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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 33 曲线的轨迹方程问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、曲线方程的定义
一般地，如果曲线 与方程 之间有以下两个关系：
①曲线 上的点的坐标都是方程 的解；
②以方程 的解为坐标的点都是曲线 上的点．
此时，把方程 叫做曲线 的方程，曲线 叫做方程 的曲线．
二、求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为 ；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
x、y
（4）用坐标 表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
三、求轨迹方程的方法
1.定义法
如果动点 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨
迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2.代入法（相关点法）
如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲
线方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的坐标，然后把 的坐标代入已知曲线方程，
即可得到动点 的轨迹方程。
3.交轨法在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点
（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选
变角、变斜率等为参数．
4.参数法
动点 的运动主要是由于某个参数 的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐
标，即 ，再消参.
5.点差法
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 的坐标
代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 ， ， ， 等关系式，由于
弦 的中点 的坐标满足 ， 且直线 的斜率为 ，由此可求得弦
中点的轨迹方程.
二、题型精讲精练
【典例1】已知点P是椭圆 上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点
的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】因为 轴，垂足为M，且PM的中点为 ，
所以 ，又因为P是椭圆 上任意一点，
所以 ，即 .故答案为： .【典例2】已知圆 ： ，动圆 与圆 外切，且与定直线 相切，设动点 的轨迹为
．求 的方程；
【解析】设 ，圆 的半径为 ，由题可知，点 在直线 右侧，
因为圆 与定直线 相切，所以 ．
又圆 与圆 外切，所以 ，
所以 ，化简得 ，即 的方程为 ．
【典例3】（单选题）设 分别是直线 和 上的动点，且满足 ，则 的中点 的
轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ， ，
因为 为 的中点，则 ，故 ， ，又因为
，所以 ，即 ，所以点M的轨迹方程为
．
故选: A.
【典例4】已知 、 为椭圆C： 的左右顶点，直线 与C交于 两点，直线 和直
线 交于点 .求点 的轨迹方程.【解析】由题意得 ， ，
设 ， ， ，则 ， ，
即 ， ，得 ，
又∵点 在C上，即 ，得 ，∴ ；
【典例5】已知椭圆 的弦 所在直线过点 ，求弦 中点 的轨迹方程.
【解析】设 ，弦 的中点 ，则 ，
将 代入椭圆方程得 ，
两式相减得 ，
所以 ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，则 ，
整理得 ；
当 时，则直线 方程为 ，代入椭圆方程解得
所以 满足上述方程，故点 的轨迹方程 .
【题型训练-刷模拟】
一、单选题1．平面直角坐标系中点 满足 ，则点 的轨迹为（ ）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．不存在
【答案】A
【分析】根据两点距离之和的几何意义分析即可
【详解】因为 ，表示点 到两点 的距离之和为2，
又 ，则点 的轨迹就是线段 .
故选：A
2．一动圆 过定点 ，且与已知圆 ： 相切，则动圆圆心 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两圆相切分析可知 ，符合双曲线的定义，可得 ， ，根据双曲线中
a，b，c的关系，即可求出动圆圆心 的轨迹方程.
【详解】解：已知圆 ： 圆心 ，半径为4，
动圆圆心为 ，半径为 ，
当两圆外切时： ，所以 ；
当两圆内切时： ，所以 ；
即 ，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，
所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且 ， ，
，
所以动圆圆心 的轨迹方程为： ，
故选：C.3．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 =2，则点C的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线
【答案】C
【分析】建立合适的平面直角坐标系，设 ，根据 以及向量数量积的坐
标形式求解出 满足的关系式，即可判断出轨迹形状.
【详解】因为点 是两个定点，不妨设 ，
以 所在直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
设 ， ， ，所以 ， ，
由 得： ，即 ，所以点C的轨迹为圆.
故选：C.
4．已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，
，则动点P的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用相关点法即可求得动点P的轨迹方程.
【详解】设 ，不妨令 ，
正方形ABCD的面积为16，则 ，则 ，由 ，可得 ，即 ，
则 ，整理得
故选：B
5．已知圆 ，直线l过点 .线段 的端点B在圆 上运动，则线段 的中点M的轨
迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】建立点 和点 之间的关系式，再利用点 的坐标满足的关系式得到点 的坐标满足的条件，
即可求出.
