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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 45 练 抛物线及其性质（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的
距离为5，则 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，点 在 上，
所以 到准线 的距离为 ，
又 到直线 的距离为 ，
所以 ，故 .
故选：D.
2．（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，
则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点 的横坐标，进而求得点 坐标，即可
得到答案.
【详解】由题意得， ，则 ，
即点 到准线 的距离为2，所以点 的横坐标为 ，不妨设点 在 轴上方，代入得， ，
所以 .
故选：B
3．（2021·全国·统考高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.
二、填空题
4．（2023·全国·统考高考真题）已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为 ，最后利
用点的坐标和准线方程计算点 到 的准线的距离即可.
【详解】由题意可得： ，则 ，抛物线的方程为 ，
准线方程为 ，点 到 的准线的距离为 .
故答案为： .三、双空题
5．（2021·北京·统考高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴与于点
.若 ，则点 的横坐标为 ； 的面积为 ．
【答案】 5
【分析】根据焦半径公式可求 的横坐标，求出纵坐标后可求 .
【详解】因为抛物线的方程为 ，故 且 .
因为 ， ，解得 ，故 ，
所以 ，
故答案为：5； .
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．两抛物线 与 的焦点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出两抛物线的焦点坐标，即可得出焦点间的距离.
【详解】由题意，
抛物线 与 的焦点坐标分别为 ，
∴两抛物线的焦点间的距离为 ．
故选：B2．抛物线 的准线方程是 ，则实数 的值（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的准线方程列式得出结果.
【详解】由题意可得： ，解得 .
故选：A.
3．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先把抛物线方程转化为标准方程，再求出焦点坐标即可.
【详解】抛物线 可化为 .它的焦点坐标是 .
故选：B.
4．石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线
可近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水距离拱顶4米时，水面的
宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．4米 D．8米
【答案】B
【分析】设抛物线C： ，由题意可知点 在抛物线C上，求得 ，即可得解.【详解】设抛物线C： ，
由题意可知点 在抛物线C上，则 ，解得 ，
故抛物线C的焦点到准线的距离是2米.
故选：B.
5．焦点坐标为 的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据焦点位置写出抛物线的标准方程.
【详解】焦点坐标为 ，则抛物线开口向左，焦点在 轴上，
故抛物线的标准方程是 .
故选：D
6．已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的距离为3，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】根据抛物线方程写出其准线方程，再利用抛物线定义即可求得结果.
【详解】如下图所示：
根据题意可得抛物线的准线方程为 ，
若 到直线 的距离为 ，则 到抛物线的准线 的距离为 ，
利用抛物线定义可知 .故选：A
7．抛物线 的焦点到圆 上点的距离的最大值为（ ）
A．6 B．2 C．5 D．8
【答案】A
【分析】求出抛物线的焦点坐标，再利用圆的性质求解作答.
【详解】拋物线 的焦点为 ，
圆C： 的圆心为 ，半径 ， ，
所以F到圆C上点的距离的最大值为 .
故选：A
8．已知抛物线的焦点在 轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义及标准方程计算即可.
【详解】由题意可知该抛物线的焦点坐标为 或 ，
所以其对应标准方程为为 或 .
故选：D
9．已知圆 与抛物线 的准线相切，则 （ ）
A． B． C．8 D．2
【答案】D【分析】根据抛物线的几何性质，直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】 抛物线 的准线为 ，
又圆 与该抛物线的准线相切,
圆心 到准线 的距离：
.
故选： D.
10．O为坐标原点，F为抛物线 的焦点，M为C上一点，若 ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【分析】首先根据焦半径公式求点 的坐标，再代入面积公式，即可求解.
【详解】设点 ， ,所以 ，得 ， ,
所以 的面积 .
故选：C
11．已知抛物线C： 的顶点为O，经过点 ，且F为抛物线C的焦点，若
，则p＝（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义结合 可求得 ，然后将点 的坐标代入抛物线方程可求出 的
值.
【详解】因为点 在抛物线上， ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，解得 .
故选：C
12．已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 上有一动点 ，且 ，则 的最小值
为（ ）
A．8 B．16 C．11 D．26
【答案】C
【分析】根据 ，再结合图形求解即可.
【详解】因为抛物线 ： ，所以抛物线 的准线为 ，
记抛物线 的准线为 ，作 于 ，如图所示：
因为 ， ，所以当 ， ， 共线时， 有最小值，最小值为 .
故选：C.
13．过抛物线 的焦点 且倾斜角为锐角的直线 与 交于 两点，过线段 的中点 且垂直
于 的直线与 的准线交于点 ，若 ，则 的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据题意结合抛物线的定义分析可得 ， ，进而可得 的倾斜角和斜率.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
如图，过 作准线的垂线交准线于 ，
因为 ，所以 ，
可知 与 轴的正方向的夹角为 ，则 的斜率为 ，
故选：A.
14．设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过第一象限内的抛物线上一点 作 的垂线，垂足为
，设 ，且 为等边三角形， 的面积为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A【分析】根据题意，由抛物线的性质，分别表示出 的长，然后结合 的面积为 列出方程，
即可得到结果.
【详解】
过点 ，做 轴于点 ，因为 ， ，且 为等边三角形，
则 ， ，则 ， ，
，则 .
故选：A
15．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点，若 ，则 的中
点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可．
【解答】解：已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点，
设抛物线的准线交 轴于点 ， 的中点为 ，
过 作准线的垂线使得 ， ， ， 轴于 ，
设 ，又 ，则 ， ，
则 ，又 ，则 ，
又 ，则 ，即 ，则 ，
故选：C．
16．已知抛物线 的焦点为 ，圆 （ ）经过点F，且圆心 在
抛物线上，则实数 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出焦点 及圆心 的坐标，再根据给定信息列出方程组并求解作答.
【详解】抛物线 的焦点 ，圆 的圆心 ，
依题意， ，解得 ，而 ，则 ，
所以实数 等于4.
故选：B17．已知抛物线 的焦点为F，点P在C上，若点 ，则 周长的最小值为（ ）．
A．13 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.
【详解】 ，故 ,
记抛物线 的准线为 ，则 ： ，
记点 到 的距离为 ，点 到 的距离为 ，
则 .
故选：A.
18．已知F为抛物线 的焦点，P为该抛物线上的动点，点 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】设点 ，由点与点距离公式计算 以及 的长，代入所求结合二次函数的性质
可求出最大值.
【详解】设 ，则 ，又 ，所以 ，则
.令 ，则 ， ，即时， 取得最大值，此时 .
故选：D
二、多选题
19．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，若 为坐标原点，则（ ）
A．点 的坐标为 B．
C． D．
【答案】BD
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线的定义结合已知可求出点 的坐标，从而可得答案.
【详解】由题可知 ，
因为点 在抛物线 上，且 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
故选：BD.
20．已知抛物线C： 的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过C上一点M作l的垂线，垂足为Q，
若四边形MQPF为矩形，则（ ）
A．准线l的方程为 B．矩形MQPF为正方形
C．点M的坐标为 D．点M到原点O的距离为
【答案】ABD
【分析】各选项根据抛物线的定义和性质可以得出结论.
