文档内容
重难点突破 08 圆锥曲线的垂直弦问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点................................................................................3
题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点............................................................................9
题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点..........................................................................13
题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点..................................................................16
题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点..............................................................21
题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点..............................................................24
题型七：内接直角三角形范围与最值问题......................................................................................29
题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题..........................................................................34
03 过关测试.........................................................................................................................................391、过椭圆 的右焦点 作两条互相垂直的弦 ， ．若弦 ， 的中点分别为
， ，那么直线 恒过定点 ．
2、过椭圆 的长轴上任意一点 作两条互相垂直的弦 ， ．若弦 ，
的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 ．
3、过椭圆 的短轴上任意一点 作两条互相垂直的弦 ， ．若弦 ，
的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 ．
4、过椭圆 内的任意一点 作两条互相垂直的弦 ， ．若弦 ，
的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 ．
5、以 为直角定点的椭圆 内接直角三角形的斜边必过定点
6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在 轴上．
7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在 轴上．
8、以 为直角定点的抛物线 内接直角三角形的斜边必过定点 ，
9、以 为直角定点的双曲线 内接直角三角形的斜边必过定点题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点
【典例1-1】已知椭圆 的左右焦点分别 ，若______．
请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答（若都选择，则按照第一个解答给分）
①四点 中，恰有三点在椭圆C上．
②椭圆C经过 ， 轴，且 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点D为椭圆C的上顶点，过点D作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A、B两点，过D作直线AB的
垂线垂足为M，判断y轴上是否存在定点N，使得 为定值？请证明你的结论．
【解析】（1）若选①：因为 中有三点在椭圆上，
由于 关于原点对称，所以 均在椭圆上，
又因为 的横坐标相同，所以 不在椭圆上， 在椭圆上，
所以 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 ；
若选②：因为 轴， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .（2）当直线 的斜率不存在时，设 ， ，
因为 ，所以 且 ，
解得 ，此时 显然不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，
且 ，即 ，
所以 ，
所以
，
所以 ，
化简可得 ，解得 或 ，
当 时， 过点 ，显然不符合题意，
当 ， 过定点 ，
若 时，此时 为直角三角形且 为斜边，
所以当 为 中点 时， ，即为定值；
当 时，此时 重合，取 ，则 ，符合 情况，
综上所述，存在 使得 为定值 .
【典例1-2】如图所示， 、 分别为椭圆 的左、右顶点，离心率为 ．(1)求椭圆的标准方程；
(2)过 点作两条互相垂直的直线 、 与椭圆交于 、 两点，证明直线 过定点，并求 面积
的最大值．
【解析】（1）由已知可得： ，解得： ， ，
所以，椭圆的方程为 ．
（2）易知点 ，设点A(x ,y )、B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
若直线 轴，则 ， ，
所以， ，不合乎题意，
设 的直线方程为 ，
联立 ，整理得 ，
，
由韦达定理可得 ， ．
因为 ，且 ， ，
所以，
，
，，
，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以，直线 的方程为 ，
，
则 ．
令 ，
则 ，
由对勾函数单调性知，函数 在 上为增函数 ，
则 ．
所以 ，当且仅当 时，即 时等号成立，
此时 最大值为 ．
【变式1-1】已知椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，上焦点为 ， ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过 点作两条互相垂直的弦交 于 ， 两点.当点 变化时，直线 是否过定点？并说明理由.
【解析】（1）由题意，椭圆焦点在 轴上，且 ，则 .
所以椭圆的标准方程为： .
（2）如图：由题意：直线 的斜率一定存在，设直线 ： ，
联立 ，消去 得： ，
设 ，则 ， .
设 ，用 代替 得： ， .
所以直线 得方程为：
令x=0，得：
所以直线 过定点 .
【变式1-2】已知椭圆 ： （ ）的离心率 ，且过点 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作椭圆 的两条互相垂直的弦 、 ，试判断直线 是否过定点，若过定点，求出该定点的
坐标；若不过定点，请说明理由．
【解析】（1） ， ，
又 ， ，
故椭圆 的方程为
（2）法一：当直线 的斜率不存在时，
设 ， ，
代入 ，得： （舍），
此时 ：
当直线 的斜率存在时，设 ： ，联立 得：
， ，
， ，
，
，
代入整理得： ，
，
当 ，此时 ： ，过定点 ，舍去．
当 ，此时 ： ，过定点
综上有，直线 始终过定点
法二：利用齐次式：依题意可知：设 ： ，
椭圆 的方程为 ， ，
则： ，
即：A：当 ， 的斜率存在时， ，
即：
， ，
此时 ： ，
即： ，故 ，
此时直线 是否过定点 ．
B：当 ， 的斜率一个为0，另一个不存在时，不妨取 ， ，
此时直线 ： ，也过点 ，
综上有，直线 始终过定点 ．
题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
【典例2-1】在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l： 的距离之比是
常数 ，记P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点A( ，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.
