
典型例题1
下列线段能构成三角形的是( )．
A. 3，3，5
B. 2，2，4
C. 1，2，3
D. 2，3，6
知识模型
已知两边求第三边
典型例题2
一个三角形的两边长分别是3 和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是
．
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
6
知识模型
根据三边关系分类讨论
典型例题3
已知一个三角形的三条边的长分别为𝑛+2，𝑛+6，3𝑛．
（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长．
（2）若这个三角形的三条边都不相等，且𝑛为正整数，直接写出𝑛的最大值．
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
7
知识模型
根据三边关系化简
典型例题4
已知：𝑎、𝑏、𝑐为三角形的三边长，化简：|𝑏+𝑐−𝑎|+|𝑏−𝑐−𝑎|−|𝑐−𝑎−𝑏|−|𝑎−𝑏+𝑐|．
融会贯通1
若𝑎、𝑏、𝑐是△𝐴𝐵𝐶三边，化简√(𝑎+𝑏+𝑐)2 +√(𝑎−𝑏−𝑐)2 +√(𝑏−𝑐−𝑎)2 +√(𝑐−𝑎−𝑏)2
=
．
知识模型
利用三角形三边关系解决问题
典型例题5
用长度相等的100 根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3 倍，
求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
8
典型例题6
一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4 和12，则第三条高的长
为
．
典型例题7
周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形的个数有
个．
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
9
模块二
模块二
三角形边的两大模型
知识梳理
知识模型
两大模型与边长关系
典型例题8
如图所示，𝐷，𝐸是△𝐴𝐵𝐶内两点，则𝐴𝐵+𝐴𝐶
𝐵𝐷+𝐷𝐸+𝐶𝐸（填“<”
“>”或“=”）．
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
10
典型例题9
如图，三角形𝐴𝐵𝐶中，𝑃为三角形𝐴𝐵𝐶内一点，连接𝐴𝑃、𝐵𝑃、𝐶𝑃，求证：1
2 (𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐴) <
𝐴𝑃+𝑃𝐵+𝑃𝐶< 𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐴．
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
11
模块三
模块三
拓广探索
典型例题10
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵> 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷，𝑃在𝐴𝐷上且为𝐴与𝐷之间的任一点，则
𝑃𝐵+𝐴𝐶与𝐴𝐵+𝑃𝐶的大小关系为( )
A. 𝑃𝐵+𝐴𝐶> 𝐴𝐵+𝑃𝐶
B. 𝑃𝐵+𝐴𝐶= 𝐴𝐵+𝑃𝐶
C. 𝑃𝐵+𝐴𝐶< 𝐴𝐵+𝑃𝐶
D. 无法判断
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
12
随堂练习
随堂练习1
用以下各组线段为边可以组成三角形的是( )．
A. 2cm、4cm、6cm
B. 2cm、5cm、7cm
C. 2cm、5cm、8cm
D. 4cm、5cm、8cm
随堂练习2
如果三角形的两边长分别为3 和5，那么这个三角形的周长可能是( )．
A. 15
B. 16
C. 8
D. 7
随堂练习3
如果等腰三角形的两边长分别为3 和7，那么它的周长为
．
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
13
随堂练习4
如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐸是𝐴𝐷的中点，如果𝑆△𝐴𝐵𝐷= 20，那么𝑆△𝐶𝐷𝐸=
．
随堂练习5
已知：如图，𝑂是△𝐴𝐵𝐶内一点，求证：𝑂𝐴+𝑂𝐵+𝑂𝐶> 1
2(𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶)．
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
14
数学探索
数学符号的起源
数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量却很多。现在常用
的有200 多个，初中数学书里就不下20 多种。它们都有一段有趣
的经历。
例如加号曾经有好几种，现在通用“+”。
“+”是由拉丁文“et”(“和”
的意思) 演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔尔塔利亚用意大利
文“più”(加的意思) 的第一个字母表示加，最后都变成了“+”。减号
是从拉丁文“minus”(“减”的意思) 演变来的，简写m，再省略掉字母，
就成了“-”了。也有人说，卖酒的商人用“-”表示酒桶里的酒卖了多
少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“-”上加一竖，意思是把原
线条勾销，这样就成了个“+”等等。
16 世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别。可是英
国牛津大学数学、修辞学教授雷科德觉得: 用两条平行而又相等的
直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号“=”就从
1540 年开始使用起来。1591 年，法国数学家韦达在文中大量使用
这个符号，才逐渐为人们接受。十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了
“=”号，他还在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”表示全等。
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
15
数学探索
大于号“>”和小于号“<”，是1631 年英国著名代数学家哈里奥
特创用。至于“≯”
“≮”、
“≠”这三个符号的出现，是很久以后的事
了。大括号“﹛﹜”和中括号“[ ]”是代数创始人之一韦达创造的。
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
16
练习册
1
若等腰三角形的两条边长分别为3 和4，则这个等腰三角形的周长是
．
2
如果△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，若周长是18，一边长是8，则另两边长是
．
3
已知𝑚是整数，以4𝑚+5、2𝑚−1、20−𝑚这三个数作为同一个三角形三边的长，则
满足条件的三角形个数有( )．
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 无数个
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
17
4
已知𝑎、𝑏、𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三条边长，化简|𝑎+𝑏−𝑐|+|𝑏−𝑎−𝑐| 的结果为( )．
A. 2𝑎+2𝑏
B. 2𝑎+2𝑏−2𝑐
C. 2𝑏−2𝑐
D. 2𝑎
5
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷为𝐴𝐶上一点，求证：𝐴𝐶> 1
2 (𝐵𝐷+𝐶𝐷)．
6
周长为20，各边长互不相等且都是整数的三角形共有
个．
更多精品课程加微信：M920853
第
1
讲
三
角
形
的
边
18
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第2 讲
化归转化思想—
化归转化思想——
三角形的角
模块一
三角形的内角和
模块二
三角形角的两大模型
模块三
拓广探索
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
22
知识引入
你知道三角形的内角和是180∘，可是你知道为什么吗?
难不成因为它长得可爱？
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
23
模块一
模块一
三角形的内角和
知识梳理
一、三角形的内角和
三角形的内角和等于180∘.
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶= 180∘
二、三角形的外角
1. 定义
由三角形的一个内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．每
个三角形有6 个外角.
2. 性质
(1) 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
如图，∠𝐴𝐵𝐹= ∠1+∠3 ，∠𝐵𝐶𝐷= ∠1+∠2 ，∠𝐶𝐴𝐸= ∠2+∠3
(2) 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3. 三角形的外角和
对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加
所得的和，叫三角形的外角和．三角形的外角和等于360∘．
如图，∠𝐴𝐵𝐹+∠𝐸𝐴𝐶+∠𝐷𝐶𝐵= 360∘
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
24
三、多边形的概念和性质
1. 多边形的基本概念:
⑴多边形的定义: 在平面内, 由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
⑵多边形的边: 组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
⑶多边形的顶点: 每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.
⑷多边形的对角线: 在多边形中, 连接多边形不相邻的两个顶点的线段, 叫做多边形
的对角线.
⑸多边形的内角: 多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.
⑹多边形的外角: 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
⑺正多边形: 各个角相等, 且各条边都相等的多边形叫做正多边形.
⑻凸多边形: 多边形的任何一边所在直线, 使这个多边形都在这条直线的同一侧, 这
样的多边形称为凸多边形.
举例：
正五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸的边:𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐶𝐷、𝐷𝐸、𝐴𝐸
正五边形的顶点:𝐴、𝐵、𝐶、𝐷、𝐸
正五边形的对角线:𝐴𝐶、𝐴𝐷、𝐵𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐸
正五边形内角:∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶= ∠𝐷= ∠𝐸= 108∘
正五边形外角:∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = ∠5 = 72∘
正五边形是凸多边形
2. 多边形的基本性质:
⑴除三角形之外的多边形没有稳定性.
⑵多边形内角和:𝑛边形(𝑛≥3) 内角和为(𝑛−2)×180∘.
⑶多边形外角和: 多边形的外角和都是360∘.
⑷𝑛边形的对角线: 一个顶点有(𝑛−3) 条对角线, 共有𝑛(𝑛−3)
2
条对角线.
⑸若无特别强调, 多边形都指凸多边形, 凸多边形的每个内角都小于180∘.
