文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 31 圆锥曲线中焦半径和焦点弦公式的应用（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、椭圆的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 为椭圆上任意点，
则椭圆的焦半径 和 可按下面的公式计算：
（1） ；（2） （记忆：左加右减）
【焦半径形式2】椭圆 的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设 ，则椭圆
的焦半径 ，若延长 交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦 .
二、双曲线的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 为双曲线任意
一点，则双曲线的焦半径 和 可按下面的公式计算：
（1） ；（2） （记忆：左加右减）【焦半径形式2】双曲线 的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设 ，
则双曲线的焦半径 ，若直线 交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦
.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）
三、抛物线的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】设点 在抛物线上， 、 ， 是抛物线的焦点弦，则抛物线的
坐标版焦半径、焦点弦公式如下表：
标准方程
图形
焦半径公式
焦点弦公式
【焦半径形式2】直线AB过抛物线 的焦点，交抛物线于A(x，y)，B(x，y)两点，设α
1 1 2 2
为AB的倾斜角（1）弦长AB＝
（2）|AB|＝x＋x＋p，x＋x≥ ＝p，即当x＝x 时，弦长最短为：（通径）2p.
1 2 1 2 1 2
（3） ， ， ＋为定值.
二、题型精讲精练
【典例 1】椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点P在椭圆上，则 的取值范围为
_______.
【解析】由题意， ， ， ，设 ，其中 ，
则 ， ，所以
【典例2】双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，双曲线上的一点P满足 ，则点
P的坐标为_______.
【解析】由题意， ， ， ， ，由焦半径公式， ， ，
因为 ，所以 ，解得： 或 （舍去）
代入双曲线的方程可求得 ，所以P的坐标为 .
【典例3】过抛物线 焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若 ，则 _____.
【解析】设 ，则 ，所以 ，故 .【典例4】抛物线 的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l被抛物线C截得的弦长为______.
【解析】解法1：由题意， ，设 ，代入 整理得： ，
设两根为 和 ，则 ，故直线l被抛物线C截得的弦长 .
解法2：直线l被抛物线C截得的弦长 .
【题型训练-刷模拟】
1 . 椭圆的焦半径和焦点弦公式
一、单选题
1．已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点M在椭圆C上，当 取最大值时，三角形
面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据椭圆的焦半径公式和椭圆中的 的范围可求得 取最大值时，点 在椭圆的短轴
上.
【详解】设点 的坐标为 ，根据椭圆的焦半径公式可得：则有：
根据椭圆的特点，可知：
可得：当 时， 取最大值
此时，点 在椭圆的短轴上，则有：
故选：B
2．已知动点 在椭圆 ： 上， 为椭圆 的右焦点，若点 满足 ，且 ，则
的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】由已知可得 ，只需求出 即可，再利用两点之间的距离公式计算即可得到
答案.
【详解】由已知， ，设 ，则 ，因 在椭圆上，所以 ，
所以 ，
所以当 时， ，又 ，
所以 ，所以 .
故选：C
【点睛】本题考查椭圆中的焦半径的最值问题，涉及到两点间的距离公式，考查学生的等价转化的思想，
是一道中档题.
3．已知椭圆 的右焦点为 ，若过 的直线 与椭圆 交于 两点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先证明椭圆 上的点 的到右焦点 的距离为 ，当
分别为椭圆的顶点时 取最值，进而可得结果.
【详解】在椭圆 中， ，
设 为椭圆 上任意一点，即 ，
解得 ，
由两点间距离公式可知： ，
由上式可得当 为椭圆的右顶点时， 最小，此时 ，
当 为椭圆的左顶点时， 最大，此时 ，
此时 的最小值为 ，
同理可得 的最大值为3，
即 的取值范围是 ，
故选：C.
4．已知 为椭圆 上任意一点，EF为圆 的任意一条直径，则 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】用 表示 进行数量积运算后转化为求椭圆上点到焦点 的最大值和最小值问题．
【详解】由题意 椭圆的下焦点， 是圆 的直径，
则 ，
椭圆 中 ，椭圆上的 到焦点 的距离的最大值为 ，最小值为 ，所以
的最大值为24，最小值为8．
所以 的取值范围 ．
故选：B．
5．已知 为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为第一象限内 上一点．若
，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义结合已知条件求出 ，设点 ，其中 ， ，根据两点间的距
离公式求出点 的坐标，进而可求得直线 的斜率.
