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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 43 练 双曲线及其性质（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2023·天津·统考高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 作其中一
条渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线 分别是双曲线 的左、右焦
点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点A，若 ，则双曲线的标准方
程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·北京·统考高考真题）若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．5．（2021·全国·统考高考真题）已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2022·全国·统考高考真题）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D
的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
7．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
．
8．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在
上，点 在 轴上， ，则 的离心率为 ．
9．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交
双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率
是 ．
10．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线
与C无公共点”的e的一个值 ．
11．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则．
12．（2022·北京·统考高考真题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
13．（2021·全国·统考高考真题）若双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程
.
14．（2021·全国·统考高考真题）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则C的焦
距为 ．
15．（2021·全国·统考高考真题）双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．设 是双曲线 左支上的动点， 分别为左右焦点，则 （ ）
A． B． C．4 D．
2．已知双曲线 的离心率为 ，则渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线 的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（ ）
A．9 B．－9 C． D．
4．若双曲线 的焦点与椭圆 的长轴端点重合，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．已知动点 满足 ，则动点 的轨迹是（ ）
A．射线 B．直线C．椭圆 D．双曲线的一支
6．双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A．5 B．
C． D．
7．双曲线 ： 的右顶点为A，点A到直线 距离为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．双曲线 的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线 的离心率为2．则 （ ）
A． B．1 C． D．3
10．定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下是方程所表示的曲线中不是“尚美曲
线”的是（ ）
A． B． C． D．
11．“ ”是“双曲线 的离心率大于2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．若双曲线 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
13．直线 与双曲线 的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．314．已知双曲线C： 的一条渐近线方程为 ，且与椭圆 有公共焦
点，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．已知直线 是双曲线 的一条渐近线，且点 在双曲线 上，则双
曲线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
16．已知双曲线 ： （ ， ）， 、 分别为左、右焦点，点 在双曲线上，
， 到左焦点 的距离是 到右焦点 的距离的3倍，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
17．已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则此双曲线的离心率 为（ ）
A．2或 B． C． D． 或2
18．设双曲线 ， 的离心率分别为 ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
19．设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且长轴长为26，若曲线 上的点到椭圆 的两个焦点的距离
的差的绝对值等于8，则曲线 的标准方程为（ ）A． B．
C． D．
20．已知双曲线 ： 的左顶点为 ，右焦点为 ，焦距为6，点 在双曲线 上，
且 ， ，则双曲线 的实轴长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
21．已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于A，B两点．O为坐
标原点，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ）．
A． B．2 C． D．3
22．已知 为双曲线 的右焦点， 为双曲线的一条渐近线， 到直线 的距离为 ，
过 且垂直于 轴的直线交双曲线 于 两点，若 长为10，则 的离心率为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
23．已知双曲线 的两个焦点为 ，点 在 上，且 ， ，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
24．已知双曲线C： ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则
C．若 是双曲线C的一个焦点，则D．若 ，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2
25．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
26．下列命题中正确的是（ ）
A．双曲线 与直线 有且只有一个公共点
B．平面内满足 的动点P的轨迹为双曲线
C．若方程 表示焦点在y轴上的双曲线，则
D．已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为 ，则双曲线的标准方程为
27．已知 ，则方程 表示的曲线的形状可以是（ ）
A．两条直线 B．圆
C．焦点在 轴上的椭圆 D．焦点在 轴上的双曲线
28．双曲线 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，则 的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
29．已知双曲线 的右焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点．若
以 为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为2三、填空题
30．双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
31．写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程 .
①焦点在x轴上；②渐近线方程为 .
32．已知直线 是双曲线 （ ）的一条渐近线，则 的离心率为 .
33．若双曲线 的实轴长等于虚轴长的一半，则 .
34．双曲线 经过两点 ， ，则双曲线 的标准方程是 ．
35．若双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且经过点 ，则双曲线C的标准方程是
．
36．已知 ，双曲线 的两个焦点为 ， ，若椭圆 的两个焦点是线段
的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为 .