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
25
知识模型
三角形的角
典型例题1
（1）若△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴∶∠𝐵∶∠𝐶= 1 ∶2 ∶4，则△𝐴𝐵𝐶一定是( )
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 任意三角形
（2）如果一个三角形有两个外角的和等于270∘，则此三角形一定是( )．
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形
知识模型
三角形的外角
典型例题2
如图，已知∠𝐴= 30∘，∠𝐵𝐸𝐹= 105∘，∠𝐵= 15∘，则∠𝐷=( )．
A. 25∘
B. 35∘
C. 45∘
D. 30∘
融会贯通1
如图所示，已知△𝐴𝐵𝐶，延长𝐶𝐴、𝐴𝐵、𝐵𝐶到𝐷、𝐸、𝐹，连接𝐷𝐸、𝐸𝐹、𝐹𝐷，使得∠𝐴𝐸𝐷=
∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹，若∠𝐴𝐵𝐶= 60∘，∠𝐷𝐹𝐸= 50∘，则∠𝐵𝐴𝐶=
，∠𝐸𝐷𝐹=
．
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
26
知识模型
三角形内外角综合
典型例题3
如图，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线，点𝑂在𝐴𝐷上，且𝑂𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= 60∘，∠𝐶
= 80∘，则∠𝐸𝑂𝐷的度数为( )．
A. 10∘
B. 15∘
C. 20∘
D. 40∘
融会贯通2
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 26∘，∠𝐶= 70∘，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶于点𝐸，𝐸𝐹⊥𝐴𝐷于点
𝐹，则∠𝐷𝐸𝐹=
∘．
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
27
知识模型
多边形内角
典型例题4
一个多边形的每个内角都等于144∘，则这个多边形的边数是( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
融会贯通3
一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620∘，则原来多边形的边数
是( )．
A. 10
B. 11
C. 12
D. 10 或11 或12
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
28
模块二
模块二
三角形角的两大模型
知识梳理
【注意】
“8”字模型、
“飞镖”模型不可直接使用，必须证明后再用．
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
29
知识模型
“飞镖”模型
典型例题5
如图，则∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶+∠𝐷+∠𝐸=
．
融会贯通4
如图，∠1 = 105∘，则∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶+∠𝐷+∠𝐸+∠𝐹=
．
知识模型
“8”字模型
典型例题6
如图：∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶+∠𝐷+∠𝐸+∠𝐹=
∘．
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
30
典型例题7
如图，∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶+∠𝐷+∠𝐸=
度．
知识模型
“飞镖”模型和“8”字模型综合
典型例题8
如图，∠𝐷𝐴𝐵的平分线和∠𝐷𝐶𝑁的平分线相交于点𝑀，探究∠𝑀与∠𝐵，∠𝐷间的数量关
系．
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
31
模块三
模块三
拓广探索
典型例题9
已知△𝐴𝐵𝐶的三个内角为𝐴，𝐵，𝐶且𝛼= 𝐴+𝐵，𝛽= 𝐶+𝐴，𝛾= 𝐶+𝐵，则𝛼，𝛽，𝛾中，锐角
的个数最多为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
32
随堂练习
随堂练习1
若一个多边形的内角和是900∘，则这个多边形的边数是( )．
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
随堂练习2
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐴𝐵延长线上一点，∠𝐴= 40∘，∠𝐶= 60∘，则∠𝐶𝐵𝐷=
∘．
随堂练习3
如图，点𝑂是△𝐴𝐵𝐶内一点，∠𝐴= 80∘，∠1 = 15∘，∠2 = 40∘，则∠𝐵𝑂𝐶等于( )．
A. 95∘
B. 120∘
C. 135∘
D. 无法确定
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
33
随堂练习4
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= ∠𝐶，𝐷为𝐵𝐶边上的一点，𝐸点在𝐴𝐶边上，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷，若
∠𝐵𝐴𝐷= 20∘，则∠𝐶𝐷𝐸=( )．
A. 10∘
B. 15∘
C. 20∘
D. 30∘
随堂练习5
如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐶边上一点，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，∠𝐵𝐴𝐶= 63∘，求∠𝐷𝐴𝐶的
度数．
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
34
数学探索
沈括轶事
北宋的一个夜晚，一家小酒店的老板正和伙计一起堆酒坛。因
为近来生意特别好，酒坛自然也就多。老板一边在心里乐，一边盘
算着如何发更大的财。他要把酒坛堆得整整齐齐，美观大方，吸引
更多的顾客光临酒店。
酒坛堆得非常漂亮，一层一层整整齐齐。酒店门口的招幌迎风
飘扬，使人不得不驻足逗留，忍不住想进店喝几盅。酒店老板得意
扬扬之际，想数数酒坛一共有多少只。可是，数坛子也并不轻松，老
板从前面绕到后面，又从后面绕到前面，刚刚擦干的汗水又冒出来
了，伙计们都笑了。
第二天，这堆酒坛果然吸引了不少顾客，老板望着酒坛，乐不
可支。这时，一位衣冠楚楚的青年书生走了过来，面对酒坛，若有所
思。老板心想：我昨天为了数清这堆酒坛，花了很大的功夫，这位青
年相貌不凡，我倒要考考他。
“年轻人，你知道这堆酒坛一共有多少个吗？”老板半开玩笑地
问道。
“这很容易，只要你告诉我这堆酒坛上面的那层一共几排，每
排多少个，一共有几层。根本不用数，我马上就知道这堆酒坛的数
目。”年轻人这么说话，显然有十足的把握。
“噢！”老板心想：这位年轻人真会说大话，不妨把他提的条件
告诉他，看看他的能耐到底有多大。于是老板爽快地说：
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
35
数学探索
“上面那层酒坛是四排，每排8 个，第二层是五排，每排9 个
……”
“好了，一共七层，”年轻人打断了老板的话，不加思索地报出
了答案，
“一共567 个酒坛。对吗？”
老板一下子惊得连张开的嘴巴也忘记合拢了。这么快！老板马
上把年轻人请进酒店，上茶，敬酒，招待得万分周到。老板真是打心
眼佩服这位青年，又是请教姓名，又是讨教数坛的方法。
这位青年就叫沈括。优越的家庭生活条件使他有机会读书，加
上他好奇心强，肯钻研，于是他就成了很有才学的人。沈括回答老
板说：
“我数这坛子的方法其实非常简单，因为中间那层共77 个，
共七层，只要再乘7，后加上常数28 就行了。”
沈括从小对筹算很感兴趣，读了许多数学名著。后来自己写成
了一本数学专著《隙积术》，专门研究高阶等差级数的求和问题。
沈括数坛的方法就是利用了高阶等差级数求和的方法，要比单纯
地数方便多了。数学上还可能碰到数字更大，项数更多的题目，用
这种方法便可一下子迎刃而解。
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
36
练习册
1
在△𝐴𝐵𝐶中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则( )
A. 必有一个内角等于30∘
B. 必有一个内角等于45∘
C. 必有一个内角等于60∘
D. 必有一个内角等于90∘
2
如图所示，已知𝐴𝐶//𝐸𝐷，∠𝐶= 30∘，∠𝐵= 40∘，则∠𝐸的度数是( )．
A. 60∘
B. 80∘
C. 70∘
D. 50∘
3
如图是由线段𝐴𝐵，𝐶𝐷，𝐷𝐹，𝐵𝐹，𝐶𝐴组成的平面图形，∠𝐷= 28∘，则∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶+
∠𝐹的度数为( )．
A. 62∘
B. 152∘
C. 208∘
D. 236∘
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
37
4
如图，已知𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐶，过𝐹作𝐹𝐷⊥𝐵𝐶，若∠𝐵比∠𝐶大20 度，则∠𝐹的度数
是( )．
A. 10 度
B. 15 度
C. 20 度
D. 不能确定
5
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐶边于𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= 60∘，
∠𝐴𝐵𝐸= 25∘．求∠𝐷𝐴𝐶的度数．
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
38
6
如图，∠𝐴= 65∘，∠𝐴𝐵𝐷= 30∘，∠𝐴𝐶𝐵= 72∘，且𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，求∠𝐵𝐸𝐶的度数．
7
如图，点𝐸在𝐴𝐶上，点𝐹在𝐴𝐵上，𝐵𝐸，𝐶𝐹交于点𝑂，且∠𝐶= 2∠𝐵，∠𝐵𝐹𝐶
−∠𝐵𝐸𝐶= 20∘，求∠𝐶的度数．
更多精品课程加微信：M920853
第
2
讲
三
角
形
的
角
39
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第3 讲
化归转化思想——
化归转化思想——
三角形双角分线型
模块一
三角形双角分线型
模块二
拓广探索
更多精品课程加微信：M920853
第
3
讲
三
角
形
双
角
分
线
型
42
知识引入
三角形两条内角平分线相交于一点，所形成的钝角与三角形的内角有什么关系呢？
更多精品课程加微信：M920853
第
3
讲
三
角
形
双
角
分
线
型
43
模块一
模块一
三角形双角分线型
知识梳理