【详解】在椭圆 中， ， ，则 ，所以，点 、 ，
因为 ，可得 ，
设点 ，其中 ， 且 ，
，
解得 ，则 ，可得 ，即点 ，因此，直线 的斜率为 .
故选：C.
6．已知椭圆 ： 的右焦点为 ，点 ， 为第一象限内椭圆上的两个点，且
， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】设点 ，用椭圆的离心率e，半焦距c及a表示出 ，再由 探求出
的关系即可作答.
【详解】设点 ，右焦点为 ，椭圆的离心率为 ， ，
，同理
，
如图，过P，Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
因 ，则 ，即 ， ，
于是得 ，又 ，则 ，即 ，因此得 ，即 ，整理得 ，而 ，则 ，
所以椭圆 的离心率为 .
故选：C
7．如图，椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，过点 ， 分别作弦 ， .若 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况，当直线 的斜率不存在，可求出点 的坐标，从而可得
，当直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，然后将直线方程与椭
圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，表示出 ，从而可表示出 ， ， 进而可表
示
【详解】由椭圆的对称性可知 ， ， .设点 ， .
若直线 的斜率不存在，则点 ， ，所以 ，所以.
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 消去 整理得 ， ，则 .又
，同理可得 ，所以
，所以
.
综上， 的取值范围为 ，
故选:C.
8．已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ．倾斜角为 的直线与 交于 两点，
并且满足 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 ，则 ，由 ，消去 ，得 ，
注意到 ，则 .于是 ，
同理， . 因此 .
的倾斜角为 ，∴直线的斜率 ，
根据弦长公式，可得 .
由 ，可得 ，故 .
．故选：A
9．已知椭圆 和 ，椭圆 的左右焦点分别为 、 ，过椭圆上
一点 和原点 的直线交圆 于 、 两点.若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，由椭圆的焦半径公式以及 ，求出 ，因为 在椭圆上，
则 ，由对称性可得， ，代入即可得出答案.
【详解】设 ，椭圆 的左、右焦点为 ，，
同理： ，
∵ ，∴ ，
即 ，
x ❑ 2 y ❑ 2
∵ 在椭圆上，∴ 0 + 0 =1，则 ，
a2 b2
由圆的相交弦定理及对称性得：
.
故选：B．
10．已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 、 是椭圆上位于 轴上方的两点，且
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长射线 、 分别与椭圆 相交于 、 两点，由椭圆的对称性，则，若直线 的斜率不存在易得；若直线 的斜率存在，设直线 的方程为
，与椭圆方程联立， 利用两点间的距离公式结合韦达定理建立
求解.
【详解】如图，延长射线 、 分别与椭圆 相交于 、 两点，
由椭圆的对称性可知 ， ，
设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，显然
则点 的坐标为 .
①若直线 的斜率不存在，则点 、 的坐标分别为 、 ，
有
②若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立方程 ，消去 后整理为 ，
有 ， ，
，，
，
，因为 ，所以 ，
则 的取值范围为 .
故选：B
二、填空题
11．已知椭圆C的离心率 ，左右焦点分别为 ，P为椭圆C上一动点，则 的取值范围为
.
【答案】
【分析】利用焦半径公式把比值表示为 的式子，然后由 得出范围．
【详解】设 ， ，且 得： .
故答案为： .
12．已知椭圆 ，线段 的两个端点 在椭圆上移动，且 是 的中点，则
的最大值是 ．
【答案】
【分析】设 ， ， 为椭圆的右焦点，则 ，再根据 代入
数据即可求得答案．【详解】解：设 ， ， 为椭圆的右焦点，
由题意，椭圆的长半轴长 ，短半轴长 ，半焦距 ，
∴ ，
同理可得， ，
而 ，
即 ，解得 ，
故答案为： ．
13．设 、 分别为椭圆 ： 的左、右两个焦点，过 作斜率为1的直线，交 于 、 两点，
则
【答案】
【分析】由椭圆的标准方程，求出焦点 的坐标，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长，利用定义
可得 ，进而求出 ．
【详解】由 知，焦点 ，所以直线 ： ，代入 得
，即 ，设 ，
，故
由定义有， ，
所以 ．14．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为 ，且 ，若第一象限的
点 、 在 上， ， ， ，则直线 的斜率为 .