【详解】由抛物线C： ，得其准线l的方程为 ，A正确；由抛物线的定义可知 ，又因为四边形MQPF为矩形，所以四边形MQPF为正方形，B正确；
所以 ，点M的坐标为 ，所以 ，C错误，D正确．
故选：ABD．
21．（多选）设斜率为2的直线l过抛物线 的焦点F，且和y轴交于点A，若 （O为坐标
原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，表示直线l的方程并求出横纵截距，表示三角形的面积进行求解.
【详解】抛物线 焦点坐标为 ，直线l的方程为 .
令 ，得 ，故 的面积为 ，
故 .
故选：BD.
22．已知抛物线 的焦点为 ，顶点为 ，点 在抛物线 上，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据抛物线的定义，结合点 在抛物线上，对每个选项逐一求解即可.
【详解】对 ：由题意可知 ，由 ，可得 ，故A正确；
对B：当 时， ，解得 ，即 ，故B错误；对C： ，故C错误；
对D： ，故D正确；
故选：AD.
23．设 为抛物线 ： （ ）的焦点， 为坐标原点， 为 上一点，且 ，
则（ ）
A．
B．
C．直线 的斜率为
D． 的面积为
【答案】ABD
【分析】根据抛物线的标准方程确定 的值，得抛物线方程与焦点坐标，再由抛物线定义求得 的坐标，
确定直线 的斜率与 的面积，逐项判断即可得答案.
【详解】由题意得 ，又 ，故解得 ，所以抛物线 的方程为 ，焦点 ，故
A，B正确；
由抛物线定义及 ，所以 代入抛物线方程可得 得 ，
所以 ，故C不正确；
则 的面积 ，故D正确.
故选：ABD.24．设抛物线 ， 为其焦点， 为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 点到焦点的距离为3，则 的坐标为 .
C．若 ，则 的最小值为 .
D．过焦点 作斜率为2的直线与抛物线相交于 ， 两点，则
【答案】AC
【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.
【详解】抛物线 ， .
对于A， ， ，A正确；
对于B，设 ， ， ， 的坐标为 .B错误；
对于C, ,C正确；
对于D，直线 ，联立 ，得： ， , ,D错误.
故选：AC.
25．已知抛物线C： 的焦点为 点 在 上，且弦 的中点到直线 的距离
为5，则（ ）
A． B．线段 的长为定值
C． 两点到 的准线的距离之和为14D． 的最大值为49
【答案】CD
【分析】根据抛物线的焦点即可判断选项A，根据抛物线的定义及性质求线段 的长即可判断选项B，
利用抛物线定义即可判断选项C，利用基本不等式的性质即可判断选项D.
【详解】由抛物线 的焦点为 ，所以 ，则 ，A错误；
设 ， ，
则由弦 的中点到直线 的距离为5，可得 ，
所以 ，当 过点 时，由抛物线的定义可得 ；
当 时， ，
所以 的长不是定值，B错误；
两点到 的准线的距离之和与 相等，值为14，C正确； ，当
且仅当 时等号成立，
故 的最大值为49，D正确．
故选：CD．
26．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为 上一点，且 ，直线 交 于另一点
，记坐标原点为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解.
【详解】依题意，抛物线C 的准线为 ，
因为 为C上一点，且 ，则 ，
解得 ，故A正确；
可得抛物线C: ，焦点为 ，
因为A为C上一点，则 4，所以 ，故B错误；若 ，则线 的方程为 ，
代入 ，得 ，整理得 ，解得 或 ，
因为B与A分别在x轴的两侧，可得 ；
同理：若 ，可得 ；
综上所述： 或 ，故C错误；
若 ，则 ，则 ；
同理：若 ，可得 ；
故D正确；
故选：AD.
27．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为 上一点，下列说法正确的是（ ）
A． 的准线方程为
B．直线 与 相切
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则 的周长的最小值为11
【答案】BCD
【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，
消元，由 判断B，设点 ，表示出 ，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化
求出 的周长的最小值，即可判断D.
【详解】解：抛物线 ： ，即 ，所以焦点坐标为 ，准线方程为 ，故A错误；由 ，即 ，解得 ，所以直线 与 相切，故B正确；
设点 ，所以 ，
所以 ，故C正确；
如图过点 作 准线，交于点 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 、 、 三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD
28．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，抛物线 的焦点与双曲线C的一个
焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的周长为16
C． 的面积为 D．
【答案】AB
【分析】根据双曲线的焦点即可求解抛物线的定义，即可判断A，联立双曲线方程与抛物线方程，即可求
解交点坐标，利用点点距离即可求解长度，即可判断BC,由余弦定理即可判断D.
【详解】由已知，双曲线右焦点 ，即 ，故A项正确．且抛物线方程为 ．
对于B项，联立双曲线与抛物线的方程 ，整理可得． ，解得 或 （舍去负值），
所以 ，代入 可得， ．
设 ，又 ，所以 ， ， ，则
的周长为16，故B项正确；
对于C项，易知 ，故C项错误；
对于D项，由余弦定理可得， ，故D项错误．
故选：AB
三、填空题
29．已知抛物线 上有一动点 ，则 与点 距离的最小值为 ．
【答案】
【分析】设 ，根据两点距离公式可得 ，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】设 ，
则 ，
当 时， 取得最小值12，
故 ．30．设抛物线 （ ）的准线与直线 的距离为3，则抛物线的标准方程为 ．
【答案】 或
【分析】先化为标准方程 ，得到准线方程，从而得到 或 ，求出 的值，得到答
案.
【详解】 可化为 ，
其准线方程为 .
由题意知 或 ，解得 或 ，
故所求抛物线的标准方程为 或 .
故答案为： 或
31．若抛物线 上一点 到焦点的距离是该点到 轴距离的 倍，则 .
【答案】
【分析】首先求出焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义及已知可得 ，解得即可.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
所以抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，
若抛物线 上一点 到焦点的距离是该点到 轴距离的 倍，则 ，
则 ．
故答案为： ．
32．已知抛物线 上的点到准线的最小距离为 ，则抛物线的焦点坐标为 ．【答案】
【分析】抛物线上的点到准线的最小距离即为顶点到准线的距离，则参数 可得，继而焦点坐标可求.
【详解】抛物线 上的点 到准线的距离 ，
所以 ，又抛物线 上的点到准线的最小距离为 ，
所以 ，即焦点坐标 .
故答案为： .
33．已知抛物线C的方程为 ，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于
A，B两点，且 ，则直线l的倾斜角为 ．
【答案】
【分析】结合抛物线的定义，结合几何性质，即可求直线的倾斜角.
【详解】如图，直线 为抛物线的准线，过点 分别作 垂直于 ，作 ，
因为 ， ，且 ，所以 ,
则 ， ，
所以 ，则 ，即直线 的倾斜角为 .故答案为：
34．已知抛物线 ： 的焦点为 ，设点 在抛物线 上，若以线段 为直径的圆过点 ，则
.
【答案】
【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得 ，进而得斜率关系，联立直线与抛物线的方程即可
得交点 ，由焦半径公式即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，焦点 的坐标为 .
设 ，则直线 的斜率为 ，因为以线段 为直径的圆过点 ，
所以 ，所以直线 的斜率为 ，
直线 的方程为
联立 解得 ， ,
故答案为：35．已知抛物线 的准线为 ，圆 与 相切，则抛物线 的焦点坐
标为 .
【答案】
【分析】由题设抛物线准线为 ，结合与已知圆的相切关系求得 ，进而写出抛物线焦点坐标.
