文档内容
大题保分练 2
1．(2022·武汉模拟)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos C＋ccos
A＝1，B＝.
(1)求b的值；
(2)求△ABC面积的最大值．
解 (1)在△ABC中，由正弦定理知，
＝＝＝2R，
∵acos C＋ccos A＝1，
∴2R(sin Acos C＋cos Asin C)＝1，
即2Rsin B＝1，
∴b＝2Rsin B＝1.
(2)在△ABC中，由余弦定理得
cos B＝＝，
∴a2＋c2＝ac＋1≥2ac(当且仅当a＝c时取“＝”)，
∴(2－)ac≤1，
∴ac≤2＋，
又∵S ＝acsin B＝ac，
△ABC
∴S ≤，
△ABC
即△ABC面积的最大值为.
2．(2022·苏州四校联考)甲、乙相约进行“某竞技体育项目”比赛．比赛采用三局二胜制，
先胜二局者获胜．商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3分，败者得1分，决胜局胜者
得2分，败者得0分．已知每局比赛甲获胜的概率为，各局比赛相互独立．
(1)求比赛结束，乙得4分的概率；
(2)设比赛结束，甲得X分，求X的分布列与均值．
解 (1)若比赛结束，乙得4分，则比赛结果是甲以2∶1获胜，故前两局比赛，甲胜一场，
败一场，最后一局比赛，甲胜．
则比赛结束，乙得4分的概率为
C×××＝.
(2)若甲连胜两局结束比赛，甲得6分，
其概率为2＝；
若甲连败两局结束比赛，甲得2分，其概率为2＝；
若甲以2∶1结束比赛，甲得6分，
其概率为C×××＝；
若乙以2∶1结束比赛，甲得4分，
其概率为C×××＝，
故X的分布列为
X 2 4 6
P
E(X)＝2×＋4×＋6×＝.
3.(2022·唐山模拟)如图，在直三棱柱ABC－ABC 中，AC＝BC＝CC ＝2，D为BC的中点，
1 1 1 1
E为棱AA 上一点，AD⊥DC .
1 1
(1)求证：BC⊥平面AAD；
1
(2)若二面角A－DE－C 的大小为30°，求直线CE与平面C DE所成角的正弦值．
1 1 1
(1)证明 在直三棱柱ABC－ABC 中，
1 1 1
CC ⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
1
∴CC ⊥AD，
1
又AD⊥DC ，CC ∩DC ＝C ，
1 1 1 1
CC ⊂平面BCC B，DC ⊂平面BCC B，
1 1 1 1 1 1
∴AD⊥平面BCC B，
1 1
又BC⊂平面BCC B，∴AD⊥BC.
1 1
由直三棱柱的性质知，AA⊥平面ABC，
1
BC⊂平面ABC，
∴AA⊥BC，
1
又AD∩AA＝A，AD⊂平面AAD，
1 1
AA⊂平面AAD，
1 1
∴BC⊥平面AAD.
1
(2)解 由(1)知，AD⊥BC，
又D为BC的中点，∴AB＝AC.以D为坐标原点，DC的方向为x轴正方向，DA的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间
直角坐标系．
则D(0,0,0)，C(1,0,0)，B(－1,0,0)，A(0，，0)，C (1,0,2)，
1
设AE＝t(0≤t≤2)，则E(0，，t)．
由(1)知，平面ADE的一个法向量可取BC＝(2,0,0)，
1
设平面C DE的法向量为n＝(x，y，z)，
1
∵DC1＝(1,0,2)，DE＝(0，，t)，
∴令x＝2，
解得z＝－，y＝t，∴n＝(2，t，－)，
∴|cos〈BC，n〉|＝＝＝，
解得t＝1，此时n＝(2，1，－)，
设直线CE与平面C DE所成角为θ，
1
∵CE＝(－1，，1)，
∴sin θ＝|cos〈CE，n〉|＝＝＝，
即直线CE与平面C DE所成角的正弦值为.
1
4．(2022·吕梁模拟)在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为(α为参数)．以坐标原点O
1
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θ＝φ(ρ∈R)．
2
(1)求C 的极坐标方程；
1
(2)设C 与C 交于M，N两点，若|OM|＋|ON|＝4，求C 的直角坐标方程．
1 2 2
解 (1)因为C 的参数方程为(α为参数)，所以消去参数α，可得C 的普通方程为x2＋(y－2)2
1 1
＝9，即x2＋y2－4y－5＝0，
又所以C 的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－5＝0.
1
(2)由于C 与C 交于M，N两点，联立得ρ2－4ρsin φ－5＝0，
1 2
设M，N两点所对应的极径为ρ ，ρ ，
M N
则ρ ＋ρ ＝4sin φ，ρ ρ ＝－5，
M N M N
故|OM|＋|ON|＝|ρ －ρ |＝＝＝4，
M N
整理得sin2φ＝，则sin φ＝±，
所以C 的直角坐标方程为x±y＝0.
2
