文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 31 圆锥曲线中焦半径和焦点弦公式的应用（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、椭圆的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 为椭圆上任意点，
则椭圆的焦半径 和 可按下面的公式计算：
（1） ；（2） （记忆：左加右减）
【焦半径形式2】椭圆 的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设 ，则椭圆
的焦半径 ，若延长 交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦 .
二、双曲线的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 为双曲线任意
一点，则双曲线的焦半径 和 可按下面的公式计算：
（1） ；（2） （记忆：左加右减）【焦半径形式2】双曲线 的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设 ，
则双曲线的焦半径 ，若直线 交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦
.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）
三、抛物线的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】设点 在抛物线上， 、 ， 是抛物线的焦点弦，则抛物线的
坐标版焦半径、焦点弦公式如下表：
标准方程
图形
焦半径公式
焦点弦公式
【焦半径形式2】直线AB过抛物线 的焦点，交抛物线于A(x，y)，B(x，y)两点，设α
1 1 2 2
为AB的倾斜角（1）弦长AB＝
（2）|AB|＝x＋x＋p，x＋x≥ ＝p，即当x＝x 时，弦长最短为：（通径）2p.
1 2 1 2 1 2
（3） ， ， ＋为定值.
二、题型精讲精练
【典例 1】椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点P在椭圆上，则 的取值范围为
_______.
【解析】由题意， ， ， ，设 ，其中 ，
则 ， ，所以
【典例2】双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，双曲线上的一点P满足 ，则点
P的坐标为_______.
【解析】由题意， ， ， ， ，由焦半径公式， ， ，
因为 ，所以 ，解得： 或 （舍去）
代入双曲线的方程可求得 ，所以P的坐标为 .
【典例3】过抛物线 焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若 ，则 _____.
【解析】设 ，则 ，所以 ，故 .【典例4】抛物线 的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l被抛物线C截得的弦长为______.
【解析】解法1：由题意， ，设 ，代入 整理得： ，
设两根为 和 ，则 ，故直线l被抛物线C截得的弦长 .
解法2：直线l被抛物线C截得的弦长 .
【题型训练-刷模拟】
1 . 椭圆的焦半径和焦点弦公式
一、单选题
1．已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点M在椭圆C上，当 取最大值时，三角形
面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．已知动点 在椭圆 ： 上， 为椭圆 的右焦点，若点 满足 ，且 ，则
的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．13．已知椭圆 的右焦点为 ，若过 的直线 与椭圆 交于 两点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．已知 为椭圆 上任意一点，EF为圆 的任意一条直径，则 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为第一象限内 上一点．若
，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆 ： 的右焦点为 ，点 ， 为第一象限内椭圆上的两个点，且
， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
7．如图，椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，过点 ， 分别作弦 ， .若 ，则
的取值范围为（ ）A． B． C． D．
8．已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ．倾斜角为 的直线与 交于 两点，
并且满足 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆 和 ，椭圆 的左右焦点分别为 、 ，过椭圆上
一点 和原点 的直线交圆 于 、 两点.若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 、 是椭圆上位于 轴上方的两点，且，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知椭圆C的离心率 ，左右焦点分别为 ，P为椭圆C上一动点，则 的取值范围为
.
12．已知椭圆 ，线段 的两个端点 在椭圆上移动，且 是 的中点，则
的最大值是 ．
13．设 、 分别为椭圆 ： 的左、右两个焦点，过 作斜率为1的直线，交 于 、 两点，
则
14．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为 ，且 ，若第一象限的
点 、 在 上， ， ， ，则直线 的斜率为 .
15．若直线 ： （其中 ）与圆 相切，与椭圆 ： 交于点 ，
， 为其右焦点，则 的周长为 .
16．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率为 ，点 在椭圆上，连接 并
延长交 于点 ，连接 ，若存在点 使 成立，则 的取值范围为 .
2 . 双曲线的焦半径和焦点弦公式
一、单选题
1．已知双曲线 上的点到焦点的最小距离为 ，且 与直线 无交点，则
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
2．已知双曲线 的右支上的点 ， 满足 ， 分别是双曲线的左右焦
点），则 为双曲线 的半焦距）的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 作一条倾斜角为30°的直线
与双曲线C在第一象限交于点M，且 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知动点P在双曲线C： 上，双曲线C的左、右焦点分别为 ， ，则下列结论：
①C的离心率为2；
②C的焦点弦最短为6；
③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；
④当动点P在双曲线C的左支上时， 的最大值为 ．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
5．已知 是双曲线 .左，右焦点，若 上存在一点 ，使得
成立，其中 是坐标原点，则 的离心率的取值范围是 .
6．设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线 的右支交于 ， 两
点，且满足 （ 是坐标原点），则直线 的斜率为 .3 . 抛物线的焦半径和焦点弦公式
一、单选题
1．过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 两点，且 ，则直线 的斜
率可能为（ ）
A． B． C． D．
2．已知斜率为 的直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，过 ， 作
轴的垂线，垂足分别为 ， ，若 ，则直线 的斜率 等于（ ）
A．1 B． C． D．
3．过抛物线 的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且 ，则直线l的斜率是
（ ）
A． B． C． D．
4．过抛物线 的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交于A，B两点，若
，则直线AB的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，直线 的斜率为 且经过点 ，与抛物线 交于 ，
两点（点 在第一象限），与抛物线 的准线交于点 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
① ；② 为 的中点；③ ；④ ．A．①② B．②③ C．③④ D．①②③
6．已知过抛物线 的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且 ，抛物线的准线l
与x轴交于点C， 于点 ，若四边形 的面积为 ，则准线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线与 交于 两点（点 在第一象
限），与 交于点 ，若 ， ，则 （ ）
A． B．3 C．6 D．12
8．过抛物线 的焦点F作直线交C于A，B，过A和原点的直线交 于D，则 面积的
最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
9．已知 是抛物线 ： 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ，若 为线
段 的中点，且 ，则 .
10．已知抛物线 ，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段 的长是焦半径
长的3倍，则直线 的斜率为 ．
11．已知O为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，过 的直线与 交于A，B两点（A位于第一象
限），且 ，则直线OA的斜率为 ．
12．已知抛物线 的焦点 和准线 ，过点 的直线交 于点 ，与抛物线的一个交点为 ，且，则
13．已知抛物线 ，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有 ，准线与x轴交于
点C，作A到准线的垂线，垂足为 ，则当四边形 的面积为 时，p的值为 ．
14．已知双曲线 ： 与抛物线 ： 的焦点 重合，过点 作直线
与抛物线 交于 、 两点（ 点在 轴上方）且满足 ，若直线 只与双曲线右支相交于两点，
则双曲线 的离心率 的取值范围是 ．
15．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与抛物线 交于 两点（ 在第一象限），若
，则直线 的斜率为 .
16．焦点为 的抛物线 上有不同的两点 ，且满足 ，若线段 的中点 到抛
物线的准线的距离为 ，则 .
