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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 44 讲 直线与双曲线（精讲）
题型目录一览
①直线与双曲线的位置关系
②双曲线的弦长问题
③双曲线的中点弦问题
一、知识点梳理
1.点与双曲线的位置关系
① ②
2.直线与双曲线的位置关系
将直线的方程 与双曲线的方程 联立成方程组，消元转化为关于x或y
的一元二次方程，其判别式 为
若 即 ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若 即 ，
①Δ＞0 直线和双曲线相交 直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0 直线和双曲线相切 直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0 直线和双曲线相离 直线和双曲线相离，无公共点．
3.直线与双曲线的相交弦问题设直线 交双曲线 于点 两点，则
=
或
技巧：①解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直
线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
4.双曲线的中点弦问题
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类
问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将
转化为能用韦达定理直接代换的 .垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.
注：①遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
②在双曲线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 ；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化.
5.双曲线的第二定义
平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e= (e>1)时，这
个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.
二、题型分类精讲
题型 一 直线与双曲线的位置关系
策略方法 直线与双曲线的位置关系
联立直线与双曲线的方程，得到判别式Δ①Δ＞0 直线和双曲线相交 直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0 直线和双曲线相切 直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0 直线和双曲线相离 直线和双曲线相离，无公共点．
【典例1】（单选题）若直线 与双曲线 相交，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】联立直线和双曲线的方程得到 ，即得 的取值范围.
【详解】联立直线和双曲线的方程得
当 ，即 时，直线和双曲线的渐近线重合，
所以直线与双曲线没有公共点.
当 ，即 时， ，
解之得 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·上海·高二专题练习）过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【分析】设出直线的方程，与双曲线的方程联立，结合方程解的情况进行求解.
【详解】当斜率不存在时，过 的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为 ，联立 ，得 ①.当 ，即 时，①式只有一个解；
当 时，则 ，解得 ；
综上可知过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有4条.
故选：D.
2．（2023·江苏·高二专题练习）已知双曲线 的方程为 ，点 ， 分别在双曲线的左支和右支
上，则直线 的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直线 的斜率和渐近线的斜率比较，得到直线 的斜率的取值范围.
【详解】由双曲线的方程 可得其渐近线方程为 ，故当点 ， 分别在双曲线的左支和右
支上时，直线 的斜率的取值范围是 .
故选：A.
3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知两个点 ， ，若直线上存在点 ，使得
，则称该直线为“ 直线” 给出下列直线：① ，② ，③ ，则这
三条直线中有几条“ 直线”（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义得到点 是以 ， 为焦点的双曲线 的右支，问题转化为看所给的
直线与双曲线的右支是否有交点，结合图象，即可求解.【详解】由题意知 ，
根据双曲线的定义，可得点 是以 ， 为焦点的双曲线 的右支，
所以点 是双曲线右支与直线的交点，即“ 直线”须满足与双曲线的右支相交，
又由双曲线 的渐近线方程为 ，
中，直线 为双曲线的一条渐近线，直线与双曲线没有公共点，
如图所示，所以不是“ 直线”；
中，如图所示，直线 与双曲线的右支无交点，所以不是“ 直线”；
中，直线 与双曲线的右支有一交点，如图所示，所以是“ 直线”．
故选：C．
4．（2023·高二课时练习）已知直线l的方程为 ，双曲线C的方程为 .若直线l与双曲线
C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】联立直线与双曲线方程，由根与系数的关系及根的分布得出关于k的不等式组，求解即可.
【详解】联立 整理得 ，因为直线 与双曲线 的右支交于
不同的两点，所以 ，解得 ，所以实数k的取值范围为 .
故选：D.
5．（2023秋·山东聊城·高二校考期末）直线 与双曲线 相交，有且只有1个
交点，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由直线与双曲线相交，且有且仅有1个交点可得直线与渐近线平行，即可得 与 的关系，即可
求得离心率.
【详解】因为直线 与双曲线 ： 相交，且有且仅有1个交点,
所以直线 与双曲线 ： 的渐近线 平行，
故 ，则双曲线 的离心率 .
故选：A
6．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）直线 与双曲线 没有公共点，
则斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】联立直线与双曲线方程，消元，分 和 两种情况讨论，当 时只需 ，
解得即可；【详解】解：联立直线 和双曲线： ，消去 得 ，
当 ，即 时，此时方程为 ，解得 ，此时直线与双曲线有且只有一个交点；
当 ，此时 ，
解得 或 ，所以 时直线与双曲线无交点；
故选：A
7．（2023·北京顺义·校考模拟预测）若双曲线 的一个顶点为A，过点A的直线
与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线渐近线的性质即可求解．
【详解】 斜率为 ，
过点A的直线 与双曲线只有一个公共点，
则该直线与双曲线的渐近线 平行，且过双曲线右顶点(a，0)，
故 = ，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c= ，故焦距为2c= ．
故选：D．
8．（2023秋·江西吉安·高二江西省安福中学校考期末）经过双曲线 的右焦点作倾斜角为45°的
直线 ，交双曲线于 ， 两点，设 为坐标原点，则 等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】先依题意写出直线 的方程， 联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积运算计
算即得结果.【详解】由双曲线的方程 可知，右焦点坐标为 ，
的直线方程可设为 ，
设 ， ，则 ，
联立 可得 ，
， ，
，
．
故选：B．
9．（2023春·河南安阳·高三校联考阶段练习）已知直线 与双曲线 有
且仅有1个交点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】直线 与双曲线 有且仅有1个交点，分两种情况，①直线与
双曲线的渐近线平行可得 ，即可求出双曲线C的离心率；②直线与双曲线相切，由 ，可
得 与题意不符合.
【详解】解：因为直线 与双曲线 有且仅有1个交点，
联立 可得：
①直线 与双曲线 的渐近线平行，
则可知 ，则双曲线C的离心率 ．②直线 与双曲线 相切，
所以 ，
解得： ，则 与题意不符合.
所以双曲线C的离心率为
故选：D．
10．（2023秋·吉林·高二吉林市田家炳高级中学校考期末）已知双曲线 ( ， )的右焦点
为 ，若过点 且倾斜角为60°的直线 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据直线与双曲线的位置关系，结合图形，得到直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率的关系，求
得结果.
【详解】已知双曲线 ( ， )的右焦点为 ，若有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，
∴ ，离心率 ，∴ .
故选：A.
【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的位置关系的问题，解决该题的关键是结合图形，得到其斜率所
满足的关系，属于基础题目．
11．（2023·四川·校联考一模）双曲线C： 的离心率为 ，直线 与C
的两条渐近线分别交于点A，B，若点 满足 ，则 （ ）
A． 或0 B．－2 C． 或0 D．3
【答案】C【分析】由双曲线离心率及参数关系确定渐近线方程，联立直线方程求 坐标，进而求其中点P的坐标，
根据 及斜率两点式求参数，注意讨论 、 两种情况.
【详解】由离心率为 ，有 ．
由 得：A的坐标为 ；
由 得：B的坐标为 ．
设线段AB中点为P，则 ，且P的坐标为 ．
当 时， ，解出 ．
当 时，符合条件．
综上所述， 或 ．
故选：C
12．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知 是双曲线C： 的左焦点， ，
直线 与双曲线 有且只有一个公共点，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的几何性质，直线 与双曲线的一条渐近线平行，建立方程，即可求出双曲线的离
心率.【详解】双曲线 的渐近线为 ，
又 ， ，所以直线 的斜率为 ，
因为直线 与双曲线 有且只有一个公共点，所以根据双曲线的几何性质，
直线 与双曲线的一条渐近线 平行，所以 ，即 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍去），所以 ，
故选：B
13．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知F为双曲线C： 的左焦点，过F的一
条直线l与双曲线C交于A，B两点，与双曲线C的渐近线交于D，E两点，若 ，则直线l的斜
率为（ ）
A． B．
C． D．±2
【答案】A
【分析】设出直线l的方程，分别由线段的长度公式计算 和 ，结合 即可算出直线l的
斜率.
