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北师大版（2024）七年级数学上册第五章质量评价
(时间：120分钟 满分：150分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(每小题3分，共36分)
1.下列方程中是一元一次方程的是（A）
A.5x＋1＝2 B.3x－2y＝0 C.x2－4＝0 D.＝5
2.下列等式变形中正确的是（D）
A.若a＝b，则a＋m＝b－m B.若a2＝5a，则a＝5
C.若a＝b，则＝ D.若 ＝，则a＝b
3.下列方程中，解是x＝4的是( C )
A.3x＋1＝11 B.－2x－4＝0
C.3x－8＝4 D.4x＝1
4.方程－2x＋3＝0的解x的值为（C）
A. B.－ C. D.－
5.将方程 －＝1去分母，正确的是（D）
A.2x－x＋1＝1 B.2x－(x＋1)＝1
C.2x－x＋1＝4 D.2x－(x＋1)＝4
6.如果代数式5x－7与4x＋9的值互为相反数，则x的值为（D）
A. B.－ C. D.－
7.将等式4a＝2b－1进行如下变换，正确的是（C）
A.4a－2b＝1 B.2b＝4a－1
C.b＝2a＋ D.a＝b－18.设P＝2x－2，Q＝2x＋3，且3P－＝1，则x的值为（D）
A.1 B.1.1 C.1.6 D.1.7
9.我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三
人共车，二车空；二人共车，九人步。问人与车各几何。其大意：
每车坐 3 人，两车空出来；每车坐 2 人，多出 9 人无车坐。问人数
和车数各多少。设车x辆，根据题意，可列出的方程是（D）
A.3x－2＝2x＋9 B.3(x－2)＝2(x＋9)
C.＋2＝－9 D.3(x－2)＝2x＋9
10.如图，在日历纵列上任意圈出相邻的三个数，算出它们的和，下
列不可能是它们的和的是（A）
A.35 B.45 C.54 D.63
11.若定义“*”运算为“a*b＝ab－3b”，若(2*x)－2(x*2)＝2，则 x
的值为（D）
A.－3 B.1 C.－2 D.2
12.小明上午 9：00 从学校出发前往图书馆，同时小欢从图书馆出发
前往学校，小明的速度是 90 m/min，小欢的速度是 80 m/min，出发
9 min后，小欢到达学校。下列说法中正确的是（B）
A.他们出发4.5 min后相遇
B.相遇点更靠近图书馆C.当他们都到达各自目的地时是上午9：17
D.小明比小欢晚到1 min
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.请写一个一元一次方程，使它的解为 x＝－1： x ＋ 1 ＝ 0( 答案不唯
一 )。
14.已知 m－1＝n，请比较 m 与 n 的大小：m>n(选填“>”“<”或
“＝”)。
15.若|2a－3|＋5(8＋2b)2＝0，则ax－b＝3的解为 x ＝－ 。
16.观察图形和表格回答：当图形的周长为 80 时，梯形的个数为
26。
梯形个数 1 2 3 4 5 …
图形周长 5 8 11 14 17 …
三、解答题(本大题共9小题，共98分)
17.(12分)解下列方程：
(1)－2x－3(2x－1)＝2；
解：去括号，得－2x－6x＋3＝2，
移项，得－2x－6x＝2－3，
合并同类项，得－8x＝－1，系数化为1，得x＝。
(2)＝＋1。
解：去分母，得x－3＝2(4x＋3)＋4，
去括号，得x－3＝8x＋6＋4，
移项、合并同类项，得－7x＝13，
方程两边同除以－7，得x＝－。
18.(10分)(1)从一个底面半径是 10 cm的圆柱形凉水杯中，向一个底
面半径为 5 cm，高为 8 cm 的圆柱形空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒
满水后，凉水杯的水面将下降多少？
(2)如图，长方形 ABCD 可以分割成 7 个小正方形，若 AB＝10，求
AD的长。
解：(1)设凉水杯水面下降的高度是x cm，
由题意，得π×102x＝π×52×8，
解得x＝2，故凉水杯的水面将下降2 cm。
(2)设最小正方形的边长为 x，则第二大的正方形的边长为 3x，根据
题意，得3×3x＋x＝10，
解得x＝1，
所以AD＝10＋3×1＝13。
19.(10分)已知关于x的一元一次方程＋m＝。
(1)当m＝－1时，求方程的解；
(2)当m为何值时，方程的解为x＝21。
解：(1)当m＝－1时，
原方程变为 －1＝，
2x－6＝－x－3，
3x＝3，
解得x＝1。
(2)将x＝21代入方程，得 ＋m＝，
化简，得7＋m＝，
14＋2m＝7m－1，
解得m＝3。
20.(10 分)课外活动时李老师到教室布置作业，有一道题只写到“学
校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需3天，徒弟单独完成需6天”，请补充一个问题并解答。