角平分线模型中的角度关系
更多精品课程加微信：M920853
第
3
讲
三
角
形
双
角
分
线
型
44
知识模型
内角平分线
典型例题1
如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，∠𝐵= 30∘，𝐵𝐶边上有一点𝑃（不与点𝐵，𝐶重合），𝐼为
△𝐴𝑃𝐶的内心，若∠𝐴𝐼𝐶的取值范围为𝑚∘< ∠𝐴𝐼𝐶< 𝑛∘，则𝑚+𝑛=
．
典型例题2
如图，△𝐴𝐵𝐶中，点𝑀、𝑁是∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵三等分线的交点，若∠𝐴= 60∘，则∠𝐵𝑀𝑁=
．
知识模型
外角平分线
典型例题3
如图，𝐺是△𝐴𝐹𝐸的两外角平分线的交点，𝑃是△𝐴𝐵𝐶的两外角平分线的交点，𝐹、𝐶在
𝐴𝑁上，又𝐵、𝐸在𝐴𝑀上．如果∠𝐹𝐺𝐸= 66∘，则∠𝑃=
度．
更多精品课程加微信：M920853
第
3
讲
三
角
形
双
角
分
线
型
45
知识模型
内角平分线+ 外角平分线
典型例题4
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 60∘，∠𝐴𝐵𝐶= 𝛼（20∘< 𝛼< 120∘），𝐴𝐸平分△𝐴𝐵𝐶的外角
∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐹将∠𝐴𝐶𝐵分成1 ∶2 两部分，若𝐴𝐸、𝐶𝐹交于点𝐺，则∠𝐴𝐺𝐶的度数为
（用含𝛼的代数式表示）．
典型例题5
如图，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐷、𝐵𝐷、𝐶𝐷分别平分△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐸𝐴𝐶、内角∠𝐴𝐵𝐶、外角
∠𝐴𝐶𝐹．以下结论：
①𝐴𝐷//𝐵𝐶；②∠𝐵𝐷𝐶= 1
2∠𝐵𝐴𝐶；③∠𝐴𝐷𝐶= 90∘−∠𝐴𝐵𝐷；④𝐵𝐷平分∠𝐴𝐷𝐶．
其中正确的结论有( )．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
更多精品课程加微信：M920853
第
3
讲
三
角
形
双
角
分
线
型
46
典型例题6
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 60∘，𝐵𝐷，𝐶𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵，𝑀、𝑁、𝑄分别在射线
𝐷𝐵、𝐷𝐶、𝐵𝐶上，𝐵𝐸、𝐶𝐸分别平分∠𝑀𝐵𝐶、∠𝐵𝐶𝑁，𝐵𝐹、𝐶𝐹分别平分∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝑄，则
∠𝐹=( )．
A. 30∘
B. 35∘
C. 15∘
D. 25∘
典型例题7
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐷𝐴𝐵的平分线与∠𝐴𝐵𝐶的邻补角的平分线相交于点𝑃，且
∠𝐷+∠𝐶= 210∘，则∠𝑃=
．
融会贯通1
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐹，𝐷𝐹分别平分∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐶𝐷𝐴，𝐵𝐸，𝐶𝐸分别平分∠𝐴𝐵𝐶，
∠𝐷𝐶𝐵，则∠𝐸+∠𝐹的度数为( )．
A. 100∘
B. 150∘
C. 180∘
D. 270∘
更多精品课程加微信：M920853
第
3
讲
三
角
形
双
角
分
线
型
47
模块二
模块二
拓广探索
典型例题8
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90∘，分别作其内角∠𝐴𝐶𝐵与外角∠𝐷𝐴𝐶的平分线，且两条角平
分线所在的直线交于点𝐸，则∠𝐸=
度；分别作∠𝐸𝐴𝐵与∠𝐸𝐶𝐵的平分线，
且两条角平分线交于点𝐹，则∠𝐴𝐹𝐶=
度．
更多精品课程加微信：M920853
第
3
讲
三
角
形
双
角
分
线
型
48
随堂练习
随堂练习1
如图，已知𝐶𝐷和𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，∠𝐴= 60∘，则∠𝐵𝑂𝐶=( )
A. 60∘
B. 100∘
C. 120∘
D. 150∘
随堂练习2
如图，𝐵𝑃是△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴𝐵𝐶的平分线，𝐶𝑃是∠𝐴𝐶𝐵的邻补角的平分线，如果∠𝐴𝐵𝑃=
20∘，∠𝐴𝐶𝑃= 50∘，则∠𝐴+∠𝑃=( )
A. 70∘
B. 80∘
C. 90∘
D. 100∘
更多精品课程加微信：M920853
第
3
讲
三
角
形
双
角
分
线
型
49
随堂练习3
如图，𝐵𝐴1 和𝐶𝐴1 分别是△𝐴𝐵𝐶的内角平分线和外角平分线，𝐵𝐴2 是∠𝐴1𝐵𝐷的角平分
线,𝐶𝐴2 是∠𝐴1𝐶𝐷的角平分线，𝐵𝐴3 是∠𝐴2𝐵𝐷的角平分线，𝐶𝐴3 是∠𝐴2𝐶𝐷的角平分
线，若∠𝐴= 𝛼，则∠𝐴2021 为( )．
A.
𝛼
2021
B.
𝛼
22020
C.
𝛼
22021
D.
𝛼
22022
随堂练习4
如图△𝐴𝐵𝐶的内角角平分线交于点𝑃，△𝐴𝐵𝐶的外角角平分线交于点𝑄，∠𝑃= 120∘，则
∠𝑄=
∘．
更多精品课程加微信：M920853
第
3
讲
三
角
形
双
角
分
线
型
50
数学探索
勾股定理与无理数
公元前5 世纪，希腊的毕达哥拉斯学派，对几何贡献很大，最
著名的是毕达哥拉斯定理，即任何直角三角形的两直角边𝑎、𝑏和
斜边𝑐都构成𝑎2＋𝑏2＝𝑐2 的关系式。当时，由于直觉经验所限，
毕氏学派立下一个信条：
“宇宙间一切现象都能归结为整数或整数
比。”但是，此信条与毕氏定理直接相悖，譬如，直角边为1 的等腰
直角三角形，其斜边为𝑥，应有𝑥2＝1+1＝2，按毕氏信条，𝑥不是整
数，就是分数，但人们却找不出这样的整数和分数来，但毕氏学派
为了维护其尊严，竟矢口否认𝑥是一个数。
此时，毕氏有一个学生名叫希伯斯，他大胆断言，𝑥既不是整
数，也不是分数，而是人们还没有认识到的一个新数。
希伯斯这一发现，动摇了毕氏信条的思想基础，引起了数学史
上的“第一次危机”．毕氏为了维护其尊严，在学派内下令严密封锁
希伯斯的发现，谁要走漏风声，就把谁活埋。希伯斯得知消息后，连
夜逃走了。毕氏的门徒到处追捕他，后来，他在一艘海船上被捉住
了，暴徒们凶猛地把他扔进海中淹死了。
然而，真理是不可战胜的。人们终于正视希伯斯的发现，进一
步用反证法证明了，等腰直角三角形斜边与直角边的比，是不能用
两个整数的比去表示的，严格证明了√2 是一个无理数。新数引进
来了，数系发展了，人们克服了数学危机，数学又前进了。
更多精品课程加微信：M920853
第
3
讲
三
角
形
双
角
分
线
型
51
数学探索
更多精品课程加微信：M920853
第
3
讲
三
角
形
双
角
分
线
型
52
练习册
1
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶、∠𝐴𝐶𝐵的平分线𝐵𝐸，𝐶𝐷相交于点𝐹，若∠𝐵𝐹𝐶= 116∘，
则∠𝐴的度数为( )．
A. 51∘
B. 52∘
C. 53∘
D. 58∘
2
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 48∘，三角形的外角∠𝐷𝐴𝐶和∠𝐴𝐶𝐹的平分线交于点𝐸，
∠𝐴𝐸𝐶的度数为( )．
A. 56∘
B. 66∘
C. 76∘
D. 无法确定
更多精品课程加微信：M920853
第
3
讲
三
角
形
双
角
分
线
型
53
3
如图，在①②③中，∠𝐴= 42∘，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，则∠𝑂1 +∠𝑂2 +∠𝑂3 =( ) 度．
A. 84
B. 111
C. 225
D. 201
4
如图所示，∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵的内角平分线交于点𝑂，∠𝐴𝐵𝐶的内角平分线与∠𝐴𝐶𝐵的
外角平分线交于点𝐷，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的相邻外角平分线交于点𝐸，且∠𝐴= 60∘，
则∠𝐵𝑂𝐶=
∘，∠𝐷=
∘，∠𝐸=
∘．
5
如图△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 96∘，延长𝐵𝐶到𝐷，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐷的平分线相交于点𝐴1，
∠𝐴1𝐵𝐶与∠𝐴1𝐶𝐷的平分线相交于点𝐴2，依此类推，∠𝐴4𝐵𝐶与∠𝐴4𝐶𝐷的平分线
相交于点𝐴5，则∠𝐴5 的度数为( )．
A. 19.2∘
B. 8∘
C. 6∘
D. 3∘
更多精品课程加微信：M920853
第
3
讲
三
角
形
双
角
分
线
型
54
6
如图，点𝑀是△𝐴𝐵𝐶两个内角平分线的交点，点𝑁是△𝐴𝐵𝐶两个外角平分线的
交点，如果∠𝐶𝑀𝐵∶∠𝐶𝑁𝐵= 3 ∶2，那么∠𝐶𝐴𝐵=
∘．
7
如图，△𝐴𝐵𝐶的内角、外角平分线𝐵𝐸、𝐶𝐸相交于点𝐸，点𝑀、𝑁分别在𝐴𝐵、𝐴𝐶上，
连接𝑀𝑁，若∠1+∠2 = 250∘，则∠𝐸的度数是
．
更多精品课程加微信：M920853
第
3
讲
三
角
形
双
角
分
线
型
55
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第4 讲
全等经典模型——
全等经典模型——
全等的性质与判定
模块一
全等的性质
模块二
全等的判定
模块三
拓广探索
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
58
知识引入
能够完全重合的两个图形称为全等图形。
但是你知道吗？其实世界上并没有两片全等的树叶。
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
59
模块一
模块一
全等的性质
知识梳理
一、全等形
能够重合的两个图形叫做全等形．
二、全等三角形
1．定义：两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形．两个全等三角形，经过平移、旋
转、翻折后一定重合，互相重合的顶点为对应顶点；互相重合的边为对应边；互相重合
的角为对应角．
2．全等三角形的表示方法：△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′ 全等，记作“△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴′𝐵′𝐶′”，其中顶
点𝐴、𝐵、𝐶分别与顶点𝐴′、𝐵′、𝐶′ 对应．
【注意】
寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是：
(1) 把其中一个图形通过旋转、翻转、平移，能与另一个图形完全重合，则重合的边就
是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位
置上．
(2) 有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对应角(对顶角为对应
角)；最大边与最大边(最小边与最小边) 为对应边；最大角与最大角(最小角与最小
角) 为对应角.