【详解】设 ， ，
由点 是 的中点，得 ，可得 ，
又点 在圆 上运动，所以 ，
将上式代入可得， ，
化简整理得点 的轨迹方程为： .
故选：B
6．已知 分别为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆E上一动点，G点是三角形 的重心，
则点G的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】设 ，利用三角形的重心坐标公式可得 ，将其代入 可得结果.
【详解】 分别为椭圆 的左、右焦点，
设 ，G点是三角形 的重心
则 ，得 ，
又 是椭圆E上一动点， ，即 ，
又G点是三角形 的重心，
所以点G的轨迹方程为
故选：B
7．将 上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 ，得到曲线 ，若直线 与曲线 交于 两
点，且 中点坐标为 ，那么直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据变换法则可得曲线 方程为 ，再利用点差法求解直线 的斜率与方程即可.
【详解】将 上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 ，则设曲线 上的点坐标为 ，
故 在 上，故 ，即曲线 方程为 .设 ，则 ， ，
利用点差法有 ， ，
又 中点坐标为 ，故 ，
即 ，直线 的斜率为 .
故直线 的方程为 ，化简可得 .
故选：B
8．已知 是圆 上的一动点，点 ，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，则
点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意有 ，从而有 ，根据双曲线的定义得点 的轨迹为是以
F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可.
【详解】如图所示：
∵ 是圆 上一动点，点 的坐标为 ，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，∴ ， ，
∵ 是圆 上一动点，∴ ，∴ ，
∴ ， ， ，
∴点 的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且 ， ，得 ，
∴点 的轨迹方程为 .
故选：C.
9．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若 ，则
动点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
【答案】D
【分析】建立适当的平面直角坐标系，设A，B的坐标，设M的坐标，由题意可得N的坐标，求出3个向
量，由向量的关系求出M的轨迹方程.
【详解】解：建立以 所在的直线为x轴，以线段 的中垂线为y轴的直角坐标系，
设 ， ， ，
设M的坐标为 ，由题意可得 ，
则 ， ， ，
所以 ， ，
由 ，可得 ，
整理可得： ，所以 ， ，
故动点M的轨迹是双曲线.故选：D.
10．已知 是椭圆 的长轴上的两个顶点，点 是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点
与点 关于 轴对称，则直线 与直线 的交点 所形成的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．抛物线
C．椭圆 D．两条互相垂直的直线
【答案】A
【分析】由题意设出点 ， 坐标，然后求出直线 与直线 的方程，根据直线方程的特点，两方程相
乘，从而得到点 的轨迹方程，进而得解.
【详解】
由于 是椭圆 的长轴上的两个顶点，所以 ，
设 ，则 ，
所以直线 的方程为 ①，直线 的方程为 ②，
① ②得 ，又因为 在椭圆 上，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
即直线 与直线 的交点 在双曲线 上.
故选：A.
11．已知点P是圆 上的动点，作 轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出中点 ，利用几何关系建立与点P坐标的关系，代入圆方程即可整理出轨迹方程.
【详解】如下图所示：
不妨设 ，则满足 ；
易知 ，
又线段 的中点为 ，可得 ；
即 ，代入方程 可得 ，
整理得 .
故选：D12．已知双曲线 的两个焦点分别为 ，离心率等于 ，设双曲线的两条渐近线分别为直线
；若点 分别在 上，且满足 ，则线段 的中点 的轨迹 的方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据离心率得到双曲线方程，渐近线方程为 ．设 ， ，线段 的中点
，根据 得到轨迹方程.
【详解】由已知 ，求得 ，得双曲线方程为 ，
从而其渐近线方程为 ．
设 ， ，线段 的中点 ，
由已知不妨设 ， ，
从而 ， ，
由 得 ，
所以 ，即 ，
则M的轨迹C的方程为 ．
【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
13．已知 ， ， ，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方
程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由两点间距离公式可得 ，根据题中条件，得到 ，结
合双曲线的定义，即可得出结果.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 都在椭圆上，
所以 ， ，
故 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的下支，
又 ， ，即 ， ，所以 ，
因此 的轨迹方程是 （ ）.