【详解】据题意，设直线 ，两条渐近线满足方程 ，
由 得 ，
整理得 ，，
由 得： ，
整理得 ，
，
， ，
， ，
故选：A．
14．（2023春·江西宜春·高二校联考阶段练习）已知点 ，若在直线
上存在点 ，使得 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由条件结合双曲线定义可得直线 与曲线 有交点，由此列不等式求 的关
系.
【详解】因为 ， ，所以点 在为以 为焦点的双曲线的下支，
设双曲线方程为 ，则 ，
所以点 在曲线 上，
因为点 也在直线 上，所以 有解；所以 ，即 .
故选：C.
二、填空题
15．（2023·山西·校联考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为F，点 ，若直线AF与C
只有一个交点，则 ．
【答案】
【分析】求出渐近线方程，由题意得到直线AF与C的渐近线平行，从而利用斜率列出方程，求出答案.
【详解】由题意知 ，双曲线C的渐近线方程为 或 ，
因为直线AF与C只有一个交点，所以直线AF与C的渐近线平行，
即 或 ，解得 ．
故答案为：
16．（2023·全国·高二专题练习）直线 与双曲线 没有交点，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】确定双曲线的渐近线的斜率，由于 过原点，要使得 与双曲线
没有交点，需满足k大于或等于 的斜率，可得答案.
【详解】由题意，双曲线 的渐近线方程为： ，
因为直线 过原点且与双曲线 没有交点，故需满足 ，
故答案为：
17．（2023·福建厦门·统考模拟预测）写出同时满足下列条件的一条直线 的方程 .
①直线 在 轴上的截距为1；②直线 与双曲线 只有一个公共点.
【答案】 （写出其中一条直线方程）
【分析】分别求出与渐近线平行的直线和切线方程，即可得到答案.
【详解】因为直线 与双曲线 只有一个公共点，所以直线 与双曲线 的渐近线
平行.
又直线 在 轴上的截距为1，所以直线 可以是： .
若直线 在 轴上的截距为1且与双曲线相切，则二者只有一个交点.
可设 ： ，代入双曲线方程得： ，只需 ，解得：
，所以直线
即所求直线方程为： （写出其中一条直线方程）
故答案为： （写出其中一条直线方程）.
18．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C： ，过右焦点F且与渐近线垂直的直线l交双曲线于M，N两点，则M，N两点的纵坐标之和为 ．
【答案】
【分析】由双曲线方程得右焦点坐标和渐近线方程，可得直线l的方程，与双曲线联立方程组，利用韦达
定理可求M，N两点的纵坐标之和.
【详解】双曲线C： ，右焦点 ，渐近线方程为 ．如图所示，
假设直线l垂直于 ，则直线l的斜率为 ，所以直线l的方程为 ，
将直线l与双曲线C联立消x得 ，
设 ， ，故 ；
同理可得，当直线l垂直于 时，解得 ．
故答案为：
19．（2023·四川宜宾·统考三模）已知双曲线C： 的左，右焦点分别为 ， ，离
心率为 ，过 作渐近线 的垂线交C于A，B两点，点A在第一象限，若 ，则
的周长为 .
【答案】18
【分析】根据离心率求出a,b关系，用m表示双曲线方程，设直线方程，与双曲线方程联立，利用弦长求出m，然后利用双曲线定义即可求解
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
则渐近线 ，不妨设 ， ， ，
则双曲线的方程 ，
设 ， ，所以AB： ，
联立 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故答案为：18.
20．（2023·全国·高三专题练习）过点 作双曲线 ： 的两条切线，切点分别为 ，求
直线 的方程 ．
【答案】
【分析】设 的斜率为 ，得到 ，联立方程组，根据 和双曲线的方程，求得
，得到 的方程为 ，同理 的方程为 ，进而得到 ，进而求得
过 的直线方程.【详解】设 ，易得两条切线的斜率存在，设 的斜率为 ，
则 ，联立方程 ，
消去 得 ，
因为 与双曲线相切，所以 ，
即 ，即 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
代入可得 ，即 ，所以 ，
所以 ，即 ，
同理可得 的方程为 ，
因为 在切线 上，所以 ，
所以 满足方程 ，
又由两点确定一条直线，所以 满足直线方程 ，
所以过 的直线方程为 .
故答案为： .
21．（2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）已知双曲线 的一
条渐近线方程为 ，若直线 与 只有一个公共点，则实数 的值为
【答案】
【分析】根据题意分析可得 ，即可求得 ，再联立方程，分 和 两种情况讨论，
分析运算即可得答案.【详解】由双曲线 可得 ，且双曲线的焦点在x轴上，
故双曲线的渐近线为 ，
∵双曲线的一条渐近线方程为 ，即 ，
可得 ，解得 ，
所以双曲线 .
联立方程 ，消去y得 ，
当 ，即 时，则 ，解得 ，
故直线 与 只有一个公共点，符合题意；
当 ，即 时，
则 ，解得 或 ，
故直线 与 有两个公共点，不符合题意；
综上所述： .
故答案为： .
三、解答题
22．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知双曲线C： 的焦距为4，且过点
.
(1)求双曲线方程；
(2)若直线 与双曲线C有且只有一个公共点，求实数 的值.【答案】(1)
(2) ， ．
【分析】（1）求出双曲线的焦点，根据定义求出 ，然后求出 ．可得双曲线 的方程．
（2）联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出 的值即可．
【详解】（1）解：由题意可知双曲线的焦点为 和 ，
根据定义有 ．
，又 ，所以 ， ， ．
所求双曲线 的方程为 ．
（2）解：因为双曲线 的方程为 ，所以渐近线方程为 ；
由 ，消去 整理得 ．
①当 即 时，此时直线 与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；
②当 即 时，由 ，解得 ，
此时直线 双曲线相切于一个公共点，符合题意．
综上所述：符合题意的 的所有取值为 ， ．
23．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）已知双曲线： ： ( ，
)与 有相同的渐近线，且经过点 .
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知直线 与双曲线 交于不同的两点 ､ ，且线段 的中点在圆 上，求实
数 的值.【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点 计算；（2）联立直线与双曲线的
方程，得关于 的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出 的中点坐标，代入圆的方程计算.
【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为 ，又因为双曲线过点 ，
，所以双曲线的方程为：
（2）由 得
设 ，则 ， ，所以
则 中点坐标为 ，代入圆
得 ，所以 .
24．（2023·浙江·二模）已知 ， 分别为双曲线 ： 的左、右焦点， 是 上一点，线段
与 交于 点.
(1)证明： ；
(2)若 的面积为8，求直线 的斜率.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意 在双曲线左支上， 在右支上，设 且 得 中点为 ，
代入双曲线判断 与双曲线的位置关系，即可证结论；
（2）令 得 ，设 联立双曲线，应用韦达定理，结合
已知求 ，即可得直线斜率.【详解】（1）由题意 在双曲线左支上， 在右支上，令 且 ，
而 ，则线段 中点为 ，又 ，则 ，
所以 ，则中点 在双曲线上或外部，
即 ，仅当 重合时等号成立，故 .
（2）若 ，则 ，
令 ， ，联立双曲线 ，
则 ，而 ，则 ， ，
所以 ，故 ，可得 （负值舍），
所以 ，故直线斜率为 .
25．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C： ，直线l在x轴上方与x轴平行，
交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为 .
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，
， 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由点A的坐标求得 ，结合双曲线的定义求得 ，进一步计算得出双曲线的方程即可；
（2）设直线PQ的方程为 ，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示
求得 ，得到直线l的方程.
【详解】（1）由已知C： ，点A的坐标为 ，得 ，
焦点 ， ， .
所以 ， ，故C： .