3．全等三角形的性质：
(1) 全等三角形的对应边相等
(2) 全等三角形的对应角相等
(3) 全等三角形的周长相等，面积相等
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
60
知识模型
全等的基本概念
典型例题1
下列说法中正确的是( )．
A. 全等三角形是指形状相同的三角形
B. 全等三角形的周长和面积分别相等
C. 所有的等边三角形是全等三角形
D. 有两个角对应相等的两个三角形全等
知识模型
全等的性质
典型例题2
如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶，𝐴和𝐷，𝐵和𝐸是对应点，𝐵、𝐶、𝐷在同一直线上，且𝐶𝐸= 5，
𝐴𝐶= 7，则𝐵𝐷的长为( )．
A. 12
B. 7
C. 2
D. 14
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
61
典型例题3
如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，且∠𝐶𝐴𝐷= 35∘，∠𝐵= ∠𝐷= 20∘，∠𝐸𝐴𝐵= 105∘，求∠𝐵𝐹𝐷和∠𝐵𝐸𝐷
的度数．
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
62
模块二
模块二
全等的判定
知识梳理
一、三角形全等的判定定理
1. 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
2. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”．
3. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”．
4. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或
“AAS”．
5*. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”．
注：三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
63
为了理解记忆三角形全等的判定条件，现归纳如下表：
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
64
二、三角形全等的证明思路
在判定两个三角形全等的过程中，判定方法的选择取决于题目中的已知条件．
1. 若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；
2. 若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一邻边；
3. 若已知两角对应相等，则只需再找任意一组边．
证明思路
⎧{{{{{{{{
⎨{{{{{{{{⎩
已知两边
⎧{{
⎨{{⎩
找夹角：SAS
找第三边：SSS
已知一边一角
⎧{{
⎨{{⎩
任找一角：ASA,AAS
找角的另一邻边：SAS
已知两角，任找一边：ASA,AAS
知识模型
全等三角形的判定
典型例题4
如图，在△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐶𝐷中，已知∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷，在不添加任何辅助线的前提下，依据
“ASA”证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷，需再添加一个条件，正确的是( )
A. ∠𝐵= ∠𝐶𝐷𝐸
B. ∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸
C. 𝐴𝐵= 𝐴𝐶
D. 𝐵𝐷= 𝐶𝐷
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
65
典型例题5
如图，已知∠𝐷𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐴，补充下列条件后仍不能判定△𝐴𝐵𝑂≌△𝐶𝐷𝑂的是( )．
A. ∠𝐷= ∠𝐵，𝑂𝐵= 𝑂𝐷
B. ∠𝐶= ∠𝐴，𝑂𝐴= 𝑂𝐶
C. 𝑂𝐴= 𝑂𝐶，𝑂𝐵= 𝑂𝐷
D. 𝐴𝐵= 𝐶𝐷，𝑂𝐵= 𝑂𝐷
典型例题6
在下列各组条件中，不能判定△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹全等的是( )．
A. 𝐴𝐵= 𝐷𝐸，∠𝐵= ∠𝐸，∠𝐶= ∠𝐹
B. 𝐴𝐶= 𝐷𝐹，𝐵𝐶= 𝐸𝐹，∠𝐶= ∠𝐹
C. 𝐴𝐵= 𝐷𝐸，𝐵𝐶= 𝐸𝐹，∠𝐴= ∠𝐷
D. ∠𝐴= ∠𝐷，∠𝐶= ∠𝐹，𝐴𝐶= 𝐷𝐹
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
66
知识模型
全等三角形的证明
典型例题7
如图，已知𝐴𝐵= 𝐷𝐸，𝐴𝐶= 𝐷𝐹，𝐵𝐸= 𝐶𝐹．求证：∠𝐴= ∠𝐷．
分析：要证∠𝐴= ∠𝐷，只要证
≌
．
证明：∵𝐵𝐸= 𝐶𝐹(
)，
∴𝐵𝐸+𝐸𝐶= 𝐶𝐹+𝐸𝐶(
)，
即𝐵𝐶=
．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，
⎧{{{{
⎨{{{{⎩
𝐴𝐵=————————— (—————————)
𝐵𝐶=————————— (—————————)
𝐴𝐶=————————— (—————————)
，
∴
≌
(
)，
∴∠𝐴= ∠𝐷(
)．
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
67
典型例题8
已知：如图，点𝐷在△𝐴𝐵𝐶的𝐵𝐶边上，𝐴𝐶//𝐵𝐸，𝐵𝐶= 𝐵𝐸，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸，求证：𝐴𝐵= 𝐷𝐸．
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
68
模块三
模块三
拓广探索
典型例题9
在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐶𝐵，∠𝐴𝐵𝐶= 90∘，𝐹为𝐴𝐵延长线上一点，点𝐸在𝐵𝐶上，且𝐴𝐸= 𝐶𝐹．
（1）求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐹．
（2）若∠𝐶𝐴𝐸= 25∘，求∠𝐵𝐹𝐶度数．
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
69
随堂练习
随堂练习1
一个三角形的三边长为2，5，𝑥，另一个三角形的三边长为𝑦，2，6，若这两个三角形全等，
则𝑥+𝑦=
．
随堂练习2
如图，已知：𝐴𝐶= 𝐷𝐹，𝐴𝐶//𝐹𝐷，𝐴𝐸= 𝐷𝐵，判断△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹的依据是( )．
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
随堂练习3
如图，若只能用“HL”证明Rt△𝐴𝐵𝐶≌Rt△𝐴𝐵𝐷，则还需补充条件( )．
A. ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷
B. 𝐴𝐶= 𝐴𝐷或𝐵𝐶= 𝐵𝐷
C. 𝐴𝐶= 𝐴𝐷且𝐵𝐶= 𝐵𝐷
D. 以上都不正确
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
70
随堂练习4
如图，已知𝐴𝐵= 𝐷𝐶，𝐴𝐶= 𝐷𝐵．求证：∠1 = ∠2．
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
71
数学探索
进位制
关于进位制，同学们比较熟悉的是十进位制和二进位制，实际
上古代各民族计数法中使用的进位制是五花八门的。1920 年前后，
有人调查了307 种原始计数方法。结果发现有146 种是十进制的。
对十进制的偏爱，最可能的原因在于人有十个手指。除十进制外，
五进制和二十进制在历史上都曾被广泛使用。另外，证据表明，3、
12、60 等进位制也曾在史前时期被不同民族使用过。在我们现代
生活如长度、重量、货币、时间等的计量中，还经常会使用或残存着
十进制之外的进位制。如角度的度量，时间的分秒等都是六十进位
制。英国等国家用一“打”表示12 个，用的是十二进位制。我们有
成语: 半斤八两，这是我国古代一斤为十六两，使用十六进位制的
印迹。
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
72
练习册
1
已知图中的两个三角形全等，则∠1 等于( )．
A. 72∘
B. 60∘
C. 50∘
D. 58∘
2
如图，已知𝐴𝐶= 𝐹𝐸，𝐵𝐶= 𝐷𝐸，点𝐴，𝐷，𝐵，𝐹在一条直线上，要利用“SSS”证明
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐷𝐸，还可以添加的一个条件是( )．
A. 𝐴𝐷= 𝐹𝐵
B. 𝐷𝐸= 𝐵𝐷
C. 𝐵𝐹= 𝐷𝐵
D. 以上都不对
3
如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，已知𝐴𝐵//𝐷𝐸，𝐴𝐵= 𝐷𝐸，要判定这两个三角形全等，
还需要条件( )．
A. ∠𝐴= ∠𝐷
B. 𝐴𝐹= 𝐹𝐶
C. 𝐵𝐶= 𝐸𝐹
D. 𝐴𝐹= 𝐷𝐶
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
73
4
如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，欲证△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，可补充条件( )．
A. ∠1 = ∠2
B. ∠𝐵= ∠𝐶
C. ∠𝐷= ∠𝐸
D. ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷
5
如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一
样的玻璃，那么最省事的办法是( )．
A. 带①去
B. 带②去
C. 带③去
D. 带①和②去
6
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷= 𝐷𝐸，𝐴𝐶= 𝐴𝐸，∠𝐷𝐸𝐵= 110∘，则∠𝐶=
．
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
74
7
已知：如图，𝐴、𝐶、𝐹、𝐷在同一直线上，𝐴𝐹= 𝐷𝐶，𝐴𝐵= 𝐷𝐸，𝐵𝐶= 𝐸𝐹．
求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
更多精品课程加微信：M920853
第
4
讲
全
等
的
性
质
与
判
定
75
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第5 讲
全等经典模型——三
全等经典模型——
三大几何变换中的全等
模块一
平移型全等
模块二
旋转型全等
模块三
对称型全等
模块四
基本辅助线添加
模块五
拓广探索
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
78
知识引入
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
79
模块一
模块一
平移型全等
知识梳理
一、把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改
变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换．
二、平移型全等
1. 常见平移型全等图形：
2. 平移型全等的特征：等边加减公共边，仍得等边.
