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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 45 练 抛物线及其性质（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的
距离为5，则 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，
则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
3．（2021·全国·统考高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
二、填空题
4．（2023·全国·统考高考真题）已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的距离为 .
三、双空题
5．（2021·北京·统考高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴与于点
.若 ，则点 的横坐标为 ； 的面积为 ．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．两抛物线 与 的焦点间的距离为（ ）A． B． C． D．
2．抛物线 的准线方程是 ，则实数 的值（ ）
A． B． C．8 D．
3．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线
可近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水距离拱顶4米时，水面的
宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．4米 D．8米
5．焦点坐标为 的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的距离为3，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．抛物线 的焦点到圆 上点的距离的最大值为（ ）
A．6 B．2 C．5 D．8
8．已知抛物线的焦点在 轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（ ）A． B． 或
C． D． 或
9．已知圆 与抛物线 的准线相切，则 （ ）
A． B． C．8 D．2
10．O为坐标原点，F为抛物线 的焦点，M为C上一点，若 ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．8
11．已知抛物线C： 的顶点为O，经过点 ，且F为抛物线C的焦点，若
，则p＝（ ）
A． B．1 C． D．2
12．已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 上有一动点 ，且 ，则 的最小值
为（ ）
A．8 B．16 C．11 D．26
13．过抛物线 的焦点 且倾斜角为锐角的直线 与 交于 两点，过线段 的中点 且垂直
于 的直线与 的准线交于点 ，若 ，则 的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
14．设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过第一象限内的抛物线上一点 作 的垂线，垂足为
，设 ，且 为等边三角形， 的面积为 ，则 （ ）A．1 B． C． D．2
15．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点，若 ，则 的中
点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
16．已知抛物线 的焦点为 ，圆 （ ）经过点F，且圆心 在
抛物线上，则实数 等于（ ）
A． B． C． D．
17．已知抛物线 的焦点为F，点P在C上，若点 ，则 周长的最小值为（ ）．
A．13 B．12 C．10 D．8
18．已知F为抛物线 的焦点，P为该抛物线上的动点，点 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
19．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，若 为坐标原点，则（ ）
A．点 的坐标为 B．
C． D．
20．已知抛物线C： 的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过C上一点M作l的垂线，垂足为Q，
若四边形MQPF为矩形，则（ ）
A．准线l的方程为 B．矩形MQPF为正方形
C．点M的坐标为 D．点M到原点O的距离为
21．（多选）设斜率为2的直线l过抛物线 的焦点F，且和y轴交于点A，若 （O为坐标
原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A． B．
C． D．
22．已知抛物线 的焦点为 ，顶点为 ，点 在抛物线 上，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
23．设 为抛物线 ： （ ）的焦点， 为坐标原点， 为 上一点，且 ，
则（ ）
A．
B．
C．直线 的斜率为
D． 的面积为
24．设抛物线 ， 为其焦点， 为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 点到焦点的距离为3，则 的坐标为 .
C．若 ，则 的最小值为 .
D．过焦点 作斜率为2的直线与抛物线相交于 ， 两点，则
25．已知抛物线C： 的焦点为 点 在 上，且弦 的中点到直线 的距离
为5，则（ ）A． B．线段 的长为定值
C． 两点到 的准线的距离之和为14D． 的最大值为49
26．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为 上一点，且 ，直线 交 于另一点
，记坐标原点为 ，则（ ）
A． B． C． D．
27．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为 上一点，下列说法正确的是（ ）
A． 的准线方程为
B．直线 与 相切
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则 的周长的最小值为11
28．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，抛物线 的焦点与双曲线C的一个
焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的周长为16
C． 的面积为 D．
三、填空题
29．已知抛物线 上有一动点 ，则 与点 距离的最小值为 ．
30．设抛物线 （ ）的准线与直线 的距离为3，则抛物线的标准方程为 ．
31．若抛物线 上一点 到焦点的距离是该点到 轴距离的 倍，则 .
32．已知抛物线 上的点到准线的最小距离为 ，则抛物线的焦点坐标为 ．
33．已知抛物线C的方程为 ，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且 ，则直线l的倾斜角为 ．
34．已知抛物线 ： 的焦点为 ，设点 在抛物线 上，若以线段 为直径的圆过点 ，则
.
35．已知抛物线 的准线为 ，圆 与 相切，则抛物线 的焦点坐
标为 .