【详解】由题意，抛物线准线为 ，且与圆 与 相切，
圆心 且半径为3，所以 或 都是圆 的切线，
又 ，则 ，可得 ，故抛物线 的焦点坐标为 .
故答案为：
36．设 是抛物线 的焦点， 是抛物线上的两点，线段 的中点 的坐标为 ，若
，则实数 的值为 ．
【答案】2
【分析】设 ，根据焦点弦公式得 ，再利用中点公式即得到 的值.
【详解】 是抛物线 的焦点，
，准线方程 ，
设 ，， ，
线段AB的中点横坐标为 ， 即 .
故答案为：2.
37．抛物线 的焦点为 ，过 上一点 作 的准线 的垂线，垂足为 ，若直线 的斜率
为-2，则 的面积为 .
【答案】40
【分析】首先设点 ，利用斜率公式，以及抛物线方程，可求点 的坐标，再结合三角形面积公式，
即可求解.
【详解】如图，由抛物线的方程可得 ，准线方程为 ，设 ，由题意可得 ，所以
，可得 ，代入抛物线的方程可得 ，所以 ，即 ，所以
，所以 .
故答案为：40
38．已知抛物 的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若 ，则P
到准线l的距离为 .【答案】5
【分析】结合图形，利用相似关系，以及抛物线的几何性质，即可求解.
【详解】由抛物线 ，可知 ，即 为坐标原点），
过点 作 轴的垂线，垂足为 ，由三角形相似可知
所以 ，所以点 到准线 的距离为5.
故答案为：5
39．已知抛物线 的 的准线与 轴交于 点， ， 是 的焦点， 是 上一点，
，则 .
【答案】
【分析】设 ，利用向量的关系式，求得点 的坐标，代入抛物线方程即可．
【详解】抛物线 的准线为 ，
由题意 ， ，
设 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，代入 得 ，解得 （负值舍），
所以 .
故答案为：
40．抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 是抛物线上一点，且 （ 为坐标原点），
，垂足为 ，则 的面积是 .
【答案】
【分析】设 ，过 作 轴于 ，根据题意得到点 的坐标为 ，代入抛物线的方
程，求得 ，进而求得 的面积，得到答案.
【详解】由抛物线方程可知 ，准线 的方程为 ，如图所示，
设 ，其中 ，过 作 轴于 ，
在直角 中， ，
由 ，可得 ，故 ，
所以点 的坐标为 ，
将此代入抛物线方程可得 ，解得 或 （舍去）
所以点 的坐标为 ，所以 .
故答案为： .【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜
的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的
距离为（ ）
A．0.25m B．0.5m C．1m D．2m
【答案】D
【分析】建立坐标系，求出抛物线方程即可求解.
【详解】以该抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：
设此抛物线方程为 ，依题意点 在此抛物线上，
所以 ，解得 ，则该抛物线顶点到焦点的距离为 .
故选：D2．设O为坐标原点，F为抛物线C： 的焦点，直线 与抛物线C交于A，B两点，若
，则抛物线C的准线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得 ，然后结合抛物线的定义，列出方程，即可求得结果.
【详解】设直线 与 轴交点为 ，
由抛物线的对称性，易知 为直角三角形，且 ，
，即 ，去绝对值，解得 或 ，
所以抛物线的准线方程为 或 .
故选：C.
3．若点 在焦点为 的抛物线 上，且 ，点 为直线 上的动点，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】先求得 点的坐标，求得 关于直线 的对称点 ，根据三点共线求得 的最小值.
【详解】抛物线 的焦点 ，准线 ，
，则 ，不妨设 ，
关于直线 的对称点为 ，
由于 ，所以当 三点共线时 最小，所以 的最小值为 .
故选：A
4．抛物线 的顶点为原点，焦点为 ，则点 到抛物线 上动点 的距离最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得抛物线 的方程，设出 点的坐标，根据两点间的距离公式以及二次函数的性质求得正确答
案.
【详解】抛物线 的焦点为 ，所以抛物线 的方程为 ，
且 ，所以抛物线 的方程为 ，
设 ，则 ，
所以当 时， 取得最小值为 .
故选：B
5．已知抛物线 的顶点为O，焦点为F，准线为直线l，点E在抛物线上．若E在直线l上的
射影为Q，且Q在第四象限， ，则直线FE的倾斜角为（ ）
A． B． C． 或 D． 或【答案】B
【分析】根据抛物线的定义与性质解三角形求对应线段夹角及直线倾斜角即可.
【详解】如图所示，易知 ，
所以 ，
故 ,
又由抛物线定义可知 ，
故直线 的倾斜角为 .
故选：B.
6．已知抛物线 的焦点为F，点 ，若点A为抛物线任意一点，当 取最小值时，点
A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设点A在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义把问题转化为求 取得最小值，数形
结合求解即可.
【详解】设点A在准线上的射影为D，如图，则根据抛物线的定义可知 ，
求 的最小值，即求 的最小值，
显然当D，B，A三点共线时 最小，
此时 点的横坐标为1，代入抛物线方程可知 .
故选：B.
7．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 是抛物线 上一点， 于 .若
，则抛物线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义求得 ，然后在直角三角形中利用 可求得 ，从而可得
答案．
【详解】如图，连接 ，设准线与 轴交点为
抛物线 的焦点为 ，准线 ：
又抛物线的定义可得 ，又 ，所以 为等边三角形，
所以 ，所以在 中， ，则 ，所以抛物线 的方程为 .
故选：C.
8．直线 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 ， 两点．若 ，则 （ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】首先根据焦半径公式并结合条件，得到点 的坐标，即可求得弦长 .
【详解】抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为 ，
设 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，得 ，①
因为 ，所以 ，即 ，②
由方程①②可得 ， ，
所以 .
故选：C
9．已知抛物线 的焦点为 ，点 ，线段 与抛物线 相交于点 ，若抛物线
在点 处的切线与直线 垂直，则抛物线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点 的坐标为 ，利用导数求得抛物线 在点 处的切线斜率，利用直线垂直时斜率的
关系求解即可．.【详解】抛物线 的焦点为 ，设点 的坐标为 ，
抛物线方程变形为 ，由 ，所以抛物线 在点 处的切线斜率为 ，
由抛物线 在点 处的切线与直线 垂直，得 ，即 ，所以 .
因为点 在线段 上，所以 ，所以 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
故选：D
10．已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上一点，过点 作抛物线的准线的垂线，垂足
为 ，若 ， 的面积为 ，则 （ ）
A．2 B．8 C． D．4
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义以及三角形的面积，转化求解p即可．
【详解】
由已知结合抛物线的定义可得 ，又 ，
所以 是正三角形，
连接点 与 的中点 ，则 ，
又点 到准线的距离为 ，所以 ， ，
因为 的面积为 ，
∴ ，得 ，
故选：C.
11．过抛物线 的焦点 的直线 交 于 两点，若直线 过点 ，且 ，则
抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出直线 的方程，联立抛物线方程，设出 坐标，得到两根之和，两根之积，根据弦长列出
方程，求出答案.
【详解】因为直线 过点 ，所以直线 的方程为 .
由 得， .
设 ，则 .
因为，
整理得 ，解得 ，
所以抛物线 的准线方程是 .
故选：D.
12．已知抛物线 上三点 、 、 ，直线 、 是圆 的两条切线，则直线
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用点 求抛物线方程，利用相切关系求切线 、 ，再分别联立直线和抛物线求出
点 、 ，即求出直线 方程.