由图可得：𝐵𝐸= 𝐶𝐹⇔𝐵𝐸+𝐸𝐶= 𝐶𝐹+𝐸𝐶⇔𝐵𝐶= 𝐸𝐹.
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
80
知识模型
平移型全等
典型例题1
如图，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，𝐵𝐸= 4，𝐴𝐸= 1，则𝐷𝐸的长是( )．
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
典型例题2
已知：点𝐵、𝐸、𝐶、𝐹在同一直线上，𝐴𝐵= 𝐷𝐸，∠𝐴= ∠𝐷，𝐴𝐶//𝐷𝐹．
（1）求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
（2）求证：𝐵𝐸= 𝐶𝐹．
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
81
模块二
模块二
旋转型全等
知识梳理
旋转型全等
1. 常见旋转型全等图形：
2. 共顶点旋转型全等特征：等角加减公共角，仍得等角.
由图可得：∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸⇔∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐷⇔∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸.
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
82
知识模型
旋转型全等
典型例题3
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷是𝐴𝐵上一点，连接𝐶𝐷，过𝐵作𝐵𝐸⊥𝐶𝐷
交𝐶𝐷的延长线于点𝐸，连接𝐴𝐸，过𝐴作𝐴𝐹⊥𝐴𝐸交𝐶𝐷于点𝐹．求证：𝐴𝐸= 𝐴𝐹．
典型例题4
如图，𝐴、𝐸、𝐹、𝐵四点在一条直线上，𝐴𝐶⊥𝐶𝐸，𝐵𝐷⊥𝐷𝐹，𝐴𝐸= 𝐵𝐹，𝐴𝐶= 𝐵𝐷．
求证：𝐶𝐹= 𝐷𝐸．
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
83
模块三
模块三
对称型全等
知识梳理
对称型全等
1. 常见对称型全等图形：
2. 对称型全等的特征：图中隐含条件，如公共边、公共角、对顶角.
知识模型
对称型全等
典型例题5
如图，已知△𝐴𝐶𝐹≌△𝐷𝐵𝐸，∠𝐸= ∠𝐹，𝐴𝐷= 9cm，𝐵𝐶= 5cm，则𝐴𝐵的长为
cm．
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
84
典型例题6
已知如图，∠𝐸= ∠𝐹= 90∘，∠𝐵= ∠𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐹．求证：∠1 = ∠2．
典型例题7
如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷、𝐸分别在𝐴𝐶、𝐴𝐵上，𝐴𝐺⊥𝐵𝐷，𝐴𝐹⊥𝐶𝐸、垂足分别为𝐺、𝐹，且𝐴𝐺
= 𝐴𝐹．求证:𝐴𝐷= 𝐴𝐸．
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
85
模块四
模块四
基本辅助线添加
知识梳理
一、基本辅助线的描述方法举例
1. 连接𝐷𝐵，如图1；
2. 延长𝐴𝐵到点𝐶，使𝐵𝐶=𝐴𝐵，如图2；
3. 延长𝐴𝐵交𝑀𝑁的延长线于点𝐷，如图3；
4. 在𝐴𝐵上截取𝐴𝑀=𝐴𝐷，连接𝐶𝑀，如图4；
5. 过点𝐶作𝐴𝐵的平行线，如图5；
6. 过点𝐶作𝐴𝐵的垂线，垂足为𝐻，如图6．
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
86
知识模型
基本辅助线添加
典型例题8
已知：如图，𝐴𝐶= 𝐵𝐷，𝐴𝐷⊥𝐴𝐶，𝐵𝐶⊥𝐵𝐷．求证：𝐴𝐷= 𝐵𝐶．
典型例题9
已知：如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝑃𝐵= 𝑃𝐶，𝑃𝐷⊥𝐴𝐵，𝑃𝐸⊥𝐴𝐶，垂足分别为𝐷、𝐸．求证：𝑃𝐷= 𝑃𝐸．
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
87
模块五
模块五
拓广探索
典型例题10
如图所示，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐷、𝐸为𝐵𝐶边上的点，且𝐴𝐷= 𝐴𝐸，𝐵𝐷= 𝐸𝐶．求证：𝐴𝐵= 𝐴𝐶．
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
88
随堂练习
随堂练习1
如图，△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹，如果𝐴𝐵= 6cm，𝐵𝐷= 2cm，那么𝐵𝐶的长是
cm．
随堂练习2
如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐵𝐶= 2cm，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，在𝐴𝐶上取一点𝐸，使𝐸𝐶= 𝐵𝐶，
过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐴𝐶交𝐶𝐷的延长线于点𝐹．若𝐸𝐹= 5cm，则𝐴𝐸=
cm．
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
89
随堂练习3
如图，𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝐸，且𝐴𝐶= 𝐷𝐵，𝐴𝐵= 𝐷𝐶，求证：∠𝐵= ∠𝐶．
随堂练习4
已知：如图，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，𝐴𝐸= 𝐵𝐷，∠𝐴= ∠𝐵．求证：𝐴𝐶= 𝐵𝐶．
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
90
数学探索
书的开本
在书和本子的背面，会看到：8 开、16 开、32 开等字样，你知道
这是什么意思吗?