【答案】
【分析】设点 、 ，求得椭圆的离心率，利用椭圆的焦半径公式可求得 的值，再利
用弦长公式可求得直线 的斜率.
【详解】椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为 ，且 ，
所以， ，
由椭圆的几何性质可知 ， ，椭圆的离心率为 ，
设点 、 ，则 ， ，
则
，
同理可得 ，
所以， ，解得 ，
设直线 的斜率为 ，由弦长公式可得 ，
解得 ，
因为点 、 都在第一象限，则 ，故 .
故答案为： .15．若直线 ： （其中 ）与圆 相切，与椭圆 ： 交于点 ，
， 为其右焦点，则 的周长为 .
【答案】4
【分析】先根据直线与圆相切求得 的关系，设切点为 ，利用勾股定理分别求出 ，再根据
两点间的距离公式分别求出 ，从而可得出答案.
【详解】解：由直线 与圆 相切，
可得 ，则 ，
联立 ，消 得 ，
则 ，故 ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
设切点为 ，则 ， ，
，
同理 ，
，因为 ，所以 ，
同理 ，
则 的周长为 .
故答案为：4.
16．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率为 ，点 在椭圆上，连接 并
延长交 于点 ，连接 ，若存在点 使 成立，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】设 ，所以存在点 使 等价于 由 可求
的最小值，求得 的范围，从而得到 的取值范围.
【详解】设 ，则 .显然当 靠近右顶点时， ，
所以存在点 使 等价于 ，
在 中由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
同理可得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
由 得 ，所以 .
故答案为：
2 . 双曲线的焦半径和焦点弦公式
一、单选题
1．已知双曲线 上的点到焦点的最小距离为 ，且 与直线 无交点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设点 ，求出点 到双曲线焦点距离的最小值为 ，再利用直线 与双曲线
无公共点可得出 ，可得出关于 的不等式，结合 可得出 的取值范围.【详解】设双曲线 上一点 ，设点双曲线 的右焦点为 ，
若 取最小值，则点 在双曲线 的右支上，则 ，
则
，
当且仅当 时，等号成立，
联立 可得 ，
因为 与直线 无交点，则 ，
即 ，因为 ，解得 .故选：B.
2．已知双曲线 的右支上的点 ， 满足 ， 分别是双曲线的左右焦
点），则 为双曲线 的半焦距）的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【分析】根据 得 ， ，再换元利用函数的单调性求解.
【详解】解：由双曲线的第二定义可知 ， ，
右支上的点 ， 满足 ，
由 ，解得 ，
在右支上，可得 ，可得 ，即 ，则 ，
令 ， ，可得而 在 ， 单调递减， ， ， ，
故选：B
3．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 作一条倾斜角为30°的直线
与双曲线C在第一象限交于点M，且 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可
【详解】
如图所示，设双曲线实轴长为 ，则 ，
所以 ，
又M在第一象限，即 ，故 ，
因为 ，过M作MD⊥ 轴于D， ，
由条件故 ，
即 ，故 ，
解之得 （负值舍去）.
故选：A
4．已知动点P在双曲线C： 上，双曲线C的左、右焦点分别为 ， ，则下列结论：①C的离心率为2；
②C的焦点弦最短为6；
③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；
④当动点P在双曲线C的左支上时， 的最大值为 ．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算
即可.
【详解】由题意可得 ，即①正确；
显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2＜6，即②错误；
易知双曲线的渐近线方程为 ，设点 ，则 ，且到两条双曲线的距离之积为
是定值，故③正确；
对于④，先推下双曲线的焦半径公式：
对双曲线 上任意一点 及双曲线的左右焦点 ，
则 ，
同理 ，
所以 ，此即为双曲线的焦半径公式.
