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第一讲—因数与倍数
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一、因数与倍数：
如果一个自然数a能被自然数b整除，那么a称为b的倍数，b为a
的因数（或约数）。
二、最大公因数与最小公倍数：
1.最大公因数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的
因数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公因数。在所有
公因数中最大的一个公因数，称为这若干个自然数的最大公因
数。
2.最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的
倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有
公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍
数。
三、短除法
1.求两个数的最大公因数或最小公倍数的短除法：
同时给两个数分解质因数，直到商互质为止。如：
2. 求多个数的最大公因数需要短除至多数互质；
求多个数的最小公倍数需要短除至任意两数都互质
3. “最大公因乘一边，最小公倍乘半圈”
注意求多个因数的最大公因数和最小公倍。
第二讲—分数加减
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1-通分过程实际就是求分母的最小公倍数后，利
用分数的性质将异分母分数化为同分母分数的过
程~
2-无论计算结果是真分数假分数还是带分数，必
须写成最简分数。
一、分数基本概念：
1.定义：将一个整体平均分成若干份，表示其中1份或几份的数。
分数也可以理解为是除法的另一种表示形式。
2.分类：
真分数：分子小于分母的分数,也可以说是小于1的分数；
假分数：分子大于或等于分母的分数,
也可以说是大于或等于1的分数；
带分数：带分数是正整数与一个真分数之和的形式分数。
二、分数的基本性质：
分数的分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数
的大小不变。
三、约分：
将分子与分母同时除以一个大于1的公因数的过程叫约分。
四、通分：
将几个分数的分母化成相同整数（公分母）的过程。
五、分数加减法
1、同分母分数加减法：分母不变，分子相加减。
2、异分母分数加减法：先通分，再按同分母分数计算。
3、计算结果必须写成最简分数。
第三讲—分数乘除
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1-分数乘除法计算中，含有带分数一定要先将带
分数化为假分数再计算。
2-计算结果必须写成最简分数。
一、分数乘法：
1.分数×整数：
分母不变，分子与整数之积作为分子，结果必须化为最简。
2.分数×分数：
分子之积作为分子，分母之积作为分母，能约分的先约分。
注意：含有带分数的乘法，一定要先将带分数化为假分数。
二、分数除法：
1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
2.分数除法：除以一个数，等于乘它的倒数。
注意： 含有带分数的除法，一定要先将带分数化为假分数。
第四讲—消与长
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1-多种动物的牛吃草，通常都先将不同动物根据食量
统一为同一种动物后再进行计算；
2-多块草场的牛吃草，一般要先统一成面积相同的草
场再进行计算。
一、牛吃草问题基本解题步骤：
1.设1头牛1天（周/月）吃1份草；
2.求出“新生草”；
3.求出“原有草”；
4.“分牛法”。
二、基本公式：
1. 草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-对应的牛头数
×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数)；
2.原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数；
3.吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度)；
4.牛头数=原有草量÷吃的天数＋草的生长速度.
三、牛吃草问题基本类型：
1.经典牛吃草
2.多块草场牛吃草
3.多种动物吃草
第五讲—从数数到计算进阶
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注意分析题目，分类用加法，分步用乘法。
一、加乘原理：
分类相加，分步相乘
二、重要题型：
1.排列问题：①分类讨论；②排除法；
2.图形染色问题：①相邻不同色；
②优先染相邻区域最多的部分
3.数字组合问题：需考虑几位数？有无重复？
是奇是偶？有没有“0”？
第六讲—数阵图进阶
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注意特殊数在解题过程中重复相加了多少次
一、数阵图类型：
1.辐射型数阵图：从一个中心出发，向外作若干条射线，在每
条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。
2.封闭型数阵图：在正多边形的每条边上安放同样多的数，使
它们的和都等于一个不变的数。
3.复合型数阵图：既要在射线上安放数字，又要在正多边形的
边上安放数字，使它们的和都等于一个不变的数。
二、数阵图基本要素：
线和、数和、特殊数
三、数阵图的基本填法：
1.找关系；2.求特殊；3.求线和；4.填数阵
辐射型数阵图
封闭型数阵图
第七讲—能不能与为什么
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注意黑白染色路径问题中，不同类的情况对应的黑白
格子数量。
一、覆盖问题：
1.日字方块覆盖1黑1白。
2.田字形、长条形、L 形、Z 形都可以看成两个日字方块，因此
这些方块覆盖2黑2白。
3.“凸”形方块覆盖1黑3白或3黑1白。
二、染色问题：
1.路径问题：
①首尾不同色：黑白数目相等；
②首尾同色：黑白数目必差1；
③闭合回路：黑白数目相等。
2.差不变问题：
黑白间隔染色后，相邻两格同加（减）相同的数，黑格总和与
白格总和之差不变。
第八讲—排个队照个相
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一定要熟悉排列的题型~灵活运用~
一、枚举法：
分类有序，不重不漏。
二、加乘原理：
分类相加，分步相乘。
三、排列与排列数：
1.排列：表示把不同元素排成一排的操作.