故选：A.
【点晴】方法点睛：
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标 ，根据题意列出关于 的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把 分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将 代入 .
二、填空题
14．如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式 ，那么点M的轨
迹是 ．【答案】椭圆
【分析】根据两点间距离公式，即可判断点 轨迹满足椭圆的定义.
【详解】 可看作M（x，y）到 的距离之和为 ，由于
,所以点M的轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆.
故答案为：椭圆
15．平面上一动点C的坐标为 ，则点C的轨迹E的方程为 ．
【答案】
【分析】根据同角平方和关系消参即可求解.
【详解】令 ，所以 ，故 ，进而
，
故答案为：
16．曲线C上任意一点P到点F（2，0）的距离与它到直线x＝4的距离之比等于 ，则C的方程为
．
【答案】
【分析】设点坐标，直接根据题中等量列方程即可求解.
【详解】设P（x，y），由题意 ，
化简得 ，即C的方程为 ．
故答案为： .
17．已知圆心在 轴上移动的圆经过点 ，且与 轴， 轴分别相交于 两个动点，则点 的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】由题意可知， 为该动圆的直径, ，可列等式得方程.
【详解】因为动圆圆心在 轴上移动，且该动圆始终经过点 和 ，所以， 为该动圆的直径,
又因为点 在该动圆上，所以， ，即 ，
所以，点 的轨迹方程为 .
故答案为：
18．已知点 分别在 轴、 轴上运动， ，点 在线段 上，且 .则点 的轨迹 方
程是 ；
【答案】
【分析】设 ，由 ，得 ，在根据 ，转化为平面向量关系
建立方程组，建立 间的关系，代入 中化简即可.
【详解】设 ，
因为 ，
所以 ，①因为点 在线段 上，且 ，
所以 ，即 代入①
，
即 ，
故答案为： .
19．已知点A ，B ，P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是 ，则动点P的
轨迹C的方程为 .
【答案】
【分析】根据题意列出方程，化简可得答案.
【详解】设 ，
由 ，
整理得 ，
故动点P的轨迹C的方程为 ，
故答案为：
20．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 的点
的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系 中， ，点 满足
，则点 的轨迹方程为 .【答案】
【分析】根据点点距离即可列方程化简求解.
【详解】设 ，则 ，
化简得 ，即 ，
故答案为：
21．已知圆M与圆C ： 和圆C ： 一个内切一个外切，则点M的轨迹方程为
1 2
.
【答案】
【分析】根据内切和外切的性质及双曲线的定义得到点 的轨迹为双曲线，然后求方程即可.
【详解】当圆 与圆 内切，与圆 外切时， ， ，
当圆 与圆 外切，与圆 内切时， ， ，
所以 ，点 的轨迹为双曲线，设轨迹方程为 ， ， ，则
， 所以轨迹方程为 .
故答案为： .
22．已知点 是曲线 上任意一点， ，连接 并延长至 ，使得 ，求动点Q的轨
迹方程 ．
【答案】
【分析】设出动点 和相关点 ，再根据条件 ， ，再代入即可得出结果.
【详解】设动点 的坐标 ，点P坐标 ， ，因为 ，所以 ， ，
可得 ， ，
代入 ，得 ，整理得 ，
所以动点Q的轨迹方程为 ．
故答案为：
23．在椭圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ，垂足为 ，点 在 的延长线上，满
足 ，当点 在椭圆上运动时，点 的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】设 ，根据题意将点 的坐标用点 表示，再利用相关点法即可得解.
【详解】解：设 ，
因为 轴， ，
所以 ，所以 ，即 ，
又点 在椭圆 上，
所以 ，
所以点 的轨迹方程为 .
故答案为： .24．已知点P为椭圆 上的任意一点，O为原点，M满足 ，则点M的轨迹方程为
．
【答案】 .
【分析】先设点 ,再由 应用相关点法求轨迹方程即可.
【详解】设点 ，
由 得点 ，而点P为椭圆 上的任意一点，
于是得 ，整理得： ，
所以点M的轨迹方程是 .