【解析】（1）设P(x，y)，
因为P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l： 的距离之比是常数 ，
所以 ，
化简得 ，所以曲线E的方程为 .
（2）设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为 ， ，
分别联立 ，解得M( ， )，N( ，－ )，
此时直线MN的方程为 ，过点( ，0)；
当直线MN斜率存在时设其方程为 ，( )
由 ，消去y得 ，
所以 ，即 ，
， ，
因为AM AN，
⊥
所以 ，即 ，
即 ，
即 ，
将 ， 代入化简得： ，
所以 或 ，
当 时，直线MN方程为 (不符合题意舍去)，
当 时，直线MN方程为 ，MN恒过定点( ，0)，
综上所述直线MN过定点( ，0).
【典例2-2】已知双曲线 ，经过双曲线 上的点 作互相垂直的直线AM､AN分
别交双曲线 于M､N两点.设线段AM､AN的中点分别为B､C，直线OB､OC（O为坐标原点）的斜率都存
在且它们的乘积为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点A作 （D为垂足），请问：是否存在定点E，使得 为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 ､ ，线段AM､AN的中点分别为 ､ ，
由已知，得 ；
两式相减，得 ，即 ①
根据中点坐标及斜率公式，得
， ， ， .代入①，
得 ②同理，得 ③，②③相乘，得 .
∵ ， ，∴ ④
由 ，与④联立，得 ， ，
双曲线 的方程为： .
（2）①当 时，设 ， ， ， ，
由AM､AN互相垂直，得 ，
由 解得 （此时 无实数解，故舍去），或 （此时M､N至少一个点与A重合，与条件不
符，故舍去）.综上，此时无符合条件的解.
②当 不成立时，设直线 ， ､
代入 得 ，
且
∵
∴ ，即 ，
解得： 或 .
当 时， 过点 ，与条件不符，舍去.
∴ ， ，过定点AP中点 ，由于 （D为垂足），故 .
∴
综上所述，存在定点 ，使得 为定值 .
【变式2-1】已知双曲线C： 经过点 ，且双曲线C的右顶点到一条渐近线的
距离为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），
设直线AB： ，试求 和 之间满足的关系式．
【解析】（1）已知双曲线C： 经过点 ，
则 ，
右顶点为 ，不妨取渐近线为 ，即 ，
则 ，
从而可解得 ，
所以双曲线C的方程为 ；
（2）设 ，
联立 ，消 得 ，
则 ，
则 ，
，
，
因为 ，则 ，
即 ，
即 ，即 ，
整理得 ，
所以 .
题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点
【典例3-1】已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线l交抛物线于A，B两点，且
．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设过点 且互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点M，N，证明：直线 过定点．
【解析】（1）拋物线 的焦点 ，则直线 的方程为： ，
由 消去y并整理得， ，显然 ，设 ，
则 ，因此 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为： .
（2）显然直线 不垂直于y轴，设直线 的方程为 ，点 ，
由 消去x得， ，当 时， ，
由 ，得 ，
显然 ，因此 ，满足 ，则直线 ： ，过定点 ，
所以直线 过定点.
【典例3-2】已知抛物线C： 与椭圆E： 的一个交点为 ，且E的离心率 .
(1)求抛物线C和椭圆E的方程；
(2)过点A作两条互相垂直的直线AP，AQ，与C的另一交点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点.
【解析】（1）因为点 在抛物线C：y2=2px(p>0)上，
所以 ，得 ，所以抛物线方程为 ，
因为点 在椭圆E： 上，离心率 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆方程为
（2）由题意可知直线 的斜率不为零，所以设直线 为 ， ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，则 ，
由题意可知直线 ， 的斜率均存在且不为零，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 ，得 ，所以直线 为 ，
所以 ，所以直线 恒过定点【变式3-1】已知抛物线 的焦点 关于直线 的对称点 恰在抛物线 的准线上．
(1)求抛物线 的方程；
(2) 是抛物线 上横坐标为 的点，过点 作互相垂直的两条直线分别交抛物线 于 两点，证明直
线 恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）由已知得 ，设 ，则 中点为 ，
关于直线 对称，
点R在直线l上，
，解得 ，即 ．
又由 ，得直线 的斜率 ，
，解得 ，
∴ ．
（2）证明：设直线 的方程为 ， 、 均不与M重合，
由 得 ，
， ．
由（1）得 ，
， ，
又由 得 ，即 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
直线 的方程为 ，即 ，
∴直线 恒过定点 ．
【变式3-2】（2024·云南昆明·模拟预测）已知抛物线 ，O是坐标原点，F是C的焦点，
M是C上一点， ， ．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设点 在C上，过Q作两条互相垂直的直线 ，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：
直线 恒过定点．
【解析】（1）由 ，可得 ，
代入 ．
解得 或 （舍），
所以抛物线的方程为： ．
（2）解:由题意可得 ，直线 的斜率不为0，
设直线 的方程为 ，设 ，
由 ，得 ，从而 ，
则 ．
所以 ，
，
∵ ，
∴ ，
故 ，
整理得 ．即 ，
从而 或 ，
即 或 ．
若 ，则 ，过定点 ，与Q点重合，不符合；
若 ，则 ，过定点 ．综上，直线 过异于Q点的定点 ．
题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
【典例4-1】已知椭圆 的左右焦点分别为 ，抛物线 与椭圆有相同的焦点，
点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD
的中点为N，证明：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）抛物线焦点坐标为 ，故 .