2.排列数：
表示n个不同的元素中选出m个元素排成一排的方法数。
n是几就从几开始乘，m是几乘几个数.
四、排列的主要题型：
1.全排列：所有元素全部参与排列。
2.优限法：特殊元素，优先考虑。
3.排除法：正难则反。
4.相邻问题----捆绑法：
元素必须相邻，先捆绑再松绑。
5.不相邻问题----插空法：
元素不能相邻，先排其他，再插空。
第九讲—选人以后再排队
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1-注意区分组合数和排列数的算法~
2-注意用隔板法解决的题型中，要对用哪种分法。
一、组合与组合数：
1.组合：从n个不同的元素中选出m个元素。
2.组合数：
3.常见公式：①
②
二、组合与排列的区别：
有序排列、无序组合。
三、组合的主要题型与方法：
1.分类讨论
2.排除法
3.隔板法：
前提：物品相同；人不同；完全分完，并且完整。
结论: m个相同的物品完全分给n个人
若每人至少1个，则共有 种分法;
若每人至少k个，则共有 种分法;
若有人可以不得，则共有 种分法。
第十讲—比和比例
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在比例中，内项之积=外项之积可以快速解决计算上的
问题。
一、比：
1.基本性质：
比的前项和后项同时乘（或除以）同一个相同的数（0除外），
比值不变。
2.化简比：
利用比的基本性质，前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，
前后项化成互质数，结果仍然是比的形式，这种形式也称为最
简比。
二、比例：
1.定义：表示两个比相等的式子叫做比例。
其中组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例
的外项，中间的两项叫做比例的内项。
例如：
2.基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。
第十一讲—比例法解决图形问题（一）
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鸟头模型中要仔细寻对应角的夹边，不要对应错了哦~
鸟头模型：
1.定义：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫
做共角三角形。
2.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘
积之比。
第十二讲—包含与排除的探索
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有些题目可以直接利用公式去做~但有些题目的
条件需要画韦恩图来帮助解决问题~一定要注意
题目条件哦！
一、二量容斥：
A∪B=A+B – A ∩ B，其中符号“∪ ”读作“并”，相当于中
文“和”或者“或”的意思；符 号“∩ ”读作“交”，相当于
中文“且"的意思．)
图示如下: A表示小圆部分，B表示大圆部分， A ∩ B表示大圆
与小圆的公共部分，即阴影部分，A∪B表示整体部分。
二、三量容斥：
A∪B∪C=A+B+C- A ∩ B- B ∩ C- A ∩ C+A ∩ B ∩ C
第十三讲—因倍质合综合（一）
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“指数+1连乘”表示的是分解质因数后，将质因
数的指数+1连乘。如36=2²×3²，因数个数是
（2+1）×（2+1）=9（个）
一、分解质因数：
1.将一个合数分解成只有质数相乘的形式，叫做分解质因数。
2.每个合数均有唯一分解形式，且必须写成标准分解式。
3.方法：短除法
4.应用：
①求乘积末尾连续0的个数：寻找因数中质因数2和5的对数；
②“乘积”问题：先拆分，再组装；
③“分组”问题：先拆分，再分组。
二、因数个数定理：
先分解质因数，再将质因数的指数+1连乘。
第十四讲—游戏与策略
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1-寻找必胜点不光要用眼看，还要动手画哦~
2-如果没有对称局面，我们需要自己创造对称局
面~
一、游戏的前提：
1.2个人的游戏；
2.双方都足够聪明，不会犯低级错误。
二、游戏的类型和方法：
1.对称法（翻硬币、取火柴、拿石子、红黑棋）：
①同等条件下，模仿对方步骤可以达到制胜目的；
②不同等条件下，创造对等局面可胜。
2.寻找必胜点：
①能一步到必胜点的位置均是不能走的地方，也可以称为必败点；
②每一步都要抢占必胜点，那么就可以一直占着必胜点移动到终
点。
3.倒推法：
①每次取1~n个棋子，取最后一个赢。
策略：总数÷（1+n）
有余则先手赢，拿掉余数，之后总与对手凑成1+n即可。
无余则后手赢，总与对手凑成1+n即可。
②每次取1~n个棋子，取最后一个输。
策略：留给对方一枚棋子则必胜，故取到倒数第二枚棋子则必胜。
问题转化为：每次取1~n个棋子，取到倒数第二枚棋子赢。（ 总
数-1）÷（1+n），之后做法同① 。
4.递推找规律：从最简单的情况出发，找规律。