【详解】因为点 在抛物线 上，故 ，即 ，抛物线方程为 ，
设过点 与圆 相切的直线的方程为： ，
即 ，
则圆心 到切线的距离 ，解得 ，
如图，直线 ，直线 .联立 ，得 ，
故 ，由 得 ，故 ，
联立 ，得 ，
故 ，由 得 ，故 ，
故 ，
又由 、 在抛物线上可知，
直线 的斜率为 ，
故直线 的方程为 ，即 .
故选：B.
13．在平面直角坐标系 中，抛物线 为 轴正半轴上一点，线段 的垂直平分线 交 于
两点，若 ，则四边形 的周长为（ ）
A． B．64 C． D．80
【答案】A【分析】线段 的垂直平分线 交 于 两点,结合抛物线的对称性可得 与 互相平分,则四边形
为菱形,可设 点坐标,通过几何关系求出 点坐标,在代入抛物线方程即可求解.
【详解】因为线段 的垂直平分线 交 于 两点，
所以结合抛物线的对称性可得 与 互相平分,则四边形 为菱形.
设点 且 则线段 的垂直平分线 方程为 ，
令 与 轴交于点 ,又 ，
则在直角三角形 中
继而可得 ，
所以 点坐标为 ，
代入抛物线 ，可得 ，解得 ，
直角三角形 中 ,
所以四边形 的周长为 .
故选：A.
14．已知抛物线 ，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一点，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，
垂足为Q，若 ，则 PFQ的面积为（ ）
△
A．4 B． C． D．【答案】C
【分析】设点P的坐标为 ，由题意△PFQ为等边三角形，求得点P的坐标及 ，从而可得 ．
【详解】抛物线的准线方程为y＝－1，焦点为 ，
设点P的坐标为 ，则点Q的坐标为 ， ，
由抛物线的定义知 ，因为 ，
所以△PFQ为等边三角形，所以 ，又 ，
所以 ，n＝3，所以点P的坐标为 ，
所以 ，所以 ．
故选：C．
15．抛物线 的焦点为 ，过 且倾斜角为 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，点 为抛物线
上的动点，且点 在 的右下方，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出直线方程后，联立抛物线方程，求出弦长，再由点到直线距离得出三角形高，利用二次函数
求最值即可.
【详解】由 知 ，则直线 为 ，设 ，则D到直线 的距离为 ，
又点 在 的右下方，所以 ，
联立方程 ，消元得 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
所以
故当 时， 有最大值 .
故选：A
16．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 两点， ，线段 的
中点为 ，过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由抛物线定义及勾股定理得到 ， ，由基本不等式求出最值.【详解】设 ，
因为 ，所以 ，
过点 分别作 准线于点 ， ，
由抛物线定义可知 ，
由梯形中位线可知 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，
故 ， 的最小值为 .
故选：B
二、多选题
17．直线 与抛物线 相交于A､B两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的焦点是 B．抛物线C的准线方程为
C． D．若 ， ，则
【答案】AC【分析】由抛物线方程写出焦点、准线判断A、B；联立直线与抛物线，应用韦达定义求
的值判断C；根据抛物线定义判断D.
【详解】由 ，则其焦点为 ，准线方程为 ，A对，B错；
联立直线与抛物线得 ，则 ，而 ，
由 ，即 ，故 ，C对；
显然直线 不过焦点 ，由抛物线定义有 ，
所以 ，D错.
故选：AC
18．已知抛物线 的焦点为 ，顶点为 ，点 在抛物线 上，若 ，则下列选项
正确的是（ ）
A． B．以MF为直径的圆与 轴相切
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据抛物线的定义结合已知条件判断AB；先求出点 的坐标，再利用两点间的距离公式可求得
结果判断C；根据抛物线的性质结合三角形的面积公式求解判断D.
【详解】依题意，抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
对于A，由 ，得 ，A正确；
对于B，显然 的中点的横坐标为 ，则该点到 轴的距离 ，所以以 为直径的圆与 轴相切，B正确；
对于C，当 时， ，解得 ，即 ，则 ，C错误；
对于D， ，D正确.
故选：ABD
19．已知抛物线 ： 的焦点 到准线的距离为2，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点，
为线段 的中点， 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．此抛物线上与焦点 的距离等于3的点的坐标是
B．若 ，则点 到 轴的距离为3
C． 是准线上一点， 是直线 与 的一个交点，若 ，则
D．
【答案】BCD
【分析】首先根据抛物线 的几何意义，求出抛物线方程，根据焦半径公式判断A，设 、
，由焦点弦的性质判断B，根据三角形相似判断C，首先证明 ，再利用基本不等式
判断D.
【详解】因为抛物线 ： 的焦点 到准线的距离为2，所以 ，则抛物线 ： ，所以焦点 ，准线为 ，
对于A：设该点为 ，则 ，解得 ，所以 ，解得 ，
所以此抛物线上与焦点 的距离等于3的点的坐标是 或 ，故A错误；
对于B：设 、 ，则 ，解得 ，
又 为线段 的中点，则 ，所以点 到 轴的距离为 ，故B正确；
对于C：过点 作准线的垂线段，垂足为 ，则 ，
设准线与 轴交于点 ，则 ，因为 ，所以 ，
则 ，则 ，所以 ，即 ，所以 ，则 ，故C正确；
对于D：依题意过点 的直线的斜率不为 ，设过点 的直线为 ，
由 ，消去 得 ，
显然 ，所以 ， ，则 ，
，
所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故D正确；
故选：BCD
20．已知抛物线 的准线为 ，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于 ，
两点， 于 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设 ，则
D．过点 与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
【答案】ABC【分析】根据过焦点的直线与抛物线的相交的交点坐标关系、圆的几何性质逐项判断即可.
【详解】由题意，抛物线 的准线为 ，所以 ，抛物线C的方程为 ，
焦点为 ，
过 作 于 ，
则由抛物线的定义可得 ，故A正确；
，则以PQ为直径的圆的半径 ，
线段PQ的中点坐标为 ，
则线段PQ的中点到准线的距离为 ，
所以以PQ为直径的圆与准线l相切，故B正确；
抛物线 的焦点为 ， ，
当且仅当M，P，F三点共线时取等号，所以 ，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为 ，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为 ，
联立 消去x，并整理得 ，
当 时，方程的解为 ，此时直线与抛物线只有一个交点，当 时，则 ，解得 ，
综上所述，过点 与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误．
故选：ABC．
21．已知抛物线 的焦点为F， ， 是C上相异两点，则下列结论正确的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，且 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 的最小值为
【答案】AD
【分析】根据相等向量得F为 的中点，利用焦半径公式求解弦长判断A，根据焦半径公式及点在抛物
线上建立方程求解判断B，根据焦半径公式判断C，根据抛物线的定义，把 转化为 ，
利用当 三点共线时， 取得最小值，从而判断D.
【详解】对于A，因为 ，所以F为 的中点，
根据抛物线的对称性知，直线 与 轴垂直，
所以 ，正确；
对于B，因为 ，所以 ，即 ，又 ，所以 ，
所以 ，解得 或 ，错误；
对于C，若 ，则 ，当且仅当 三点
共线时等号成立，错误；
对于D，抛物线 的焦点为 ，准线 方程为 ，
过点 作准线 的垂线，垂足为点 ，由抛物线的定义得 ，则 ，
当点N、A、M三点共线时， 取得最小值，且最小值为 .正确.