一张整张的纸叫整开纸，把它对折裁开，就得到两张对开的纸。
对开纸也叫两开纸。如果把对开纸再对折裁开，就得到四张4 开
纸。继续对折裁开，可以得到8 开、16 开、32 开、64 开等各种大小
不同的纸。
研究一下用对折方法裁开的纸: 折一次得2 开纸，2 = 21；折两
次得4 开纸，4 = 22；折三次得8 开纸，8 = 23；折四次得16 开纸，
16 = 24；折五次得32 开纸，32 = 25；折六次得64 开纸，64 = 26。
容易看到，在写成幂的形式中，底数2 表示裁纸的方法，每次
都是把一张纸裁成两张。而指数表示折纸的次数，幂是裁出纸的张
数，也是张的开型。
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
91
练习册
1
如图，点𝐴、𝐷、𝐶、𝐹在同一条直线上，𝐴𝐷= 𝐶𝐹，𝐴𝐵= 𝐷𝐸，𝐵𝐶= 𝐸𝐹．
（1）求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
（2）若∠𝐴= 55∘，∠𝐵= 88∘，求∠𝐹的度数．
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
92
2
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷，𝐸分别是𝐴𝐶和𝐴𝐵的中点．求证：𝐵𝐷= 𝐶𝐸．
3
如图，已知𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐹= 𝐴𝐸，∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐶，点𝐶、𝐷、𝐸、𝐹共线．则下列结论，其
中正确的是( )．
①△𝐴𝐹𝐵≌△𝐴𝐸𝐶；
②𝐵𝐹= 𝐶𝐸；
③∠𝐵𝐹𝐶= ∠𝐸𝐴𝐹；
④𝐴𝐵= 𝐵𝐶．
A. ①②③
B. ①②④
C. ①②
D. ①②③④
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
93
4
如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，𝐵𝐶= 𝐷𝐶，∠𝐵= 130∘，求∠𝐷的度数．
5
已知：如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷𝐵= 𝐷𝐶，𝐹是𝐴𝐷延长线上的一点．求证：𝐵𝐹= 𝐶𝐹．
更多精品课程加微信：M920853
第
5
讲
三
大
几
何
变
换
中
的
全
等
94
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第6 讲
全等经典模型——倍
全等经典模型——
倍长中线与截长补短
模块一
倍长中线
模块二
截长补短
模块三
拓广探索
更多精品课程加微信：M920853
第
6
讲
倍
长
中
线
与
截
长
补
短
98
知识引入
小时候经常会玩高跷，可现在只有一副高跷，而且长短不一致，怎么修补才能让小朋
友开心地玩高跷呢？
更多精品课程加微信：M920853
第
6
讲
倍
长
中
线
与
截
长
补
短
99
模块一
模块一
倍长中线
知识梳理
一、倍长中线法
遇到与三角形的中线相关的问题时，我们常常可以延长中线，使延长的线段与中线长度
相等，从而构造出一对“8 字型”的全等三角形，使问题得到解决．
条件：𝐴𝐷是中线
辅助线：延长𝐴𝐷到点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐶𝐸
可证：△𝐵𝐷𝐴≌△𝐶𝐷𝐸（
）
想一想
是否可以连接𝐵𝐸呢？
二、倍长中线法的推广形式
若题设中无三角形中线，我们可以将与中点相连的其它线段延长一倍，进而构造全等三
角形．
更多精品课程加微信：M920853
第
6
讲
倍
长
中
线
与
截
长
补
短
100
条件：点𝐷是𝐵𝐶的中点
辅助线：延长𝐸𝐷到点𝐹，使𝐷𝐹= 𝐸𝐷，连接𝐵𝐹
可证：△𝐵𝐷𝐹≌△𝐶𝐷𝐸（
）
【点睛】见中点，可倍长，得“8 字”，证全等，转线角．
知识模型
倍长中线
典型例题1
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 3，𝐴𝐶= 5，则𝐵𝐶边的中线𝐴𝐷的取值范围为
．
典型例题2
如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐶𝐸是𝐴𝐵边上的中线，延长𝐴𝐵到𝐷，使𝐵𝐷= 𝐴𝐵．
求证：𝐶𝐷= 2𝐶𝐸．
更多精品课程加微信：M920853
第
6
讲
倍
长
中
线
与
截
长
补
短
101
知识模型
倍长中线拓展
典型例题3
已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷是𝐵𝐶的中点，过点𝐷作直线交𝐴𝐵，𝐶𝐴的延长线于点𝐸，
𝐹．当𝐵𝐸= 𝐶𝐹时，求证：𝐴𝐸= 𝐴𝐹．
典型例题4
如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 4，𝐴𝐶= 7，𝑀是𝐵𝐶的中点，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，过𝑀作𝐹𝑀//𝐴𝐷交
𝐴𝐶于𝐹，求𝐹𝐶的长．
更多精品课程加微信：M920853
第
6
讲
倍
长
中
线
与
截
长
补
短
102
模块二
模块二
截长补短
知识梳理
截长补短
1. 定义
截长补短分截长法与补短法两种，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段
相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说
明．
2. 使用场景
在题目的条件或结论中，见线段的和或差，可考虑截长补短．
【举例】题目条件或求证结论中含有“𝐴𝐵= 𝐶𝐷+𝐸𝐹”时，可考虑截长补短．
3. 辅助线描述
更多精品课程加微信：M920853
第
6
讲
倍
长
中
线
与
截
长
补
短
103
典型例题5
已知：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵= 42∘，𝐴𝑃平分∠𝐶𝐴𝐵，∠𝐵= 32∘，且𝐴𝑃交𝐵𝐶于点𝑃，求证：
𝐴𝐵= 𝐴𝐶+𝑃𝐵．
典型例题6
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 60∘，𝐴𝐷、𝐶𝐸分别平分∠𝐵𝐴𝐶、∠𝐴𝐶𝐵，求证：𝐴𝐶= 𝐴𝐸+𝐶𝐷
更多精品课程加微信：M920853
第
6
讲
倍
长
中
线
与
截
长
补
短
104
典型例题7
已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝐸、𝐹分别在𝐶𝐵、𝐶𝐷的延长线上，∠𝐸𝐴𝐹= 135∘，求证：
𝐵𝐸+𝐷𝐹= 𝐸𝐹．
典型例题8
如图，已知𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 𝐴𝐸= 𝐵𝐶+𝐷𝐸= 2，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷= 90∘，求五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸的面
积．
更多精品课程加微信：M920853
第
6
讲
倍
长
中
线
与
截
长
补
短
105
模块三
模块三
拓广探索
典型例题9
已知△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹为等腰三角形，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷𝐸= 𝐷𝐹，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹，点𝐸在𝐴𝐵
上，点𝐹在射线𝐴𝐶上，若𝐴𝐷= 𝐴𝐵，求证：𝐴𝐹= 𝐴𝐸+𝐵𝐶．
更多精品课程加微信：M920853
第
6
讲
倍
长
中
线
与
截
长
补
短
106
随堂练习
随堂练习1
如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 4，𝐴𝐶= 2，𝐷是𝐵𝐶中点，若𝐴𝐷的长是整数，则𝐴𝐷=
．
随堂练习2
如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸= 𝐸𝐶，𝐵𝑂= 𝐶𝐹，𝐴𝐷//𝐸𝐹，求证：𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶．
更多精品课程加微信：M920853
第
6
讲
倍
长
中
线
与
截
长
补
短
107
随堂练习3
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 60∘，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，且𝐴𝐶= 𝐴𝐵+𝐵𝐷，则∠𝐵的度
数为( )．
A. 20∘
B. 40∘
C. 60∘
D. 80∘
随堂练习4
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐴= 108∘，∠𝐴𝐵𝐶的角平分线交𝐴𝐶于点𝐷，求证：𝐷𝐶+
𝐴𝐵= 𝐵𝐶．
更多精品课程加微信：M920853
第
6
讲
倍
长
中
线
与
截
长
补
短
108
数学探索
为什么下水道的盖子是圆形的
如果留意一下，会发现街上下水道的盖子几乎都是圆的，可是，
为什么要做成圆的呢? 做成其他形状的，比如正方形不好吗?
微软公司在招员工时要进行面试，这个问题最早是微软公司
招聘员工时的测试题，并且很可能是微软最有名的面试问题。但是
由于曝光率太高，微软公司在面试中已经停止使用这一问题了。
对这个问题的最好回答是：正方形的盖子容易掉到洞里去。为
什么正方形的盖子容易掉下去呢? 是因为正方形的对角线是其边
长的√2 倍。如果把一个正方形盖子立起来，稍微一转，它就会很
容易掉到下水道里去。与此不同，圆的直径都是相等的，所以圆形
盖不会掉入圆形洞里。
简单说，其他形状的盖子会有一个角度让井盖掉下去，但如果
井盖做成圆形的，只要直径大于井口一点，那么无论从哪个角度都
不会掉下去!
更多精品课程加微信：M920853
第
6
讲
倍
长
中
线
与
截
长
补
短
109
练习册
1
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶边于点𝐷，点𝐸是𝐵𝐶边的中点，线段
𝐸𝐹//𝐴𝐷交线段𝐴𝐵于点𝐺，交线段𝐶𝐴的延长线于点𝐹．求证：𝐵𝐺= 𝐶𝐹．
2
如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐸是𝐴𝐷上一点，𝐵𝐸交𝐴𝐶于𝐹，若𝐵𝐸= 𝐴𝐶，𝐵𝐹= 9，
𝐶𝐹= 6，则𝐴𝐹的长度为
．
更多精品课程加微信：M920853
第
6
讲
倍
长
中
线
与
截
长
补
短
110
3
已知：如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴+ ∠𝐶= 180∘，𝐵𝐷⊥𝐶𝐷，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶．求证：
𝐷𝐶= 𝐴𝐷．
4
如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 100∘，∠𝐴𝐵𝐶= 40∘，𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，延长𝐵𝐷
至𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷．求证：𝐵𝐶= 𝐴𝐵+𝐶𝐸．
更多精品课程加微信：M920853
第
6
讲
倍
长
中
线
与
截
长
补
短
111
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第7 讲
归纳类比思想—
归纳类比思想——
平面图形探究
模块一
面积探究一
模块二
面积探究二
模块三
拓广探索
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
平
面
图
形
探
究
114
知识引入
这些用七巧板拼成的图形的面积有什么关系呢？
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
平
面
图
形
探
究
115
模块一
模块一
面积探究一
知识梳理
在数学学习中，数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图的直观性，可以帮
助理解数学问题，同时我们也会采用构造几何图形的方法研究问题，加深对问题的认识
和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性.