37．已知动圆 与圆 ，圆 中的一个外切､一个内切，求动圆圆心 的
轨迹方程为
38．设点P在双曲线 上， ， 为双曲线的两个焦点，且 ，则 的周长等
于 .
39．椭圆 的两顶点为 ，左焦点为F，在 中， ，则椭圆的
离心率为 .
40．已知斜率为 的直线 经过双曲线 的上焦点 ，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线
的离心率 的取值范围是 ．
41．设 是双曲线 的左、右焦点， 是坐标原点．过 作双曲线 的一条渐近
线的垂线，垂足为 ．若 ，则双曲线 的离心率为 ．42．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线右支上一点，且 ，则
的大小为 ．
43．已知双曲线方程为 ，左焦点 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则
该双曲线的离心率为 .
44．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，双曲线上一点A关于原点O对称的
点为B，且满足 ， ，则该双曲线的渐近线方程为 ．
45．已知双曲线的右焦点为 ，点P，Q为双曲线上关于原点O对称的两点，若 ，且
的面积为4，则双曲线的离心率 .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．已知双曲线 的离心率为 ，若点 与点 都在双曲线上，则该双曲线的渐
近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足 ，
则双曲线离心率的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．若椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ， ，P是两曲线的一个交点，则 的面积是（ ）
A． B．t C．2t D．4t
4．设 、 分别为双曲线 的左右焦点， 为坐标原点，过左焦点 作直线 与圆
切于点 ，与双曲线右支交于点 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（ ）
A． B． C． D．
6．过双曲线 的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另
一条渐近线交于点N，且 ，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点， 为双曲线 上的动点， ，
，点 到双曲线 一条渐近线的距离为 ，则下列选项不正确的有（ ）
A．
B．双曲线 的离心率为
C． 的最小值为2
D．双曲线 的实轴长为3
8．双曲线C： 的离心率为 ，直线 与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点 满足 ，则 （ ）
A． B．－1 C．1 D．3
9．双曲线C： 的右顶点为 ，点 均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN
的斜率之积为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．设 是双曲线 的左､右焦点，过点 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为
.若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．设 、 分别是双曲线 ： 的左、右两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且
，则 的面积为（ ）
A．4 B． C．3 D．2
12．过原点的直线l与双曲线E： 交于A，B两点（点A在第一象限）， 交x
轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
13．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，O为坐标原点，过 作C的一条
渐近线的垂线，垂足为M，且 ，则C的离心率为（ ）A． B．2 C． D．
14．设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点， 为坐标原点，过左焦点 作直线
与圆 切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足 ，则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C．2 D．
15．已知双曲线 的上焦点为 ，点P在双曲线的下支上，若 ，且 的
最小值为7，则双曲线E的离心率为（ ）
A．2或 B．3或 C．2 D．3
16．设 ， 是双曲线 的左､右焦点，过 的直线 交双曲线的左支于 ， 两点，若直
线 为双曲线的一条渐近线， ，则 的值为（ ）
A．11 B．12 C．14 D．16
二、多选题
17．已知双曲线 的焦点分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为
B．双曲线 与椭圆 的离心率互为倒数
C．若双曲线 上一点 满足 ，则 的周长为28
D．若从双曲线 的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
18．已知方程 表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当 时，曲线C是椭圆
B．当 或 时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则
19．(多选)已知点 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点， 是双曲线 位于第一象限内
一点，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的面积为
B．双曲线 的离心率为
C．双曲线 的渐近线方程为
D．若双曲线 的焦距为 ，则双曲线 的方程为
20．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 的直线 与圆 相切，
且与 交于 两点，若 ，则 的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
21．已知双曲线 的左､右焦点分别是 ， 为双曲线 右支上的动点， ，则
下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的离心率
B．双曲线 与双曲线 共渐近线
C．若点 的横坐标为3，则直线 的斜率与直线 的斜率之积为
D．若 ，则 的内切圆半径为
三、填空题22．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率e＝ ．
23．已知圆 ，圆 ，圆 与圆 、圆 外切，则圆心 的轨迹方程为
．
24．已知双曲线 的离心率为 ，其中一条渐近线与圆 交于 两
点，则 .