故选：AD.
22．设抛物线 的顶点为O，焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点，直线OM交抛物线的准线于
点N，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则O为线段MN的中点 B．若 ，则
C．若 ，则 D．存在点M，使得
【答案】AC
【分析】对每个选项，根据已知条件求得 的坐标，并由此判断出正确答案.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
A选项， ，所以 ，
不妨设 ，则直线 的方程为 ，
令 得 ，所以 ，所以 是线段 的中点，所以A选项正确.
BC选项， ，所以 ，
则 ，B选项错误，不妨设 ，则直线 的方程为 ，
令 得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，C选项正确.
D选项，设 ，则直线 的方程为 ，
由 消去 得 ，解得 或 ，
当 时， ，则 ，
而 ，所以 ，
，所以不存在点M，使得 ，
即D选项错误.
故选：AC
三、填空题
23．若动点 到点 的距离比它到直线 的距离大1，则 的轨迹方程是 ．【答案】
【分析】将直线方程向左平移1个单位，可知动点 到点 的距离与它到直线 的距离相
等，结合抛物线定义即可求得抛物线的标准方程.
【详解】将 化为 ，
动点 到点 的距离比它到直线 的距离大1，
则动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，
由抛物线定义可知动点 的轨迹为抛物线，
该抛物线以 为焦点，以 为准线，开口向右，
设 ，
所以 ，解得 ，
所以抛物线方程为 ，
故答案为： .
24．已知F是抛物线 的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若 ，则
【答案】4
【分析】先求出准线 方程为 ，根据抛物线定义把焦半径转化为焦点到准线距离，在直角梯形
中由平行线得比例线段，从而可得 ，即 ，从而可得 ．
【详解】易知焦点F的坐标为 ，准线方程为 ，如图，作 于 ， 于 ，
，可知线段BM平行于AF和DN，因为 ， ， ，所以 ，又由定义知 ，
所以 .
故答案为：4.
25．已知抛物线 的焦点F到准线的距离为4，点 ， 在抛物线C上，
若 ，则 .
【答案】
【分析】先求得抛物线C的方程，再利用抛物线定义和题给条件即可求得 的值.
【详解】抛物线 的焦点F到准线的距离为4，
则 ，则抛物线 ，
由点 ， 在抛物线C上，可得 ， ，
由 ，可得 ，
即 ，则 ，
又 ，则 ，则
故答案为：4
26．已知抛物线 (其中 )的焦点为 ，点 在抛物线上，若 ，且
的最小值为 ，则点 到抛物线 的准线的距离为
【答案】
【分析】设出直线 的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，根据已知条件列方程组，由
此求得 进而求得正确答案.
【详解】设直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ，
，
则 ①，
，
当 时等号成立，所以 ②，
由①②解得 或 ，因为 ，
所以 ，即 到抛物线 的准线的距离为 .
故答案为： .
27．已知 为抛物线 上的动点， 为抛物线的焦点，点 ，则 周长的最小值为
.
【答案】7
【分析】设抛物线的准线为 ，过 作 于 ，过 作 于 ，由抛物线的性质可将 的周长转化为 ，由图可知当 三点共线时，取得最小值，从而可求得答案.
【详解】当 时， ，所以点 在抛物线内，
由 ，得焦点为 ，准线 为 ，
过 作 于 ，过 作 于 ，则 ，
所以 的周长为 ，
由图可知当 三点共线时， 取得最小值，
此时 的最小值为 ，
因为 ，
所以 的最小值为7，即 的周长的最小值为7，
故答案为：7
28．设抛物线 的焦点为 ，点 ，过点 的直线交 于 两点，直线 垂直
轴， ，则 ．
【答案】
【分析】根据抛物线定义求出 ，再设直线 的方程为 ，得到韦达定理式，求出 点横坐标，再利用抛物线定义即可求出 的长.
【详解】由题意得 ,因为直线 垂直于 轴, ,准线方程为 ，
所以 点的横坐标为 ,设 ，
根据抛物线的定义知 ，解得 ，
则 ，则 ，可设直线 的方程为 ，
联立抛物线方程有 可得 ，
，则 ，
则 ，解得 ，则 ，
故答案为： .
29．已知点 分别是抛物线 和圆 上的动点，点 到直线 的距
离为 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】分别画出抛物线和圆图象，由抛物线定义以及圆上点与圆外一点距离的最值问题即可求得结果.
【详解】如图所示：由圆 的标准方程为 可知圆心 ，半径为 ，
抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
由抛物线定义可知 ，
圆外一点到圆上点的距离满足 ，即 ；
所以 ，
当且仅当 三点共线时，等号成立；
即 的最小值为 ．
故答案为：
30．已知点 为抛物线 上任意一点，点 为圆 上任意一点，点 ，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据圆外一点到圆上点的最短距离以及抛物线定义得出结果.
【详解】抛物线 ，即 ，其焦点为 ，抛物线的准线为 ，
圆 变形为 ，
则圆心为抛物线 的焦点 ，半径为 .点 为抛物线 上任意一点，当 三点共线， 取最小值时，最小值为 .
如图，过点 作 于点 ，由抛物线定义可知 ，
所以 取最小值时，即 取最小值，
，
当 三点共线，当 时，等号成立.
.
则 的最小值为 .
故答案为： .
31．已知点 ，点 在抛物线 上运动，点 在圆 上运动，则 的最小值
.
【答案】4
【分析】由已知可得 ，利用基本不等式可求 的最小值．
【详解】设圆心为 ，则 为抛物线 的焦点．设 ，则 ，
要使 最小，则需 最大， ，且 ，，
当且仅当 ，即 时取等号，
的最小值是4．
故答案为：4．
32．已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过AB的中点M作y轴
的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若 ，则M点的横坐标为
【答案】2
【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程，由抛物线的定义求得 的坐标，得到 中点 的纵坐标，
设直线 为 ，代入抛物线的方程 消去 ，利用根与系数的关系求得 的值即可．
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
若 ，可得 ，
即有 ，
，
可得 的中点 的纵坐标为 ，
设 ， ， ， ，则 ，
若斜率不存在 ，不合题意，
所以过点F的直线l的斜率存在
故直线 的方程设为 ，
代入抛物线的方程 可得：
，
即有 ，
解得 ，
所以直线 的方程为 ．
又 的中点 的纵坐标为 ，
所以 点的横坐标为2．
故答案为：2．
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知抛物线 过点 ，其准线与 轴交于点 ，直线 与抛物线的另一个交点为
，若 ，则实数 为A． B． C． D．
【答案】C
【详解】把点 ，代入抛物线方程，得 ，解得 ，所以抛物线的方程为 ，则
．设 ，则 ， ．由 ，得 ，
解得 或 （舍去），故选C．
点睛：求解与向量交汇的圆锥曲线问题，通常利用点的坐标对已知的或所求的向量式进行转化，然后再利
用解析几何的知识求解．
2． 是抛物线 上一点， 是圆 关于直线 的对称曲线 上一点，则
的最小值是
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】利用点关于直线对称得到曲线 方程，设 ，计算 ，根据二次函数
性质得到答案.