故答案为:
25．设平面直角坐标系中，O为原点，N为动点， ， ，过点M作 轴于点 ，
过点N作 轴于点 ，M与 不重合，N与 不重合，设 ，则点T的轨迹方程是
.
【答案】
【分析】设出点 的坐标，根据 ，可以知道点 的横坐标和纵坐标之间的关系， 可
以求出 的坐标，进而根据已知的条件，求出 、 的坐标，设出点 的坐标，通过 ，
可以得到 的坐标和 的坐标之间的关系，再根据点 的横坐标和纵坐标之间的关系，求出点 的轨迹方
程.
【详解】设点 ，因为 ，所以有 ，因为 ，所以有 ，
由题意可知： ， ，因为 与 不重合， 与 不重合，所以 且 ，，
设 ，因为 ，所以有 ，而 ，
所以 ，又因为 且 ，
故答案为： （ 且 ）.
26．自 引圆 的割线ABC，则弦 中点P的轨迹方程 .
【答案】 （ ）
【分析】设 ，根据 ⊥ ，利用斜率列出方程，再考虑 的取值范围.
【详解】设 ，则 ⊥ ，
当 时，有 ，即 ，整理得 ①，
当 时，此时割线ABC的中点为原点，代入①式，也成立，
故弦 中点P的轨迹方程为 （在圆 内部分），
联立 ，解得 ，
故轨迹方程为 （ ）
故答案为： （ ）
27．已知 ， ，当 时，线段 的中点轨迹方程为 ．【答案】
【分析】根据中点坐标公式可得 中点坐标，设点 为线段 的中点轨迹上任一点的坐标，即得
，消去参数，可得答案.
【详解】因为 ， ，
所以 中点坐标为 ，
即 ，
设点 为线段 的中点轨迹上任一点的坐标，
， ，
，
即当 时，线段 的中点轨迹方程为 ，
故答案为：
28．已知 是椭圆 中垂直于长轴的动弦， 是椭圆长轴的两个端点，则直线
和 的交点 的轨迹方程为 ．
【答案】 （ ）．
【分析】设 ，直线 和 的交点为 ，根据 三点共线及 三点共线，
可得两个式子，两式相乘，再结合 在椭圆上即可得出答案.
【详解】设 ，
因为椭圆 的长轴端点为 ，
设直线 和 的交点为 ，
因为 三点共线，所以 ， ，因为 三点共线，所以 ，
两式相乘得 ，（ ）,
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，整理得 （ ），
所以直线 和 的交点 的轨迹方程 （ ）.
故答案为： （ ）.
29．已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2，直线 与抛物线 交于 两
点，过点 作抛物线 的切线 ，若 交于点 ，则点 的轨迹方程为 .
【答案】 或
【分析】由题可得抛物线方程，利用切线几何意义可得切线斜率，即可表示出切线方程求出交点坐标，再
将抛物线 与直线 联立，结合韦达定理可得轨迹方程.
【详解】由焦点 到准线的距离为2，可得抛物线 .
由 可得 ，故 ，
故在 处的切线方程为 ，即 ，
同理在点 处的切线方程为 ，联立 ，即 .
联立直线与抛物线方程： ，消去 得 ，
由题 或 .
由韦达定理， ，
得 ，其中 或 ，故点 的轨迹方程为： 或 .
故答案为： 或
30．直线 在 轴上的截距为 且交抛物线 于 、 两点，点 为抛物线的顶点，过
点 、 分别作抛物线对称轴的平行线与直线 交于 、 两点．分别过点 、 作抛物线的切线，
则两条切线的交点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设点 、 ，分析可知直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，将
直线 的方程与抛物线的方程联立，求出抛物线在点 、 处的切线方程，求出两切线的交点坐标，可
得出交点的轨迹方程.
【详解】设点 、 ，
若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意.
设直线 的方程为 ，联立 ，可得 ，
，由韦达定理，可得 ， ，
显然抛物线 在点 处切线斜率存在且不为 ，设其方程为 ，
由 ，消去 并整理，得 ，
解得 或 ，因此有 ，解得 ，
则抛物线 在点 处切线方程为 ，即 ，
同理抛物线 在点 处切线方程为 ，
而 ，由 ，解得 ， ，
于是得两条切线的交点在直线 上，
又 ，所以两条切线的交点的轨迹方程为 ．
故答案为： .