(1)请解答小刘所添加的问题：两人合作需要几天完成？
(2)请解答小张所添加的问题：现由徒弟先做 1 天，两人再合作，完
成后共得报酬 540元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该
如何分配？
(3)请你也提出一个可解答的问题： 现由师傅先做 1 天 ， 两人再合作
几天可完成？ ( 答案不唯一 )。
解：(1)设两人合作需要x天完成，
根据题意，得 x＝1，
解得x＝2，
经检验，符合题意，
答：两人合作需要2天完成。
(2)设徒弟先做1天，两人再合作y天完成，
根据题意，得 ＋y＝1，
解得y＝，
经检验，符合题意，
所以师傅完成的工作量为×＝，
报酬为540×＝300元；
徒弟完成的工作量为1－＝，
报酬为240元。
答：师傅应得的报酬为300元，徒弟应得的报酬为240元。21.(10分)若a，b，c，d均为有理数，现定义一种新运算＝ad－bc，
若＝18，求关于x的方程 ＝1－ 的解。
解：由题意，得2×5－4(1－m)＝18，
解得m＝3，
所以 ＝1－，
2(2x－9)＝10－5(3－x)，
4x－18＝10－15＋5x，
x＝－13。
22.(10 分)已知方程①：2－3(x＋1)＝0，方程②：－3k－2＝2x，若
方程①与方程②的解互为倒数，求k的值。
解：解方程①得x＝－，
解方程②得x＝，
当两个方程的解互为倒数时，
即－×＝1，解得k＝1。
23.(12 分)我们规定：若关于 x的一元一次方程 a＋x＝b(a≠0)的解为
x＝，则称该方程为“商解方程”。例如：2＋x＝4的解为x＝2且x
＝，则方程2＋x＝4是“商解方程”。请回答下列问题：
(1)判断4＋x＝是不是“商解方程”，并说明理由；
(2)若关于 x 的一元一次方程 6＋x＝m＋3 是“商解方程”，求 m 的
值。
解：(1)4＋x＝ 是“商解方程”，理由：方程4＋x＝的解为x＝，
因为÷4＝，所以4＋x＝是“商解方程”。
(2)由题意，得m－3＝，解得m＝。
24.(12 分)某文具店计划购进甲、乙两种地球仪共 100 只，这两种地
球仪的进价，售价如下表：
进价(元/只) 售价(元/只)
甲 20 30
乙 45 60
(1)购进甲、乙两种地球仪各多少只时，进货款恰好为3 000元？
(2)为确保乙种地球仪顺利销售，在(1)的条件下，超市决定对乙种地
球仪进行打折出售，两种地球仪全部售完后，总利润率为 20%，则
乙种地球仪每只打几折？
解：(1)设购进甲地球仪 x 只，则购进乙地球仪(100－x)只，由题
意，得20x＋45(100－x)＝3 000，解得x＝60，
购进乙地球仪的数量为100－x＝100－60＝40。
答：购进甲地球仪60只，购进乙地球仪40只。
(2)设乙种地球仪每只打a折，依题意得
60×(30－20)＋40(60×0.1a－45)＝3 000×20%，
解得a＝7.5。
答：乙种地球仪每只打7.5折。
25.(12分)阅读理解：A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B距离的
2倍，我们就称点C是【A，B】的好点，如图①，点C到点A的距
离是 2，点 C 到点 B 的距离是 1，那么点 C 是【A，B】的好点，但
点C不是【B，A】的好点。
知识运用：
(1)如图①，点A 是【C，D】的好点(选填“是”或“不是”)；
(2)如图②，M，N，E为数轴上三点，点M所表示的数为－2，点N
所表示的数为 4。若点M是【N，E】的好点，则点E所对应的数是
多少？
拓展提升：
(3)如图③，A，B 为数轴上两点，点 A 所表示的数为－20，点 B 所
表示的数为 40。现有一只电子蚂蚁 P 从点 B 出发，以每秒 5 个单位
长度的速度向左移动。当经过几秒时，点 P，点 A 和点 B 中有一个
点为其余两点的好点？
解：(2)设点E表示的数为x，
依题意，得|－2－4|＝2|－2－x|，
即－4－2x＝6或4＋2x＝6，
解得x＝－5或x＝1。答：点E所对应的数是－5或1。
(3)当运动时间为 t s 时，点 P 所表示的数为 40－5t，则 PB＝|40－5t
－40|＝5t，AB＝|－20－40|＝60，
AP＝|－20－(40－5t)|＝|60－5t|。
当点P为【A，B】的好点时，|60－5t|＝2×5t，
解得t＝4或t＝－12(不合题意，舍去)；
当点P为【B，A】的好点时，5t＝2|60－5t|，
解得t＝8或t＝24；
当点A为【P，B】的好点时，|60－5t|＝2×60，
解得t＝36或t＝－12(不合题意，舍去)；
当点A为【B，P】的好点时，60＝2|60－5t|，
解得t＝6或t＝18；
当点B为【P，A】的好点时，5t＝2×60，
解得t＝24；
当点B为【A，P】的好点时，60＝2×5t，
解得t＝6。
综上所述，经过 4 s，6 s，8 s，18 s，24 s 或 36 s 时，点 P，点 A
和点B中有一个点为其余两点的好点。