36．设 是抛物线 的焦点， 是抛物线上的两点，线段 的中点 的坐标为 ，若
，则实数 的值为 ．
37．抛物线 的焦点为 ，过 上一点 作 的准线 的垂线，垂足为 ，若直线 的斜率
为-2，则 的面积为 .
38．已知抛物 的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若 ，则P
到准线l的距离为 .
39．已知抛物线 的 的准线与 轴交于 点， ， 是 的焦点， 是 上一点，
，则 .
40．抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 是抛物线上一点，且 （ 为坐标原点），
，垂足为 ，则 的面积是 .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜
的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的
距离为（ ）A．0.25m B．0.5m C．1m D．2m
2．设O为坐标原点，F为抛物线C： 的焦点，直线 与抛物线C交于A，B两点，若
，则抛物线C的准线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
3．若点 在焦点为 的抛物线 上，且 ，点 为直线 上的动点，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．4
4．抛物线 的顶点为原点，焦点为 ，则点 到抛物线 上动点 的距离最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线 的顶点为O，焦点为F，准线为直线l，点E在抛物线上．若E在直线l上的
射影为Q，且Q在第四象限， ，则直线FE的倾斜角为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
6．已知抛物线 的焦点为F，点 ，若点A为抛物线任意一点，当 取最小值时，点
A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 是抛物线 上一点， 于 .若，则抛物线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．直线 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 ， 两点．若 ，则 （ ）
A．4 B． C．8 D．
9．已知抛物线 的焦点为 ，点 ，线段 与抛物线 相交于点 ，若抛物线
在点 处的切线与直线 垂直，则抛物线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上一点，过点 作抛物线的准线的垂线，垂足
为 ，若 ， 的面积为 ，则 （ ）
A．2 B．8 C． D．4
11．过抛物线 的焦点 的直线 交 于 两点，若直线 过点 ，且 ，则
抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
12．已知抛物线 上三点 、 、 ，直线 、 是圆 的两条切线，则直线
的方程为（ ）
A． B．
C． D．13．在平面直角坐标系 中，抛物线 为 轴正半轴上一点，线段 的垂直平分线 交 于
两点，若 ，则四边形 的周长为（ ）
A． B．64 C． D．80
14．已知抛物线 ，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一点，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，
垂足为Q，若 ，则 PFQ的面积为（ ）
△
A．4 B． C． D．
15．抛物线 的焦点为 ，过 且倾斜角为 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，点 为抛物线
上的动点，且点 在 的右下方，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 两点， ，线段 的
中点为 ，过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
17．直线 与抛物线 相交于A､B两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的焦点是 B．抛物线C的准线方程为
C． D．若 ， ，则
18．已知抛物线 的焦点为 ，顶点为 ，点 在抛物线 上，若 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．以MF为直径的圆与 轴相切
C． D．
19．已知抛物线 ： 的焦点 到准线的距离为2，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点，
为线段 的中点， 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．此抛物线上与焦点 的距离等于3的点的坐标是
B．若 ，则点 到 轴的距离为3
C． 是准线上一点， 是直线 与 的一个交点，若 ，则
D．
20．已知抛物线 的准线为 ，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于 ，
两点， 于 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设 ，则
D．过点 与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
21．已知抛物线 的焦点为F， ， 是C上相异两点，则下列结论正确的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，且 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 的最小值为22．设抛物线 的顶点为O，焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点，直线OM交抛物线的准线于
点N，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则O为线段MN的中点 B．若 ，则
C．若 ，则 D．存在点M，使得
三、填空题
23．若动点 到点 的距离比它到直线 的距离大1，则 的轨迹方程是 ．
24．已知F是抛物线 的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若 ，则
25．已知抛物线 的焦点F到准线的距离为4，点 ， 在抛物线C上，
若 ，则 .
26．已知抛物线 (其中 )的焦点为 ，点 在抛物线上，若 ，且
的最小值为 ，则点 到抛物线 的准线的距离为
27．已知 为抛物线 上的动点， 为抛物线的焦点，点 ，则 周长的最小值为
.
28．设抛物线 的焦点为 ，点 ，过点 的直线交 于 两点，直线 垂直
轴， ，则 ．
29．已知点 分别是抛物线 和圆 上的动点，点 到直线 的距离为 ，则 的最小值为 ．
30．已知点 为抛物线 上任意一点，点 为圆 上任意一点，点 ，则
的最小值为 .
31．已知点 ，点 在抛物线 上运动，点 在圆 上运动，则 的最小值
.