设 ，由抛物线定义得：点P到直线 的距离为t.
，由余弦定理，得 .
整理，得 ，解得 或 （舍去）.
由椭圆定义，得 ，
，
∴椭圆的方程为 ；
（2）设 ，
联立 ，
即 ，
，代入直线方程得 ，
，
同理可得 ，
，，
令 ，得 ，
所以直线MN过定点 .
【典例4-2】已知椭圆 过点 ，且长轴长为4.
(1)求 的标准方程；
(2)过点 作两条互相垂直的弦 ，设弦 的中点分别为 .证明；直线 必过定点.
【解析】（1）依题意， ，故 ，而 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）当直线 不垂直于坐标轴时，设直线 的方程为 ， ，
由 ，得直线 的方程为 ，
由 消去 得： ，
则 ，故 ，
于是 ，由 代替 ，得 ，
当 ，即 时，直线 ： ，过点 ，
当 ，即 时，直线 的斜率为 ，
直线 ： ，令 ，
因此直线 恒过点 ，
当直线 之一垂直于 轴，另一条必垂直于 轴，直线 为 轴，过点 ，
所以直线 恒过点 .【变式4-1】已知定点 ，关于原点O对称的动点P，Q到定直线l： 的距离分别为 ， ，
且 ，记P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)当 时，过点F的两条互相垂直的直线与曲线C分别交于A，B，C，D两点，弦AB，CD的中点分
别为M，N，求证：直线MN过定点；
(3)在（2）条件下，当M，N，F三点可构成三角形时，求 的取值范围．
【解析】（1）设P(x,y)，则 ，
由 可得 ，化简可得 ，
故曲线C的方程为 ，表示焦点为 的椭圆，
（2）由（1）知：C的方程为 ，
设直线 方程为 ， ,
联立 与 可得 ，
故 故 ，进而 ，故 ，
用 替换 ，可得 ，
故直线 方程为 ，化简得 ，进而 ，故直线 过定点
当 时，直线 直线 ，此时 ,
直线 显然经过点 ，
故直线 恒过定点
（3）由（2）知 ， ，
所以
，
由于 ,故 ，
由于 根据奇偶性不妨只考虑 ，则 ，
记 ， ，则 ，
对于 可知 ，故 ，
当 时 ， 在(0,1)单调递增，当 时 ， 在(1,+∞)单调递减，
故 在 取最大值， ，故此时面积最大值为 ，
当 时， ，故
【变式4-2】（2024·高三·天津河西·期末）已知椭圆 上任意一点 到椭圆 两个焦点 的距离之和为 ，且离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 为 的左顶点，过 点作两条互相垂直的直线 分别与 交于 两点，证明：直线 经
过定点，并求这个定点的坐标．
【解析】（1）由椭圆定义知： ，解得： ，
又离心率 ， ， ，
椭圆 的标准方程为： .
（2）由（1）知： ；
当直线 斜率存在时，设 ， ， ，
由 得： ，
则 ，解得： ，
， ，
， ，
即 ，
，
即 ，
整理可得： ， 或 ；
当 时，直线 恒过 点，不合题意；
当 时，直线 ， 恒过定点 ；
当直线 斜率不存在且恒过 时，即 ，
由 得： ， ，满足题意；综上所述：直线 恒过定点 .
题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
【典例5-1】（2024·贵州·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线方程为
，焦点到渐近线的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过双曲线 的右焦点 作互相垂直的两条弦（斜率均存在） 、 .两条弦的中点分别为 、 ，那
么直线 是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.
【解析】（1）设双曲线的焦点坐标为 ，
依题意渐近线方程为 ，即 ，
有 ，
解得 ，
；
（2）由（1）可知右焦点 ，
设直线 ： ， ， ，
由联立直线与双曲线 ，
化简得 ， ，
故 ， ，
，又 ，则 ，
同理可得：
，
，
化简得 ，
故直线 过定点 .
【典例5-2】（2024·黑龙江·三模）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，
点 在 上.