三、解答题
31．已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为 ，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相
同，且 ，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．
【答案】 ，轨迹是开口向左的抛物线．
【分析】根据向量垂直的坐标运算即可列方程求解.
【详解】由条件可知，直线l的方程为 ，因此点A的横坐标为4．
设P的坐标为 ，则点A的坐标为 ．因此因为 的充要条件是 ，所以 ，即动点P的轨迹方程为 ．
从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线．
32．在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ， ，点 为坐标系内一点，若直线
与直线 的斜率的乘积为 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)说明点 的轨迹是何种几何图形．
【答案】(1)
(2)点 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且不包括与x轴的交点
【分析】（1）根据题意结合斜率公式运算求解，注意 ；
（2）根据（1）中结果，结合椭圆方程分析说明.
【详解】（1）由题意可知：直线 与直线 的斜率分别为 ，
则 ，整理得 ，
所以点 的轨迹方程为 .
（2）由（1）可知：点 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且不包括与x轴的交点.
33．已知椭圆 ，点A，B分别是它的左､右顶点，一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q
两点，当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，求直线 与直线 的交
点M的轨迹方程.
【答案】
【分析】设 ，则 ，写出直线 和直线 的方程，利用 消去 和 即可得
到结果.
【详解】由椭圆 方程可知： ，则 ， ，设 ，则 ，则 ，
当 时，则有：
直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
可得 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
当 时， 也符合上式，
所以直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程是 .
34．已知 的斜边为AB，且 .求:
(1) 外接圆的一般方程;
(2)直角边 的中点 的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直角三角形外接圆性质求解圆心和半径， 从而计算出外接圆的一般方程;
（2）设 ，根据M是线段BC的中点，得到 然后根据 即
可求得动点 的轨迹方程.
【详解】（1）由题意知，设圆心为 ，则 ，，
故圆的方程为：
即 外接圆的一般方程为： .
（2）
设 ，由此解得：
因为C为直角，所以
代入解得： 即
配方得： ，
又因为 三点不共线，
所以
综上： .
35．已知直线 ，圆 .
(1)证明:直线 与圆 相交；
(2)设 与 的两个交点分别为A、 ，弦 的中点为 ，求点 的轨迹方程.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）求出直线 恒过点 ，而 在圆 内，故证明出结论；（2）联立直线与圆的方程，设出 ，得到两根之和，两根之积，进而表达出点
的坐标为 ，消去参数 ，求出点 的轨迹方程，注意去掉原点.
【详解】（1） 恒过点 ，
又 ，所以点 在圆内，
所以直线 与圆 相交；
（2）联立 与 得： ，
设 ，
则 ， ，
，
故 ， ，
所以点 的坐标为 ，
令 ， ，两式相除可得： ，
代入 中，消去 可得， ，
由于 ，故 ，即去除原点，
则点 的轨迹方程为： .
36．已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆上且 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)点 分别在椭圆 和直线 上， ， 为 的中点，若 为直线 与直线 的交点．
是否存在一个确定的曲线，使得 始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆 的方程；
（2）设 ，表示出直线OQ的方程，定点 和 .
进而求出 ，把 代入得 ，从而 ，判断出点 始
终在以OF为直径的圆上，即可求解 .
【详解】（1）因为椭圆 过点 ，所以 .
因为 ，所以 ，得 ．
故 ，
从而椭圆C的方程为 ．
（2）设 ，则直线AP的斜率为 .
因为 ，所以直线OQ的方程为 .
令 可得 ，所以 ，
又M是AP的中点，所以 .
从而 ，所以 ①
因为点 在椭圆C上，所以 ，故 ，
代入式①可得 ，从而 ，
所以，点 始终在以 为直径的圆上，且该圆方程为
37．已知过点 的直线交抛物线 于 两点， 为坐标原点．
(1)证明： ；
(2)设 为抛物线的焦点，直线 与直线 交于点 ，直线 交抛物线与 两点（ 在 轴的
同侧），求直线 与直线 交点的轨迹方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设 ， ，利用 三点共线 ，解得 ，再利用向
量数量积的坐标表示即可求解；
（2）设 ， ， ，根据题意可得 ，由此解出 与 ， 与 的关
系，进而得到直线 与直线 的方程，联立即可求解.