25．已知点 是双曲线 上一点， 分别是双曲线 的左、右焦点， 的周长为
，则 的面积为 ．
26．已知 是双曲线 的左焦点， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为
.
27．已知双曲线 和椭圆 有相同的焦点，则 的最小值为 ．
28．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，过 分别作 的两条渐近线的平行线与 交于 ，
两点，若 ，则 的离心率为
29．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ， 为双曲线右支上一点，
且满足 ，则 的周长为 .
30．椭圆 与渐近线为 的双曲线有相同的焦点 ，P为它们的一个公共
点，且 ，则椭圆的离心率为 .
31．已知双曲线 的焦点为F，O为坐标原点，P为C上一点，且 为正三角
形，则双曲线的离心率为 ．32．已知双曲线 的一个焦点为 ，点 到双曲线 的一条渐近线 的距离为1，则双曲线 的标
准方程是 .
33．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与双曲线的右支相
交于A，B两点， ，且 的周长为10，则双曲线C的焦距为 ．
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、
右两支上， ， ，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点 ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点，过 作斜率为 的直线 与双曲线
的左、右两支分别交于 ， 两点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， 分别为双曲线C： 的左右焦点，且 到渐近线的距离为1，过 的直线
与C的左、右两支曲线分别交于 两点，且 ，则下列说法正确的为（ ）
A． 的面积为2 B．双曲线C的离心率为C． D．
4．已知双曲线 （ ）的左焦点为F，过F的直线交E的左支于点P，交E的渐近线
于点M，N，且P，M恰为线段FN的三等分点，则双曲线E的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
5．已知双曲线 的右焦点为F，过点F的直线与两条渐近线的交点分别为P，Q
两点，且 ，又过点F作 于E（点O为坐标原点），且 ，则双曲线C的渐近
线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．线段 是圆 的一条直径，离心率为 的双曲线 以A，B为焦点，若P是圆
与双曲线 的一个公共点，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为M，N，O为坐标原点．直线
交双曲线C的右支于P，Q两点（不同于右顶点），且与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，则
（ ）
A． 为定值
B．
C．点P到两条渐近线的距离之和的最小值为
D．存在直线 使8．已知双曲线 ： ，点 为双曲线右支上的一个动点，过点 分别作两条渐近线的垂线，垂
足分别为 ， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．存在点 ，使得四边形 为正方形
C．直线 ， 的斜率之积为2
D．存在点 ，使得
9．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，左、右顶点分别为 、 ， 为双
曲线右支上的一点，且直线 与 的斜率之积等于 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的渐近线方程为
B．若 ，且 ，则
C．分别以线段 、 为直径的两个圆内切
D．
三、填空题
10．已知 ､ 分别为双曲线 的左、右焦点，若点 到该双曲线的渐近线的距离为2，
点 在双曲线上，且 ，则三角形 的面积为 .
11．已知双曲线 ： 的左右焦点分别为 ， ，点 在 上，满足 为直角三
角形，作 于点 （其中 为坐标原点），且有 ，则 的离心率为 ．
12．在直角平面坐标系 中， 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 作圆的切线，与双曲线左、右两支分别交于点 ，若 ，则 的值是 ．
13．设直线 与双曲线 两条渐近线分别交于点 ， ，若点
满足 ，则该双曲线的渐近线方程是 ．
14．已知 ， 分别是双曲线 ， 的左、右焦点，双曲线上有一点 ，满足
，且 ，则该双曲线离心率的取值范围是
15．已知 分别为双曲线 的两个焦点， 上的点 到原点的距离为 ，且
，则双曲线 的渐近线方程为 ．