(1)求双曲线 的方程；
(2)过双曲线 的左焦点 作互相垂直的两条直线 ，且 与 交于 两点， 与 交于 两点，
为线段 的中点， 为线段 的中点，证明：直线 过定点.
【解析】（1）由双曲线 的一条渐近线方程为 ，
且点 在 上，
有 解得 故双曲线 的方程为 .
（2）由题意可知 不与渐近线平行，
当 与坐标轴平行时，显然直线 与 轴重合.
当 不与坐标轴平行时，左焦点 为 ，
不妨设直线 的方程为 ，联立
消去 并整理得 ， ，设 ，则
所以 ，所以 .
又直线 互相垂直，用 替换 ，则可得 .
当 ，即 时，直线 的方程为 ，直线 过 ；
当 时，直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，所以直线 过 .
综上，直线 恒过点 .
题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
【典例6-1】已知一个边长为 的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线
上.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交抛物线 于 、 两点， 交抛物线 于 ， 两点，
若线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，证明：直线 过定点．
【解析】（1）由对称性可知等边三角形的顶点 在 上，代入得： ，解得： ，
所以抛物线方程为： ；
（2）由题意知 和 斜率均存在， ，设直线 方程为 ，
则直线 方程为 ，
由 联立得： ，
设 ，则 ，
故 ，同理得
故直线MN方程为
整理得： ，故直线MN过定点
【典例6-2】已知抛物线 ： 焦点为 ， 为 上的动点， 位于 的上方区域，且
的最小值为3.
(1)求 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交 于 ， 两点， 交 于 ， 两点，且 ， 分别
为线段 和 的中点.直线 是否恒过一个定点?若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
【解析】（1）抛物线 ： 焦点为 ，准线为 ，
设 到 的距离为 ，因为 位于 的上方区域，
根据抛物线的定义可知 （当且仅当 时取等号），
又 的最小值为 ，所以 ，解得 ，
所以抛物线 ： .（2）依题意直线 和 的斜率均存在且不为 ，
设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ， ， ，
联立方程得 ，消去 并整理得 ，
则 ，则 ， ，
所以 ，
因为 为 的中点，所以 ，同理 ，
所以直线 的方程为 ，
整理得 ，所以直线 恒过点 .
【变式6-1】过点 作抛物线 在第一象限部分的切线，切点为A，F为 的焦点，
为坐标原点， 的面积为1．
(1)求 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交 于C，D两点， 交 于P，Q两点，且M，N分别为
线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【解析】（1）由题， ，设切点 ，则切线方程为 ， ,
的坐标代入，得 ，解得 ，由于 ，所以 ，
由 的面积 ，解得 ，
所以 的方程为 ．
（2）由题意可知，直线 和 斜率都存在且均不为0，
设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
联立方程组 消去 并整理得， ，
则 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，
因为 为CD中点，所以 ，
同理可得 ，
所以，直线MN的方程为 ，
整理得 ，所以，直线MN恒过定点 ．
【变式6-2】已知抛物线 上一点 的纵坐标为4，点 到焦点 的距离为5.过点 做
两条互相垂直的弦 ，设弦 的中点分别为 .(1)求抛物线 的方程；
(2)过焦点 作 ，且垂足为 ，
（ⅰ）求证直线 过定点 ，并求定点 坐标；
（ⅱ）求 的最大值.
【解析】（1）由题可知， ，解得， 或 （舍），
所以，抛物线 的方程为 .
（2）（ⅰ）设直线 ，A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，可得 ，则得 ， ，
，同理 ，
① 时， ，
②当 时，
，即 ，
所以直线 恒过点 ，
（ⅱ）又 ，所以点 在以 为直径的圆上，且轨迹方程为 ，
由几何图形关系可知， 的最大值为： .
【变式6-3】（2024·贵州·模拟预测）已知抛物线 的焦点 到双曲线 的渐近线的距离为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 任意作互相垂直的两条直线 ， 分别交曲线 于点A，B和M，N.设线段 ， 的中点分别
为P，Q，求证：直线 恒过一个定点.
【解析】（1）因为抛物线的焦点F为 ，
双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
则 ，解得 ，故抛物线的方程为： .
（2）设A，B两点坐标分别为 ， ，则点P的坐标为 .
由题意可设直线 的方程为 ，
由 得 ， ，
因为直线 与曲线C交于A，B两点，所以 ， ，
所以点P的坐标为 .
由题知，直线 的斜率为 ，同理可得点Q的坐标为 .
当 时，有 ，此时直线PQ的斜率 ，
所以直线PQ的方程为 ，整理得 ，
于是直线PQ恒过定点 .
当 时，直线PQ的方程为 ，也过定点 .
综上，直线PQ恒过定点 .题型七：内接直角三角形范围与最值问题
【典例7-1】设椭圆 的两焦点为 ， ， 为椭圆上任意一点，点 到原点最大距离
为2，若 到椭圆右顶点距离为 .