请同学们根据下列图形回答问题：
（1）如图，边长为𝑎的正方形中有一个边长为𝑏的小正方形，可以求出阴影部分的面积
是
.
（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个梯形，它的上底是
, 下底
是
, 高是
, 面积是
.
（3）比较（1）、
（2）两图的阴影部分面积，可以得到等式
.
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
平
面
图
形
探
究
116
知识模型
面积探究
典型例题1
从边长为𝑎的大正方形纸板中挖去一个边长为𝑏的小正方形纸板后，将其裁成四个相同
的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影
部分的面积，可以验证成立的公式为( )．
A. 𝑎2 −𝑏2 = (𝑎−𝑏)2
B. (𝑎+𝑏)2 = 𝑎2 +2𝑎𝑏+𝑏2
C. (𝑎−𝑏)2 = 𝑎2 −2𝑎𝑏+𝑏2
D. 𝑎2 −𝑏2 = (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)
典型例题2
如图1，边长为𝑎的大正方形中有四个边长均为𝑏的小正方形，小华将阴影部分拼成了
一个长方形（如图2），可以验证下列公式正确的是( )．
A. (𝑎+2𝑏)2 = 𝑎2 +4𝑎𝑏+4𝑏2
B. 𝑎2 −4𝑏2 = (𝑎+2𝑏)(𝑎−2𝑏)
C. (𝑎−2𝑏)2 = 𝑎2 −4𝑎𝑏+4𝑏2
D. 𝑎2 −4𝑏2 = (𝑎+𝑏)(𝑎−2𝑏)
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
平
面
图
形
探
究
117
通过探究图形的面积，我们得到了神奇的代数恒等式，接下来请同学们应用我们探究得
到的等式进行例3∼例5 的计算吧
知识模型
等式应用
典型例题3
计算：
（1）(𝑎+2𝑏)(−2𝑏+𝑎)．
（2）(−2𝑥−𝑦)(2𝑥−𝑦)．
（3）(−3𝑚−2𝑛)(2𝑛−3𝑚)．
知识模型
利用等式巧算
典型例题4
（1）计算：20222 −20212 +20202 −20192 +⋯+22 −12 =
．
（2）计算：(1−1
22)(1−1
32)(1−1
42)(1−1
52)⋯(1−
1
20202)(1−
1
20212)．
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
平
面
图
形
探
究
118
典型例题5
（1）简便计算：100002 −9×11×101×10001 等于( )．
A. 1
B. 0
C. −1
D. 以上都不对
（2）计算：(3+1)(32 +1)(34 +1)(38 +1)(316 +1)(332 +1)．
（3）请你估计一下，
(22 −1)(32 −1)(42 −1)⋯(992 −1)(1002 −1)
12 ⋅22 ⋅32 ⋅42 ⋯992 ⋅1002
的值应该最接近于
( )
A. 1
B. 1
2
C.
1
100
D.
1
200
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
平
面
图
形
探
究
119
模块二
模块二
面积探究二
知识梳理
对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式：
（1）写出图1 表示的数学等式：
.
（2）写出图2 表示的数学等式：
.
（3）如果图1、图2 中的𝑎变为2𝑎, 则可得等式：(2𝑎+𝑏)2 =
;
(2𝑎−𝑏)2 =
.
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
平
面
图
形
探
究
120
通过图形的面积探究，我们又得到了两个神奇的等式！接下来请同学们应用我们探究得
到的等式完成例8、例9 吧
知识模型
等式应用
典型例题6
计算：
（1）(2𝑥+3)2．
（2）(3𝑚−5𝑛)2．
（3）(−2𝑥−3𝑦)2．
（4）计算：(𝑚−𝑛+1)(𝑚+𝑛+1)．
（5）计算：(2𝑎−3𝑏+4𝑐)(2𝑎+3𝑏−4𝑐) =
（按𝑎的降幂排列）．
知识模型
利用等式巧算
典型例题7
计算：
（1）38.92 −77.8×48.9+48.92．
（2）982．
（3）(−991
2)
2
．
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
平
面
图
形
探
究
121
知识梳理
恒等变形
由等式(𝑎±𝑏)2 = 𝑎2 ±2𝑎𝑏+𝑏2 可推出以下变形：
①(𝑎+𝑏)2 = (𝑎−𝑏)2 +4𝑎𝑏
②(𝑎−𝑏)2 = (𝑎+𝑏)2 −4𝑎𝑏
③𝑎2 +𝑏2= (𝑎+𝑏)2 −2𝑎𝑏= (𝑎−𝑏)2 +2𝑎𝑏
④𝑎𝑏= (𝑎+𝑏)2 −(𝑎2 +𝑏2)
2
= (𝑎−𝑏)2 −(𝑎2 +𝑏2)
−2
= (𝑎+𝑏)2 −(𝑎−𝑏)2
4
知识模型
恒等变形
典型例题8
已知𝑎= 1+√2，𝑏= 1−√2．
（1）求𝑎2 +𝑏2 的值．
（2）求𝑏
𝑎+ 𝑎
𝑏的值．
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
平
面
图
形
探
究
122
典型例题9
已知(𝑎−2017)2 +(2018−𝑎)2 = 5，则(𝑎−2017)⋅(𝑎−2018) =
．
典型例题10
若𝑛满足(𝑛−99)(𝑛−105) = 3，则(2𝑛−204)2 =
．
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
平
面
图
形
探
究
123
模块三
模块三
拓广探索
典型例题11
如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”（如
8 = 32 −12，16 = 52 −32，即8，16 均为“和谐数”），在不超过2017 的正整数中，所有的“和
谐数”之和为( )．
A. 255054
B. 255064
C. 250554
D. 255024
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
平
面
图
形
探
究
124
随堂练习
随堂练习1
如图，从边长为𝑎的大正方形中剪掉一个边长为𝑏的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，
拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是( )．
A. (𝑎−𝑏)2 = 𝑎2 −2𝑎𝑏+𝑏2
B. 𝑎(𝑎−𝑏) = 𝑎2 −𝑎𝑏
C. (𝑎−𝑏)2 = 𝑎2 −𝑏2
D. 𝑎2 −𝑏2 = (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)
随堂练习2
计算
（1）(3𝑎+𝑏)(3𝑎−𝑏)．
（2）(−𝑥+2𝑦)(−𝑥−2𝑦)．
（3）(𝑎+3𝑏)2．
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
平
面
图
形
探
究
125
随堂练习3
计算：101×1022 −101×982 =( )．
A. 404
B. 808
C. 40400
D. 80800
随堂练习4
已知𝑎= 20202 −20192，𝑏= 20212 −20202，𝑐= 20222 −20212，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系为
．
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
平
面
图
形
探
究
126
数学探索
无需语言的证明
在数学的一些场景下，有时一幅图片胜过千言万语.
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
平
面
图
形
探
究
127
练习册
1
下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式(𝑎+𝑏)2 = 𝑎2 +2𝑎𝑏+
𝑏2 的是( )．
A.
B.
C.
D.
2
下列关系式中，正确的是( )．
A. (𝑎−𝑏)2 = 𝑎2 −𝑏2
B. (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏) = 𝑎2 −𝑏2
C. (𝑎+𝑏)2 = 𝑎2 +𝑏2
D. (𝑎+𝑏)2 = 𝑎2 −2𝑎𝑏+𝑏2
3
计算(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)(𝑎2 +𝑏2)(𝑎4 −𝑏4) 的结果是( )．
A. 𝑎8 +2𝑎4𝑏4 +𝑏8
B. 𝑎8 −2𝑎4𝑏4 +𝑏8
C. 𝑎8 +𝑏8
D. 𝑎8 −𝑏8
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
平
面
图
形
探
究
128
4
计算下列各题：
（1）(2𝑥+3𝑦)(2𝑥−3𝑦)．
（2）(3𝑥−1)(−3𝑥−1)．
（3）(2𝑎+3𝑏)2．
（4）(−8𝑎+11𝑏)2．
5 （1）已知(2000−𝑎)⋅(1998−𝑎) = 1999，那么(2000−𝑎)2 +(1998−𝑎)2 =
．
（2）若𝑛满足(𝑛−2011)2 +(2012−𝑛)2 = 1，则(2012−𝑛)(𝑛−2011) 等于( )
A. −1
B. 0
C. 1
2
D. 1
更多精品课程加微信：M920853
第
7
讲
平
面
图
形
探
究
129
更多精品课程加微信：M920853
更多精品课程加微信：M920853
第8 讲
归纳类比思想—
归纳类比思想——
立体图形探究
模块一
体积探究一
模块二
体积探究二
模块三
拓广探索
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
立
体
图
形
探
究
132
知识引入
小鼹鼠拿走一块蛋糕后，蛋糕的总体积变了吗？
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
立
体
图
形
探
究
133
模块一
模块一
体积探究一
知识梳理
【知识再现】我们知道，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数
学等式，我们把这种方法称为等面积法.