（2）设l的方程为 ，则 ，故 ，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ，故 .
与双曲线方程联立得： ，
由已知得 ， ，设 ， ，
则 ， ①
由 ， 得： ， ，
消去 得： ，
即 ②
由①②得： ，由已知 ，
故存在定直线l： 满足条件.26．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点
到一条渐近线的距离为1，点 ，且 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点（异于点 ），且直线 的斜率之和为 ，求直线 的
方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）写出渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出 ，结合 ，以及 中利
用余弦定理求出 的值即可；
（2）设点联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，利用 求出参数的范围，再写出 相加之和为
，联立方程求出 即可.
【详解】（1）由双曲线的方程得渐近线方程为： ，取其中一条 ，
则由点 到一条渐近线的距离为1及 有：
，又 ，所以 ，
又 ，
在 中， ，由余弦定理得：
，
即
解得 ，所以 ，
所以双曲线 的方程为： .
（2）设 ，
联立 消去 整理得：
，
则 或 ，
则 ，
又
所以，
整理得： ，
解得 （舍去）或 ，
所以直线 的方程为： .
27．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点， ， 为双曲线C：
的左右焦点，P为C的右支上一点，当 轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)若P异于C的右顶点A，点Q在直线 上， ，M为AP的中点，直线OM与直线 的交点
为N，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 得到 ，再由 轴，得到 ，然后利用双曲线的定义求解；
（2）设直线PA的斜率k存在，且 ，根据 及Q在直线 上，得到 ，再设
PA： 与双曲线方程联立，求得点P和点M的坐标， 设 ，由O，M，N和Q， ，
N共线得到 ，由 ，得到 ，再利用两点间的距离公式求解.
【详解】（1）解：因为 ，所以 ．因为当 轴时， ，可知 ．
点P到两个焦点 ， 的距离分别为3和5．
由双曲线定义得 ，所以 ．
因此C的方程为 ．
（2）由题设直线PA的斜率k存在，且 ．
由 ，及Q在直线 上，可得 ．
设PA： ， ．
由 ，得 ．
这个关于x的方程两根为 ，1．因此 ， ．
因为 ，所以 ．
设 ，则 ，所以 ．
由 ，得 ．
由 ，得 ，因为 ，所以 ．
因此 ．
即 的取值范围为 ．【点睛】思路点睛：本题第二问思路是先设PA： 与双曲线方程联立，求得点P，再由
及Q在直线 上，得到Q坐标，进而得到点M的坐标， 设 ，然后由O，M，N和
Q， ， N共线得到 与 的关系，进而结合两点间的距离公式而得解.
28．（2023秋·浙江·高三期末）已知点 是双曲线 上一点，B与A关于原
点对称，F是右焦点， ．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知圆心在y轴上的圆C经过点 ，与双曲线的右支交于点M，N，且直线 经过F，求圆C的
方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件列方程求出 ，即可求出双曲线的方程；
（2）讨论直线 的斜率不存在时不满足题意；当斜率存在时设直线 的方程为 ，联立双曲线
的方程，由韦达定理求出 的中点Q的坐标以及 的坐标，根据勾股定理有 ，
代入解方程即可得出答案.
【详解】（1）由已知条件得：双曲线方程为： ．
（2）若直线 的斜率不存在，则圆C的圆心不在y轴上，因此不成立．
设直线 的方程为 ，
由 消元得：
∴ 的中点Q的坐标为 ．
设 ，直线 ，得 ，
又 ，
根据勾股定理有
∴ ．化简得
解得 或 （舍）
∴ ，∴圆C的方程为 ．
29．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）已知 是双曲线 上相异的三
个点，点 关于原点对称，直线 的斜率乘积为2.
(1)求双曲线 的离心率.
(2)若双曲线 过点 ，过圆 上一点 作圆 的切线 ，直线 交双曲线 于
两点， ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）利用 及点差法即可求出 ，据此可得椭圆离心率；
（2）分直线斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时验证可得不成立，当斜率存在时，设直线 的方程为
，联立双曲线方程，由根与系数的关系计算可得 ，据此求出
，利用弦长公式求解可得.
【详解】（1）设 ，根据对称性，知 ，
所以 .
因为点 在双曲线上，所以 ，两式相减，得 ，所以 ，所以 .
（2）因为双曲线过点 ，所以双曲线方程：
当直线 的斜率不存在时，则
直线 的斜率不存在时不成立.
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为
又点 到直线 的距离 ，
联立 ，消去 得 ，
则 ，
即 ， ，
， ，
，
将 代入上式得 ，
或 ，即 或 .
直线 的方程为： 或题型二 双曲线的弦长问题
策略方法 双曲线的弦长问题
①解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条
件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
【典例1】（单选题）已知双曲线 ，过点 的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为
线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设直线MN为 ，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长
公式求解即可.
【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过 的直线MN为 ，联立双曲线：
设 ，则 ，所以 ，解得 ，
则 ， .
弦长|MN| .
故选：D.
【题型训练】
一、单选题
1．已知双曲线 ，过点 的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则
弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】设直线MN为 ，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长
公式求解即可.
【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过 的直线MN为 ，联立双曲线：
设 ，则 ，所以 ，解得 ，
则 ， .
弦长|MN| .
故选：D.
2．过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于 ， 两点，则满足 的直线 有（ ）条
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析弦长 的直线应考虑内弦长及外弦长两种情况，
即当直线 的倾斜角为 时， ；
当直线 的倾斜角为 时， ，即可求解.
【详解】当直线 的倾斜角为 时， ；当直线 的倾斜角为 时， ．
故当直线 适当倾斜时，还可作出两条直线使得 ，
故选：B．
3．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C： －y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝
（ ）
A．2 B．2C．3 D．4
【答案】D
【解析】解法一，设直线方程与曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，求直线的斜率，并代
入弦长公式求 ；解法二，利用点差法，求直线的斜率，再代入弦长公式.
【详解】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x
－4)＋2.由 消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，
B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－ ＝8，解得k＝1.
所以x1x2＝ ＝10.
所以|AB|＝ · ＝4 .
故选:D.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ， ①
. ②
①－②得 (x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝ ＝1.则直线AB的方
程为y＝x－2.
由 消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝ · ＝4 .
故选：D
【点睛】思路点睛：1.一般涉及中点弦问题时，采用直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，或用点差法求解；2.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率
存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题.
4．已知双曲线C： 的焦距为4，左右焦点分别为 、 ，过 的直线 与C的左右两
支分别交于于A、B两点，且与两渐近线分别交于C、D两点．若线段CD的中点坐标为（1,3），则
的面积为
A． B． C．6 D．4
【答案】A
【分析】先求直线AB方程，再求直线AB与渐近线交点，根据线段CD的中点坐标为（1,3），得 关系，
根据焦距为4，解得 ，最后联立直线AB与双曲线方程，根据弦长公式得AB长，根据点到直线距离公
式得 的高，根据三角形面积公式得结果.
【详解】因为双曲线C： 的焦距为4，所以 、 ，因此直线AB方程
为 ，与渐近线方程 联立解得C、D两点纵坐标为
，
由 得
，点 到直线AB距离为 ，
所以 的面积为 ，选A.