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆的上、下顶点分别为 、 ，过 作两条互相垂直的直线交椭圆于 、 ，问直线 是否经过
定点？如果是，请求出定点坐标，并求出 面积的最大值.如果不是，请说明理由.
【解析】（1）∵点 到原点最大距离为2，故 ，
∵ 到椭圆右顶点距离为 ，∴ ，
解得： 或5（舍去5），
∴椭圆的方程为 .
（2）设 ： ，联立 ，
得： ，
∴ ， ，∵ ，∴ ，
即
，
利用韦达定理代入化简得： ，
解得： （舍去）或 ，
∴直线 过定点 ，
此时 ， ，
，
令 ，上式 ①，
而 ，∴① ，
∴ 面积的最大值为 .
【典例7-2】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ，过右焦点 作两条互相垂直的弦AB，
CD，设AB，CD中点分别为 ， .(1)写出椭圆右焦点 的坐标及该椭圆的离心率；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求 面积的最大值.
【解析】（1）由椭圆的方程 ，可得 ，可得 ，所以 ，即
右焦点 的坐标为 ，离心率 ,所以椭圆右焦点 的坐标为 ，离心率 .
（2）证明：当直线AB，CD的斜率存在且不为0时，
设直线AB的方程为 ，
设 联立 ，
整理可得： ，
可得 ， ，
所以AB的中点 ，
同理可得 的坐标 ，即 ，
当 ， 的横坐标不相等时，则 ，
所以MN的方程为 ，
整理可得
所以直线恒过定点 .
当 ， 的横坐标相等时， ，即 时，则 轴，
且此时MN的方程为 ，显然也过 ，
可证得直线MN必过定点 .（3）由（2）可得直线MN必过的定点 ，
可得
，
设 ，则 ，
在 上单调递减，所以 ，
所以 面积的最大值为 .
【变式7-1】已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为A， ，上顶点为 ，坐标
原点 到直线 的距离为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)过A点作两条互相垂直的直线 ， 与椭圆交于 ， 两点，求 面积的最大值.
【解析】（1）由已知可得， 解得， ， ， ，
所以椭圆的方程为 .
（2）设 的直线方程为 ， ， ，
联立方程 整理得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 .
所以 .
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以
所以 ，
令 ，
则 ，
此时 最大值为 .
题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题
【典例8-1】如图，抛物线 是抛物线内一点，过点 作两条斜率存在且互相垂
直的动直线 ，设 与抛物线 相交于点 与抛物线 相交于点 ， ，当 恰好为线段 的中点
时， ．(1)求抛物线 的方程；
(2)求 的最小值．
【解析】（1）解法一：设直线 ，
联立 ，得 ，
所以 ．
又因为 是 的中点，所以 ，
又
，
代入化简得 ，解得 ．
故抛物线 的方程为 ．
解法二：设直线 的倾斜角为 ，再设 、 的坐标都为 ，
代入抛物线方程得 ，
化简得 ．
则 ， ，
因为 是 的中点，所以 ，即 ．
又因为 ，
将 代入化简得 ，
即 ，所以抛物线 的方程为 ．
（2）解法一：
，由（1）可得 ， ，
因为
，
同理 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，即所求最小值为 ．
，
而 ，
所以CD的倾斜角为 或 ，同理可求得 ，
即 ，
当且仅当 或 时，等号成立，即所求最小值为 ．
【典例8-2】（2024·重庆·三模）已知F，C分别是椭圆 的右焦点、上顶点，过原点的
直线 交椭圆 于A，B两点，满足 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的下顶点为 ，过点 作两条互相垂直的直线 ，这两条直线与椭圆 的另一个交点分别为
M，N，设直线 的斜率为 的面积为 ，当 时，求 的取值范围．
【解析】（1）设椭圆 的左焦点为 ，连接 ，
由对称性知四边形 是平行四边形，所以 ，．
由椭圆定义知 ，则 ，．
设椭圆的半焦距为 ，由椭圆的几何性质知， ，则 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．（2）椭圆 的标准方程为 ．则 ，
所以直线 ，
如图所示，
设 ，
联立 ，消去 并整理得 ，．．．
所以 ，所以 ，．．
所以 ，．
同理可得： ，所以 ，
所以 ，
由 ，得 ，
整理得 ，得 ，．
又 ，所以 ，所以 或 ．
所以 的取值范围为 ．
【变式8-1】已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于点 ，且 ．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 ， ， 与 交于 ， 两点， 与 交于 ， 两点，设线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，求 面积的最小值．