【详解】（1）设 ， ，
因为 三点共线，所以 ,
所以 ，整理可得 ，
所以 ，所以 ．（2）设 ， ， ，
由题意 ， ，
因为 ， ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，整理得 ．
因为 在 轴同侧，所以 ，同理可得 ，
所以直线 的方程为 ，同理 的方程为 ，
两式联立代入 ，可得 ，
由题意可知交点不能在x轴上，
所以交点的轨迹方程为 ．
38．已知 分别是双曲线 的左、右焦点， 为双曲线右支上除右顶点之外的一点．
若该双曲线与椭圆 有共同的焦点且过点 ，求 内切圆圆心的轨迹方程．
【答案】
【分析】根据双曲线定义和圆的切线定理可得所求轨迹方程为 ，再由已知列方程组即可求得
a，即得方程.【详解】解：如图所示， ，
设内切圆与x轴的切点是点H，内切圆的圆心为点M， ， 与内切圆的切点分别为A，B，
由双曲线的定义可得 ，
即 ，
又 ， ，
所以 ，即 .
设点M的横坐标为x，则点H的横坐标为x，
所以 ，即 .
因为双曲线与椭圆 有共同的焦点且过点 ，
所以 ，解得 ，
故 内切圆圆心的轨迹方程为 ．
39．已知点 是圆 上的定点，点 是圆内一点， 、 为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点 的轨迹方程．
(2)若 ，求线段 中点 的轨迹方程．
【答案】(1)
(2) ．【分析】（1）根据中点坐标公式，结合相关点法即可求解，
（2）根据直角三角形的性质，结合勾股定理即可由点点距离求解.
【详解】（1）设 中点为 ，
由中点坐标公式可知， 点坐标为
∵ 点在圆 上，∴ ．
故线段 中点的轨迹方程为 ．
（2）设 的中点为 ，在 中， ，
设 为坐标原点，则 ，所以 ，
所以 ．
故线段 中点的轨迹方程为 ．
40．已知椭圆 的上､下顶点分别为 ，点 是椭圆 上异于 的动点，记 分别为直
线 的斜率.点 满足 .(1)证明： 是定值，并求出该定值；
(2)求动点 的轨迹方程.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据两点斜率公式以及点在椭圆上，即可代入化简求解，
（1）根据垂直关系求解斜率关系，联立直线方程得交点坐标即可求解.
【详解】（1）由题意可知 ,
设点 ，显然
，为定值.
（2）设点 ,
由于 ，
的方程： ①.
的方程： ②由①②联立可得： ，
代入①可得 ，
即点
点 满足： ，
代入可得 点 的轨迹方程为：
41．已知抛物线 的焦点为F，点E在C上，以点E为圆心， 为半径的圆的最小面积
为 ．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线与C交于M，N两点，过点M，N分别作C的切线 ， ，两切线交于点P，求点P的轨
迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当圆心在原点时，此时半径为 ，圆的面积最小是解题的关键；
（2）设出直线MN的方程，利用导数与切线方程的关系求出切线，联立两条切线方程求出交点即可求解.
【详解】（1）设点 ， ，则 ，
因为以E为圆心，以 为半径的圆的最小面积为 ，
所以 ，
所以 （负值舍去），解得 ，所以抛物线C的标准方程为 ．
（2）设 ， ，
易得 ，由题意知直线MN的斜率一定存在，
则设直线MN的方程为 ，
联立 得 ，
，所以 ， ．
由 ，得 ，则切线 的斜率为 ，
则切线 的方程为 ，即 ①．
同理可得切线 的方程为 ②．
① ②得 ，
代入①得， ，
所以点P的轨迹方程为 ．
【点睛】关键点睛：利用设而不求的方法，设出直线方程与圆锥曲线联立消元得出韦达定理，通过转化化
简用韦达定理表示出问题，是处理直线与圆锥曲线位置关系必须要掌握的方法.