【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理
或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长.5．已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线与 的两条渐近线的交点分别
为 ， .若 ，且 在 ， 之间，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出焦点 坐标，利用面积比得 是线段 的中点，设 ，则可得 点坐标，由 在另一
渐近线上求得 值，从而可得线段长．
【详解】解：双曲线中 ， ，所以 ，设 ，
因为 ，所以点 为线段 的中点，则 ．
又点 在直线 ，则 ，解得 ，所以 ，
此时， ．
故选：B．
【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的几何性质，渐近线方程，焦点坐标等等．解题关键是由面积比得出
点 为线段 的中点，这样设出一个点的坐标，由另一点在另一渐近线上，求得 （或 ）坐标，从而
易得线段长．
6．已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的
渐近线交于C，D两点．若 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】由已知条件可得渐近线方程为 ，双曲线方程 ，设出直线方程
代入双曲线方程中消去 ，利用根与系数的关系结合弦长公式列方程可求出 的值，从而可得渐近线方程与直线方程联立可求出C，D两点的坐标，从而可求出结果
【详解】设双曲线方程为 ，则其渐近线方程为 ，
因为双曲线H的两条渐近线互相垂直，所以 ，所以渐近线方程为
所以双曲线方程为 ，则右焦点 ，
所以直线方程为 ，
设 ，将 代入 化简得，
，
所以 ，
所以 ，
解得 ，得 ，
所以双曲线方程为 ，所以双曲线的右焦点为 ，
直线方程为 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，
故选：C
7．在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上， 的一条渐近线的方程为 ，左、右焦点分别为 ， ，过点 作斜率为 的直线，分别交 的两条渐近线于 两
点，则下列结论正确的个数为（ ）
①双曲线的离心率为 ；
②直线 的方程为 ；
③直线 截双曲线所得弦长为3；
④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由渐近线方程可得 的值，从而即得双曲线的离心率判断①；由点 在双曲线上和渐近线方程得
的值，从而得 的值，利用点斜式即可解决②；联立直线 与双曲线的方程解出点，然后利用弦长公
式即可知③；联立直线 与渐近线方程得出 的坐标，利用向量坐标公式即可得 的值，从而判
断④.
【详解】由题意双曲线的渐近线的方程为 ，
焦点在 轴上，所以 ，
所以双曲线的离心率为： ，
故①正确；
因为点 在双曲线 上，
所以 ，联立 ，
解得： ，所以 ，
所以 ，所以过点 作斜率为 的直线 为：，
故②不正确；
由上述可知双曲线 ，联立 ，
消去 整理得： ，
解得： ，
所以直线 截双曲线所得弦长为： ，
故③正确；
由双曲线的渐近线方程为： ，
由 ，解得点 ，
由 ，解得点 ，
所以 ，
故④正确，
故选：C.
8．已知曲线 ： ，过它的右焦点 作直线交曲线 于 、 两点，弦 的垂直平分线交
轴于点 ，可证明 是一个定值 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】设出直线 的方程： ，将直线与双曲线联立，利用弦长公式求出 ，再由韦达定理
求出 、 两点的中点坐标，进而得出 的垂直平分线，求出点 得出 即可求解.
【详解】 ，即 ，
设直线 方程： ，且 ， ，
， ，
，
， ，
弦 的中点为 ，
即垂直平分线： ，
令 ，可得 ，
，
所以 .
故选：A二、多选题
9．已知直线 经过双曲线 （ ， ）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条
直线，使得 的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据最短弦长确定双曲线方程，再把点代入验证得出结果.
【详解】若直线 与C的两支交于顶点A、B，则 ，
若直线 与C的一支交于A，B两点，则通径最短， ，
由题意得 ，解得 ，
则C的方程为 ，
把选项ABCD分别代入方程，则B选项表示的点不在双曲线上，ACD选项表示的点在双曲线上．
故选：ACD．
10．如图，已知双曲线： 的左右焦点分别为 ， ，以 为直径的圆与双曲线在第一象限交
于点B，连接 ， ， 与双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，N，则（ ）
A．B．
C．过 的双曲线的弦的长度的最小值为8
D．点B到两条渐近线的距离的积为
【答案】AD
【分析】由 ，若 结合已知可得 ，设 且 ，应用点在双曲线
上、两点距离公式求 坐标，写出直线 求出 坐标，进而判断各项的正误即可.
【详解】由题设 ，若 ，则 ，
，即 ，可得 ，
若 且 ，则 ，可得 ，故 ，
所以，直线 为 ，即 ，而渐近线为 ，
所以 ， ，则 ，
又 ，可得 （舍）或 ，故 ，
所以 ，即 ，A正确；而 ，B错误；
令 ，则 ，可得 ，故过 垂直于x轴所得弦长为8，
而过 和两顶点的直线，所得弦长为2，所以过 的双曲线的最短弦为2，C错误；
由 到 的距离为 ， 到 的距离为 ，所以B到两条渐近线的距离的积为 ，D正确.
故选：AD
三、填空题
11．过双曲线 的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB
的长为 ．
【答案】
【分析】根据直线与双曲线相交，由韦达定理以及弦长公式即可求解.
【详解】双曲线 的右焦点为 ，所以直线l的方程为 ．由 ，得
．设 ， ，则 ， ，
所以 ．
故答案为：
【点睛】若直线 与双曲线 （ ， ）交于 ， 两点，则
或 （ ）．
12．已知双曲线C： 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 作渐近线
的垂线交C于A，B两点，若 ，则 的周长为 ．
【答案】18
【分析】根据题意设直线 的方程，利用弦长公式求得 ，再结合双曲线的定义运算求解.【详解】由题意可得：焦点在x轴上， ，
则双曲线C： ， 渐近线 ，
不妨设直线 ，
联立方程 ，消去y得 ，
则 ，
可得 ，解得 ，
可得 ，
由双曲线的定义可得 ，
则 ，
可得 ，
所以 的周长 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关
系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定
义求解．
13．已知双曲线C： 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 作渐近线的垂线交C于A，B两点，点A在第一象限，若 ，则 的周长为 .
【答案】18
【分析】根据离心率求出a,b关系，用m表示双曲线方程，设直线方程，与双曲线方程联立，利用弦长求
出m，然后利用双曲线定义即可求解
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
则渐近线 ，不妨设 ， ， ，
则双曲线的方程 ，
设 ， ，所以AB： ，
联立 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故答案为：18.
14．已知双曲线 ，过其右焦点 的直线 与双曲线 交于 、 两点，已知 ，
若这样的直线 有 条，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】记 ，分析可知双曲线 的实轴长和通径长不可能同时为 ，可知直线 的斜率存在且不为零，设直线 的方程为 ，其中 ，设点 、 ，将直线 的方程与双曲线方
程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出关于 的方程 由四个不等的实数解，
可得出关于实数 的不等式组，综合可得出实数 的取值范围.
【详解】记 ，若直线 与 轴重合，此时， ；
若直线 轴时，将 代入双曲线方程可得 ，此时 ，
当 时，则 ，此时， ；当 ，可得 ，则 ，
所以，双曲线 的实轴长和通径长不可能同时为 ；
当直线 与 轴不重合时，记 ，则点 ，
设直线 的方程为 ，其中 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
由题意可得 ，可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
所以，
，即 ，
所以，关于 的方程 由四个不等的实数解.
当 时，即当 时，可得 ，可得 ，整理可得 ，因为 ，解得 ；
当 时，即当 ，可得 ，
可得 ，整理可得 ，可得 .
综上所述， .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
四、解答题
15．设 ､ 分别为双曲线 的左右焦点，且 也为抛物线 的的焦点，若
点 ， ， 是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l： 与双曲线C相交于A､B两点，求 .
【答案】(1)(2)
【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，即可得到 ，再根据 为等腰直角三角形，即可求出
，最后根据 ，求出 ，即可求出双曲线方程；
（2）设 ， 联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；
【详解】（1）解：抛物线 的焦点为 ，
所以 ，即 ， ，又点 ， ， 是等腰直角三角形的三个顶点，
所以 ，即 ，又 ，所以 ，
所以双曲线方程为 .
（2）解：依题意设 ， ，
由 消去 整理得 ，
由 ，所以 ， ，
所以
.
16．已知 为坐标原点， ， ，直线 ， 的斜率之积为4，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)直线 经过点 ，与 交于 ， 两点，线段 中点 为第一象限，且纵坐䏡为 ，求 的
面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设点 的坐标为 ，根据题意结合斜率公式求解即可；
（2）显然直线 的斜率不存在时，不符合题意，设直线 方程为 ，与双曲线方程联立，利用
韦达定理求出 的值，再求出 和 到直线 的距离 即可求解.