【解析】（1）由题意可设点 ，则 ，得 ，①
因为 ，所以由抛物线的定义得 ，得 ．②
将②代入①中，得 ，解得 ，
故抛物线 的标准方程为 ．
（2）
如图，易得F(1,0)，不妨设直线 的方程为 ，代入 ，得 ，
设A(x ,y )，B(x ,y )，点 坐标为
1 1 2 2
则 ， ，
从而 ，
因直线 ，故直线 的方程为 ，
则同理可得 ．
所以 的面积为
，当且仅当 ，即 时取等号，
故 面积的最小值为4．
【变式8-2】已知抛物线 的顶点在原点，焦点为 ，过焦点且斜率为 的直线交抛物线于 两点，
(1)求抛物线方程；
(2)若 ，求 的值；(3)过点 作两条互相垂直的直线分别交抛物线 于 四点，且 分别为线段 的中点，
求 的面积最小值．
【解析】（1） 抛物线 的顶点在原点，焦点为 ， 抛物线方程为： ；
（2）由题意知： ，可设直线 ， ， ，
， ，即 ，
由 得： ， ，
，即 ，
解得： ， ；
（3）由题意知：直线 的斜率均存在，
不妨设 ， ， ， ， ，
则 ；
由 得： ，则 ，即 ；
， ， ，
；同理可得：
， ，
（当且仅当 ，
即 时取等号），
面积的最小值为 .1．已知椭圆 ，离心率为 ，点 在椭圆上．
(1)求E的方程；
(2)过点 作互相垂直的两条直线 与 ，设 交E于A，B两点， 交E于C，D两点，AB，CD的中
点分别为M，N．探究： 与 的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理
由．
【解析】（1）由题意 ， ，
解得 ， ，
则E的方程
（2）法一： 与 面积之比为定值，定值为4，理由如下：
设直线 ， ， ，
讨论：①当 ，且 时，
联立 ，可得 ，
，则 ，
所以 ， ，
所以 ，
设 ，同理可得 ．
所以 （ ，且 ），
所以直线 ，即 ，所以直线MN恒过定点 ；
②当 时，不妨设直线 ； ，
可发现 轴，且MN过 ，
③当 时，直线MN依然过 ，但无法形成三角形．
综上，直线MN恒过点 ，
设点O，K到直线MN的距离分别是 ， ．
法二： 与 面积之比为定值，定值为4，理由如下：
设直线 ， ， ，
讨论：①当 ，且 时，
联立 ，可得 ，
，则 ，
所以 ， ，
所以 ，
设 ，同理可得 ．
所以 （ ，且 ），
所以直线 ，即 ，则点O到直线MN的距离 ，
则点F到直线MN的距离 ，
所以 ，
②当 时，不妨设直线 ； ，可发现 ，
则点O到直线MN的距离 ，点F到直线MN的距离 ，
所以 ，
③当 时，无法形成三角形．
综上， 与 面积之比为定值，定值为4.
2．已知椭圆 过点 ，点 是椭圆 的右焦点，且 .过点 作两条互
相垂直的弦 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 ， 的斜率都存在，设线段 ， 的中点分别为 ， .求点 到直线 的距离的最
大值.
【解析】（1） ，则 ，则 为椭圆上顶点，故 ，
故椭圆的方程为 ；
（2）由 ， 斜率均存在，故可设直线 方程为： ，
设 ， ，联立： ，
消去 得： ， ，， ，
即 ，将上式中的 换成 ，同理可得： ，
①若直线 斜率不存在，此时 ，解得： ，
则直线 过点 ；
②若直线 䣄率存在，则 ，
直线 为 ，得 ，
直线 过点 ；
综上，直线 恒过定点 ，因为 ，故 斜率不为0，
设直线 ， ，当 时， .
3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过 的两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 两点和 两点，设 的中点分别为 ，求
面积的最大值．
【解析】（1）由题意知 ．又 ，所以 ．
把点 代入椭圆方程，得 ，解得 ．
故椭圆 的方程为 ．
（2）由题意知直线 的斜率均存在且不为零．
设直线 的方程为 ，且A(x ,y ),B(x ,y )．
1 1 2 2
由 消去 ，得 ．所以 ， ．
而 ，
所以 ．同理得 ．
若 ，则 ，此时直线 的斜率不存在，可得直线 ．
此时 ，所以 ；
若 ，则直线 的斜率为 ，
可得直线 ： ．
化简，得 ．所以直线 过定点 ．
所以
．
令 ，则 ．
因为 ，所以 在 上单调递减．
所以 ，即 .
综上， .
所以当 时， 的面积取得最大值 ．4．设 、 分别是椭圆 的左、右焦点，若_____，
请在以下两个条件中任选一个补充在横线上并作答．
①四点 、 、 、 中，恰有三点在椭圆 上；
②椭圆 经过点 ， 与 轴垂直，且 ．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.
(1)求椭圆 的离心率；
(2)设 是椭圆 的上顶点，过 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 、 两点，过点 作线段
的垂线，垂足为 ，判断在 轴上是否存在定点 ，使得 的长度为定值？并证明你的结论.