设点 ，由双曲线的焦半径公式可得 ，
故 ，其中 ，则 ，
由二次函数的性质可得其最大值为 ，当且仅当 ，即 时取得，故④错误；
综上正确的是①③两个.
故选：B
二、填空题
5．已知 是双曲线 .左，右焦点，若 上存在一点 ，使得
成立，其中 是坐标原点，则 的离心率的取值范围是 .
【答案】
【分析】不妨设点 在双曲线的右支上，设 ，则 ，先求出 ， ，
由条件可得 ，再根据 ，根据 建立不等式从而可得答案.
【详解】不妨设点 在双曲线的右支上，设 ，则 ，则
则
同理可得
由 ，可得
，又所以 ，即 ，即
所以 ，即 ，即 ，即
所以 ，即
故答案为：
6．设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线 的右支交于 ， 两
点，且满足 （ 是坐标原点），则直线 的斜率为 .
【答案】 或
【分析】利用双曲线的第二定义求出焦半径的表达式，再根据 ，得 ，再由
列等式求解.
【详解】如图，设双曲线 的左右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上，
连接 ，过点 作右准线 的垂线 ，记 ，
则由双曲线的第二定义知， ，其中 .
即 ，整理得， .由双曲线 ，得 ，
所以 ， ，离心率 ，
由题设直线 的倾斜角为 ，由 ，知 ，
，
所以 ，或 ，‘
解得 或 ，
把 代入，可求得 或 .
故直线 的斜率为 或 .
故答案为： 或 .
3 . 抛物线的焦半径和焦点弦公式
一、单选题
1．过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 两点，且 ，则直线 的斜
率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】将 代入抛物线焦半径公式求出倾斜角，再求斜率.
【详解】解：设 的倾斜角为 ，由抛物线焦半径公式可得 ，
又 ，
解得 ， ，
所以 .
故选：C.
2．已知斜率为 的直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，过 ， 作
轴的垂线，垂足分别为 ， ，若 ，则直线 的斜率 等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】先将 进行化简转化为 ，再利用直线 的倾斜角的余弦值表示 与 ，解
出 的值，然后根据 求出斜率值.
【详解】如图所示， ,
设 所在直线直线的倾斜角为 ，则 ，
，
所以， ，解得 ，则 .
故选：D.
3．过抛物线 的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且 ，则直线l的斜率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】当A在第一象限时，化简 即得直线l的斜率，再由对称性得解.
【详解】解：当A在第一象限时，
，
由对称性可知 .
故选：D.
【点睛】结论点睛：抛物线 的焦点为 ,点A在第一象限，点B在第四象限，弦AB是倾斜
角为 ，则 .在解答抛物线的有关问题时，利用这个结论可以提高解题效率.
4．过抛物线 的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交于A，B两点，若
，则直线AB的倾斜角为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】分别过A，B两点作横轴的垂线，垂足分别为 ，
设直线AB的倾斜角为 ，
由题意可设 ，
因为 ，所以 为钝角，如下图所示：
由 ，
因为 ，
所以有 ，
所以 ，
在直角三角形中 中， ，
所以 ．故选：C
5．已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，直线 的斜率为 且经过点 ，与抛物线 交于 ，
两点（点 在第一象限），与抛物线 的准线交于点 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
① ；② 为 的中点；③ ；④ ．
A．①② B．②③ C．③④ D．①②③
【答案】D
【分析】由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得 的坐标，再由焦半径公式求 ，进
一步求出 ， 的值，逐一判断四个选项得答案．
【详解】解：如图，
则 ，直线 的斜率为 ，则直线方程为 ，
联立 ，得 ．
解得： ， ，
由 ，解得 ．
抛物线方程为 ．
所以 ，则 ；
， ，，则 为 中点．
结论正确的是①②③．
故选：D．
6．已知过抛物线 的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且 ，抛物线的准线l
与x轴交于点C， 于点 ，若四边形 的面积为 ，则准线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方法一：已知 ，求得 ，在利用直线方程和抛物线方程联立得到
，解得 ， ，再根据梯形面积公式即可求解出p，进而得到准线l的方程；
方法二：根据抛物线焦半径公式 ， ，已知 ，解得 ，求出高
为 ，再根据梯形面积公式即可求解出p，进而得到准线l的方程.