32．已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过AB的中点M作y轴
的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若 ，则M点的横坐标为
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知抛物线 过点 ，其准线与 轴交于点 ，直线 与抛物线的另一个交点为
，若 ，则实数 为
A． B． C． D．
2． 是抛物线 上一点， 是圆 关于直线 的对称曲线 上一点，则
的最小值是
A．2 B． C． D．
3．抛物线 与圆 交于 、 两点，圆心 ，点 为劣弧 上不同于 、
的一个动点，平行于 轴的直线 交抛物线于点 ，则 的周长的取值范围是
A． B． C． D．4．已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 在抛物线 上，过线段 的中点 作抛物线
的准线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
5．已知抛物线 ，圆 ，若点 、 分别在 、 上运动，且设点 ，
则 的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
6．抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的交点为 ，过点 作直线与此抛物线交于 ， 两点，若
，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．设抛物线 ( )的焦点为 ,准线为 ,过焦点的直线分别交抛物线于 两点,分别过 作
的垂线,垂足为 .若 ,且三角形 的面积为 ,则 的值为
A． B． C． D．
8．如图所示，已知抛物线 过点 ，圆 . 过圆心 的直线 与抛物线
和圆 分别交于 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
9．已知抛物线 ，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线 的
垂线，垂足为P，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
10．已知点 是抛物线 ： （ ）上的动点，若 的最小值为1，则抛
物线 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
11．抛物线 的焦点为F，点 为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，
则 的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
12．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 ，直线 与抛物线 交于点 （ 在第一象限
内)，与其准线交于点 ，若 ，则点 到 轴距离为
A． B． C． D．二、多选题
13．已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交抛物线于 两点， 为坐标原点，若 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线 的斜率为
C． D．
14．已知抛物线C： 与圆O： 交于A，B两点，且 ，直线 过C的焦点
F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．若直线 的斜率为 ，则
B． 的最小值为
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为 ，则点M的横坐标为
D．若点 ，则 周长的最小值为
15．如图所示，抛物线E： 的焦点为F，过点 的直线 ， 与E分别相交于
， 和C，D两点，直线AD经过点F，当直线AB垂直于x轴时， ．下列结论正确
的是（ ）
A．E的方程为
B．C．若AD，BC的斜率分别为 ， ，则
D．若AD，BC的倾斜角分别为 ， ，则 的最大值为
16．设O为坐标原点， F为抛物线C： 的焦点，过焦点F且倾斜角为 的直线 与抛物线C
交于M，N两点（点M在第二象限），当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． MON的面积的最小值为
△
C．存在直线 ，使得
D．分别过点M，N且与抛物线相切的两条直线互相垂直
17．已知抛物线 上三点 ， ， ，F为抛物线的焦点，则下列结论正确
的是（ ）
A．抛物线的准线l的方程为
B．若F为 的重心，则 成等差数列
C．若直线AC过焦点F，过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线l于点D，则直线DC平行于抛物
线的对称轴
D．若直线AC过焦点F，准线l上存在一点M满足 为等边三角形，则直线AC的斜率为±
三、填空题
18．设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过抛物线上一点A作 的垂线，垂足为 ，设
，若 与 相交于点 的面积为 ，则抛物线的方程为 .
19．已知抛物线 ，焦点为 ，定点 .若点M，N是抛物线C上的两相异动点，M，N不关于y轴对称，且满足 ,则直线MN恒过的定点的坐标为 .
20．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 在第一象限交于点 ，与抛
物线 的准线交于点 ，过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 .若 ， ，则抛
物线 的标准方程是 .
21．已知抛物线 的顶点为O，焦点为F，动点B在C上，若点B，O，F构成一个斜三角
形，则 ．
22．已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交抛物线与 两点，且 ，
则拋物线的准线方程为 .
23．已知抛物线 的焦点为 ，平行 轴的直线 与圆 交于 两点（点 在点
的上方）， 与 交于点 ，则 周长的取值范围是
24．已知点 在抛物线 上， 为抛物线 的焦点，圆 与直线
相交于 两点，与线段 相交于点 ，且 ．若 是线段 上靠近 的四等分点，
则抛物线 的方程为 ．
25．抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物
线的对称轴平行．已知抛物线 的焦点为F，直线 ，点P，Q分别是C，l上的动点，若Q
在某个位置时，P仅存在唯一的位置使得 ，则满足条件的所有 的值为 ．
26．过抛物线 的焦点 的直线 与 相交于 两点，且 两点在准线上的射影分别为 ， ，则 .
27．如图，过抛物线 的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，若 与 面积之和
的最小值为32，则抛物线的方程为 ．