【详解】（1）设点 的坐标为 ，
因为 ， ，所以 ，
化简得：
所以 的方程为： .
（2）当直线 的斜率不存在时，显然不符合题意；
设 ， ，直线 方程为 ，
与 联立得： ，
由 且 ，解得 且 ，
由韦达定理得 ，
因为线段 中点 在第一象限，且纵坐标为 ，所以 ，
解得 或 （舍去），
所以直线 为 ，
所以 ，
所以 ，
点到直线 的距离 ，
所以 .
【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为 ， ；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于 或 的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为 ， 形式；
（5）代入韦达定理求解.
17．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，焦距为 .
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过 的直线l交双曲线C于A，B两点，且 的面积为 ，求直线l的方
程.
【答案】(1)(2) 或
【分析】（1）根据 ， ，以及 ，求解即可；
（2）设直线 的方程为 与椭圆联立，利用弦长公式表示 ，根据点到直线的距离公式求解
高，即可根据三角形面积公式进行求解.
【详解】（1）由题意得： ， ， ，
解得： ， ， ，
双曲线 的标准方程为 ．
（2）由题意可知，直线 的斜率一定存在，
设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立方程组 ，消去 整理得 ，
则 ，
原点到直线 的距离为 ，
所以 ，解得 或 ，故 或 ，
故直线方程为 或
18．已知双曲线 过点 和点 ．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过 的直线与双曲线交于 ， 两点，过双曲线的右焦点 且与 平行的直线交双曲线于 ，
两点，试问 是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，定值为 ．
【分析】（1）代入点的坐标联立方程可得双曲线方程， 进而由离心率公式即可求解.
（2）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式分别求解 ，即可代入化简求解.
【详解】（1）将点 和点 的坐标代入 ，
得 ，解得
所以双曲线的离心率 ．
（2）依题意可得直线 的斜率存在，设 ： ．
联立 得 ，
设 ， ，则 ， ，所以 ．
，直线 ： ．设 ， ．
联立 得 ，
则 且 ，
则
，
所以 ，所以 为定值，定值为 ．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围或者定值问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等或者等量关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
19．已知实数m，n满足 .令 ， ，记动点 的轨迹为E.
(1)求E的方程，并说明E是什么曲线；(2)过点 作相互垂直的两条直线 和 ， 和 与E分别交于A、B和C、D，证明： .
【答案】(1) ，双曲线
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意消去 后求解，
（2）由条件设出 和 方程，与双曲线方程联立后由弦长公式求解后证明．
【详解】（1）由题意知 ，故 ，所以E的方程为 .
由方程得 ， ，所以E是以 ， 为焦点，实轴长为 的等轴双曲线.
（2）证明：当直线 垂直于x轴时，则AB为通径，故 ；
为x轴，此时 为实轴长，故 ，所以 .
当直线 不垂直x轴，设 ： ， ： ， ，
与E联立方程 ，消去x并整理得 ，
因为 与E交于两点，故 ，此时 ，
所以 ，
同理 ，所以 .20．已知双曲线 的实轴长为6，左右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上，
轴，且 .
(1)求双曲线 及其渐近线的方程；
(2)如图，若过点 斜率为 的直线 与双曲线 及其两条渐近线从左至右依次交于 ， ， ，
四点，且 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得 ，求出 ，再由双曲线的定义求出 ，即可得出方程；
（2）设出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理及弦长公式求出 ，
再联立直线与渐近线方程得出 的横坐标，再由弦长公式求出 ，再由 即可得解.
【详解】（1）由题意知， ，即 ，
由 轴，可知 ，代入双曲线方程可得 ，
又 ，即 ，解得 ，
所以双曲线的方程为 .
（2）由（1）可知， ，所以 ，设直线 方程为 ， ， ， ， ，
由 ，可得 ，
， ，
，
由 可知双曲线的渐近线方程为 和 ，
联立 可得 ，同理可得
由 可得， ，
化简可得 ，即 ，
整理得， ，解得 .
21．已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点为 ， ，过点 作双曲线
一条渐近线的垂线，垂足为 ，且 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设双曲线 的左顶点为 ，过点 的直线 与双曲线 交于 ， 两点，连接 ， 分别交于轴于点 ， ，且 ，求直线 的方程及 的面积．
【答案】(1)
(2)直线 的方程为 ； 的面积为 .
【分析】（1）由题意可得 ，再由 到双曲线一条渐近线的距离可得 ，进而得到双曲线方
程；
（2）设直线 ，把直线方程带入双曲线方程整理可得：
，求得 方程，求得 两点坐标，再由 ，求出 ，即可求出
直线 的方程，最后由三角形面积公式求出 的面积.
【详解】（1）因为双曲线 的左、右焦点为 ， ，
所以 ，双曲线 ： 的渐近线为 ，因为 ，
所以 到双曲线一条渐近线的距离为： ,
则 ，所以双曲线 ： .
（2）证明：由题意可得 ，
设直线 ，
由 ，消去 ，整理得： ，
，
可得 ，
，设直线方程 ，可得 ，
设直线 ，可得 ，
所以 ，
因为
所以
，
又
所以 ，
所以 ，即 ，
所以直线 的方程为： .
则 .
22．已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，A，F分别为双曲线C的左顶
点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B， 的面积为
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线 与双曲线的左､右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知可得 ，结合过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，
的面积为 ，可得 的值，即可得双曲线方程；
（2）根据直线与双曲线相交，联立直线与双曲线，即可得交点坐标关系以及 的取值范围，由
，分别求得 与 的表达式，可得 与 的关系式，即可得实数 的取值范围.
【详解】（1）解：如图，其中 ，
双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，所以
则 ，由题知 ，所以
则 ，解得
所以双曲线C的方程为 .
（2）解：设 ，
则
所以 ，则 ，且
所以
设 ，由 得 ，同理，
所以 ，
所以 ，其中， ，
因为 ，故 的取值范围是
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线 的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若 的面积为 ．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线 与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于
P，Q两点，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）依题意可得 ，所以得到 ，根据 的面积 ，计算可得；
（2）联立直线方程与曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意得到 ，从而求出参数 的取值范
围，利用弦长公式表示出 ， ，即可得到 的取值范围；
【详解】解：（1）因为双曲线 为等轴双曲线，
所以 ，设双曲线的焦距为2c， ，
故 ，即 ．
因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，将 代入 ，可得 ，故 ．
将 的面积为 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，故双曲线E的方程为 ．
（2）依题意，直线 与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，
联立方程组 消去y可得， ，
所以 解得 ，且
所以
．
联立方程组 得 ，同理 ，
所以 ．
所以 ，其中 ，所以 ．
【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.
24． 已知双曲线 的离心率为 ，过双曲线 的右焦点 且垂直于 轴的直线
与双曲线交于 两点，且 .
(1)求双曲线 的标准方程;
(2)若直线 ： 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，与双曲线的渐近线分别交于 两
点，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由通径长、离心率列方程组求得 得双曲线方程；
（2）直线 方程 代入双曲线方程，利用直线与双曲线左右相交求得 的范围，由韦达定理得
，由弦长公式得弦长 ，再求得 的坐标得线段长 ，然后计算比值，由 的范围各
结论．【详解】（1）由题可知， ，解得 ，所以双曲线 的标准方程为 ；
（2）由题可知，直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，
联立 消去 ，得 ，
所以 ，解得 ，
且 ，
所以
.
联立 可得 ，同理可得 ，
所以 ，
所以 ，
其中 ，则 ，所以 .