【解析】（1）选①，因为 、 关于原点对称，则 、 都在椭圆 上，
则 ，即点 不在椭圆 上，故点 在椭圆 上，
所以， ，解得 ，故椭圆 的方程为 ，
则 ，所以，椭圆 的离心率为 .
选②，因为 经过点 ， 与 轴垂直，且 ，则 ，
由勾股定理可得 ，
所以， ，则 ，
所以，椭圆 的离心率为 .
（2）证明：已知 是椭圆的上顶点，若直线 的斜率不存在，则点 、 关于 轴对称，
设点 ，则 ，其中 ，且 ，
则 ，不合乎题意，
所以，直线 的斜率必然存在，
设直线 的方程为 ， 、 ，
由 可得 ，
，
所以 ， ，
又 ， ，
，
，
化简整理有 ，得 或 ，
当 时，直线 经过点 ，不满足题意；
当 时满足方程 中 ，故直线 经过 轴上定点 .
又 为过点 作线段 的垂线的垂足，
当点 为线段 的中点时，若点 与点 重合，则 ；当点 与点 不重合时，由直角三角形的几何性质可得 .
故当点 为线段 的中点时， 为定值，且 .
5．已知椭圆 的左顶点为 ，过 作两条互相垂直的直线 且分别与椭圆 交于 两点
（异于 点），设直线 的斜率为 ， 为坐标原点.
(1)用 表示点 的坐标；
(2)求证：直线 过定点；
(3)求 的面积的取值范围.
【解析】（1）由椭圆 ，可得 ，则A(−2,0)，
直线 的斜率都存在且不为0，故可设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
设 ，则 和 是方程的两个根据，可得 ，
解得 ，则 ，所以点 ，
同理可得点 .
（2）证明：当 ，即 时，直线 的方程为 ，经过点 .
当 ，即 时，直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，直线 也过点 .
综上可知，直线 恒过定点 .
（3）由题意，可得 的面积，
令 ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，而 在 上单调递增，
的值域为 ，所以 的面积的取值范围是 .
6．在平面直角坐标系．xOy中，设 ， 两点的坐标分别为 ， ．直线 ， 相交于点
M，且它们的斜率之积是 ．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)记动点M的轨迹为曲线E，过 作两条互相垂直的直线 ， ， 与曲线E交于A、B两点， 与曲
线E交于C、D两点，求 的最大值．
【解析】（1）设点M的坐标为 ，
因为直线 ， 的斜率之积是 ，
所以 ，
所以 ，
因为点M与 ， 两点不重合，
所以点M的轨迹方程为 ．
（2）显然直线 ， 的斜率都存在且不为0，
设 ， ，
A(x ,y )，B(x ,y )， ， ，
1 1 2 2联立 ，得 ，
显然 ，
所以 ，
所以 ，
同理 ，
因为直线 ， 相互垂直，所以 ，
所以，
则 ，
当且仅当 ，即 时取得等号，
所以 的最大值为 ．
7．（2024·高三·江苏镇江·期末）已知椭圆 的右焦点 ，离心率为 ，过 作两
条互相垂直的弦 ，设 的中点分别为 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线 必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦 的斜率均存在，求 面积的最大值．
【解析】（1）由题意： ，则 ，
故椭圆的方程为 ；
（2）证明：当 斜率均存在时，设直线 方程为： ，
设 ，则 ，联立得 ，得 ，
直线 过椭圆焦点，必有 ，
则 ，故 ，
将上式中的 换成 ，则同理可得： ，
如 ，得 ，则直线 斜率不存在，
此时直线 过点 ，设点 为P，下证动直线 过定点 .
若直线 斜率存在，则 ，
直线 为 ，
令 ，得 ，
即直线 过定点 ；
当 斜率有一条不存在时，不妨设AB斜率不存在，则CD斜率为0，
此时M即为F，N即为O点，直线 也过定点 ，
综上，直线 过定点 ；
（3）由第（2）问可知直线 过定点 ，
故
，
令 ， ，
则 ，则 在 单调递减，故当 时， 取得最大值，此时 取得最大值 ，此时 .
8．在平面直角坐标系 中，一动圆经过点 且与直线 相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 ，直线 与 交于A，B两点，直线 与 交于D，E两点，
的最小值；
(3) 为曲线 上一点，且 的横坐标大于4．过 作圆 的两条切线，分别交 轴于点 、
，求三角形 面积的取值范围.
【解析】（1）依题意该动圆的圆心到点 与到直线 的距离相等，
又点 不在直线 上，
根据抛物线的定义可知该该动圆圆心的轨迹是以 为焦点、 为准线的抛物线，
所以曲线 的方程 .