【详解】
解：方法一：由题意知 ，准线 的方程为 ，设 ， ，
则 ，
由 ，得 ，即 ①
由题意知直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，
代入抛物线方程，消去 ，得 ,
所以 ②
联立①②，得 ，
解得 或 （舍去），所以 ，
因为 ，
将 的值代入，解得 ，
所以准线 的方程为 ，
故选：D.
方法二：设 ， ， ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，则
因为四边形 是直角梯形，其中 ， ，高为 ，
所以四边形 的面积为 ，
解得 ，所以抛物线的准线方程为 ，
故选：D.
7．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线与 交于 两点（点 在第一象限），与 交于点 ，若 ， ，则 （ ）
A． B．3 C．6 D．12
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知 ，再利用数形结合表示 的值，进而得
，再根据焦半径公式得 ， ，进而求解直线 的方程并与抛物线联立得 ，再用
焦半径公式求解即可.
【详解】如图，设准线与 轴的交点为 ，作 ， ，垂足分别为 ， ，
所以， .
又 ，所以 ，
设 ，则 .
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 .
所以，抛物线为 ，焦点为 ，准线为 ，
由 得 ，解得 ，
所以， ，
所以 ，直线 的方程为
所以，联立方程 得 ，解得 ，所以， ，
所以，
故选：B
8．过抛物线 的焦点F作直线交C于A，B，过A和原点的直线交 于D，则 面积的
最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得焦点 ，准线 ，设直线 的倾斜角为 ，则直线 的方程为
；联立抛物线方程可得 ，联立直线 和准线方程 可得 点坐
标，即可得 垂直于准线，再利用焦半径公式可得 ， ，写出 的面积
的表达式，利用导函数和 即可求得其最小值.
【详解】如下图所示，易知焦点 ，直线 即为抛物线 的准线；设直线 的倾斜角为 ，由对称性和交点个数可知，不妨取 ；
则直线 的方程为 ；
联立抛物线 的方程可得 ；
设 ，则满足 ；
则直线 的斜率为 ，其直线方程为 ，
联立准线方程 可得 ，又 可得
可知 两点纵坐标相同，所以直线 于 轴平行，即 垂直于准线；
由抛物线定义可得 ；
因此可得 ，即 ，即 ；
同理可得 ；
所以 的面积
化简可得
由 可得 ，所以令 ，
则 ，令 ，解得
所以当 时， ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
所以当 时， 取最大值 ，
当 取最大值时，面积取最小知，即 .
即 面积的最小值为 .故选：A
二、填空题
9．已知 是抛物线 ： 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ，若 为线
段 的中点，且 ，则 .
【答案】4
【详解】
如图，由题可知 ， 为线段 的中点，所以 ， ，
，再由抛物线第一定义可得 ，解得
故答案为：4【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于中档题
10．已知抛物线 ，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段 的长是焦半径
长的3倍，则直线 的斜率为 ．
【答案】
【分析】利用抛物线的焦半径公式列方程求得直线 的倾斜角，即可求得直线 的斜率
【详解】设直线 的倾斜角为 ，则 ．
因为线段 的长是焦半径 长的3倍，所以 ，故 ，
当 时， ， ，
则 ，解得 ，所以直线 的斜率为
同理可得当 时， ，所以直线 的斜率为 ．
综上，直线 的斜率为
故答案为：
11．已知O为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，过 的直线与 交于A，B两点（A位于第一象
限），且 ，则直线OA的斜率为 ．
【答案】1
【分析】设直线AB的方程，联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，确定 ，解得 ，
，得到斜率.