【详解】设圆心 关于直线对称的点为 ，则 ，解得 ，
曲线 为 ，设 ，
故 ，
当 时， 有最小值为 ，故 的最小值为 .故选：D.
【点睛】本题考查了圆关于直线对称，抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，
应用能力.
3．抛物线 与圆 交于 、 两点，圆心 ，点 为劣弧 上不同于 、
的一个动点，平行于 轴的直线 交抛物线于点 ，则 的周长的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求出圆心坐标，可得抛物线的焦点，过 作准线的垂线，垂足为 ，根据抛物线的定义，可得
，故 的周长为 ，联立圆与抛物线可得B点坐标，可得 的取值范围，可得答案.
【详解】解：如图，
可得圆心 也是抛物线的焦点，
过 作准线的垂线，垂足为 ，根据抛物线的定义，可得
故 的周长 ，
由 可得 ， .
的取值范围为
的周长 的取值范围为
故选： .
【点睛】本题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的基本量的计算与性质，综合性大，属于中档题.
4．已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 在抛物线 上，过线段 的中点 作抛物线
的准线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的最小值为
A． B． C． D．【答案】B
【分析】设 ， ，由抛物线的定义可得 再根据勾股定理及不等式求出
数值，代入 化简即得答案．
【详解】设 ， ，过点 ， 分别作抛物线 的准线的垂线，垂足分别为 ， ，由抛物线
的定义可得 ， ，因为 为线段 的中点，所以 ，又
，所以 ，所以 ，又 ，所以
，当且仅当 时取等号，所以 ，即 ，所以 的最小值
为 ，故选B．
【点睛】本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，勾股定理的应用等知识，属于中档
题．
5．已知抛物线 ，圆 ，若点 、 分别在 、 上运动，且设点 ，
则 的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】要使 最小，则 需最大，根据抛物线的定义可得 ，，然后整理换元转化为二次函数求最值.
【详解】如图，设圆心为 ，则 为抛物线 的焦点，
该抛物线的准线方程为 ，设 ，
由抛物线的定义得 ，要使 最小，则 需最大，
如图， 最大时，经过圆心 ，且圆 的半径为1，
，且 ，
所以 ，令 ，则 ，
所以 ，由 ，
而 ，
得 ， 取得最小值 ，则 的最小值为 ．
故选：B．
【点睛】方法点睛：求圆上的动点到一定点的距离之和最大（小）转化为求圆心到定点的距离的加半径
（减半径）.
6．抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的交点为 ，过点 作直线与此抛物线交于 ， 两点，若，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据抛物线标准方程，得到焦点坐标和准线方程，设出直线方程，联立抛物线方程，整理得到关
于 的一元二次方程，根据垂直，得到点 的横坐标，根据韦达定理，得到 的横坐标，在由抛物线的定
义，可得答案.
【详解】由 ，则焦点 ，且准线方程为直线 ，即 ，
设过点 的直线方程为 ，联立抛物线可得： ，
消去 可得： ，化简得： ，
因为 ，且直线 过点 ，所以 ，
即点 位于以线段 为直径的圆上，
易知以线段 为直径的圆的方程为 ，
将 代入上式，可得 ，解得 ， （舍去），
则点 的横坐标 ，设点 的横坐标 ，
由韦达定理可得： ，则 ，
根据抛物线的定义，可得 ， ，
则 ，
故选：B.
7．设抛物线 ( )的焦点为 ,准线为 ,过焦点的直线分别交抛物线于 两点,分别过 作
的垂线,垂足为 .若 ,且三角形 的面积为 ,则 的值为
A． B． C． D．【答案】C
【解析】首先根据线条长度关系解出A、B点横坐标 （用 表示），
然后利用三角形面积公式列出一个关于 的方程，解出 即可.
【详解】过点B作 交直线AC于点M，交 轴于点N，
设点 ，
由 得 ，
即 ……①，
又因为 ,
所以 ,
所以 ，
所以 ……②，
由①②可解得 ，
在 中， ，
，
所以 ，
所以 ,
解得 或 （舍去），
故选：C
【点睛】本题考查抛物线及其标准方程和抛物线的几何性质，利用焦点弦的性质是解答本题的关键.8．如图所示，已知抛物线 过点 ，圆 . 过圆心 的直线 与抛物线
和圆 分别交于 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有 ，再将目标式转化为
，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意等号成立条件.
【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程： ，则焦点F(2,0)，
由直线PQ过抛物线的焦点，则 ，
圆C2： 圆心为(2,0)，半径1，
，
当且仅当 时等号成立，故 的最小值为13.
故选：D【点睛】关键点点睛：由焦半径的倾斜角式得到 ，并将目标式转化为 ，结
合基本不等式求最值.
9．已知抛物线 ，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线 的
垂线，垂足为P，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】由条件确定点 的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求 的最小值.
【详解】∵ 抛物线 的方程为 ，
∴ ，抛物线 的准线方程为 ，
∵ 方程 可化为 ，
∴ 过定点 ，
设 ，设 的中点为 ，则 ，因为 ， 为垂足，
∴ ，所以 ，
即点 的轨迹为以 为圆心，半径为 的圆，
过点 作准线 的垂线，垂足为 ，则 ,
∴ ,，又 ，当且仅当 三点共线且 在 之间时等号成立，
∴ ，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，则 ,当且仅当 三点共线时等号成立，
∴ ，当且仅当 四点共线且 在 之间时等号成立，
所以 的最小值为 ，
故选：A.
10．已知点 是抛物线 ： （ ）上的动点，若 的最小值为1，则抛
物线 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件结合点到直线的距离公式探求 的几何意义，再列式计算即可作答.
【详解】因为点 到直线 ： 的距离 ，
则 ，而抛物线 的焦点为 ，
由抛物线的定义得 ，则有 ，
因此， 表示抛物线E上的动点N到直线 的距离与到焦点F的距离的和的2倍减去p的
差，
显然，抛物线E上的动点N到直线 的距离与到焦点F的距离的和 不小于焦点F到直线 的距离，因点 到直线 ： 的距离 ，
于是得 的最小值是 ，解得 ，
当且仅当点N在过点F向直线 所作垂线段上时取到最小值，
当 时，点 ，过F垂直于 的直线为： ，
由 解得： ，即过点F向直线 所作垂线段的垂足是 ，
抛物线 ： ，由 解得： 或 ，
显然，点 在线段FM上，
即当点 的坐标为 时，点N到直线 的距离与到焦点F的距离的和等于焦点F到直线 的距离，
所以抛物线 的准线方程为 .
故选：B
【点睛】关键点睛：顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线中，灵活运用抛物线上一点
到焦点 的距离 或 是解决相关问题的关键．
11．抛物线 的焦点为F，点 为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，
则 的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B【分析】设直线 的倾斜角为 ，设 垂直于准线于 ，由抛物线的性质可得 ，则
，当直线PA与抛物线相切时， 最小， 取得最大值，设出直线方程得到直线
和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果.