（2）设 ，
依题意直线 、 的斜率存在且不为 ，不妨设为 、 ，且 ，
直线 的方程为 ，
联立方程 ，得 ，显然 ，
∴ ，
同理直线 与抛物线的交点满足 ，由抛物线的定义可知：
，
当且仅当 （或 ）时取等号.
的最小值 .（3）由题设 ，则 且 ，直线 、 的斜率存在且不为 ，
设 ，令 可得 ，
设 ，令 可得 ，
由于直线 与圆 相切，所以 ，
化简可得: ，
由于直线 与圆 相切，
同理可得: ，
故 是关于 的方程 的两个根，
所以 ， ，且 ，
故
因为 ，所以
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即当 时 取最小值，最小值为 ，
所以三角形 面积的取值范围为 .
9．已知点P是曲线C上任意一点，点P到点 的距离与到直线y轴的距离之差为1.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过不在曲线C上的一点M作互相垂直的两条直线 ， 分别与曲线在y轴右侧的部分相切于A，B两
点，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标.
【解析】（1）设 ，当 时， 符合题意；
当 时，因曲线C上的点P到点 的距离与到y轴的距离之差为1，
则点P到点 的距离与到直线 的距离相等，
因此，曲线C是以点 为焦点，顶点在原点的抛物线，其方程为： ，
所以曲线C的方程是： ，
（2）显然，过点M 的抛物线C的切线斜率存在且不为0，设切线方程为： ，
由 消去x并整理得： ，
依题意， ，
设切线 ， 斜率分别为 ，则 ， ，
设 ， ，因此， ， ，于是得 ， ，
，直线AB上任意点 ， ，由 得： ，化简整理得： ，
则直线AB的方程为： ，因直线 ， 互相垂直，则 ，即 ，
于是得直线AB： ，即 ，
无论 取何值，直线AB都过点 ，
所以直线AB过定点，定点坐标为 .
10．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过抛物线 上一点 作两条互相垂直的弦 和 ，试问直线 是否过定点，若是，求出该
定点；若不是，请说明理由．
【解析】（1） ，解得：
故抛物线C的方程为： ..
（2）由题可得 ，直线 的斜率不为
设直线 ： ， ，
联立 ，得： ，
， ..
由 ，则 ，即
于是
，所以
或 .
当 时，
直线 ： ，恒过定点 ，不合题意，舍去.
当 ， ，直线 ： ，恒过定点
综上可知，直线 恒过定点 .
11．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知椭圆 ，其左、右焦点分别为F，F，离心率
1 2
，点P为该椭圆上一点，且 FPF 的面积的最大值为 .
1 2
△(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点D、E，求线段DE长度的最大值.
【解析】（1）由已知可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）设直线 的方程为
联立方程 ，消去 得 ，
所以 ，
由题意可得 ，则
由题意可得
，
所以 ，
化简整理得 ，解得 或 ，
当 时，直线 过定点 不符合题意，
所以 ，
所以，
令 ，
则
，
当 时， .
12．（2024·新疆·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G的准线方程为 .
(1)求抛物线G的标准方程；
(2)过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线 和 ， 与抛物线交于P，Q两点， 与抛物线交于C，D两
点，M，N分别是线段PQ，CD的中点，求△FMN面积的最小值.
【解析】（1）设抛物线标准方程为 ，其中 ，
由题意得 ，解得 ，则焦点 ，
故抛物线 标准方程为 .
（2） ,由题意知直线 的斜率都存在且不为 ，
设直线 的方程为 ,
则直线 的方程为 ,
由 得 ，则 ，
所以 ,
所以 ,
所以 .
用 替换 可得 ，所以 .
所以,当且仅当 ,即 时等号成立，
所以 面积的最小值为16.
13．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线 ，点F为其焦点，P为T上的动点，若|PF|
的最小值为1.
(1)求抛物线T的方程；
(2)过x轴上一动点 作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点 和C，D，点H，K
分别为 的中点，求△EHK面积的最小值.
【解析】（1）抛物线定义， ，∵ ，∴ ，∴抛物线T的方程为：
（2）由题意可知，直线AB不与y轴垂直，所以设直线AB的方程为 .
设A（ ），B（ ）
由
∴ ，同理
∴
同理
∴
当且仅当 时取等号，故△EHK面积的最小值为4.14．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知 ， 是过点 的两条互相垂直的直线，且 与椭圆
相交于A，B两点， 与椭圆 相交于C，D两点．
(1)求直线 的斜率k的取值范围；
(2)若线段 ， 的中点分别为M，N，证明直线 经过一个定点，并求出此定点的坐标．
【解析】（1）根据题意直线 ， 的斜率均存在且不为0
直线 ， 分别为 ， ，
联立 得 ，
由 得 ，则 或 ，
同理 ，则 ，
所以k的取值范围为 ．
（2）设 ， ，由（1）得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，
同理 ，
则直线 的方程为 ，
化简整理得
因此直线 经过一个定点 ．