【知识迁移一】类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，也可以得到一个数学
等式，我们称为等体积法，请同学们完成下列问题：
（1）如图，在边长为𝑎的正方体中挖去一个边长为𝑏(𝑎> 𝑏) 的小正方体，剩余几何体的
体积为：
，
（2）利用切割的方法将剩余的立体图形再拼成如图几何体，它的体积为：
（结
果写成整式的积的形式），
（3）根据它们体积的关系得到关于𝑎,𝑏的等式为：
.
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
立
体
图
形
探
究
134
知识模型
等式探究
典型例题1
课本上，我们利用数形结合思想探索了整式乘法的法则和一些公式．类似地，我们可以探
索一些其他的公式．
借助一个棱长为𝑎的大正方体进行以下探索．
（1）在其一角截去一个棱长为𝑏(𝑏< 𝑎) 的小正方体，如图1 所示，则得到的几何体的体
积为
．
（2）将图1 中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2 所示，因为𝐵𝐶= 𝑎，𝐴𝐵= 𝑎
−𝑏，𝐶𝐹= 𝑏，所以长方体①的体积为𝑎𝑏(𝑎−𝑏)，类似地，长方体②的体积为
，长方体③的体积为
．
（结果不需要化简）
（3）将表示长方体①、②、③的体积的式子相加，并将得到的多项式提取公因式，结果为
．
（4）用不同的方法表示图1 中几何体的体积，可以得到的等式为
．
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
立
体
图
形
探
究
135
知识模型
等式计算
典型例题2
计算：
（1）(𝑎3 −1)(𝑎9 +1)(𝑎6 +𝑎3 +1)．
（2）(𝑥−2)(𝑥+2)(𝑥4 +4𝑥2 +16)．
知识模型
等式巧算
典型例题3
解答下列各题：
（1）已知𝑎−𝑏= −1，且𝑎2 +𝑏2 = 5，则𝑎3 −𝑏3 的值为
．
（2）已知𝑚−𝑛= 3，求𝑚3 −𝑛3 −9𝑚𝑛的值．
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
立
体
图
形
探
究
136
典型例题4
已知
3√𝑥+28−
3√𝑥−28 = 2，求𝑥．
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
立
体
图
形
探
究
137
模块二
模块二
体积探究二
知识梳理
【知识迁移二】请同学们类比上一个几何体的探究，解答下面的问题：
（1）如图，在边长为𝑎的正方体上方有一个边长为𝑏(𝑎> 𝑏) 的小正方体，图中几何体的
体积为：
，
（2）利用切割的方法将该几何体分割成三部分，则它的体积还可以表示为：
（结果写成整式的积的形式），
（3）根据它们体积的关系得到关于𝑎,𝑏的等式为：
.
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
立
体
图
形
探
究
138
典型例题5
如图，将图1 中的几何体挖去上方三个红色几何体得到图2 部分，请同学根据立方体体
积进行以下探索
（1）图1 中的几何体的体积为
．
（2）将图1 中的几何体挖去上方三个长方体①、②、③，如图2 所示．
长方体①的体积为
．
长方体②的体积为
．
长方体③的体积为
．
将表示长方体①、②、③的体积的式子相加，并将得到的多项式提取公因式，结果为
．
（3）根据图1、图2 的体积关系得到关于𝑎，𝑏的等式为：
= 𝑎3 +𝑏3．
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
立
体
图
形
探
究
139
知识模型
等式计算
典型例题6
计算：
（1）(2𝑥2 +𝑦3)(4𝑥4 −2𝑥2𝑦3 +𝑦6)．
（2）(𝑥+1)(𝑥−1)(𝑥2 +𝑥+1)(𝑥2 −𝑥+1)．
（3）(2𝑎+𝑏)2[4𝑎2 −(2𝑎−𝑏)𝑏]
2．
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
立
体
图
形
探
究
140
知识模型
等式巧算
典型例题7
解答下列各题：
（1）已知𝑎+𝑏= 3 且𝑎𝑏= 2，则𝑎3 +𝑏3 的值为
。
（2）已知实数𝑥，𝑦满足
⎧{{
⎨{{⎩
𝑥+𝑦= 4
𝑥3 +𝑦3 = 28
，则𝑥2 +𝑦2 =
．
（3）若𝑎= −29
37，𝑏= −45
37，则𝑎3 −6𝑎𝑏+𝑏3 =
．
典型例题8
已知𝑝3 +𝑞3 = 2，则𝑝+𝑞的最大值是( )．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
立
体
图
形
探
究
141
模块三
模块三
拓广探索
典型例题9
求证：(𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏2 −2𝑎3
𝑎−𝑏)(𝑎2 −𝑎𝑏+𝑏2 −2𝑎3
𝑎+𝑏) = (𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏2)(𝑎2 −𝑎𝑏+𝑏2)．
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
立
体
图
形
探
究
142
随堂练习
随堂练习1
𝑥3 +𝑦3 展开的结果正确的是( )．
A. (𝑥+𝑦)(𝑥2 −𝑥𝑦+𝑦2)
B. (𝑥+𝑦)(𝑥2 +𝑥𝑦+𝑦2)
C. (𝑥−𝑦)(𝑥2 −𝑥𝑦+𝑦2)
D. (𝑥−𝑦)(𝑥2 −𝑥𝑦−𝑦2)
随堂练习2
(𝑥+2)(𝑥2 −2𝑥+4) =
随堂练习3
若𝑥−𝑦= 1，𝑥3 −𝑦3 = 2，则𝑥2 +𝑥𝑦+𝑦2 =
．
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
立
体
图
形
探
究
143
随堂练习4
已知𝑥−𝑦= 4，求𝑥3 −𝑦3 −12𝑥𝑦的值．
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
立
体
图
形
探
究
144
数学探索
有趣的礼物
母亲节快到了，小马准备送给妈妈一个特别的礼物. 妈妈下班
前，小马把家门密码修改了，告诉妈妈猜对就可以得到礼物. 妈妈
随后开始了尝试.
第一次输入731，小马说：
“只有一个号码正确且位置正确”
第二次输入742，小马说：
“只有一个号码正确但位置不正确”
第三次输入157，小马说：
“只有两个号码正确但位置都不正
确”
第四次，妈妈打开了大门，拿到了母亲节礼物。你知道密码了
吗？
密码是521.
由第一次和第二次输入的信息可知密码中没有数字7，有
1,2,3,4 中的一个，从第三次输入得到信息可知密码有数字1 和
5，所以1 的位置也正确，在第三位。5 正确但位置不对，所以在第
一位。中间位只能是2 或4，但位置不对，所以只能是2，所以密码
是521.
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
立
体
图
形
探
究
145
练习册
1
计算：
（1）(𝑥+1)(𝑥2 −𝑥+1)．
（2）(2𝑥−1)(4𝑥2 +2𝑥+1)
（3）(𝑎−𝑏)(𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏2)(𝑎6 +𝑎3𝑏3 +𝑏6)．
2
已知：𝑎−𝑏= 3，则𝑎3 −𝑏3 −9𝑎𝑏的值是( )．
A. 3
B. 9
C. 27
D. 81
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
立
体
图
形
探
究
146
3
已知𝑎+𝑏= 3，且𝑎𝑏= 2，则𝑎3 +𝑏3 的值为( )．
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
4
已知𝑎+𝑏= 5，𝑎2 +𝑏2 = 13，则𝑎𝑏= ，𝑎3 +𝑏3 = ．
A. 6，35
B. 6，125
C. 12，35
D. 12，135
5
已知𝑎+𝑏= 10，𝑎3 +𝑏3 = 100，则𝑎𝑏等于
．
6
已知𝑥+𝑦= 10，𝑥3 +𝑦3 = 280，求𝑥2 +𝑦2 的值．
更多精品课程加微信：M920853
第
8
讲
立
体
图
形
探
究
147
更多精品课程加微信：M920853
11220323470181
更多精品课程加微信：M920853