【详解】设直线 的倾斜角为 ，设 垂直于准线于 ，
由抛物线的性质可得 ，
所以则 ，
当 最小时，则 值最大，
所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即 最小，
由题意可得 ，
设切线PA的方程为： ，
，整理可得 ，
，可得 ，
将 代入 ，可得 ，所以 ，
即P的横坐标为1，即P的坐标 ，
所以 ， ，
所以 的最大值为： ，
故选：B．【点睛】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物
线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和
焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．
12．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 ，直线 与抛物线 交于点 （ 在第一象限
内)，与其准线交于点 ，若 ，则点 到 轴距离为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点 作抛物线准线的垂线，垂足为 ．根据三角形相似可得直线 的倾斜角为 ，从而斜
率为 ，进而可求得 ，于是可求得点 的纵坐标，根据点 在曲线上可得其横坐标，即为所求．
【详解】由题意得抛物线的焦点为 ，准线方程为 ，设准线与y轴交于点 ．
过点 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，则 ，
∴ ，
∴ ,
∴直线 的倾斜角为 ，
∴ ，解得 ．又由 得 ，即 ，
∴ ．
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
又点 在第一象限，
∴ ，即点 到 轴距离为 ．
故选B．
【点睛】本题考查抛物线定义的运用和平面几何图形的性质，解题的关键是根据平面图形的性质得到直线
的倾斜角，进而得到参数 ，然后再根据定义进行转化后可得所求距离，属于中档题．
二、多选题
13．已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交抛物线于 两点， 为坐标原点，若 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线 的斜率为
C． D．
【答案】AD【分析】依题意设 ， ，联立方程组，设而不求，利用韦达定理以及 可求出直
线 的斜率，可判断B的正误，利用抛物线焦半径公式可判断C，D的正误，再利用抛物线焦点三角形
面积公式可判断A的正误.
【详解】依题意，焦点 ，
易知，当 的斜率不存在时， ，与题意不符，故舍去，
所以，设 ， ，
联立方程组 ，①，
消 化简得， ，②，
其中 ，所以 ， ，
所以 ，解得 ，故B选项错误，
将 代入②中，可得 ，解得 ，
所以 ，故C选项错误，
，故D选项正确，
由①式，消 化简得 ，
所以 ， ，
所以 ，
把 代入得， ，故A选项正确，
故选：AD.14．已知抛物线C： 与圆O： 交于A，B两点，且 ，直线 过C的焦点
F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．若直线 的斜率为 ，则
B． 的最小值为
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为 ，则点M的横坐标为
D．若点 ，则 周长的最小值为
【答案】BC
【分析】首先求出抛物线的解析式，设出MN坐标联立进行求解当 时， ，进而判断选项
A；再根据韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项B；画出大致图像过点M作准线的垂线，垂足为
，交y轴于 ，结合抛物线定义判断选项C；过G作GH垂直于准线，垂足为H，结合 的周
长为 进而进行判断选项D即可．
【详解】解：由题意得点 在抛物线C： 上，
所以 ，解得 ，所以C： ，则 ，
设直线 ： ，与 联立得 ，
设 ， ，所以 ， ，
所以 ，
当 时， ，故A项错误；，则
，
当且仅当 ， 时等号成立，
故B项正确；
如图，过点M作准线的垂线，垂足为 ，交y轴于 ，
取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线，
垂足为 ，则 ， 是梯形 的中位线，
由抛物线的定义可得 ，
所以 ，
所以以MF为直径的圆与y轴相切，
所以 为圆与y轴的切点，所以点D的纵坐标为 ，
又D为MF的中点，所以点M的纵坐标为 ，又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为 ，
故C项正确；
过G作GH垂直于准线，垂足为H，
所以 的周长为 ，
当且仅当点M的坐标为 时取等号，
故D项错误．
故选:BC．
15．如图所示，抛物线E： 的焦点为F，过点 的直线 ， 与E分别相交于
， 和C，D两点，直线AD经过点F，当直线AB垂直于x轴时， ．下列结论正确
的是（ ）
A．E的方程为
B．
C．若AD，BC的斜率分别为 ， ，则
D．若AD，BC的倾斜角分别为 ， ，则 的最大值为
【答案】AD
【分析】根据抛物线定义表示 ，由条件列方程求 可得抛物线方程，判断A，设 的方程为，利用设而不求法求 ，判断B，设 ，利用设而不求法求 ，根据直线
AD经过点F，确定 的关系，利用 表示 ，判断C，讨论 ，结合 关系利用基本不等式求
的最值即可判断D.
【详解】当直线 垂直于x轴时，直线 的方程为 ，
所以点 的横坐标为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以抛物线的方程为 ，A正确；
所以 ，
若直线 的斜率为0，则直线 与抛物线只有一个交点，以已知矛盾，
故可设直线 的方程为 ，
联立 ，化简可得 ，
方程 的判别式 ，
由已知 为方程 的两根，
所以 ， ，B错误；
同理可设 的方程为 ，
联立 ，化简可得 ，
方程 的判别式 ，
设所以 ， ，
若直线 的斜率存在，则 ， ， ，
因为直线AD经过点F，所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，C错误；
因为AD，BC的倾斜角分别为 ， ，
当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ， ，
所以 ，此时 ，
当 ，因为 ，所以 ，
所以所以 ，
当且仅当 ， 时等号成立，即 时等号成立，
所以 的最大值为 ，D正确；
故选：AD.
【点睛】(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或 )建立一元二次方程，
然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
16．设O为坐标原点， F为抛物线C： 的焦点，过焦点F且倾斜角为 的直线 与抛物线C
交于M，N两点（点M在第二象限），当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． MON的面积的最小值为
△
C．存在直线 ，使得
D．分别过点M，N且与抛物线相切的两条直线互相垂直
【答案】ABD
【分析】根据抛物线定义结合三角函数可求 ，通过设直线 的方程为 ，与抛物线联立则得到
韦达定理式，而面积表达式 ，韦达定理式代入上式即可求出面积最值，求出
则可判断C，利用导数的几何意义即可得到两切线斜率之积为 ，则可判断D.
【详解】作出如图所示图形：对A，由抛物线定义及题意得 ，
即 ，解得 ，故A正确；
对B， ，则 ，当直线 的斜率不存在时，显然不合题意，
设
设直线 的方程为 ，联立抛物线 得
，则 ，
，
当且仅当 时等号成立，故B正确；
对C，
，
故 为钝角，则不存在直线 ，使得 ，故C错误；
对D， ，即 ，故 ，故在点 处的切线斜率为 ，在点 处的切线斜率为 ,
故斜率之积为 ，故相切的两条直线互相垂直，故D正确.
故选：ABD.
17．已知抛物线 上三点 ， ， ，F为抛物线的焦点，则下列结论正确
的是（ ）
A．抛物线的准线l的方程为
B．若F为 的重心，则 成等差数列
C．若直线AC过焦点F，过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线l于点D，则直线DC平行于抛物
线的对称轴
D．若直线AC过焦点F，准线l上存在一点M满足 为等边三角形，则直线AC的斜率为±
【答案】BCD
【分析】由条件求 ，由此可得抛物线方程，求其准线方程判断A，由重心性质确定 的关系，结合
抛物线定义判断B，联立直线 的方程与抛物线方程，利用设而不求法确定 关系，求点 的纵坐标，
由此判断C，结合设而不求法与条件列方程求 斜率，判断D.