【点睛】方法点睛：直线与双曲线相交弦长问题，一般由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦
达定理得 ，再由弦长公式得弦长，不需要求得两交点的具体坐标．25．已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线C
上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知过点 的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且 的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件
的所有直线l的方程.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）利用点在双曲线上和点到渐近线的距离等于2得到关于 、 的方程组，进而求得标准方程；
（2）先分析直线l不存在斜率时的情形，再设出直线l方程，联立直线和双曲线方程，得到关于 的一元
二次方程，利用直线l与双曲线C的右支相交于两点得到斜率 的取值范围，利用根与系数的关系、弦长
公式、三角形外心的几何性质进行求解.
【详解】（1）解：由 在双曲线C上，得 ，
由TP垂直x轴于点P，得 ，
则由 到双曲线C的渐近线 的距离为2，
得 ，得 ，
联立 和 ，
解得 ， ，
即双曲线C的标准方程为 .
（2）解：由题意， ，
当直线 无斜率时，直线方程为 ，则 、 ，
则 为等腰三角形，若 的外接圆的圆心Q在y轴上，则 ，而 ， ， ，
不符合题意（舍）；
当直线 存在斜率时，设直线方程为 ，
联立 ，得 ，
即
设直线l与双曲线C的右支相交于 、 ，
则 ，
解得 ，即 或 ；
则 ， ，
从而 ，
则线段AB的中点 ，
且 .
由题意设 ，
易知Q在线段AB的垂直平分线上，因此 ，
得 ，即 ，连接QP，QA，QM，因此 .
由勾股定理可得， ，
又 ，则 ，
化简得 ，得 （ 舍去），
因此直线l的方程为 ，
即 或 .
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题要做好两点：
一是转化，把题中的已知条件和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化，
如本题中将 是 的外心转化为 且 ；
二是设而不求，其主要思路是：要先设出直线方程，与圆锥曲线联立得到一元二次方程，利用根与系数的
关系求解，通常情况下设直线方程要注意直线斜率不存在的情况.
题型三 双曲线的中点弦问题
策略方法 双曲线的中点弦问题
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在
双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线
方程将 转化为能用韦达定理直接代换的 .垂直关系有时用向量的数量关系来刻
画，要注意转化.
【典例1】（单选题）设A，B为双曲线 右支上的两点，若线段AB的中点为 ，则直线
AB的方程是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可.
【详解】设 ，
则有 ，两式相减，得 ，
因为线段AB的中点为 ，
所以 ，
因此由 ，
即直线AB的斜率为 ，方程为 ，
代入双曲线方程中，得 ，
因为 ，
所以线段AB存在，
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）双曲线 被斜率为 的直线截得的弦 的中点为
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】根据点差法，设出交点坐标，代入作差即可得解.【详解】设 代入双曲线方程作差有:
，
有 ，
所以 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了解析几何中的点差法，点差法主要描述直线和圆锥曲线相交中斜率和中点的关系，在
解题中往往大大简化计算，本题属于基础题.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ， 是双曲线 上的两点，线段 的中点是 ，
则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.
【详解】设 ， ，则 ，
两式相减得 ，
即 ，
∴ .
故选D.
3．（2023·全国·高三专题练习）过点 的直线 与双曲线 相交于 两点，若 是线段
的中点，则直线 的方程是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】利用点差法求解.
【详解】解：设 ，则 ，
两式相减得直线的斜率为 ，
又直线 过点 ，
所以直线 的方程为 ，
经检验此时 与双曲线有两个交点.
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为 过左焦点 作斜率为2的
直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为 ，则b的值是
（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点差法设 、 ，作差即可得到 ，再根据斜率公式，从而
得到 ，即可得解；
【详解】解：设 、 ，则 ， ，
两式相减可得 ，
为线段 的中点， ， ，，又 ， ，
，即 ， ，
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线 ： （ ， ）的焦点且斜率不为0的直线交
于A， 两点， 为 中点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线 的方程联立，利用设而不求的方法及条件 得到
关于 的关系，进而求得双曲线 的离心率
【详解】不妨设过双曲线 的焦点且斜率不为0的直线为 ，令
由 ，整理得
则 ，
则 ，由 ，可得
则有 ，即 ，则双曲线 的离心率
故选：D
6．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知直线 与双曲线 的两条渐
近线分别交于点 ， （不重合）， 的垂直平分线过点 ，则双曲线 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出 的垂直平分线的方程，即可求出 的中点坐标，设 ， ，利用点差
法得到 ，最后利用离心率公式计算可得.
【详解】因为直线 ，所以 ，
由题可知 的垂直平分线的方程为 ，
将 与 联立可得 ，即 的中点坐标为 ．
设 ， ，则 ，且 ， ，
两式作差可得 ，
即 ，所以 ，
则双曲线 的离心率为 ．
故选：D
7．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线 的右焦点为 ， ，若直线 与
的右支交于 两点，且 为 的重心，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】设点 为 的中点，根据 为 的重心，求得 ，由直线 与 的右支交
于 两点，得到 ，求得 ，再由 时，证得 四点共线不满足题意，
即可求得双曲线 的离心率的取值范围.
【详解】由题意，双曲线 的右焦点为 ，且 ，
设点 为 的中点，因为 为 的重心，所以 ，
即 ，解得 ，即 ，
因为直线 与 的右支交于 两点，则满足 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
当离心率为 时，即 时，可得 ，此时 ，
设 ，可得 ，
又由 ，两式相减可得 ，
即直线 的斜率为 ，
又因为 ，所以 ，此时 四点共线，此时不满足题意，
综上可得，双曲线 的离心率的取值范围为 .故选：A.
【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得 得值，根据离心率的定义求解离心率 ；
2、齐次式法：由已知条件得出关于 的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于 的一元二次方程或不
等式，结合离心率的定义求解；
3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的离心率为 ，直线 与 交于
两点， 为线段 的中点， 为坐标原点，则 与 的斜率的乘积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出 ， ， 的坐标，利用点差法，结合 为线段 的中点，以及两点之间的斜率公式，通
过恒等变换，得到 与 的斜率的乘积与 的关系，根据 化简可得答案.
【详解】设 ， ， ，
则 ，两式作差，并化简得，
，
所以 ，
因为 为线段 的中点，即
所以 ，
即 ，由 ，得 .
故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 过双曲线 的左焦点 ，且与 的左､右两支分别交于 两点，设 为坐标原点， 为 的中点，若 是以 为底边的等腰三角形，则直线 的斜率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由点差法得 ，由条件知直线 的倾斜角为 倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系
式 即可求得 的斜率.
【详解】设 ,
由 均在 上， 为 的中点，
得 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，不妨设 为锐角，
∵ 是以 为底边的等腰三角形，∴直线 的倾斜角为 ，则 .
∴ ，∴ ，解得 ，
∴由对称性知直线 的斜率为 .
故选：D
【点睛】中点弦定理：直线与椭圆（双曲线）交于 两点，中点为 ，则有 ，（ 为坐
标原点）
此题解答过程中中点弦定理起了核心作用，通过中点弦定理建立了 与 的关系，另一方面通过
是以 为底边的等腰三角形可能建立两直线倾斜角的关系，从而得到所求直线的斜率.
10．（2023·全国·高三专题练习）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得 ，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；
对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设 ，则 的中点 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线 相交于A、
B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（ ）
A．ba【答案】CD
【分析】根据M（1，1）是AB的中点，且斜率为2，利用点差法求解.
【详解】解：设 ，
则 ，
两式相减得 ，
化简得 ，
因为M（1，1）是AB的中点，
所以 ，即 ，
所以 ，渐近线方程为 ，离心率为 ，
故选：CD
12．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的虚轴长为2，过C上点P的直线l与
C的渐近线分别交于点A，B，且点P为AB的中点，则下列正确的是（ ）
A．若 且直线l的斜率存在，直线l的方程为
B．若 ，直线l的斜率为1
C．若离心率 ，
D．若直线l的斜率不存在，
【答案】BCD
【分析】根据点差法可得直线的斜率，进而可判断A，利用A选项的求解可判断B，利用离心率可得渐近
线方程，进而联立直线AB与渐近线方程得交点坐标，利用三角形面积公式以及双曲线方程可判断C，根
据顶点和渐近线方程可求解D.【详解】由题意 ，双曲线 .