【详解】解法一： ，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为 ，与抛物线C的方程联立，得 ，
整理得 ，则 ，
设 ， ，所以 ，即 ．
因为 ，所以由抛物线的定义得 ，则 ，
整理得 ，得 ，（舍去负值），所以 ，（舍去负值），
故直线OA的斜率为 ．
解法二：设直线AB的倾斜角为 ，则 ，
由 得 ，解得 ，所以 ，
则由抛物线的定义得 ，得 ，所以 ，（舍去负值），
故直线OA的斜率为 ．
故答案为：
12．已知抛物线 的焦点 和准线 ，过点 的直线交 于点 ，与抛物线的一个交点为 ，且
，则
【答案】
【详解】抛物线 的焦点坐标 ，准线方程 ，
作 垂直于准线于 ，准线与 轴交于点 ，则 ，∴ .
∵ ，∴ ，由抛物线的定义得 ，∴ .故答案为： .
13．已知抛物线 ，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有 ，准线与x轴交于
点C，作A到准线的垂线，垂足为 ，则当四边形 的面积为 时，p的值为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线焦半径的性质，结合向量关系，即可求解直线倾斜角 ，根据面积公式即可求解.
【详解】设直线 的倾斜角为 ，过 作 轴，
则 ，所以 ，
同理可得 ，
因为 ， ，则 ，
由于 ，所以 ，
同时可得 ， ，
因此四边形 的面积 ，解得 ．
故答案为：14．已知双曲线 ： 与抛物线 ： 的焦点 重合，过点 作直线
与抛物线 交于 、 两点（ 点在 轴上方）且满足 ，若直线 只与双曲线右支相交于两点，
则双曲线 的离心率 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由推导可得抛物线的焦半径公式，进而可得 ，求得
，由直线 只与双曲线右支相交于两点，则 ,计算即可得解.
【详解】设直线 的倾斜角 ，直线 与抛物线 交于 、 两点（ 点在 轴上方），则 为锐角，
焦点 ，准线 ，准线与 轴交点记为 ，
过 、 分别向准线作垂线，垂足分别为 、 ，过 向 作垂线，垂足为 ，
设直线 与 轴交点记为 ，过 向 轴作垂线，垂足为 ，由抛物线的定义 ，
因为 ，所以 ，∴ ，
因为 ，
所以 ，
由 ，则 ，
由直线 只与双曲线右支相交于两点，则 ，
则 ，
由 ，则 ．
故答案为： .
15．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与抛物线 交于 两点（ 在第一象限），若
，则直线 的斜率为 .
【答案】
【分析】法一：设出直线方程 ， ， ，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之
积，结合 ， ，求出直线斜率；
法二：设直线 与 轴的夹角为 ，作出辅助线，得到 ， ，利用 得到
方程，求出直线斜率.
【详解】法一：设直线 ， ， ， ，由已知 ，联立 ，故 ，
故有 ，结合 得： ；
法二：角度焦半径公式：设直线 与 轴的夹角为 ，
得到抛物线的准线方程为 ，与y轴交于点T，
过点B作BM⊥准线交x轴于点N，作BE⊥y轴于点E，
则ET=BM，
由抛物线定义可得： ，
其中 ，
故 ，解得： ，
同理可得： ，
因为 ，
所以 ，
设直线与 轴夹角的正弦值为 ，正切值为 ，
由于 在第一象限， ，则 .
故答案为： .16．焦点为 的抛物线 上有不同的两点 ，且满足 ，若线段 的中点 到抛
物线的准线的距离为 ，则 .
【答案】
【分析】抛物线的焦点 ，设 ，根据抛物线的定义可得 ，设直线 方程为
，与抛物线方程联立求出 ，转化为 ，建立 的方程，进而求出 ，即可求解.
【详解】法一：抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
设 ，又 ，
三点共线，设其方程为 ， ，
线段 的中点 到抛物线的准线的距离为 ，
，
联立 消去 得 ，①
，
当 时，方程①为 ，
解得 或 ， ，
同理 .
法二：不妨设点 在第一象限，作 准线于点 ，
作 准线于点 ，作 准线于点 ，
∵ ，∴ .设直线 的倾斜角为 ，
，
∴ ，∴ .
故答案为：3
【点睛】本题考查抛物线方程和性质，以及直线与抛物线的位置关系，焦点弦要注意焦半径公式的灵活应
用，考查计算求解能力，属于中档题.