42．已知椭圆C： 的离心率为 ，且经过 ，经过定点 斜率不为0的
直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得 求解即可；
（2）联立直线方程结合 求点P的横坐标．
【详解】（1）
根据题意可得 ，解得 ，
∴求椭圆C的方程为
（2）
根据题意可得直线AE： ，BF： ，
由 可得 ，
所以 ，故 ，故 ，同理， ，故 ，
因为 三点共线，故 共线，
而 ，
故 ，整理得到： 或 ，
若 ，则由 可得 ，这与题设矛盾，故 .
联立方程 ，解得 ，
∴P点的轨迹方程为
43．已知椭圆C： 的长轴长为 ，离心率为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P为椭圆C外一点，且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的相关概念及离心率求解即可；
（2）设出动点P的坐标，求出切线方程，联立方程组由 求解即可（注意分类讨论）.
【详解】（1）由题意可知 ，解得 ， ，∵ ，
∴椭圆C的标准方程为 ；
（2）设点 ，
①当两条切线斜率均存在时，设其中一条切线为 ，另一条为 ，
联立方程 ，消去y得 ，
∴ ，
即 ，
则 ， 是方程 的两个不等实根，
∴ ，
又∵两条切线相互垂直，∴ ，
∴ ，
整理得 ，
即点P的轨迹方程为 ，
②当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，
P的坐标为 ，把点 代入 亦成立，
综上所述，点P的轨迹方程为： .44．已知拋物线 ，过其焦点 作两条相互垂直且不平行于 轴的直线，分别交抛物线 于点
和点 的中点分别为 .
(1)若直线 的斜率为2，求直线 的方程；
(2)求线段 的中点 的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线和抛物线方程，求得中点 坐标，即可求解直线 的方程；
（2）首先设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立，求得点 的坐标，并利用直线 与直线
的关系，求得点 的坐标，即可求解点 ，再通过消参求得点 的轨迹方程.
【详解】（1）抛物线的焦点 ， ，
直线 的方程为 ，设 ，
联立 ，得 ， ，
所以 中点的横坐标为 ，中点的纵坐标为 ，即 ，
直线 的方程为 ，设 ，
联立 ，得 ， ，
所以 中点的横坐标为 ，中点的纵坐标为 ，即 ，
所以 ，直线 的方程为 ，
化简为直线 的方程为 ；（2）设直线 的方程为 ，设 ， ，
联立 ，得 ，
得 ，
所以 中点的横坐标为 ，纵坐标为 ，
即 ，将 换成 得 ，
得 的中点 的坐标为 ，
即 ，得 ，
45．已知 分别为双曲线 的左、右顶点，点 是直线 上的动点，延长 分别与
交于点 ．
(1)若点 的纵坐标为 ，求 的坐标；
(2)若 在直线 上且满足 ，求 的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，得到点 的坐标，进而可得直线 的方程，将直线 的方程与双曲线方程联立，
求出点 的横坐标，再代入双曲线方程中即可求解；
（2）对直线 的斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线 的方程，将直线 的方程与双
曲线方程联立，结合根与系数的关系以及三点共线的定义进行求解即可．
【详解】（1）易知 ，则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，故 ,
又点 在 上，解得 ，
即 ；
（2）不妨设 , , , , ，
由题意可知：直线 不可能平行于 轴，
不妨设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
因为直线 与 有两交点，
所以 ，且 ，即 ，
由韦达定理得 ， ，
所以 ，
由 ， ， 三点共线，此时 ，即 ，
由 ， ， 三点共线，此时 ，消去 整理得 ，
即 ，
此时 ，
即 ，
所以对任意 ， ，都有 成立，
解得 或 ，
若 ，
因为 ，又 ，
解得 ， ，
所以 ，即 ，不符合题意，
所以 ，则 ，
所以直线 恒过点 ，
故点 的轨迹是以 为直径的圆，
由 , 可得圆心坐标为 ，直径为2，
故圆的方程为 ．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有
关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为 ,则直线过定点 ;
若直线方程为 ( 为定值),则直线过定点