对于A，若 ，则 ，即 .
设 ， ，则 ， ，
利用点差法可得 ，
所以直线l的方程为 ，即 ，
所以 ，即 ，故A错误；
对于B，若 ，可得 ,则 ，由前面解答过程可知直线l的斜率为 ，即B正
确；
对于C，若离心率 ，可得 .则双曲线 ，其渐近线方程为 ，
设 ， ，
直线 ，令 ，
则 ，由A知 方程为 ，
联立方程 可得 ，同理可得 ，
所以 ，故C正确；
对于D，若直线l的斜率不存在，则直线l过双曲线的顶点，所以 ，
双曲线的渐近线方程为 ，当 时，代入渐近线方程易得A，B两点的纵坐标为 ，所以 ，故D正确；
故选：BCD.
13．（2023春·湖北武汉·高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习）已知双曲线 的左､右焦点
分别为 ，过点 斜率为 的直线 与双曲线 的左､右两支分别交于 两点，下列命题正确的有
（ ）
A．
B．当点 为线段 的中点时，直线 的斜率为
C．若 ，则
D．
【答案】BC
【分析】根据渐近线斜率结合图象可判断A，利用点差法可求直线斜率判断B，根据直线的斜率及二倍角
的正切公式可判断C，计算 和 可判断D.
【详解】如图，
由 可知，双曲线的渐近线方程为 ，
由图可知，当过 点直线的斜率满足 时，直线与双曲线左右两支各交于一点，故A错误；设 ， ，分别代入双曲线方程 ，两式相减可得：
，点 为线段 的中点，
所以 ，化简得 ，故B正确；
， ， ， ，
， ，
又 ， ， ，故C正确；
由题意 ，其中 ，代入双曲线方程可得 ，
，
，
， ，
，故D错误.
故选：BC
14．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： ，其上、下焦点分别为 ， ， 为
坐标原点．过双曲线上一点 作直线 ，分别与双曲线的渐近线交于 ， 两点，且点 为 中
点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 轴，则 ．B．若点 的坐标为 ，则直线 的斜率为
C．直线 的方程为 ．
D．若双曲线的离心率为 ，则三角形 的面积为2．
【答案】ACD
【分析】利用双曲线基本性质，点差法及三角形面积的表示，即可得到结果.
【详解】若 轴，则直线 过双曲线的顶点， ，
双曲线的渐近线方程为 ，易得 ， 两点的横坐标为 ，
∴ ，即A正确；
若点 的坐标为 ，则 ，
易得双曲线渐近线方程为 ，设 ，
利用点差法： ，
两式作差可得， ，即
∴ ，即B错误；
若 ，利用点差法同样可得 ，
∴直线 的方程为
即 ，
∴ ，故C正确；
若双曲线的离心率为 ，则双曲线方程为 ，
∴渐近线方程为 ，设 ，∴ ，
联立方程 可得 ，
同理可得 ，
∴ ，
故D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：（1）涉及中点问题，可以利用点差法来简化运算；
（2）三角形面积的表示，设 ，则 .
三、填空题
15．（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线 相交于 两点，若点 为线段 的中
点，则直线的方程是 .
【答案】
【分析】由中点坐标公式可知 ， ；利用点差法可求得直线斜率 ，进而得到直线方
程.
【详解】设 ，
为 中点 ，
由 两式作差可得：
直线斜率
直线方程为： ，即故答案为
【点睛】本题考查根据弦中点求解直线方程的问题，关键是能够熟练应用点差法，将直线的斜率与中点坐
标之间的关系表示出来，从而求得直线斜率.
16．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知双曲线中心在原点且一个焦点为
，直线 与其相交于 ， 两点， 中点横坐标为 ，则此双曲线的方程是 .
【答案】
【分析】设双曲线的标准方程为 ，利用点差法可求得 的值，再结合焦点的坐标
可求得 和 的值，由此可得出双曲线的标准方程.
【详解】设点 、 ，
由题意可得 ， ， ，
直线 的斜率为 ，
则 ，两式相减得 ，
所以 ，
由于双曲线的一个焦点为 ，则 ， ， ，
因此，该双曲线的标准方程为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，涉及点差法的应用，考查计算能力，属于中等题.
17．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）不与 轴重合的直线 经过点 ，双曲线
： 上存在两点A，B关于 对称，AB中点M的横坐标为 ，若 ，则 的值为.
【答案】
【分析】由点差法得 ，结合 得 ，代入斜率公式化简并利用 可求
得 .
【详解】设 ，
则 ，两式相减得 ，
即 ，
即 ，所以 ，
因为 是AB垂直平分线，有 ，所以 ，
即 ，化简得 ，故 ，则 .
故答案为：
18．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的实轴长为4，离心率为 ，直线 与
交于 两点， 是线段 的中点， 为坐标原点．若点 的横坐标为 ，则 的取值范围为
．
【答案】
【分析】先求出双曲线方程，然后联立直线和双曲线方程表示出 ，然后判断出直线和双曲线一定交于两
支后进行计算.
【详解】由题知 ，解得 ，即双曲线的方程为： .直线的斜率若不存在，则垂直于 轴，由于双曲线顶点为 ，斜率不存在的直线和双曲线有交点，则
两个交点横坐标相等且均大于 ，与点 的横坐标为1矛盾；
直线的斜率也不会为 ，否则根据对称性可知， 的横坐标为 ，矛盾.
故直线斜率存在且非零.
设直线方程为 ，联立 ，得到 ，由 .
设 ，由题意， ，即 ， 的纵坐标为 ，即 .
根据双曲线的范围可知，若直线和双曲线交于同一支，则交点横坐标均大于 或小于 ，与 的横坐标
为 矛盾，故直线和双曲线交于两支.
由 ，得到 ，显然满足判别式条件： .
由 ，于是
故答案为：
19．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知F，F 分别为双曲线C:
1 2
的左右焦点，过点F 且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且
1
点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为 ，若 ，则双曲线的离心率
【答案】
【分析】根据 得 为直角三角形，进而根据点差法得中点弦的性质即可求解.
【详解】设 , ，设 的中点为 ，
由于 ，故 ,因此 为直角三角形，故 ，由于 ，所以 ，进而可得 ，故 或 ，
由 在双曲线渐近线上，所以
，
进而 ，
当 时， , ，所以 ，
当 时， , ，所以 不符合题意，舍去，
综上：故离心率为 ，
故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）若双曲线 上存在两个点关于直线 对称，则实
数 的取值范围为 .【答案】
【分析】设双曲线上两点 ， ， ， ，直线 的方程是 ，代入双曲线方程化简得
， 的中点是 ， ，利用判别式大于0，韦达定理结合 的中点 在直线
上，转化求解 的范围即可．
【详解】解：依题意，双曲线上两点 ， ， ， ，
若点A、B关于直线 对称，则
设直线 的方程是 ，代入双曲线方程 化简得：
，
则 ，且 ，解得 ，且
又 ，设 的中点是 ， ，
所以 ， ．
因为 的中点 在直线 上，
所以 ，所以 ，又
所以 ，即 ，所以
所以 ，整理得 ，
所以 或 ，
实数 的取值范围为：故答案为： .