【详解】因为点 在抛物线 上，所以 ，所以 ，
故抛物线的方程为 ，其准线方程为 ，焦点坐标为 ，A错误，
因为F为 的重心，所以 ，
又点 的坐标为 ， ， ， ，
所以 ，所以 ，故 ，
，所以 ，B正确；
过点 ，斜率为0的直线与抛物线有且只有一个交点，与已知矛盾，故设直线 的方程为 ，联立 ，消 得， ，
方程 的判别式 ，又 ， ，
所以 ， ，即 ，
又直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，与直线 联立可得
，故点 的坐标为 ，即 ，故直线 与 轴平行，C对，
设点 的坐标为 ，线段 的中点为 ，因为 为等边三角形，所以 ，
，
因为 ，所以 ，因为 在直线 上，所以 ，即
，所以直线 的斜率为 ，
当 时，直线 的斜率为 ，所以 ，
化简可得 ，
点 到直线 的距离为 ， ，
所以 ，所以 ，
故 ，所以 ，此时直线AC的斜率为± ，
当 时，直线 的方程为 ，点 在直线 上，与已知矛盾，D正确，
故选：BCD.
【点睛】解决直线与抛物线的综合问题的常用方法为设而不求法.三、填空题
18．设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过抛物线上一点A作 的垂线，垂足为 ，设
，若 与 相交于点 的面积为 ，则抛物线的方程为 .
【答案】
【分析】由题意得出 ，利用拋物线的定义求出点A的横坐标，根据相似得出 ，由三
角形的面积公式可得结果.
【详解】设 ，
又 ，则 ，
由抛物线的定义得 ，所以 ，则 ，
由 得 ，即 ，
所以 ， ,
所以 ，解得： .
故答案为：
19．已知抛物线 ，焦点为 ，定点 .若点M，N是抛物线C上的两相异动点，
M，N不关于y轴对称，且满足 ,则直线MN恒过的定点的坐标为 .
【答案】
【分析】利用抛物线的焦点坐标，求得抛物线方程，设出 两点的坐标，根据 列方程，化简求得 .写出直线 的方程，进而判断直线过定点
【详解】抛物线C的标准方程为 ，焦点为 ，所以 ，所以 .设
，则 ，整理得 ，由于 不关于
轴对称，所以恒有 ，直线MN的方程为 ，即
，即 即所以过定点 .
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线的知识，考查化归与转化的数学思想与运算求解能力.
20．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 在第一象限交于点 ，与抛
物线 的准线交于点 ，过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 .若 ， ，则抛
物线 的标准方程是 .
【答案】
【分析】设 ， 计算得到 ， ， 根据
计算得到 得到答案.
【详解】设 ， .因为 ，所以 ，
所以 ， ，则 .
因为 ，所以 ，所以 ，则故抛物线 的标准方程是 .故答案为：
21．已知抛物线 的顶点为O，焦点为F，动点B在C上，若点B，O，F构成一个斜三角
形，则 ．
22．已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交抛物线与 两点，且 ，
则拋物线的准线方程为 .
【答案】
【分析】根据题意作出图形，设直线 与 轴的夹角为 ，不妨设 ，设抛物线的准线与 轴的
交点为 ，过点 作准线与 轴的垂线，垂足分别为 ，过点 分别作准线和 轴的垂线，垂足分别为
，进一步可以得到 ，进而求出 ，同理求出 ，
最后解得答案.
【详解】设直线 与 轴的夹角为 ，根据抛物线的对称性，不妨设 ，如图所示.设
抛物线的准线与 轴的交点为 ，过点 作准线与 轴的垂线，垂足分别为 ，
过点 分别作准线和 轴的垂线，垂足分别为 .
由抛物线的定义可知， ，
同理： ,于是， ，则抛物线的准线方程为： .
故答案为： .
23．已知抛物线 的焦点为 ，平行 轴的直线 与圆 交于 两点（点 在点
的上方）， 与 交于点 ，则 周长的取值范围是
【答案】
【分析】过点 作 垂直与抛物线的准线，垂足为点 ，由抛物线的定义得 ，从而得出
的周长为 ，考查直线 与圆 相切和过圆心 ，得出 、 、 不共线时 的范围，
进而得出 周长的取值范围．
【详解】如下图所示：
抛物线 的焦点 ，准线为 ，过点 作 ，垂足为点 ，
由抛物线的定义得 ，圆 的圆心为点 ，半径长为 ，
则 的周长 ，
当直线 与圆 相切时，则点 、 重合，此时 ， ；
当直线 过点 时，则点 、 、 三点共线，则 ．
由于 、 、 不能共线，则 ，所以， ，即 ，因此， 的周长的取值范围是 ，故答案为 ．
【点睛】本题考查抛物线的定义，考查三角形周长的取值范围，在处理直线与抛物线的综合问题时，若问
题中出现焦点，一般要将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离利用定义转化，利用共线求最值，
有时也要注意利用临界位置得出取值范围，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
24．已知点 在抛物线 上， 为抛物线 的焦点，圆 与直线
相交于 两点，与线段 相交于点 ，且 ．若 是线段 上靠近 的四等分点，
则抛物线 的方程为 ．
【答案】
【分析】设 ，表示出 ，利用抛物线定义、点在抛物线上以及
圆的弦长的几何性质列出关于 的方程，即可求得p，即得答案.
【详解】由 可知 ，
设 ，则 ，
则 ，故 ，即 ①；
又点 在抛物线 上，
故 ②，且 ，即 ③，
②联立得 ，得 或 ，由于 ，故 ，结合 ③，
解得 ，故抛物线方程为 ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质，找出参数 间
的等量关系，从而列出方程组，即可求解.
25．抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物
线的对称轴平行．已知抛物线 的焦点为F，直线 ，点P，Q分别是C，l上的动点，若Q
在某个位置时，P仅存在唯一的位置使得 ，则满足条件的所有 的值为 ．
【答案】 或
【分析】设 ，易知抛物线 焦点为 ， 为直线 上的动点，设 ，根据
结合距离公式，可得 ，根据方程有唯一解列方程求解即可.
【详解】设 ，易知抛物线 焦点为 ，
为直线 上的动点，设 ，
由
，
，即 代入 ，，
（1）当 时， ，
由 得 ，
此时方程只有一个解，满足题意，
（2）当 时， ，
解得 ，代入 可得
求得 ，可得
的值为 或
故答案为： 或 .
26．过抛物线 的焦点 的直线 与 相交于 两点，且 两点在准线上的射影分别
为 ， ，则 .
【答案】4
【分析】设 , ， ，可得 ， ，
，可得 的值.
【详解】解：如图：设 , ， ，
由抛物线定义可得： , , ,
在 中，由余弦定理可得： ，
同理： ，
故 ， ，
，
故 ，
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题，注意余弦定理的灵活运用.
27．如图，过抛物线 的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，若 与 面积之和
的最小值为32，则抛物线的方程为 ．【答案】
【分析】设直线AB的倾斜角为锐角 ，则直线CD的倾斜角为 ，利用焦半径公式分别求出 、
、 、 ，并求出 与 面积之和的表达式，通过不断换元，并利用双勾函数的单调性
求出两个三角形面积之和的最小值，求出p的值，于是得出抛物线的方程．
【详解】解：设直线AB的倾斜角为锐角 ，则直线CD的倾斜角为 ，
由焦半径公式得：
，
，
，
，
的面积为：
，
同理可得 的面积为： ，
令 ，
则 与 面积之和为： ，
再令 ，则 与 面积之和为：，
由双勾函数的单调性可知，当 时， 与 面积之和取到最小值，
即 ，由于 ，得 ，
因此，抛物线的方程为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，考查计算能力与推理能力，属于难题．