四、解答题
21．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，直线 相交于点M，且它们的斜率之积是
3.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点 能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段 的中点？若能，求出直线m
的方程；若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）利用两点连线斜率公式整理 可得到结果；
（2）利用点差法可求得直线m的斜率，得直线m的方程，与C的方程联立可知 ，由此可知直线m
不存在．
【详解】（1）设 ，
∵ ， ，
∴ ，整理得
即点M的轨迹C的方程 ．
（2）若能作出直线m，则直线m的斜率存在，设为k，设
则 ，两式相减得
整理可∵N是线段 的中点， 即 ，
故直线m的方程为 ，即 ，
将直线方程代入双曲线方程可得
，此时直线与双曲线不相交．
故不能作出这样的直线m．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的其中一个焦点为 ，一条渐近
线方程为
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）已知倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，且线段 的中点的纵坐标为4，求直线 的方
程.
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由题意，联立方程求出 ，即可得到双曲线方程；
（2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可.
【详解】（1）由焦点可知 ，
又一条渐近线方程为
所以 ，
由 可得 ,解得 ， ，
故双曲线 的标准方程为
（2）设 ，AB中点的坐标为
则 ①， ②，② ①得： ，
即 ，又 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，即
23．（2023·全国·高三专题练习）动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是
，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知过点 的直线与曲线C相交于两点 ， ，请问点P能否为线段 的中点，并说明理由.
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析.
【分析】（1）利用题中距离之比列出关于动点 的方程即可求解；
（2）先假设点P能为线段 的中点，再利用点差法求出直线的斜率，最后联立直线与曲线进行检验即可.
【详解】（1）解：动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是
则
等式两边平方可得：
化简得曲线C的方程为：
（2）解：点 不能为线段 的中点，理由如下：
由（1）知，曲线C的方程为：过点 的直线斜率为 ， ，
因为过点 的直线与曲线C相交于两点 ，
所以 ，两式作差并化简得： ①
当 为 的中点时，则 ， ②
将②代入①可得：
此时过点 的直线方程为：
将直线方程与曲线C方程联立得：
，
，无解
与过点 的直线与曲线C相交于两点矛盾
所以点 不能为线段 的中点
【点睛】方法点睛：当圆锥曲线中涉及中点和斜率的问题时，常用点差法进行求解.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 ，
(1)过点 的直线交双曲线于 两点，若 为弦 的中点，求直线 的方程；
(2)是否存在直线 ，使得 为 被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线 的方程，若不存在，请
说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）设 ，利用点差法求得直线AB的斜率，根据直线的点斜式方程结合验证，
即可求得答案；
（2）同（1）利用点差法求得直线方程，把直线方程和双曲线方程联立，整理得到一元二次方程，其判别
式小于0，说明符合题意的直线不存在.【详解】（1）设 ，则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
又因为 为弦 的中点,故 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
由方程组 得 ，其 ，
说明所求直线存在，
故直线 的方程为 .
（2）假设存在直线 ，使得 为 被该双曲线所截弦的中点，
设该直线与双曲线交于C,D两点，
设 ，则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
又因为 为弦 的中点,故 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，由方程组 ,得 ，
根据 ，说明所求直线不存在,
故假设不成立，即不存在直线 ，使得 为 被该双曲线所截弦的中点.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 恰好经过双曲线 的左焦
点 ，且与 交于 ， 两点， 为 的中点，当 时，直线 的斜率为1．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 经过 且与直线 垂直，与双曲线 交于 ， 两点， 为 的中点，证明： 与
的面积之比为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用点差法 可求得 ，结合 ，求出 ，即可求出双曲线的方
程；
（2）直线 与双曲线方程联立 ，求出点 坐标，因为直线 与 垂直，所以用 替换 ，得
到 点的坐标，求出直线 的方程，即可得出 恒过定点 ，即可得出 与 的面
积之比
【详解】（1）依题意可知 ，设 ， ，则 两式作差可得 ，
即 ，又当 时，直线 的斜率为1，
所以 ．又 ，解得 ， ，
所以双曲线 的方程为 ．
（2）联立直线 与双曲线方程，得
消去 整理得 ，则 ， ，
则 所以 ， ，所以 ．
又因为直线 与 垂直，所以用 替换 ，得到 ．
当 ，即 时，直线 的方程为 ，直线 过点 ．
当 且 ， 时，直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，所以直线 过点 ．
综上，直线 恒过点 ．所以 与 的面积之比为 ．
26．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C： － ＝1(a、b为正
常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．
(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k、k，求k·k 的值；
1 2 1 2
(2)若 ＝ ，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．
【答案】(1)
(2)直线l过定点( ，0)
【分析】（1）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，根据M为PQ的中点，利用点差法求解；
（2）根据 ＝ ，得到 APQ是以A为直角顶点的直角三角形，则AP⊥AQ，然后直线l的斜率不存在，
直线l的斜率存在时，将直线方程y＝kx＋m，与双曲线方程 － ＝1联立，由(x1－a，y1)·(x2－a，
y2)＝0结合韦达定理求解.
【详解】（1）解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，
因为P、Q在双曲线上，
所以 － ＝1， － ＝1，
两式作差得 － ＝0，
即 ＝ ，
即 ＝ ，
即k1·k2＝ ；（2）因为 ＝ ，
所以 APQ是以A为直角顶点的直角三角形，即AP⊥AQ；
①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t，代入 － ＝1得，y＝±b ，
由|t－a|＝b 得，(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0，
即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0，
得t＝ 或a(舍)，
故直线l的方程为x＝ ；
②当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，代入 － ＝1，
得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0，
Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝ ，x1x2＝－ ；
因为AP⊥AQ，
所以 · ＝0，
即(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0，
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0，
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0，
即 ＝0，
即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0，
即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0，
所以k＝－ 或k＝－ ；
当k＝－ 时，直线l的方程为y＝－ x＋m，此时经过A，舍去；
当k＝－ 时，直线l的方程为y＝－ x＋m，恒过定点( ，0)，经检验满足题意；
综上①②，直线l过定点( ，0)．
27．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的两条渐近线方程为 ，直线l
交C于A，B两点.
(1)若线段AB的中点为 ，求l的方程；
(2)若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，且O到l的距离为 ，求C的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点差法求得直线 的方程.
（2）对直线 的斜率是否存在进行分类讨论，求得 ，从而求得 的方程.
【详解】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为 ，
所以 .
设 ，
则 ，
两式相减并化简得 ，
由于线段 的中点为 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 .（2）结合（1）可知双曲线的方程为 ，
当直线 的斜率不存在时，
由于 到 的距离为 ，所以直线 的方程为 ，
不妨设直线 的方程为 ，
由于以线段 为直径的圆过坐标原点 ，
结合对称性可知点 在双曲线 上，
所以 ，
所以双曲线的方程为 .
当直线 的斜率存在时，
设直线 的方程为 ，即 ，
到 的距离为 ①.
由 消去 并化简得 ②，
，
，
.
由于以线段 为直径的圆过坐标原点 ，
所以 ，，
， ，
，
由①得 ，
将 代入②得 ，
.
所以 ，双曲线方程为 .
综上所述，双曲线方程为 .
28．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）已知双曲线E： 与直线l： 相交于A、B两点，
M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两
个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ，其中 或
(2)存在，
【分析】（1）设 ， ， ，联立直线l与双曲线E的方程，消去y，得
，根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点，得 且
，即 且 ，由韦达定理，得 ，
则 ， ，联立消去k，得 ，再根据 的范围得出 的范围，即可得出答
案；（2）设 ， ，根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出 ，
，则 ，即线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两
个三等分点，则 ，结合弦长公式列式得 ，即可化简代入得出
，即可解出答案.
【详解】（1）设 ， ， ，
联立直线l与双曲线E的方程，得 ，
消去y，得 ．
由 且 ，得 且 ．
由韦达定理，得 ．
所以 ， ．
由 消去k，得 ．
由 且 ，得 或 ．所以，点M的轨迹方程为 ，其中 或 ．
（2）双曲线E的渐近线方程为 ．
设 ， ，联立 得 ，同理可得 ，
因为 ，所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．若A，B为线段CD的两个三等分点，则 ．
即 ， ．
而 ， ．
所以， ，解得 ，
所以 ，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．
